Grundkurs Theoretische Physik 1 - Klassische Mechanik und mathematische Vorbereitungen

\(% Mathematische Symbole and Abkürzungen \newcommand\2{\frac{1}{2}} \newcommand\4{\frac{1}{4}} \newcommand\6{\partial} \newcommand{\ft}[2]{{\textstyle\frac{#1}{#2}}} \newcommand{\vnabla}{{\boldsymbol \nabla}} \newcommand{\vnab}{\vnabla} \newcommand{\laplace}{\varDelta} \newcommand{\lap}{\laplace} \newcommand{\quabla}{\Box} \newcommand{\vLambda}{{\mtbox{\boldmath{$\Lambda$}}}} % fettes \Lambda \newcommand{\vOmega}{{\mtbox{\boldmath{$\Omega$}}}} % fettes \Omega \newcommand{\vPi}{{\mtbox{\boldmath{$\Pi$}}}} % fettes \Pi \newcommand{\vTheta}{{\mtbox{\boldmath{$\Theta$}}}} % fettes \Theta \newcommand{\tinda}{a} % Teilchen-Index 1 \newcommand{\tindb}{b} % Teilchen-Index 2 \newcommand{\abstvec}[1]{{\mathfrak{#1}}} % Fraktur für abstrakte Vektoren\)
covernolting19783662575833.png

Grundkurs Theoretische Physik 1 - Klassische Mechanik und mathematische Vorbereitungen

ISBN: 
978-3-662-57583-3

Die beliebte Lehrbuchreihe zur Theoretischen Physik deckt in sieben Bänden alle für den Bachelor-/Masterstudiengang maßgeblichen Gebiete ab. Jeder Band vermittelt gut durchdacht das im jeweiligen Semester nötige theoretische-physikalische Rüstzeug. Zahlreiche Übungsaufgaben mit ausführlichen Lösungen dienen der Vertiefung des Stoffes.

Der erste Band behandelt die klassische Mechanik, wie sie im ersten Studiensemester vermittelt werden kann. Es wird lediglich die übliche Schulmathematik vorausgesetzt. Weitergehende mathematische Hilfsmittel werden zu Beginn eingeführt und ausführlich erläutert.

Die vorliegende 11.Auflage wurde dazu genutzt eine Vielzahl von  Korrekturen auszuführen und so das Verständnis zu verbessern. Die bekannte übersichtliche Darstellung ermöglicht einen schnellen Zugriff auf den Lehrstoff.

Weiterlesen

  • Liefert das mathematische Rüstzeug gleich mit
  • Enthält zahlreiche Aufgaben mit ausführlichen Lösungen
  • Hervorragend geeignet für den Bachelor-Studiengang
Datei: 
AnhangGröße
PDF icon nolting1leseprobe.pdf1.72 MB
Datei: 
AnhangGröße
PDF icon nolting1inhaltsverzeichnis.pdf1.06 MB
BegriffErklärung
Basis eines Vektorraumes
In einem $d$-dimensionalen Vektorraum bildet jede Menge von $d$ linear unabhängigen Vektoren eine Basis, d. h. jeder beliebige Vektor dieses Raumes lässt sich als Linearkombination dieser $d$ Vektoren beschreiben.
Binormalenvektor
Als Kreuzprodukt: $ \hat{\boldsymbol{b}}(s)=\hat{\boldsymbol{t}}(s)\times\hat{\boldsymbol{n}}(s)\;.$
Definition der euler'schen Zahl
$$a_{n}=\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}\longrightarrow\mathrm{e}=2{,}71828\ldots {\textit{Euler'sche Zahl}}\;.$$
Determinante einer Matrix
Sei $A=\left(a_{ij}\right)=\begin{pmatrix}a_{11} {\ldots} a_{1n}\\ \vdots \vdots\\ a_{n1} {\ldots} a_{nn}\\ \end{pmatrix}$ eine $(n\times n)$-Matrix. Dann definiert man als Determinante von $A$ die folgende Zahl: $\det A=\left|\begin{matrix}a_{11} {\ldots} a_{1n}\\ \vdots \vdots\\ a_{n1} {\ldots} a_{nn}\end{matrix}\right|=\sum\limits_{P}(\mathop{\text{sign}}P)\,a_{1p(1)}\cdot a_{2p(2)}\cdot{\ldots}\cdot a_{np(n)}\;.$
Differenziationsregeln - Kettenregel
$$y=f\left(g(x)\right)\Rightarrow y^{\prime}=\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}g}\cdot g^{\prime}(x)\;$$
Weitere Begriffe
  • Kapitel 1: Mathematische Vorbereitungen (43)
  • Kapitel 2: Mechanik des freien Massenpunktes (23)
  • Kapitel 3: Mechanik der Mehrteilchensysteme (5)
  • Kapitel 4: Der starre Körper (4)
Zurück
Frage 1 von 75
Weiter
  • Wogegen konvergiert die Folge 1/n?

    Lösung

    $\{a_{n}\}=\left\{\frac{1}{n}\right\}\longrightarrow 0 ({\textit{Nullfolge}})$
  • Wogegen konvergiert die Folge n/(n+1)?

    Lösung

    $\{a_{n}\}=\left\{\frac{n}{n+1}\right\}\longrightarrow 1\;,$
  • Konvergiert die Folge $q^n$?

    Lösung

    $\{a_{n}\}=\{q^{n}\}\longrightarrow 0\;, \text{falls }|q|<1$
  • Wie lautet die Definition der euler'schen Zahl?

    Lösung

    $$a_{n}=\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}\longrightarrow\mathrm{e}=2{,}71828\ldots {\textit{Euler'sche Zahl}}\;.$$
  • Wie ist die Geometrische Reihe definiert? Wogegen konvergiert sie?

    Lösung

    $$q^{0}+q^{1}+q^{2}+\cdots+q^{m}+\cdots=\sum_{m=1}^{\infty}\,q^{m-1}=\left\{\begin{array}[]{l}\displaystyle\frac{1}{1-q}\;\text{, falls}\;|q|<1\\ \displaystyle\text{nicht existent, falls}\;|q|\geq 1\end{array}\right.\;.$$
  • Wie lässt sich der Sinus als Potenzreihe darstellen?

    Lösung

    $$\sin(\alpha)=\alpha-\frac{1}{3!}\,\alpha^{3}+\frac{1}{5!}\,\alpha^{5}+\ldots=\sum_{n=0}^{\infty}\,(-1)^{n}\,\frac{\alpha^{2n+1}}{(2n+1)!}\;.$$
  • Wie lässt sich der Kosinus als Potenzreihe darstellen?

    Lösung

    $$\cos(\alpha)=1-\frac{\alpha^{2}}{2!}+\frac{\alpha^{4}}{4!}-\frac{\alpha^{6}}{6!}+\ldots=\sum_{n=0}^{\infty}\,(-1)^{n}\frac{\alpha^{2n}}{(2n)!}\;.$$
  • Wie lässt sich die Exponentialfunktion als Potenzreihe darstellen?

    Lösung

    $$\mathrm{e}^{x}=\sum_{n=0}^{\infty}\,\frac{x^{n}}{n!}\;.$$
  • Wie leitet man Linearkombinationen von Funktionen ab?

    Lösung

    Die Ableitung ist eine lineare Abbildung: $$y=c\cdot f(x)\Rightarrow y^{\prime}=c\cdot f^{\prime}(x)\;,$$ $$y=f(x)+g(x)\Rightarrow y^{\prime}=f^{\prime}(x)+g^{\prime}(x)\;$$
  • Wie leitet man ein Produkt von Funktionen ab?

    Lösung

    Produktregel: $$y=f(x)\cdot g(x)\Rightarrow y^{\prime}=f^{\prime}(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g^{\prime}(x)\;$$
  • Wie leitet man den Quotienten zweier Funktionen ab?

    Lösung

    Quotientenregel:$$y=\frac{f(x)}{g(x)}\;; g(x)\neq 0\Rightarrow y^{\prime}=\frac{f^{\prime}(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g^{\prime}(x)}{g^{2}(x)}\;$$
  • Wie leitet man verkettete Funktionen ab?

    Lösung

    Kettenregel:$$y=f\left(g(x)\right)\Rightarrow y^{\prime}=\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}g}\cdot g^{\prime}(x)\;$$
  • Wie kann eine Funktion durch ihre Ableitungen entwickelt werden?

    Lösung

    Durch Taylor-Entwicklung: $$\begin{aligned} f(x) =f(x_{0})+\frac{f^{\prime}(x_{0})}{1!}(x-x_{0})+\frac{f^{\prime\prime}(x_{0})}{2!}\left(x-x_{0}\right)^{2}+\ldots\\ =\sum_{n=0}^{\infty}\,\frac{f^{(n)}(x_{0})}{n!}\left(x-x_{0}\right)^{n}\end{aligned}$$
  • Was besagt der Satz von L'Hospital?

    Lösung

    Die Funktion $\begin{aligned} f(x)=\frac{\varphi(x)}{\psi(x)}\end{aligned}$ liefere für $x\to a$ einen unbestimmten Ausdruck der Art 0/0 oder $\pm\infty/\infty$. Dann gilt $\lim_{x\,\to\,a}\,f(x)=\lim_{x\,\to\,a}\,\frac{\varphi^{\prime}(x)}{\psi^{\prime}(x)}\;.$ Ist die rechte Seite erneut so nicht definiert, so ersetzt man auf der rechten Seite die ersten durch die zweiten Ableitungen. Wenn der Quotient auch dann unbestimmt bleibt, so nimmt man die dritten Ableitungen, und so weiter.
  • Wie lassen sich die Extrema einer Funktion finden? Gibt es notwendige und hinreichende Bedingungen?

    Lösung

    $f(x)$ sei in $x_{0}$ differenzierbar und besitze dort ein (lokales) Extremum. Dann gilt $\begin{aligned} f^{\prime}(x_{0})=0.\end{aligned}$ Dieses Kriterium ist nicht hinreichend! Ein hinreichendes Kriterium für ein Extremum im Punkt $x=x_{0}$ lautet $f^{\prime}(x_{0})=0 \text{ und }f^{\prime\prime}(x_{0})\;\;\left\{\begin{array}[]{ll}> 0 \text{ Minimum}\\
  • Was versteht man unter einem Skalar?

    Lösung

    Unter einem Skalar versteht man eine Größe, die nach Festlegung von Dimension und Maßeinheit vollständig durch Angabe einer Maßzahl charakterisiert ist (z. B. Masse, Volumen, Temperatur, Druck, Wellenlänge,...)
  • Was versteht man unter einem Vektor?

    Lösung

    Unter einem Vektor versteht man eine Größe, die zusätzlich die Angabe einer Richtung benötigt (z. B. Verschiebung, Geschwindigkeit, Beschleunigung, Impuls, Kraft, ...)
  • Wie ist die lineare Unabhängigkeit definiert?

    Lösung

    $n$ Vektoren $\boldsymbol{a}_{1}$, $\boldsymbol{a}_{2}$, ..., $\boldsymbol{a}_{n}$ heißen linear unabhängig, falls die Gleichung $\sum\limits_{j=1}^{n}\alpha_{j}\boldsymbol{a}_{j}=0$ nur durch $\alpha_{1}=\alpha_{2}={\ldots}=\alpha_{n}=0$ erfüllt werden kann. Andernfalls heißen sie linear abhängig.
  • Wie groß ist die Dimension eines Vektorraumes?

    Lösung

    Die Dimension eines Vektorraumes ist gleich der maximalen Anzahl linear unabhängiger Vektoren.
  • Was ist eine Basis eines Vektorraumes?

    Lösung

    In einem $d$-dimensionalen Vektorraum bildet jede Menge von $d$ linear unabhängigen Vektoren eine Basis, d. h. jeder beliebige Vektor dieses Raumes lässt sich als Linearkombination dieser $d$ Vektoren beschreiben.
  • Wie lautet das Skalarprodukt zweier Vektoren a und b in Komponentenschreibweise?

    Lösung

    $\begin{aligned} \boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=\sum_{i=1}^3a_ib_i \end{aligned}$
  • Was sind wichtige Eigenschaften des Skalarproduktes?

    Lösung

    Das Skalarprodukt ist bilinear, kommutativ und distributiv.
  • Wie lautet das Kreuzprodukt zweier Vektoren in Komponentenschreibweise?

    Lösung

    $\begin{aligned} \boldsymbol{c}=\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}= \,\sum\limits_{i,\,j}a_{i}b_{j}\left(\boldsymbol{e}_{i}\times\boldsymbol{e}_{j}\right)=\sum\limits_{i,\,j,\,k}\varepsilon_{ijk}a_{i}b_{j}\boldsymbol{e}_{k}=\sum\limits_{k}c_{k}\boldsymbol{e}_{k}\\ \Rightarrow c_{k}= \,\sum\limits_{i,\,j}\varepsilon_{ijk}a_{i}b_{j}\;.\end{aligned}$
  • Was sind wichtige Eigenschaften des Kreuzproduktes?

    Lösung

    Das Kreuzprodukt ist distributiv, anti-kommutativ und 0, wenn die Argumente gleichgerichtet sind.
  • Wie erhält man den Tangenteneinheitsvektor?

    Lösung

    Der Tangenteneinheitsvektor ergibt sich als $\hat{\boldsymbol{t}}=\frac{ {\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{r}}{\mathrm{d}t}}}{{ \left|\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{r}}{\mathrm{d}t}\right|}}=\frac{ {\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{r}}{\mathrm{d}t}}}{{ \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}}}\;.$
  • Wie ergibt sich der Normaleneinheitsvektor?

    Lösung

    Der Normaleneinheitsvektor ist definiert als $ \hat{\boldsymbol{n}}=\frac{ {\frac{\mathrm{d}\hat{\boldsymbol{t}}(s)}{\mathrm{d}s}}}{{ \left|\frac{\mathrm{d}\hat{\boldsymbol{t}}(s)}{\mathrm{d}s}\right|}}={ \frac{1}{\kappa}}{ \frac{\mathrm{d}\hat{\boldsymbol{t}}(s)}{\mathrm{d}s}}=\hat{\boldsymbol{n}}(s)\;.$
  • Wie ergibt sich der Binormalenvektor aus dem Tangenten- und dem Normaleneinheitsvektor?

    Lösung

    Als Kreuzprodukt: $ \hat{\boldsymbol{b}}(s)=\hat{\boldsymbol{t}}(s)\times\hat{\boldsymbol{n}}(s)\;.$
  • Was versteht man unter einem Skalarfeld?

    Lösung

    Ein skalares Feld ist die Menge von Zahlenwerten $\varphi(\boldsymbol{r})=\varphi(x_{1},x_{2},x_{3})$ einer physikalischen Größe $\varphi$, die jedem Punkt $\boldsymbol{r}=(x_{1},x_{2},x_{3})$ eines interessierenden Raumbereichs zugeordnet sind: $M\subset{I\!R}_{3}\,\stackrel{\varphi}{\rightarrow}\,N\subset{I\!R}_{1}\;.$ Es handelt sich also um eine skalarwertige Funktion dreier unabhängiger Variablen. Der Definitionsbereich $M$ ist durch die physikalische Problemstellung festgelegt.
  • Was versteht man unter einem Vektorfeld?

    Lösung

    Das Vektorfeld ist die Menge von durch Richtung und Betrag gekennzeichneten Vektoren, $\boldsymbol{a}(\boldsymbol{r})=\left(a_{1}\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right),\,a_{2}\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right),\,a_{3}\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right)\right)\;,$ die jedem Punkt $\boldsymbol{r}=(x_{1},x_{2},x_{3})$ eines interessierenden Raumbereichs zugeordnet sind: $M\subset{I\!R}_{3}\rightarrow N\subset{I\!R}_{3}\;.$ Es handelt sich also um eine vektorwertige Funktion dreier unabhängiger Variablen.
  • Wie ist der Gradient eines Skalarfeldes definiert?

    Lösung

    Einem stetig differenzierbaren skalaren Feld $\varphi(\boldsymbol{r})$ wird ein vektorielles Feld, das so genannte Gradientenfeld, zugeordnet: $\mathop{grad}\varphi=\left(\frac{\partial\varphi}{\partial x_{1}},\,\frac{\partial\varphi}{\partial x_{2}},\,\frac{\partial\varphi}{\partial x_{3}}\right)\;.$
  • Was ist der Nabla-Operator?

    Lösung

    Der Vektor-Differentialoperator $\nabla\equiv\left(\frac{\partial{}}{\partial x_{1}},\,\frac{\partial{}}{\partial x_{2}},\,\frac{\partial{}}{\partial x_{3}}\right)=\boldsymbol{e}_{1}\frac{\partial{}}{\partial x_{1}}+\boldsymbol{e}_{2}\frac{\partial{}}{\partial x_{2}}+\boldsymbol{e}_{3}\frac{\partial{}}{\partial x_{3}}$ heißt Nabla-Operator.
  • Wie ist die Divergenz eines Vektorfeldes definiert?

    Lösung

    $\boldsymbol{a}\left(\boldsymbol{r}\right)\equiv\left(a_{1}(\boldsymbol{r}),a_{2}(\boldsymbol{r}),a_{3}(\boldsymbol{r})\right)$ sei ein stetig differenzierbares Vektorfeld. Dann nennt man $\sum\limits_{j=1}^{3}\frac{\partial a_{j}}{\partial x_{j}}\equiv\mathop{div}\boldsymbol{a}(\boldsymbol{r})\equiv\nabla\boldsymbol{\cdot}{}\boldsymbol{a}(\boldsymbol{r})$ die Divergenz von $\boldsymbol{a}(\boldsymbol{r})$.
  • Was sagt die Divergenz anschaulich aus?

    Lösung

    Die Divergenz gibt für jeden Punkt die Quellenstärke eines Vektorfeldes an.
  • Was ergibt sich für die Divergenz eines Gradientenfeldes?

    Lösung

    $\mathop{div}\mathop{grad}\varphi=\sum\limits_{j=1}^{3}\frac{\partial^{2}\varphi}{\partial x_{j}^{2}}\equiv\Delta\varphi\;,$ wobei $\Delta\equiv\frac{\partial^{2}}{\partial x_{1}^{2}}+\frac{\partial^{2}}{\partial x_{2}^{2}}+\frac{\partial^{2}}{\partial x_{3}^{2}}$ der Laplace-Operator genannt wird.
  • Wie ist die Rotation eines Vektorfeldes definiert?

    Lösung

    $\boldsymbol{a}(\boldsymbol{r})\equiv[a_{1}(\boldsymbol{r}),a_{2}(\boldsymbol{r}),a_{3}(\boldsymbol{r})]$ sei ein stetig differenzierbares Vektorfeld. Dann heiüt $\mathop{rot}\boldsymbol{a}=\left(\frac{\partial a_{3}}{\partial x_{2}}-\frac{\partial a_{2}}{\partial x_{3}}\right)\boldsymbol{e}_{1}+\left(\frac{\partial a_{1}}{\partial x_{3}}-\frac{\partial a_{3}}{\partial x_{1}}\right)\boldsymbol{e}_{2}+\left(\frac{\partial a_{2}}{\partial x_{1}}-\frac{\partial a_{1}}{\partial x_{2}}\right)\boldsymbol{e}_{3}$ die Rotation von $\boldsymbol{a}(\boldsymbol{r})$.
  • Was sagt die Rotation anschaulich aus?

    Lösung

    Die Rotation ist das Wirbelfeld, gibt also an, wie stark ein Feld verwirbelt ist.
  • Was versteht man unter einer Matrix?

    Lösung

    Ein rechteckiges Zahlenschema $(a_{ij}\in{I\!R})$ der Art $A\equiv\begin{pmatrix}a_{11} {\ldots} a_{1n}\\ \vdots \vdots\\ a_{m1} {\ldots} a_{mn}\end{pmatrix}\equiv(a_{ij})_{\genfrac{}{}{0.0pt}{1}{i\,=\,1,\ldots,\,m}{j\,=\,1,\ldots,\,n}}$ heißt $(m\times n)$-Matrix, bestehend aus $m$ Zeilen $(i=1,2,{\ldots},m)$ und $n$ Spalten $(j=1,2,{\ldots},n)$. Ist $m=n$, so spricht man von einer quadratischen Matrix.
  • Wie geht die Matrixaddition vor sich?

    Lösung

    $A=(a_{ij}),\,B=(b_{ij})$ seien zwei $(m\times n)$-Matrizen. Unter der Summe $C=A+B=(c_{ij})$ versteht man die Matrix mit den Elementen $c_{ij}=a_{ij}+b_{ij}\;, \forall\,i,j\;.$ $C$ ist wieder eine $(m\times n)$-Matrix.
  • Was passiert bei der Matrix-Multiplikation?

    Lösung

    $A=(a_{ij})$ sei eine $(m\times n)$-Matrix, $B=(b_{ij})$ eine $(n\times r)$-Matrix (Spaltenzahl von $A$ = Zeilenzahl von $B$). Dann versteht man unter der Produktmatrix $C=A\cdot B=\left(c_{ij}\right)$ eine $(m\times r)$-Matrix mit den Elementen $c_{ij}=\sum\limits_{k=1}^{n}a_{ik}b_{kj}\;.$
  • Wie ist die Determinante einer Matrix definiert?

    Lösung

    Sei $A=\left(a_{ij}\right)=\begin{pmatrix}a_{11} {\ldots} a_{1n}\\ \vdots \vdots\\ a_{n1} {\ldots} a_{nn}\\ \end{pmatrix}$ eine $(n\times n)$-Matrix. Dann definiert man als Determinante von $A$ die folgende Zahl: $\det A=\left|\begin{matrix}a_{11} {\ldots} a_{1n}\\ \vdots \vdots\\ a_{n1} {\ldots} a_{nn}\end{matrix}\right|=\sum\limits_{P}(\mathop{\text{sign}}P)\,a_{1p(1)}\cdot a_{2p(2)}\cdot{\ldots}\cdot a_{np(n)}\;.$
  • Was ist die inverse Matrix?

    Lösung

    $A=(a_{ij})$ sei eine $(n\times n)$-Matrix. Dann bezeichnet man als inverse Matrix $A^{-1}=\left(\left(a^{-1}\right)_{ij}\right)$ diejenige $(n\times n)$-Matrix, für die gilt: $A^{-1}A=A\,A^{-1}={\text{E}}\;.$
  • Wann existiert eine Inverse zu einer gegebenen Matrix A?

    Lösung

    $A^{-1}$ existiert genau dann, wenn ${\det A}\neq 0$ ist.
  • Wie ergibt sich die Funktionaldeterminante?

    Lösung

    $ \det F^{(xy)}=\frac{\partial(x_{1},{\ldots},x_{d})}{\partial(y_{1},{\ldots},y_{d})}=\left|\begin{matrix} \frac{\partial x_{1}}{\partial y_{1}} {\ldots} \frac{\partial x_{1}}{\partial y_{d}}\\ \vdots \vdots\\ \frac{\partial x_{d}}{\partial y_{1}} {\ldots} \frac{\partial x_{d}}{\partial y_{d}}\end{matrix}\right|$
  • Wie lauter das erste Newton'sche Axiom?

    Lösung

    Das erste Newton'sche Axiom wird auch als Galilei'sches Trägheitsgesetz bezeichnet: Es gibt Koordinatensysteme, in denen ein kräftefreier Körper (Massenpunkt) im Zustand der Ruhe oder der geradlinig gleichförmigen Bewegung verharrt. Solche Systeme sollen Inertialsysteme heiüen.
  • Wie ist der Impuls definiert?

    Lösung

    Das Produkt aus träger Masse und Geschwindigkeit eines Teilchens heißt ${{\textit{Impuls: }}} \boldsymbol{p}=m_{\text{t}}\boldsymbol{v}\;.$
  • Wie lautet das zweite Newton'sche Axiom?

    Lösung

    Das zweite Newton'sche Axiom wird auch Bewegungsgesetz genannt: Die Änderung des Impulses ist der Einwirkung der bewegenden Kraft proportional und geschieht in Richtung der Kraft $\boldsymbol{F}=\dot{\boldsymbol{p}}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(m_{\text{t}}\boldsymbol{v}\right)\;.$
  • Wie lautet das dritte Newton'sche Axiom?

    Lösung

    Das dritte Newton'sche Axiom ist auch als Reaktionsprinzip oder actio $=$ reactio bekannt: $\begin{aligned} \boldsymbol{F}_{12} : \text{Kraft des Körpers 2 auf Körper 1}\;,\\ \boldsymbol{F}_{21} : \text{Kraft des Körpers 1 auf Körper 2}\;.\end{aligned}$ Dann gilt: $\boldsymbol{F}_{12}=-\boldsymbol{F}_{21}\;.$
  • Wie lautet das vierte Newton'sche Axiom?

    Lösung

    Das vierte Newton'sche Axiom wird auch Superpositionsprinzip genannt: Wirken auf einen Massenpunkt mehrere Kräfte $\boldsymbol{F}_{1},\boldsymbol{F}_{2},{\ldots},\boldsymbol{F}_{n}$, so addieren sich diese wie Vektoren zu einer Resultanten $\boldsymbol{F}=\sum\limits_{i\,=\,1}^{n}\boldsymbol{F}_{i}\;.$
  • Was versteht man unter Zentralkräften?

    Lösung

    Kräfte der Gestalt $\boldsymbol{F}(\boldsymbol{r})=f\left(\boldsymbol{r},\dot{\boldsymbol{r}},t\right)\cdot\boldsymbol{r}=(f\cdot r)\,\boldsymbol{e}_{\boldsymbol{r}}$ sind in der Natur sehr häufig auftretende Krafttypen. Die Kraft wirkt radial von einem Zentrum bei $\boldsymbol{r}=\boldsymbol{0}$ nach außen $(f> 0)$ oder auf das Zentrum hin $(f
  • Wie ergibt sich die Reibungskraft im Fall Newton'scher Reibung?

    Lösung

    $\alpha(v) =\alpha\cdot v $, $\boldsymbol{F}_{\text{R}}=-\alpha(v)\boldsymbol{v}\;.$
  • Wie ergibt sich die Reibungskraft im Fall Stokes'scher Reibung?

    Lösung

    $\alpha(v) =\alpha=\mathrm{const} $, $\boldsymbol{F}_{\text{R}}=-\alpha(v)\boldsymbol{v}\;.$
  • Was sind imaginäre Zahlen?

    Lösung

    $\mathrm{i}^{2}=-1\Leftrightarrow\mathrm{i}=\sqrt{-1}\;.$ Jede imaginäre Zahl lässt sich als $\mathrm{i}\cdot y$ mit reellem $y$ schreiben.
  • Was sind komplexe Zahlen?

    Lösung

    Die komplexe Zahl $z$ ist die Summe aus einer reellen und einer imaginären Zahl: $z=x+\mathrm{i}y\;,$ wobei $x$: Realteil von $z$, $y$: Imaginärteil von $z$.
  • Was besagt die Euler'sche Formel?

    Lösung

    $ \mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi}=\cos\varphi+\mathrm{i}\sin\varphi$
  • Wie groß ist die Energie des Massenpunktes?

    Lösung

    $ E=\frac{m}{2}\dot{\boldsymbol{r}}^{2}+\,V(\boldsymbol{r})\;.$ Diese Gleichung ist der Energiesatz: Die zeitliche Änderung der Energie ist gleich der Leistung der dissipativen Kräfte. Sind alle Kräfte konservativ, so gilt der Energieerhaltungssatz. $\frac{m}{2}\dot{\boldsymbol{r}}^{2}+V(\boldsymbol{r})=E=\mathrm{const}\;.$
  • Unter welchen Bedingung existiert ein Potential?

    Lösung

    Eine Kraft $\boldsymbol{F}$ hat genau dann ein Potential, wenn $\mathop{rot}\boldsymbol{F}$ verschwindet.
  • Wie nennt man eine Kraft, die ein Potential hat?

    Lösung

    Eine konservative Kraft.
  • Was gilt für konservative Kräfte?

    Lösung

    Sie leisten auf einem geschlossenen Weg keine Arbeit. Ein Kraftfeld $\boldsymbol{F}$ ist genau dann konservativ, wenn die Arbeit beim Verschieben des Massenpunktes zwischen zwei Raumpunkten wegunabhängig ist.
  • Wie ist der Drehimpuls definiert?

    Lösung

    $\boldsymbol{L}=m\,\left(\boldsymbol{r}\times\dot{\boldsymbol{r}}\right)=\left(\boldsymbol{r}\times\boldsymbol{p}\right)$
  • Wie ist das Drehmoment definiert?

    Lösung

    $\boldsymbol{M}=(\boldsymbol{r}\times\boldsymbol{F})$ folgt aus der Ableitung des Drehimpulses: $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\boldsymbol{L}=\boldsymbol{M}\;.$ Diese Gleichung drückt den Drehimpulssatz aus: Die zeitliche Änderung des Drehimpulses entspricht dem Drehmoment.
  • Wann gilt Drehimpulserhaltung?

    Lösung

    Ist das Drehmoment identisch Null, so wird aus dem Drehimpulssatz der Drehimpulserhaltungssatz: $ \boldsymbol{M}=0\Leftrightarrow\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\boldsymbol{L}=0\;; \boldsymbol{L}=\mathrm{const}\;.$
  • Wie groß ist die 1. kosmische Geschwindigkeit? Was sagt sie aus?

    Lösung

    Die 1. kosmische Geschwindigkeit gibt an, wie schnell sich ein Satellit um die Erde drehen muss, damit er nicht abstürzt. Sie beträgt $ v_{1}=\sqrt{gR}=7{,}9\;\mathrm{km\,s^{-1}}\;.$
  • Wie groß ist die 2. kosmische Geschwindigkeit? Was sagt sie aus?

    Lösung

    Um den Anziehungsbereich der Erde zu verlassen, benötigt der Satellit mindestens die Energie $E=0$. Auf der Erdoberfläche hat er die potentielle Energie $-\gamma\frac{m\,M}{I\!R}$, wobei die Erdanziehungskraft $m\,g=\gamma\frac{m\,M}{R^{2}}$ beträgt. Daraus folgt: $0=\frac{m}{2}\,v_{2}^{2}-m\,g\,R\;.$ Der Satellit benötigt also als Mindestanfangsgeschwindigkeit die$ v_{2}=\sqrt{2g\,R}=11{,}2\;\mathrm{km\,s^{-1}}\;.$
  • Wie lautet das erste Kepler'sche Gesetz?

    Lösung

    Die Planeten bewegen sich auf Ellipsen, in deren einem Brennpunkt die Sonne steht.
  • Wie lautet das zweite Kepler'sche Gesetz?

    Lösung

    Der Fahrstrahl von der Sonne zum Planeten überstreicht in gleichen Zeiten gleiche Flächen.
  • Wie lautet das dritte Kepler'sche Gesetz?

    Lösung

    Die Quadrate der Umlaufzeiten zweier Planeten verhalten sich wie Kuben der großen Achsen der Ellipsen.
  • Was besagt der Schwerpunktsatz?

    Lösung

    Der Schwerpunkt eines Massenpunktsystems bewegt sich so, als ob die gesamte Masse in ihm vereinigt ist und alle äußeren Kräfte allein auf ihn wirken. Die inneren Kräfte haben auf die Bewegung des Massenzentrums keinen Einfluss. Der Schwerpunktsatz liefert nachträglich die Rechtfertigung für die Einführung des Massenpunktbegriffs. So weit man sich nicht für Details der Bewegungen der Einzelteilchen interessiert, kann man die Gesamtbewegung tatsächlich durch die eines Massenpunktes, nämlich des Schwerpunktes, ersetzen.
  • Was besagt der Impulserhaltungssatz?

    Lösung

    $ \boldsymbol{F}^{({\text{ex}})}\equiv 0\Leftrightarrow\boldsymbol{P}=\mathrm{const}\;.$ Bei verschwindender äußerer Gesamtkraft bleibt der Gesamtimpuls nach Richtung und Betrag konstant.
  • Wie verhält sich der Schwerpunkt eines mit Wasserstoff gefüllten Luftballons, wenn er zur Explosion gebracht wird?

    Lösung

    Explodierender Wasserstoffballon: Bewegung des Massenzentrums bleibt von der Explosion unbeeinflusst.
  • Was ist das Prinzip einer Rakete?

    Lösung

    Rakete: Ausstoß der Abgase wird durch die Vorwärtsbewegung der Rakete kompensiert.
  • Wie ist die Reduzierte Masse definiert?

    Lösung

    $ \frac{1}{\mu}=\frac{1}{m_{1}}+\frac{1}{m_{2}}\Leftrightarrow\mu=\frac{m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}\;.$
  • Wie ist das Trägheitsmoment definiert?

    Lösung

    $ J=\sum\limits_{i}m_{i}\left(x_{i}^{2}+y_{i}^{2}\right)$ als Summe der Produkte der Massen mit dem Quadrat des Abstandes von der Drehachse. $J$ ist eine zeitlich konstante skalare Gröüe, die von der Lage und der Richtung der Achse im starren Körper abhängt.
  • Was besagt der Steiner'sche Satz?

    Lösung

    Das Trägheitsmoment $J$ bezüglich einer beliebigen Achse setzt sich additiv zusammen aus dem Trägheitsmoment $J_{\text{s}}$ bezüglich der zu ihr parallelen Achse durch den Schwerpunkt plus dem Trägheitsmoment der im Schwerpunkt vereinigten Gesamtmasse $M$ bezüglich der ursprünglichen Achse. $J=J_{\text{s}}+M\,S^{2}$ ($S=$ senkrechter Abstand des Schwerpunktes von der Drehachse $\overset{\wedge}{=}$ Abstand der beiden Achsen).
  • Was erlaubt der Trägheitstensor?

    Lösung

    Der Trägheitstensor erlaubt die Berechnung des Trägheitsmomentes bei Drehung um eine beliebige Achse.
  • Wie lauten die Komponenten des Trägheitstensors?

    Lösung

    $ J_{lm}=\sum\limits_{i}m_{i}\left(\boldsymbol{r}_{i}^{2}\delta_{lm}-x_{il}x_{im}\right)\;; l,m=1,2,3\;,$, oder in Integralform $J_{lm}=\int\mathrm{d}^{3}r\varrho(\boldsymbol{r})(r^{2}\delta_{lm}-x_{l}x_{m})\;.$
  • Fertig!

    Zurück zu Frage 1
Zurück
Frage 1 von 75
Weiter

Dozentenmaterialien

Hier finden Sie die zum Buch gehörenden Dozentenmaterialien.
Registrieren Sie sich, oder melden Sie sich an, falls Sie bereits registriert sind.

Die Autoren

News