Grundkurs Theoretische Physik 3 - Elektrodynamik

\(% Mathematische Symbole and Abkürzungen \newcommand\2{\frac{1}{2}} \newcommand\4{\frac{1}{4}} \newcommand\6{\partial} \newcommand{\ft}[2]{{\textstyle\frac{#1}{#2}}} \newcommand{\vnabla}{{\boldsymbol \nabla}} \newcommand{\vnab}{\vnabla} \newcommand{\laplace}{\varDelta} \newcommand{\lap}{\laplace} \newcommand{\quabla}{\Box} \newcommand{\vLambda}{{\mtbox{\boldmath{$\Lambda$}}}} % fettes \Lambda \newcommand{\vOmega}{{\mtbox{\boldmath{$\Omega$}}}} % fettes \Omega \newcommand{\vPi}{{\mtbox{\boldmath{$\Pi$}}}} % fettes \Pi \newcommand{\vTheta}{{\mtbox{\boldmath{$\Theta$}}}} % fettes \Theta \newcommand{\tinda}{a} % Teilchen-Index 1 \newcommand{\tindb}{b} % Teilchen-Index 2 \newcommand{\abstvec}[1]{{\mathfrak{#1}}} % Fraktur für abstrakte Vektoren\)
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Grundkurs Theoretische Physik 3 - Elektrodynamik

ISBN: 
978-3-642-37904-8

Der Grundkurs Theoretische Physik deckt in sieben Bänden alle für Bachelor-, Master- oder Diplom-Studiengänge maßgeblichen Gebiete ab. Jeder Band vermittelt gut durchdacht das im jeweiligen Semester benötigte theoretisch-physikalische Wissen. Der 3. Band behandelt die Elektrodynamik in ihrer induktiven Formulierung. Mathematische Inhalte (Vektoranalysis) werden immer dann in den Text eingeschoben, wenn sie für das weitere Verständnis unverzichtbar sind. Der Band enthält in der 10. Auflage mehr als 200 Abbildungen, neue Übungsaufgaben und Lösungen und ist im Ganzen überarbeitet und aktualisiert worden.

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BegriffErklärung
Ampere'sches Gesetz
$$\begin{aligned} \boldsymbol{F}_{{12}}=\frac{\mu _{0}I_{1}I_{2}}{4\pi}\oint\limits _{{C_{1}}}\oint\limits _{{C_{2}}}\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{r}_{1}\times(\mathrm{d}\boldsymbol{r}_{2}\times\boldsymbol{r}_{{12}})}{r_{{12}}^{3}}\;,\end{aligned}$$
Biot-Savart-Gesetz
$$\begin{aligned} \boldsymbol{B}(\boldsymbol{r})=\frac{\mu _{0}}{4\pi}\int\mathrm{d}^{3}r^{{\prime}}\,\boldsymbol{j}(\boldsymbol{r}^{{\prime}})\times\frac{\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}^{{\prime}}}{|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}^{{\prime}}|^{3}}\;.\end{aligned}$$
Brechungsindex
$$\begin{aligned} n=\sqrt{\varepsilon _{{\text{r}}}\mu _{{\text{r}}}}\end{aligned}$$
Clausius-Mosetti-Formel
$$\begin{aligned} \alpha=\frac{3\varepsilon _{0}}{n}\left(\frac{\varepsilon _{{\text{r}}}-1}{\varepsilon _{{\text{r}}}+2}\right)\;,\end{aligned}$$
Coulomb'sches Gesetz
$$\begin{aligned} \boldsymbol{F}_{{12}}=k\, q_{1}\, q_{2}\frac{\boldsymbol{r}_{1}-\boldsymbol{r}_{2}}{|\boldsymbol{r}_{1}-\boldsymbol{r}_{2}|^{3}}=-\boldsymbol{F}_{{21}}\;,\end{aligned}$$ $$\text{mit}$$ $$\begin{aligned}\displaystyle k=\frac{1}{4\pi\,\varepsilon _{0}}\end{aligned}$$ $$\text{und}$$ $$\begin{aligned}\displaystyle\varepsilon _{0}=8{,}8543\cdot 10^{{-12}}\,\frac{{\text{A}}^{2}\,{\text{s}}^{2}}{{\text{N}}\,{\text{m}}^{2}}=8{,}8543\cdot 10^{{-12}}\,\,\frac{{\text{A s}}}{{\text{V m}}}\;.\end{aligned}$$
Weitere Begriffe
  • Kapitel 1: Mathematische Vorbereitungen (4)
  • Kapitel 2: Elektrostatik (20)
  • Kapitel 3: Magnetostatik (9)
  • Kapitel 4: Elektrodynamik (12)
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Frage 1 von 45
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  • Wie kann die Delta-Distribution definiert werden?

    Lösung

    $$\begin{aligned} \int\limits _{V}\mathrm{d}^{3}r\,\delta(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}_{0}) =\begin{cases}1\;,&{\text{falls $r_{0}\in V$}}\\ 0&{\text{sonst}}\;,\end{cases}\end{aligned}$$ $$\begin{aligned} \delta(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}_{0})& =0\quad\forall\boldsymbol{r}\neq\boldsymbol{r}_{0}\;.\end{aligned}$$
  • Wie berechnet man den Fluss eines Vektorfeldes durch eine Fläche?

    Lösung

    $$\begin{aligned} \varphi _{S}(\boldsymbol{a})=\int\limits _{S}\boldsymbol{a}(\boldsymbol{r})\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{f}\;.\end{aligned}$$
  • Wie lautet der Gauß'sche Satz?

    Lösung

    $$\begin{aligned} \int\limits _{V}\text{div}\boldsymbol{E}(\boldsymbol{r})\,\mathrm{d}^{3}r=\oint\limits _{{S(V)}}\boldsymbol{E}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{f}\;.\end{aligned}$$
  • Wie lautet die Kontnuitätsgleichung?

    Lösung

    $$\begin{aligned} \frac{\partial\varrho}{\partial t}+\text{div}\boldsymbol{j}=0\end{aligned}$$
  • Was versteht man unter dem Erhaltungssatz für elektrische Ladungen?

    Lösung

    In einem abgeschlossenen System bleibt die Summe aus positiver und negativer Ladung konstant.
  • Wie wurde das Coulomb früher definiert?

    Lösung

    Zwei Punktladungen gleichen Betrages, die im Vakuum im Abstand von 1\,m die Kraft $$\begin{aligned} F=\frac{10^{{12}}}{4\pi\cdot 8{,}8543}\,{\text{N}}\end{aligned}$$ aufeinander ausüben, besitzen jeweils die Ladung $$\begin{aligned} 1\,{\text{Coulomb }}(1\,\mathrm{C})=1\,{\text{Amperesekunde }}(1\,\mathrm{A\, s})\;.\end{aligned}$$
  • Was besagt das Coulomb'sche Gesetz?

    Lösung

    $$\begin{aligned} \boldsymbol{F}_{{12}}=k\, q_{1}\, q_{2}\frac{\boldsymbol{r}_{1}-\boldsymbol{r}_{2}}{|\boldsymbol{r}_{1}-\boldsymbol{r}_{2}|^{3}}=-\boldsymbol{F}_{{21}}\;,\end{aligned}$$ $$\text{mit}$$ $$\begin{aligned}\displaystyle k=\frac{1}{4\pi\,\varepsilon _{0}}\end{aligned}$$ $$\text{und}$$ $$\begin{aligned}\displaystyle\varepsilon _{0}=8{,}8543\cdot 10^{{-12}}\,\frac{{\text{A}}^{2}\,{\text{s}}^{2}}{{\text{N}}\,{\text{m}}^{2}}=8{,}8543\cdot 10^{{-12}}\,\,\frac{{\text{A s}}}{{\text{V m}}}\;.\end{aligned}$$
  • Wie berechnet man das Feld von n Punktladungen?

    Lösung

    $$\begin{aligned} \boldsymbol{E}(\boldsymbol{r})=\frac{1}{4\pi\,\varepsilon _{0}}\,\sum\limits _{{j=1}}^{n}\, q_{j}\frac{\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}_{j}}{|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}_{j}|^{3}}\;.\end{aligned}$$
  • Wie berechnet man das skalare elektrische Potential einer Ladungsverteilung im Raum?

    Lösung

    $$\begin{aligned} \varphi(\boldsymbol{r})=\frac{1}{4\pi\,\varepsilon _{0}}\,\int\,\mathrm{d}^{3}r^{{\prime}}\,\frac{\varrho(\boldsymbol{r}^{{\prime}})}{|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}^{{\prime}}|}\;.\end{aligned}$$
  • Wie ist die Energie einer Ladungskonfiguration definiert?

    Lösung

    Die Energie einer auf einen endlichen Raumbereich beschränkten Ladungskonfiguration $\rho (r)$ entspricht der Arbeit, die notwendig ist, um Ladungen aus dem Unendlichen ($\varphi(\infty)$ = 0) zu dieser Konfiguration zusammenzuziehen.
  • Wie lautet die Definition des elektrischen Dipols?

    Lösung

    Anordnung zweier entgegengesetzt gleicher Punktladungen, deren Abstand bei gleichzeitig anwachsender Ladung so gegen Null geht, dass das Dipolmoment $$\begin{aligned} \boldsymbol{p}=\lim _{{\substack{a\to 0\\ q\to\infty}}}\, q\,\boldsymbol{a}\end{aligned}$$ dabei konstant und endlich bleibt. Der so definierte Dipol liegt dann in einem festen Raumpunkt.
  • Wie sind die Quadrupolmomente von zwei Dipolen definiert?

    Lösung

    $$\begin{aligned} q_{{ij}}=\lim _{{\genfrac{}{}{0pt}{2}{d_{i}\to 0}{p_{j}\to\infty}}}\, d_{i}p_{j}\;,\end{aligned}$$ wobei $d_i$ die i-te Komponente des Abstands und $p_j$ die j-te Komponente der den Quadruopol formenden Dipole ist.
  • Was versteht man unter dem Monopolmoment einer Ladungsverteilung?

    Lösung

    $$\begin{aligned} & \; \textbf{Gesamtladung (Monopol):}& \; & \; q=\int\mathrm{d}^{3}r^{{\prime}}\varrho(\boldsymbol{r}^{{\prime}})\;\end{aligned}$$
  • Wie wird das Dipolmoment einer Ladungsverteilung berechnet?

    Lösung

    $$\begin{aligned} & \; \textbf{Dipolmoment:}& \; & \; \boldsymbol{p}=\int\mathrm{d}^{3}r^{{\prime}}\boldsymbol{r}^{{\prime}}\varrho(\boldsymbol{r}^{{\prime}})\;\end{aligned}$$
  • Wie sind die Quadrupolmomente einer Ladungsverteilung definiert?

    Lösung

    $$\begin{aligned} & \; \textbf{Quadrupolmoment:}& \; & \; Q_{{ij}}=\int\mathrm{d}^{3}r^{{\prime}}\varrho(\boldsymbol{r}^{{\prime}})(3x^{{\prime}}_{i}x^{{\prime}}_{j}-r^{{\prime 2}}\delta _{{ij}})\;\end{aligned}$$
  • Was bezeichnet man als Multipolentwicklung?

    Lösung

    Die Potential-Entwicklung $$\begin{aligned} 4\pi\varepsilon _{0}\varphi(\boldsymbol{r})=\frac{q}{r}+\frac{\boldsymbol{r}\mathbin{\boldsymbol{\cdot}}\boldsymbol{p}}{r^{3}}+\frac{1}{2}\sum _{{i,j}}Q_{{ij}}\frac{x_{i}x_{j}}{r^{5}}+\ldots\end{aligned}$$ zeigt, dass sich das Potential einer beliebigen Ladungsverteilung aus den Potentialen einer Punktladung, eines Dipols, eines Quadrupols, eines Oktupols usw. zusammensetzt. Man spricht von einer Multipolentwicklung.
  • Was ist bei Dirichlet-Randbedingungen gegeben?

    Lösung

    $$\begin{aligned} \varphi{\text{ auf $\partial V$ gegeben!}}\end{aligned}$$
  • Was ist bei Neumann-Randbedingungen gegeben?

    Lösung

    $$\begin{aligned} \frac{\partial\varphi}{\partial n}=-\boldsymbol{n}\mathbin{\boldsymbol{\cdot}}\boldsymbol{E}{\text{ auf $\partial V$ gegeben!}}\end{aligned}$$
  • Wie ist die makroskopische Polarisation definiert?

    Lösung

    $$\begin{aligned} \boldsymbol{P}(\boldsymbol{r})=\overline{\boldsymbol{\Pi}_{{\text{e}}}(\boldsymbol{r})}=\frac{1}{v(\boldsymbol{r})}\sum _{{j\in v}}\boldsymbol{p}_{j}\;,\end{aligned}$$ wobei $p_j$ das Dipolmoment des j-ten Teilchens einer kleinen Kugel am Ort $\textbf{r}$ ist
  • Was versteht man unter der dielektrischen Verschiebung?

    Lösung

    $$\begin{aligned} \boldsymbol{D}(\boldsymbol{r})=\varepsilon _{0}\boldsymbol{E}(\boldsymbol{r})+\boldsymbol{P}(\boldsymbol{r})\;.\end{aligned}$$
  • Wie lauten die Maxwell-Gleichungen der Elektrostatik in Materie?

    Lösung

    $$\begin{aligned} \text{div}\boldsymbol{D}(\boldsymbol{r})=\varrho(\boldsymbol{r})\; \;\quad \text{rot}\,\boldsymbol{E}(\boldsymbol{r})=0\;.\end{aligned}$$
  • Wie ist die Polarisationsladungsdichte definiert?

    Lösung

    $$\begin{aligned} \quad\varrho _{{\text{p}}}=-\text{div}\boldsymbol{P}\end{aligned}$$
  • Wie ist die molekulare Polarisierbarkeit definiert?

    Lösung

    $$\begin{aligned} \overline{\boldsymbol{p}(\boldsymbol{r})}=\alpha\,\boldsymbol{E}_{{\text{ex}}}(\boldsymbol{r})\;.\end{aligned}$$
  • Was besagt die Clausius-Mosetti-Formel?

    Lösung

    $$\begin{aligned} \alpha=\frac{3\varepsilon _{0}}{n}\left(\frac{\varepsilon _{{\text{r}}}-1}{\varepsilon _{{\text{r}}}+2}\right)\;,\end{aligned}$$
  • Was besagt das Ampere'sche Gesetz?

    Lösung

    $$\begin{aligned} \boldsymbol{F}_{{12}}=\frac{\mu _{0}I_{1}I_{2}}{4\pi}\oint\limits _{{C_{1}}}\oint\limits _{{C_{2}}}\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{r}_{1}\times(\mathrm{d}\boldsymbol{r}_{2}\times\boldsymbol{r}_{{12}})}{r_{{12}}^{3}}\;,\end{aligned}$$
  • Welchen Wert hat die magnetische Feldkonstante?

    Lösung

    $$\begin{aligned} \mu _{0}=4\pi\cdot 10^{{-7}}\frac{{\text{Vs}}}{{\text{Am}}}\approx 1{,}2566\cdot 10^{{-6}}\frac{{\text{N}}}{{\text{A}}^{2}}\;.\end{aligned}$$
  • Welcher Zusammenhang besteht zwischen den Feldkonstanten und der Lichtgeschwindigkeit?

    Lösung

    $$\begin{aligned} \varepsilon _{0}\,\mu _{0}\, c^{2}=1\;.\end{aligned}$$
  • Was besagt das Biot-Savart-Gesetz?

    Lösung

    $$\begin{aligned} \boldsymbol{B}(\boldsymbol{r})=\frac{\mu _{0}}{4\pi}\int\mathrm{d}^{3}r^{{\prime}}\,\boldsymbol{j}(\boldsymbol{r}^{{\prime}})\times\frac{\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}^{{\prime}}}{|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}^{{\prime}}|^{3}}\;.\end{aligned}$$
  • Wie ist das magnetische Vektorpotential definiert?

    Lösung

    $$\begin{aligned} \boldsymbol{A}(\boldsymbol{r})=\frac{\mu _{0}}{4\pi}\int\mathrm{d}^{3}r^{{\prime}}\frac{\,\boldsymbol{j}(\boldsymbol{r}^{{\prime}})}{|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}^{{\prime}}|}\;.\end{aligned}$$ $$\text{mit $\textbf{B} =\text{rot} \textbf{A}$}$$
  • Was versteht man unter dem Begriff Eichfreiheit?

    Lösung

    Eichtransformation des Vektorpotentials: $$\begin{aligned} \boldsymbol{A}\mapsto\boldsymbol{A}^{{\prime}}=\boldsymbol{A}+\text{grad}\chi\;.\end{aligned}$$ $\chi$ darf dabei eine beliebige skalare Funktion sein, die sich ganz nach Zweckmäßigkeitsgesichtspunkten festlegen lässt, da in jedem Fall gilt: $$\begin{aligned} \text{rot}\text{grad}\chi=0\end{aligned}.$$
  • Wie ist das magnetische Moment definiert?

    Lösung

    $$\begin{aligned} \boldsymbol{m}=\frac{1}{2}\int\,\mathrm{d}^{3}r\left[\boldsymbol{r}\times\,\boldsymbol{j}(\boldsymbol{r})\right]\end{aligned}$$
  • Was versteht man unter der Magnetisierung?

    Lösung

    $$\begin{aligned} \boldsymbol{M}(\boldsymbol{r})=\frac{1}{v(\boldsymbol{r})}\sum\limits _{{i=1}}^{{N(v(\boldsymbol{r}))}}\boldsymbol{m}_{i}\;.\end{aligned}$$Dies zeigt die anschauliche Bedeutung der Magnetisierung als mittleres magnetisches Moment pro Volumen über die magnetischen Momente $\boldsymbol{m_i}$ im Volumen $v(\boldsymbol{r}).$
  • Wie ist das Magnetfeld definiert?

    Lösung

    $$\begin{aligned} \boldsymbol{H}=\frac{1}{\mu _{0}}\boldsymbol{B}-\boldsymbol{M}\quad{(\textbf{Magnetfeld})\;.}\end{aligned}$$
  • Was besagen die Maxwell-Gleichungen?

    Lösung

    $$\begin{aligned} \text{div}\boldsymbol{B}& \; =0& \end{aligned}$$ $$\begin{aligned} \text{rot}\boldsymbol{E}+\dot{\boldsymbol{B}}& \; =0& \end{aligned}$$ $$\begin{aligned} \text{div}\boldsymbol{D}& \; =\varrho& \; & \; \end{aligned}$$ $$\begin{aligned} \text{rot}\boldsymbol{H}-\dot{\boldsymbol{D}}& \; =\boldsymbol{j}& \end{aligned}$$ $$\begin{aligned} \; \boldsymbol{B}& \; =\mu _{0}(\boldsymbol{H}+\boldsymbol{M})\,\,\longrightarrow\,\,\mu _{{\text{r}}}\mu _{0}\boldsymbol{H}& \; & \; \end{aligned}$$ $$\begin{aligned} \boldsymbol{D}& \; =\varepsilon _{0}\boldsymbol{E}+\boldsymbol{P}\,\,\underset{\substack{\uparrow\\ \textit{lineares} \text{ Medium}}}{\longrightarrow}\,\,\varepsilon _{{\text{r}}}\varepsilon _{0}\boldsymbol{E}& \; & \; \end{aligned}$$
  • Was versteht man unter Eichtransformationen?

    Lösung

    $$\begin{aligned} \boldsymbol{A}(\boldsymbol{r},t)& \; \mapsto\boldsymbol{A}(\boldsymbol{r},t)+\nabla\chi(\boldsymbol{r},t) \;,\end{aligned}$$ $$\begin{aligned} \varphi(\boldsymbol{r},t)& \; \mapsto\varphi(\boldsymbol{r},t)-\dot{\chi}(\boldsymbol{r},t)\;.\end{aligned}$$
  • Wie beeinflusst die Lorentzkraft geladene Teilchen?

    Lösung

    $$\begin{aligned} \boldsymbol{F}=q(\boldsymbol{E}+\boldsymbol{v}\times\boldsymbol{B})\;.\end{aligned}$$
  • Wie groß ist die Energiedichte des elektromagnetischen Feldes?

    Lösung

    $$\begin{aligned} w(\boldsymbol{r},t)=\frac{1}{2}\left[\boldsymbol{H}(\boldsymbol{r},t)\mathbin{\boldsymbol{\cdot}}\boldsymbol{B}(\boldsymbol{r},t)+\boldsymbol{E}(\boldsymbol{r},t)\mathbin{\boldsymbol{\cdot}}\boldsymbol{D}(\boldsymbol{r},t)\right]\;.\end{aligned}$$
  • Wie groß ist der Impuls des elektromagnetischen Feldes?

    Lösung

    $$\begin{aligned} \boldsymbol{p}_{V}^{{{\text{(Feld)}}}}=\int\limits _{V}\mathrm{d}^{3}r\,(\boldsymbol{D}\times\boldsymbol{B})\;.\end{aligned}$$
  • Wie ist der Maxwell'sche Spannungstensor definiert?

    Lösung

    $$\begin{aligned} T_{{ij}}=\varepsilon _{{\text{r}}}\varepsilon _{0}E_{i}E_{j}+\frac{1}{\mu _{{\text{r}}}\mu _{0}}B_{i}B_{j}-\frac{1}{2}\delta _{{ij}}\left(\varepsilon _{{\text{r}}}\varepsilon _{0}E^{2}+\frac{1}{\mu _{{\text{r}}}\mu _{0}}B^{2}\right)\;.\end{aligned}$$
  • Was besagt die Lenz'sche Regel?

    Lösung

    Das induzierte elektrische Feld ist so gerichtet,dass die Ursache seiner Entstehung abgeschwächt wird.
  • Wie definiert man den Brechungsindex?

    Lösung

    $$\begin{aligned} n=\sqrt{\varepsilon _{{\text{r}}}\mu _{{\text{r}}}}\end{aligned}$$
  • Wie unterscheiden sich Phasen- und Gruppengeschwindigkeit?

    Lösung

    $$\begin{aligned} \begin{aligned} & \; \textbf{Phasengeschwindigkeit:}& \; u& \; =\frac{\omega(k)}{k}\;,\\ & \; \textbf{Gruppengeschwindigkeit:}& \; v_{{\text{g}}}& \; =\frac{\mathrm{d}\omega(k)}{\mathrm{d}k}\;.\end{aligned}\end{aligned}$$
  • Wie ist der Poynting-Vektor definiert?

    Lösung

    $$\begin{aligned} \boldsymbol{S}(\boldsymbol{r},t)=\boldsymbol{E}(\boldsymbol{r},t)\times\boldsymbol{H}(\boldsymbol{r},t)\;.\end{aligned}$$
  • Wie berechnet man die elektromagnetischen Potentiale?

    Lösung

    $$\begin{aligned} \varphi(\boldsymbol{r},t)& \; =\frac{1}{4\pi\,\varepsilon _{0}\varepsilon _{{\text{r}}}}\int\mathrm{d}^{3}r^{{\prime}}\,\frac{\varrho(\boldsymbol{r}^{{\prime}},t_{{{\text{ret}}}})}{|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}^{{\prime}}|}\;,\end{aligned}$$ $$\begin{aligned} \boldsymbol{A}(\boldsymbol{r},t)& \; =\frac{\mu _{0}\mu _{{\text{r}}}}{4\pi}\int\mathrm{d}^{3}r^{{\prime}}\,\frac{\boldsymbol{j}(\boldsymbol{r}^{{\prime}},t_{{{\text{ret}}}})}{|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}^{{\prime}}|}\;.\end{aligned}$$
  • Was besagt das Huygens'sches Prinzip?

    Lösung

    Der künftige Verlauf einer beliebig vorgegebenen Wellenfläche ist bestimmt, wenn man von jedem ihrer Punkte eine Kugelwelle ausgehen lässt und die Einhüllende aller dieser kohärenten Kugelwellen konstruiert.
  • Fertig!

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