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Begriff Erklärung
Basis eines Vektorraumes

In einem $d$-dimensionalen Vektorraum bildet jede Menge von $d$ linear unabh&#228ngigen Vektoren eine Basis, d. h. jeder beliebige Vektor dieses Raumes l&#228sst sich als Linearkombination dieser $d$ Vektoren beschreiben.

Binormalenvektor

Als Kreuzprodukt: $ \hat{\boldsymbol{b}}(s)=\hat{\boldsymbol{t}}(s)\times\hat{\boldsymbol{n}}(s)\;.$

Definition der euler'schen Zahl

$$a_{n}=\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}\longrightarrow\mathrm{e}=2{,}71828\ldots {\textit{Euler'sche Zahl}}\;.$$

Determinante einer Matrix

Sei $A=\left(a_{ij}\right)=\begin{pmatrix}a_{11} {\ldots} a_{1n}\\ \vdots \vdots\\ a_{n1} {\ldots} a_{nn}\\ \end{pmatrix}$ eine $(n\times n)$-Matrix. Dann definiert man als Determinante von $A$ die folgende Zahl: $\det A=\left|\begin{matrix}a_{11} {\ldots} a_{1n}\\ \vdots \vdots\\ a_{n1} {\ldots} a_{nn}\end{matrix}\right|=\sum\limits_{P}(\mathop{\text{sign}}P)\,a_{1p(1)}\cdot a_{2p(2)}\cdot{\ldots}\cdot a_{np(n)}\;.$

Differenziationsregeln - Kettenregel

$$y=f\left(g(x)\right)\Rightarrow y^{\prime}=\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}g}\cdot g^{\prime}(x)\;$$

Differenziationsregeln - Linearkombinationen

Die Ableitung ist eine lineare Abbildung: $$y=c\cdot f(x)\Rightarrow y^{\prime}=c\cdot f^{\prime}(x)\;,$$ $$y=f(x)+g(x)\Rightarrow y^{\prime}=f^{\prime}(x)+g^{\prime}(x)\;$$

Differenziationsregeln - Produktregel

$$y=f(x)\cdot g(x)\Rightarrow y^{\prime}=f^{\prime}(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g^{\prime}(x)\;$$

Differenziationsregeln - Quotientenregel

$$y=\frac{f(x)}{g(x)}\;; g(x)\neq 0\Rightarrow y^{\prime}=\frac{f^{\prime}(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g^{\prime}(x)}{g^{2}(x)}\;$$

Dimension eines Vektorraumes

Die Dimension eines Vektorraumes ist gleich der maximalen Anzahl linear unabh&#228ngiger Vektoren.

Divergenz eines Gradientenfeldes

$\mathop{div}\mathop{grad}\varphi=\sum\limits_{j=1}^{3}\frac{\partial^{2}\varphi}{\partial x_{j}^{2}}\equiv\Delta\varphi\;,$ wobei $\Delta\equiv\frac{\partial^{2}}{\partial x_{1}^{2}}+\frac{\partial^{2}}{\partial x_{2}^{2}}+\frac{\partial^{2}}{\partial x_{3}^{2}}$ der Laplace-Operator genannt wird.

Divergenz eines Vektorfeldes

$\boldsymbol{a}\left(\boldsymbol{r}\right)\equiv\left(a_{1}(\boldsymbol{r}),a_{2}(\boldsymbol{r}),a_{3}(\boldsymbol{r})\right)$ sei ein stetig differenzierbares Vektorfeld. Dann nennt man $\sum\limits_{j=1}^{3}\frac{\partial a_{j}}{\partial x_{j}}\equiv\mathop{div}\boldsymbol{a}(\boldsymbol{r})\equiv\nabla\boldsymbol{\cdot}{}\boldsymbol{a}(\boldsymbol{r})$ die Divergenz von $\boldsymbol{a}(\boldsymbol{r})$.

Drehimpuls

$\boldsymbol{L}=m\,\left(\boldsymbol{r}\times\dot{\boldsymbol{r}}\right)=\left(\boldsymbol{r}\times\boldsymbol{p}\right)$

Drehmoment

$\boldsymbol{M}=(\boldsymbol{r}\times\boldsymbol{F})$ folgt aus der Ableitung des Drehimpulses: $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\boldsymbol{L}=\boldsymbol{M}\;.$ Diese Gleichung dr&#252ckt den Drehimpulssatz aus: Die zeitliche &#196nderung des Drehimpulses entspricht dem Drehmoment. Ist das Drehmoment identisch Null, so wird aus dem Drehimpulssatz der Drehimpulserhaltungssatz: $ \boldsymbol{M}=0\Leftrightarrow\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\boldsymbol{L}=0\;; \boldsymbol{L}=\mathrm{const}\;.$

Energie eines Massenpunktes

$ E=\frac{m}{2}\dot{\boldsymbol{r}}^{2}+\,V(\boldsymbol{r})\;.$ Diese Gleichung ist der Energiesatz: Die zeitliche &#196nderung der Energie ist gleich der Leistung der dissipativen Kr&#228fte. Sind alle Kr&#228fte konservativ, so gilt der Energieerhaltungssatz. $\frac{m}{2}\dot{\boldsymbol{r}}^{2}+V(\boldsymbol{r})=E=\mathrm{const}\;.$

Euler'sche Formel

\mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi}=\cos\varphi+\mathrm{i}\sin\varphi$

Existenz eines Potentials

Eine Kraft $\boldsymbol{F}$ hat genau dann ein Potential, wenn $\mathop{rot}\boldsymbol{F}$ verschwindet. Konservative Kr&#228fte leisten auf einem geschlossenen Weg keine Arbeit. Ein Kraftfeld $\boldsymbol{F}$ ist genau dann konservativ, wenn die Arbeit beim Verschieben des Massenpunktes zwischen zwei Raumpunkten wegunabh&#228ngig ist.

Extrema einer Funktion, Notwendige und hinreichende Bedingungen

$f(x)$ sei in $x_{0}$ differenzierbar und besitze dort ein (lokales) Extremum. Dann gilt $\begin{aligned} f^{\prime}(x_{0})=0.\end{aligned}$ Dieses Kriterium ist nicht hinreichend! Ein hinreichendes Kriterium f&#252r ein Extremum im Punkt $x=x_{0}$ lautet $f^{\prime}(x_{0})=0 \text{ und }f^{\prime\prime}(x_{0})\;\;\left\{\begin{array}[]{ll}> 0 \text{ Minimum}\\ <0 \text{ Maximum}\end{array}\right.\;.$

Funktionaldeterminante

$ \det F^{(xy)}=\frac{\partial(x_{1},{\ldots},x_{d})}{\partial(y_{1},{\ldots},y_{d})}=\left|\begin{matrix} \frac{\partial x_{1}}{\partial y_{1}} {\ldots} \frac{\partial x_{1}}{\partial y_{d}}\\ \vdots \vdots\\ \frac{\partial x_{d}}{\partial y_{1}} {\ldots} \frac{\partial x_{d}}{\partial y_{d}}\end{matrix}\right|$

Geometrische Reihe (Definition und Grenzwert)

$$q^{0}+q^{1}+q^{2}+\cdots+q^{m}+\cdots=\sum_{m=1}^{\infty}\,q^{m-1}\;=\left\{\begin{array}[]{l} \frac{1}{1-q}\;\text{, falls}\;|q|<1\\ \text{nicht existent, falls}\;|q|\geq 1\end{array}\right.\;.$$

Gradient eines Skalarfeldes

Einem stetig differenzierbaren skalaren Feld $\varphi(\boldsymbol{r})$ wird ein vektorielles Feld, das so genannte Gradientenfeld, zugeordnet: $\mathop{grad}\varphi=\left(\frac{\partial\varphi}{\partial x_{1}},\,\frac{\partial\varphi}{\partial x_{2}},\,\frac{\partial\varphi}{\partial x_{3}}\right)\;.$

Imaginäre Zahlen

$\mathrm{i}^{2}=-1\Leftrightarrow\mathrm{i}=\sqrt{-1}\;.$ Jede imagin&#228re Zahl l&#228sst sich als $\mathrm{i}\cdot y$ mit reellem $y$ schreiben.

Komplexe Zahlen

Impuls

Das Produkt aus tr&#228ger Masse und Geschwindigkeit eines Teilchens hei&#223t ${{\textit{Impuls: }}} \boldsymbol{p}=m_{\text{t}}\boldsymbol{v}\;.$

Impulserhaltungssatz

$ \boldsymbol{F}^{({\text{ex}})}\equiv 0\Leftrightarrow\boldsymbol{P}=\mathrm{const}\;.$ Bei verschwindender &#228u&#223erer Gesamtkraft bleibt der Gesamtimpuls nach Richtung und Betrag konstant.

Inverse Matrix

$A=(a_{ij})$ sei eine $(n\times n)$-Matrix. Dann bezeichnet man als inverse Matrix $A^{-1}=\left(\left(a^{-1}\right)_{ij}\right)$ diejenige $(n\times n)$-Matrix, f&#252r die gilt: $A^{-1}A=A\,A^{-1}={\text{E}}\;.$ $A^{-1}$ existiert genau dann, wenn ${\det A}\neq 0$ ist.

Kepler'sches Gesetz, Drittes

Die Quadrate der Umlaufzeiten zweier Planeten verhalten sich wie Kuben der gro&#223en Achsen der Ellipsen.

Kepler'sches Gesetz, Erste

Die Planeten bewegen sich auf Ellipsen, in deren einem Brennpunkt die Sonne steht.

Kepler'sches Gesetz, Zweites

Der Fahrstrahl von der Sonne zum Planeten &#252berstreicht in gleichen Zeiten gleiche Fl&#228chen.

Komponenten des Trägheitstensors

$ J_{lm}=\sum\limits_{i}m_{i}\left(\boldsymbol{r}_{i}^{2}\delta_{lm}-x_{il}x_{im}\right)\;; l,m=1,2,3\;,$, oder in Integralform $J_{lm}=\int\mathrm{d}^{3}r\varrho(\boldsymbol{r})(r^{2}\delta_{lm}-x_{l}x_{m})\;.$

Kreuzprodukt zweier Vektoren in Komponentenschreibweise

$\begin{aligned} \boldsymbol{c}=\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}= \,\sum\limits_{i,\,j}a_{i}b_{j}\left(\boldsymbol{e}_{i}\times\boldsymbol{e}_{j}\right)=\sum\limits_{i,\,j,\,k}\varepsilon_{ijk}a_{i}b_{j}\boldsymbol{e}_{k}=\sum\limits_{k}c_{k}\boldsymbol{e}_{k}\\ \Rightarrow c_{k}= \,\sum\limits_{i,\,j}\varepsilon_{ijk}a_{i}b_{j}\;.\end{aligned}$

Lineare Unabhängigkeit

$n$ Vektoren $\boldsymbol{a}_{1}$, $\boldsymbol{a}_{2}$, ..., $\boldsymbol{a}_{n}$ hei&#223en linear unabh&#228ngig, falls die Gleichung $\sum\limits_{j=1}^{n}\alpha_{j}\boldsymbol{a}_{j}=0$ nur durch $\alpha_{1}=\alpha_{2}={\ldots}=\alpha_{n}=0$ erf&#252llt werden kann. Andernfalls hei&#223en sie linear abh&#228ngig.

Matrix

Ein rechteckiges Zahlenschema $(a_{ij}\in{I\!R})$ der Art $A\equiv\begin{pmatrix}a_{11} {\ldots} a_{1n}\\ \vdots \vdots\\ a_{m1} {\ldots} a_{mn}\end{pmatrix}\equiv(a_{ij})_{\genfrac{}{}{0.0pt}{1}{i\,=\,1,\ldots,\,m}{j\,=\,1,\ldots,\,n}}$ hei&#223t $(m\times n)$-Matrix, bestehend aus $m$ Zeilen $(i=1,2,{\ldots},m)$ und $n$ Spalten $(j=1,2,{\ldots},n)$. Ist $m=n$, so spricht man von einer quadratischen Matrix.

Matrix-Multiplikation

$A=(a_{ij})$ sei eine $(m\times n)$-Matrix, $B=(b_{ij})$ eine $(n\times r)$-Matrix (Spaltenzahl von $A$ = Zeilenzahl von $B$). Dann versteht man unter der Produktmatrix $C=A\cdot B=\left(c_{ij}\right)$ eine $(m\times r)$-Matrix mit den Elementen $c_{ij}=\sum\limits_{k=1}^{n}a_{ik}b_{kj}\;.$

Matrixaddition

$A=(a_{ij}),\,B=(b_{ij})$ seien zwei $(m\times n)$-Matrizen. Unter der Summe $C=A+B=(c_{ij})$ versteht man die Matrix mit den Elementen $c_{ij}=a_{ij}+b_{ij}\;, \forall\,i,j\;.$ $C$ ist wieder eine $(m\times n)$-Matrix.

Nabla-Operator

Der Vektor-Differentialoperator $\nabla\equiv\left(\frac{\partial{}}{\partial x_{1}},\,\frac{\partial{}}{\partial x_{2}},\,\frac{\partial{}}{\partial x_{3}}\right)=\boldsymbol{e}_{1}\frac{\partial{}}{\partial x_{1}}+\boldsymbol{e}_{2}\frac{\partial{}}{\partial x_{2}}+\boldsymbol{e}_{3}\frac{\partial{}}{\partial x_{3}}$ hei&#223t Nabla-Operator.

Newton'sches Axiom, Drittes

Das dritte Newton'sche Axiom ist auch als Reaktionsprinzip oder actio $=$ reactio bekannt: $\begin{aligned} \boldsymbol{F}_{12} : \text{Kraft des Körpers 2 auf K&#246rper 1}\;,\\ \boldsymbol{F}_{21} : \text{Kraft des K&#246rpers 1 auf K&#246rper 2}\;.\end{aligned}$ Dann gilt: $\boldsymbol{F}_{12}=-\boldsymbol{F}_{21}\;.$

Newton'sches Axiom, Erstes

Das erste Newton'sche Axiom wird auch als Galilei'sches Tr&#228gheitsgesetz bezeichnet: Es gibt Koordinatensysteme, in denen ein kr&#228ftefreier K&#246rper (Massenpunkt) im Zustand der Ruhe oder der geradlinig gleichf&#246rmigen Bewegung verharrt. Solche Systeme sollen Inertialsysteme hei&#252en.

Newton'sches Axiom, Viertes

Das vierte Newton'sche Axiom wird auch Superpositionsprinzip genannt: Wirken auf einen Massenpunkt mehrere Kr&#228fte $\boldsymbol{F}_{1},\boldsymbol{F}_{2},{\ldots},\boldsymbol{F}_{n}$, so addieren sich diese wie Vektoren zu einer Resultanten $\boldsymbol{F}=\sum\limits_{i\,=\,1}^{n}\boldsymbol{F}_{i}\;.$

Newton'sches Axiom, Zweites

Das zweite Newton'sche Axiom wird auch Bewegungsgesetz genannt: Die &#196nderung des Impulses ist der Einwirkung der bewegenden Kraft proportional und geschieht in Richtung der Kraft $\boldsymbol{F}=\dot{\boldsymbol{p}}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(m_{\text{t}}\boldsymbol{v}\right)\;.$

Normaleneinheitsvektor

Der Normaleneinheitsvektor ist definiert als $ \hat{\boldsymbol{n}}=\frac{ {\frac{\mathrm{d}\hat{\boldsymbol{t}}(s)}{\mathrm{d}s}}}{{ \left|\frac{\mathrm{d}\hat{\boldsymbol{t}}(s)}{\mathrm{d}s}\right|}}={ \frac{1}{\kappa}}{ \frac{\mathrm{d}\hat{\boldsymbol{t}}(s)}{\mathrm{d}s}}=\hat{\boldsymbol{n}}(s)\;.$

Potenzreihendarstellung der Exponentialfunktion

$$\mathrm{e}^{x}=\sum_{n=0}^{\infty}\,\frac{x^{n}}{n!}\;.$$

Potenzreihendarstellung des Kosinus

$$\cos(\alpha)=1-\frac{\alpha^{2}}{2!}+\frac{\alpha^{4}}{4!}-\frac{\alpha^{6}}{6!}+\ldots=\sum_{n=0}^{\infty}\,(-1)^{n}\frac{\alpha^{2n}}{(2n)!}\;.$$

Potenzreihendarstellung des Sinus

$$\sin(\alpha)=\alpha-\frac{1}{3!}\,\alpha^{3}+\frac{1}{5!}\,\alpha^{5}+\ldots=\sum_{n=0}^{\infty}\,(-1)^{n}\,\frac{\alpha^{2n+1}}{(2n+1)!}\;.$$

Reduzierte Masse

$\frac{1}{\mu}=\frac{1}{m_{1}}+\frac{1}{m_{2}}\Leftrightarrow\mu=\frac{m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}\;.$

Reibung, Newton'sche

$\alpha(v) =\alpha\cdot v $, $\boldsymbol{F}_{\text{R}}=-\alpha(v)\boldsymbol{v}\;.$

Reibung, Stokes'sche

$\alpha(v) =\alpha=\mathrm{const} $, $\boldsymbol{F}_{\text{R}}=-\alpha(v)\boldsymbol{v}\;.$

Rotation eines Vektorfeldes

$\boldsymbol{a}(\boldsymbol{r})\equiv[a_{1}(\boldsymbol{r}),a_{2}(\boldsymbol{r}),a_{3}(\boldsymbol{r})]$ sei ein stetig differenzierbares Vektorfeld. Dann hei&#252t $\mathop{rot}\boldsymbol{a}=\left(\frac{\partial a_{3}}{\partial x_{2}}-\frac{\partial a_{2}}{\partial x_{3}}\right)\boldsymbol{e}_{1}+\left(\frac{\partial a_{1}}{\partial x_{3}}-\frac{\partial a_{3}}{\partial x_{1}}\right)\boldsymbol{e}_{2}+\left(\frac{\partial a_{2}}{\partial x_{1}}-\frac{\partial a_{1}}{\partial x_{2}}\right)\boldsymbol{e}_{3}$ die Rotation von $\boldsymbol{a}(\boldsymbol{r})$.

Satz von L'Hospital

Die Funktion $\begin{aligned} f(x)=\frac{\varphi(x)}{\psi(x)}\end{aligned}$ liefere f&#252r $x\to a$ einen unbestimmten Ausdruck der Art 0/0 oder $\pm\infty/\infty$. Dann gilt $\lim_{x\,\to\,a}\,f(x)=\lim_{x\,\to\,a}\,\frac{\varphi^{\prime}(x)}{\psi^{\prime}(x)}\;.$ Ist die rechte Seite erneut so nicht definiert, so ersetzt man auf der rechten Seite die ersten durch die zweiten Ableitungen. Wenn der Quotient auch dann unbestimmt bleibt, so nimmt man die dritten Ableitungen, und so weiter.

Schwerpunktsatz

Der Schwerpunkt eines Massenpunktsystems bewegt sich so, als ob die gesamte Masse in ihm vereinigt ist und alle &#228u&#223eren Kr&#228fte allein auf ihn wirken. Die inneren Kr&#228fte haben auf die Bewegung des Massenzentrums keinen Einfluss. Der Schwerpunktsatz liefert nachtr&#228glich die Rechtfertigung f&#252r die Einf&#252hrung des Massenpunktbegriffs. So weit man sich nicht f&#252r Details der Bewegungen der Einzelteilchen interessiert, kann man die Gesamtbewegung tats&#228chlich durch die eines Massenpunktes, n&#228mlich des Schwerpunktes, ersetzen

Skalar

Gr&#246&#223e, die nach Festlegung von Dimension und Ma&#223einheit vollst&#228ndig durch Angabe einer Ma&#223zahl charakterisiert ist (z. B. Masse, Volumen, Temperatur, Druck, Wellenl&#228nge,...)

Skalarfeld

Ein skalares Feld ist die Menge von Zahlenwerten $\varphi(\boldsymbol{r})=\varphi(x_{1},x_{2},x_{3})$ einer physikalischen Gr&#246&#223e $\varphi$, die jedem Punkt $\boldsymbol{r}=(x_{1},x_{2},x_{3})$ eines interessierenden Raumbereichs zugeordnet sind: $M\subset{I\!R}_{3}\,\stackrel{\varphi}{\rightarrow}\,N\subset{I\!R}_{1}\;.$ Es handelt sich also um eine skalarwertige Funktion dreier unabh&#228ngiger Variablen. Der Definitionsbereich $M$ ist durch die physikalische Problemstellung festgelegt.

Skalarprodukt zweier Vektoren a und b in Komponentenschreibweise

$\begin{aligned} \boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=\sum_{i=1}^3a_ib_i \end{aligned}$

Steiner'scher Satz

Das Tr&#228gheitsmoment $J$ bez&#252glich einer beliebigen Achse setzt sich additiv zusammen aus dem Tr&#228gheitsmoment $J_{\text{s}}$ bez&#252glich der zu ihr parallelen Achse durch den Schwerpunkt plus dem Tr&#228gheitsmoment der im Schwerpunkt vereinigten Gesamtmasse $M$ bez&#252glich der urspr&#252nglichen Achse. $J=J_{\text{s}}+M\,S^{2}$ ($S=$ senkrechter Abstand des Schwerpunktes von der Drehachse $\overset{\wedge}{=}$ Abstand der beiden Achsen).

Tangenteneinheitsvektor

Der Tangenteneinheitsvektor ergibt sich als $\hat{\boldsymbol{t}}=\frac{ {\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{r}}{\mathrm{d}t}}}{{ \left|\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{r}}{\mathrm{d}t}\right|}}=\frac{ {\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{r}}{\mathrm{d}t}}}{{ \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}}}\;.$

Taylor-Entwicklung

$$\begin{aligned} f(x) =f(x_{0})+\frac{f^{\prime}(x_{0})}{1!}(x-x_{0})+\frac{f^{\prime\prime}(x_{0})}{2!}\left(x-x_{0}\right)^{2}+\ldots\\ =\sum_{n=0}^{\infty}\,\frac{f^{(n)}(x_{0})}{n!}\left(x-x_{0}\right)^{n}\end{aligned}$$

Trägheitsmoment

$ J=\sum\limits_{i}m_{i}\left(x_{i}^{2}+y_{i}^{2}\right)$ als Summe der Produkte der Massen mit dem Quadrat des Abstandes von der Drehachse. $J$ ist eine zeitlich konstante skalare Gr&#246&#252e, die von der Lage und der Richtung der Achse im starren K&#246rper abh&#228ngt.

Vektor

Unter einem Vektor versteht man eine Gr&#246&#223e, die zus&#228tzlich die Angabe einer Richtung ben&#246tigt (z. B. Verschiebung, Geschwindigkeit, Beschleunigung, Impuls, Kraft, ...)

Vektorfeld

Das Vektorfeld ist die Menge von durch Richtung und Betrag gekennzeichneten Vektoren, $\boldsymbol{a}(\boldsymbol{r})=\left(a_{1}\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right),\,a_{2}\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right),\,a_{3}\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right)\right)\;,$ die jedem Punkt $\boldsymbol{r}=(x_{1},x_{2},x_{3})$ eines interessierenden Raumbereichs zugeordnet sind: $M\subset{I\!R}_{3}\rightarrow N\subset{I\!R}_{3}\;.$ Es handelt sich also um eine vektorwertige Funktion dreier unabh&#228ngiger Variablen.

Zentralkräfte

Kr&#228fte der Gestalt $\boldsymbol{F}(\boldsymbol{r})=f\left(\boldsymbol{r},\dot{\boldsymbol{r}},t\right)\cdot\boldsymbol{r}=(f\cdot r)\,\boldsymbol{e}_{\boldsymbol{r}}$ sind in der Natur sehr h&#228ufig auftretende Krafttypen. Die Kraft wirkt radial von einem Zentrum bei $\boldsymbol{r}=\boldsymbol{0}$ nach au&#223en $(f> 0)$ oder auf das Zentrum hin $(f<0)$.

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