Glossar: Das kosmologische Standardmodell

Cepheiden, benannt nach dem pulsationsver&#228nderlichen Stern $\delta$ Cephei, sind Sterne in sp&#228ten Entwicklungsstadien, die periodisch ver&#228nderlich sind. Die zugrunde liegende Instabilit&#228t wird durch eine Temperaturabh&#228ngigkeit der photosph&#228rischen Opazit&#228t dieser Sterne angetrieben, die durch den &#220bergang zwischen ein- und zweifach ionisiertem Helium verursacht wird. Die kosmologisch wichtige Eigenschaft der Cepheiden ist, dass die Periode ihrer Ver&#228nderlichkeit und ihre Leuchtkraft miteinander verbunden sind.

Viele Kosmologen bevorzugen die Vorstellung, dass die kosmologische Konstante eigentlich nicht konstant ist, sondern dass die beschleunigte kosmische Expansion, die durch die kosmologische Konstante erkl&#228rt werden k&#246nnte durch eine Substanz mit negativem Druck verursacht w&#252rde. Diese hypothetische Substanz wird als dunkle Energie bezeichnet. Sie muss durch eine Zustandsgleichung gekennzeichnet sein, derzufolge der Druck der dunklen Energie gen&#252gend negativ werden kann. Eine solche Erkl&#228rung durch ein dynamisches Feld h&#228tte den Vorzug, dass damit zumindest prinzipiell erkl&#228rbar w&#252rde, wie sich die Dichten der (dunklen) Materie und der dunklen Energie aufeinander einstellen k&#246nnten.

Die Friedmann-Gleichungen $$\left(\frac{\dot a}{a}\right)^2 = \frac{8\pi G}{3}\rho-\frac{Kc^2}{a^2}+\frac{\Lambda c^2}{3}\nonumber$$ $$\frac{\ddot{a}}{a} = -\frac{4\pi G}{3}\left(\rho+\frac{3P}{c^2}\right)+\frac{\Lambda c^2}{3}\;, $$ folgen aus den Einstein'schen Feldgleichungen, wenn man eine Robertson-Walker-Metrik annimmt, die r&#228umlich isotrop und homogen ist. Sie bestehen aus zwei gew&#246hnlichen Differentialgleichungen in der Zeit f&#252r den Skalenfaktor $a$. $\Lambda$ ist die kosmologische Konstante, $G$ ist die Gravitationskonstante, $K$ die Kr&#252mmung.

Die Verteilung der dunklen Materie im Universum kann so aufgefasst werden, als w&#228re sie aus einzelnen sogenannten Halos aufgebaut. Damit sind ann&#228hernd kugelf&#246rmige, &#252berdichte Ansammlungen aus dunkler Materie gemeint, die in ihren Zentren hochgradig nichtlineare Dichten erreichen k&#246nnen.

Die Hubble-Funktion ist als die relative kosmische Expansionsrate definiert, $$ H(t) := \frac{\dot a}{a}\;,\quad$$ $$ H_0 := H(t_0)\;.$$Ihr Wert $H(t_0)$ zum heutigen Zeitpunkt $t_0$ wird Hubble-Konstante $H_0$ genannt. Ihr Wert ist heute recht genau bekannt und betr&#228gt ungef&#228hr $$ H_0 \approx 70\,\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{s\,Mpc}} = 2.27\cdot10^{-18}\,\mathrm{s^{-1}}\;.$$

Die kritische Dichte ist durch $$ \rho_\mathrm{cr}(t) := \frac{3H^2(t)}{8\pi G}\;,\quad $$ $$ \rho_\mathrm{cr,0} := \rho_\mathrm{cr}(t_0)=\frac{3H_0^2}{8\pi G}$$ definiert. Der heutige Wert der kritischen Dichte ist $$ \rho_\mathrm{cr,0} = 9.20\cdot10^{-30}\,\mathrm{g\,cm^{-3}} = 5.50\cdot10^{-6}\,m_\mathrm{p}\,\mathrm{cm^{-3}} = 5.18\,c^{-2}\,\mathrm{keV}\,\mathrm{cm}^{-3}\;,$$ was also einer Protonenmasse $m_\mathrm{p}$ in knapp $2\cdot10^5\,\mathrm{cm^3}$ des kosmischen Volumens entspricht. Diese ungeheuer niedrige Dichte entspricht etwa einer Galaxienmasse pro $\mathrm{Mpc^3}$.

Beim kosmischen Mikrowellenhintergrund handelt es sich um W&#228rmestrahlung, die freigesetzt wurde, als das Universum etwa 400 000 Jahre alt war. Eines der st&#228rksten Argumente daf&#252r, dass unser Universum tats&#228chlich in bester N&#228herung isotrop erscheint, liefern die winzigen Temperaturschwankungen im kosmischen Mikrowellenhintergrund, deren relative Amplitude bei etwa $10^{-5}$ liegt. Der Mikrowellenhintergrund liefert damit ein erstaunlich isotropes Signal aus der Fr&#252hzeit des Universums.

Aus den drei Naturkonstanten $G$, $\hbar$ und $c$ ergeben sich nat&#252rliche Einheiten: $m_\mathrm{Pl}$ f&#252r die Masse, $t_\mathrm{Pl}$ f&#252r die Zeit und $\lambda_\mathrm{Pl}$ f&#252r die L&#228nge. Sie werden als Planck-Einheiten oder Planck-Skalen bezeichnet und sind durch $$ m_\mathrm{Pl} = \sqrt{\frac{\hbar c}{G}}\;,\quad t_\mathrm{Pl} = \sqrt{\frac{\hbar G}{c^5}}\;,\quad \lambda_\mathrm{Pl} = \sqrt{\frac{\hbar G}{c^3}}$$ gegeben.

Die Robertson-Walker-Metrik ist die Metrik eines homogenen und isotropen Universums: $$ \mathrm{d} s^2=-c^2\mathrm{d}t^2+a^2(t)\left[ \mathrm{d} w^2+f_K^2(w)\mathrm{d}\Omega^2 \right],$$ wobei $f_K(w)$ durch $$ f_K(w)=\left\{\begin{array}{ll} K^{-1/2}\sin\left(K^{1/2}w\right) & (K>0) \\ w & (K=0) \\ |K|^{-1/2}\sinh\left(|K|^{1/2}w\right) & (K<0) \\ \end{array}\right.\;$$ gegeben und $a(t)$ eine rein zeitabh&#228ngige sog. Skalenfunktion ist.

Der Ionisationsgrad $x$ des Wasserstoffs wird in Abh&#228ngigkeit von der Temperatur $T$ und der Baryonendichte $n_\mathrm{B}$ durch die Saha-Gleichung $$\frac{g_\mathrm{e}g_\mathrm{p}}{g_\mathrm{H}}\, m_\mathrm{e}^{3/2}\, \left(\frac{k_\mathrm{B}T}{2\pi\hbar^2}\right)^{3/2}\frac{\mathrm{e}^{-\beta\chi}}{n_\mathrm{B}} = \frac{x^2}{1-x}$$ beschrieben. Darin ist $n_\mathrm{B}$ die Baryonendichte, $m$ bezeichnet die Massen der Reaktionspartner, $g$ ihre statistischen Gewichte, und die Subskripte e, p und H bezeichnen Elektronen, Protonen und Wasserstoffatome. Die Ionisationsenergie des Wasserstoffs ist $\chi$ und $\beta := (k_\mathrm{B}T)^{-1}$.

Die Inflation beschreibt einen physikalischen Prozess, der sowohl das Horizont- als auch das Flachheitsproblem der Urknalltheorie zu beheben vermag und zugleich eine nat&#252rliche Erkl&#228rung f&#252r den Ursprung der Strukturen im Universum bietet.

Der Verlauf der Rekombination wird dadurch verz&#246gert, dass die direkte Rekombination durch Lyman-$\alpha$-Photonen nicht effektiv ist. Deswegen ist ein vergleichsweise langsamer Zwei-Photonen-&#220bergang in den Grundzustand notwendig. Der wirkliche Rekombinationsverlauf ist daher etwas langsamer als derjenige, den die Saha-Gleichung vorhersagt.