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Begriff Erklärung

D'Alembert'sche Schwingungsgleichung

Mit den Parametern $\xi = x + v t$ und $\eta = x - v t$ nimmt die Schwingungsgleichung die einfache Form \begin{equation} \frac{\partial^2 q}{\partial \xi \partial \eta} = 0 \end{equation} an.

Darstellung

Die Wellenfunktion und die Dynamik eines Systems k&#246nnen in verschiedenen R&#228umen (z.B. Impuls-, Orts- oder Energieraum) beschrieben werden. Diese verschiedenen Formalismen bezeichnen wir als Darstellung.

Darstellungsmatrix einer linearen Abbildung

Man nennt die Matrix $$~_C \boldsymbol{M}(\varphi)_B := \left( (~_C\varphi(\boldsymbol{b}_q), \dots , ~_C\varphi(\boldsymbol{b}_n) \right)$$ die Darstellungsmatrix von $\varphi$ bezüglich der Basen $B$ und $C$. Die $i$-te Spalte von $~_C\boldsymbol{M}(\varphi)_B$ ist der Koordinatenvektor bezüglich $C$ des Bildes des $i$-ten Basisvektors aus $B$.

de-Broglie-Beziehung

Zusammenhang zwischen dem Impuls eines Teilchens und der Wellenl&#228nge, die es in bestimmten Experimenten zeigt.

De-Broglie-Wellenlänge

Nicht nur masselose Teilchen wie Photonen besitzen laut dem Welle-Teilchen-Dualismus sowohl Teilchen- als auch Wellen-Eigenschaften, sondern auch massebehaftete Teilchen wie Elektronen oder Atomkerne. Ihre Wellenl&#228nge ist die De-Broglie-Wellenl&#228nge $\lambda=\frac{h}{p}$\,.

Definitheit Vektoralgebra

Für einen Vektoren $\boldsymbol{a}$ bedeutet Definitheit $ \boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{a} ~>~ 0 \qquad \forall \boldsymbol{a}\neq\boldsymbol{o} $

Definition Delta-Distribution

$$\begin{aligned} \int\limits _{V}\mathrm{d}^{3}r\,\delta(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}_{0}) =\begin{cases}1\;,\in V$}}\\ 0}\;,\end{cases}\end{aligned}$$ $$\begin{aligned} \delta(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}_{0})& =0\quad\forall\boldsymbol{r}\neq\boldsymbol{r}_{0}\;.\end{aligned}$$

Definition der Energie

Energie $E$ ist die F&#228higkeit, Arbeit zu verrichten. Ihre Einheit ist, genau wie die der Arbeit, Joule.

Definition der euler'schen Zahl

$$a_{n}=\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}\longrightarrow\mathrm{e}=2{,}71828\ldots {\textit{Euler'sche Zahl}}\;.$$

Definition des Magnetfeldes

$$\begin{aligned} \boldsymbol{H}=\frac{1}{\mu _{0}}\boldsymbol{B}-\boldsymbol{M}\quad{(\textbf{Magnetfeld})\;.}\end{aligned}$$

Definitionsmenge

Eine Abbildung $f$ aus einer Menge $A$ in eine Menge $B$ ist eine Vorschrift, die jedem Element $a$ aus $A$ genau ein Element $b = f (a)$ aus $f (A) \subseteq B$ zuordnet. Dabei nennt man $A = D(f)$ die Definitionsmenge, $f (A)$ ist das Bild, und $B = W(f)$ heißt die Wertemenge.

Determinante

Gegeben sei eine Matrix $A=(a_{ij})\in\mathbb{K}^{n\times n}$.$$ $$ Für $n=1$, d.h. $A=(a_{11})$, definieren wir $$\det \boldsymbol{A} := a_{11}$$ Für $n\geq 2$ definieren wir \begin{eqnarray} \det\boldsymbol{A} &:=& \sum_{i=1}^n (-1)^{i+1} a_{i1} \det(\boldsymbol{A}_{i1}) \\ &=& a_{11} \det(\boldsymbol{A}_{11}) -+ \dots (-1)^{n+1} a_{n1} \det(\boldsymbol{A}_{n1}) \end{eqnarray}

Determinante einer Matrix

Sei $A=\left(a_{ij}\right)=\begin{pmatrix}a_{11} {\ldots} a_{1n}\\ \vdots \vdots\\ a_{n1} {\ldots} a_{nn}\\ \end{pmatrix}$ eine $(n\times n)$-Matrix. Dann definiert man als Determinante von $A$ die folgende Zahl: $\det A=\left|\begin{matrix}a_{11} {\ldots} a_{1n}\\ \vdots \vdots\\ a_{n1} {\ldots} a_{nn}\end{matrix}\right|=\sum\limits_{P}(\mathop{\text{sign}}P)\,a_{1p(1)}\cdot a_{2p(2)}\cdot{\ldots}\cdot a_{np(n)}\;.$

Deuteriumfusion

Die Deuteriumfusion und damit alle weiteren Fusionsreaktionen finden statt, w&#228hrend das Universum zwischen f&#252nf und sechs Minuten alt ist. Die entsprechende thermische Energieskala liegt bei etwa 68 keV. Ebenso wie die Rekombinationsreaktion des Wasserstoffs werden also die primordialen Fusionsreaktionen durch die enorme &#220berzahl der Photonen gegen&#252ber den Baryonen erheblich verz&#246gert.

Diagonalform des Trägheitstensors

Da der Trägheitstensor als reellwertige, symmetrische Matrix zweiter Ordnung dargestellt werden kann, hat der Trägheitstensor stets drei reelle Eigenwerte, die Hauptträgheitsmomente. Es gibt ein Koordinatensystem, in dem der Trägheitstensor diagonal ist. Man nennt diejenige Transformation, die auf das Diagonalsystem führt Hauptachsentransformation.

Diagonalisierbarkeit

Eine Matrix $\boldsymbol{A}\in\mathbb{K}^{n\times n}$ ist genau dann diagonalisierbar, wenn es eine Basis $B$ des $\mathbb{K}^n$ aus Eigenvektoren $\boldsymbol{A}$ gibt. Ist $B=\left( \boldsymbol{b}_1, \dots, \boldsymbol{b}_n \right)$ eine geordnete Basis des $\mathbb{K}^n$ aus Eigenvektoren der Matrix $\boldsymbol{A}$, so ist die Matrix $$\boldsymbol{D} = \boldsymbol{S}^{-1}\boldsymbol{A}\boldsymbol{S}$$ mit $\boldsymbol{S} = \left((\boldsymbol{b}_1, \dots ,\boldsymbol{b}_n) \right)$ eine Diagonalmatrix. Reelle symmetrische und hermitesche Matrizen sind stets diagonalisierbar. Die sie auf Diagonalgestalt transformierenden Matrizen können dabei orthogonal bzw. unitär gewählt werden.

Dichteoperator

Ausgehend von einer vollst&#228ndigen Orthonormalbasis $\left\vert{k}\right\rangle$ eines selbstadjungierten Operators kann durch $$ \hat\rho = \sum_kp_k\left\vert{k}\right\rangle\langle k\vert \label{eq:td05-6} $$ ein Dichteoperator konstruiert werden, in dem die $p_k$ die Wahrscheinlichkeit angeben, den Zustand $\left\vert{k}\right\rangle$ besetzt zu finden.

Dielektrische Funktion

Die komplexe dielektrische Funktion $\epsilon(\omega) = \epsilon' + \mathrm{i}\,\epsilon''$ gibt den Frequenzverlauf von Brechungsindex und Absportionsindex an. Es gilt: \begin{eqnarray} \epsilon' &=^{2} - \kappa^{2} \\ \epsilon'' &=& -2\,n'\,\kappa \end{eqnarray} wobei $n'$ der Realteil des Brechungsindex $n$ und $\kappa = \frac{\lambda}{4\,\pi}\,\alpha$ proportional zum Absorbtionskoeffizienten ist.

Dielektrische Polarisation

Die dielektrische Polarisation $\boldsymbol{P}=N\cdot q\cdot\boldsymbol{d}=N\cdot\alpha\cdot\boldsymbol{E}_{\text{Diel}}$ ist gleich der Summe aller induzierten Dipolmomente pro Volumeneinheit und ist proportional zur Feldstärke $\boldsymbol{E}_{\text{Diel}}$. Der materialabhängige Faktor $\alpha$ heißt Polarisierbarkeit.

Dielektrische Verschiebung

$$\begin{aligned} \boldsymbol{D}(\boldsymbol{r})=\varepsilon _{0}\boldsymbol{E}(\boldsymbol{r})+\boldsymbol{P}(\boldsymbol{r})\;.\end{aligned}$$

Differential

Man nennt die „unendlich kleine Änderung“ $dx$ das Differential von $x$. Für das Differential des Funktionswertes $f(x)$ gilt somit $ df(x) := f(x+dx)-f(x) = f'(x) dx $

Differential, totales

Das totale Differential einer Funktion gibt die kleine Änderung ihres Funktionswertes bei kleinen Änderungen aller ihrer Argumente an.

Differentialgleichung

Gleichungen, welche Funktionen mit ihren Ableitugen verknüpfen, heißen Differentialgleichungen.

Differentialgleichung, linear

Mithilfe der Fourier-Transformation lässt sich eine lineare Differentialgleichung für eine Funktion $f$ in eine algebraische Gleichung für ihre Fouriertransformierte $\tilde{f}$ überführen.

Differentialgleichung, linear homogen

Die Lösungen einer homogenen linearen Differentialgleichung bilden einen linearen Raum.

Differentialgleichung, linear konstant

Lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten werden mit einem Exponentialansatz gelöst.

Differentialgleichung, linear partiell

Die Lösungen homogener linearer partieller Differentialgleichungen bilden einen linearen Raum.

Differentialgleichung, partiell inhomogen

Eine inhomogene lineare partielle Differentialgleichung ist bis auf Quadratur gelöst, wenn ihre Green’sche Funktion bekannt ist.

Differenzialgleichungssystem

Unter einem Differenzialgleichungssystem $n$-ter Ordnung versteht man mit $m$ Gleichungen auf einem Intervall $I\subseteq \mathbb{R}$ ($m,n\in\mathbb{N}$) versteht man eine Gleichung der Form $$\boldsymbol{y}^{(n)} (x) = \boldsymbol{F}\left( x, \boldsymbol{y}(x), \boldsymbol{y}'(x), \dots, \boldsymbol{y}^{(n-1)}(x) \right)$$ für alle $x\in I$. Hierbei ist $\boldsymbol{F}: \boldsymbol{I} \times \mathbb{C}^{m\times n} \rightarrow \mathbb{C}^{m}$ gegeben und die Funktion $\boldsymbol{y} : \boldsymbol{I} \rightarrow \mathbb{C}$ gesucht.

Differenzialoperator, selbstadjungiert

Ein Differentialoperator $\mathcal{D}$ heißt bezüglich eines Skalarprodukts selbstadjungiert, wenn gilt $$\left\langle \mathcal{D} g\,,\,h\right\rangle = \left\langle g\,,\, \mathcal{D} h\right\rangle$$

Differenziationsregeln - Kettenregel

$$y=f\left(g(x)\right)\Rightarrow y^{\prime}=\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}g}\cdot g^{\prime}(x)\;$$

Differenziationsregeln - Linearkombinationen

Die Ableitung ist eine lineare Abbildung: $$y=c\cdot f(x)\Rightarrow y^{\prime}=c\cdot f^{\prime}(x)\;,$$ $$y=f(x)+g(x)\Rightarrow y^{\prime}=f^{\prime}(x)+g^{\prime}(x)\;$$

Differenziationsregeln - Produktregel

$$y=f(x)\cdot g(x)\Rightarrow y^{\prime}=f^{\prime}(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g^{\prime}(x)\;$$

Differenziationsregeln - Quotientenregel

$$y=\frac{f(x)}{g(x)}\;; g(x)\neq 0\Rightarrow y^{\prime}=\frac{f^{\prime}(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g^{\prime}(x)}{g^{2}(x)}\;$$

Diffusion

Treten Konzentrationsgradienten in einem Gas auf, so beobachtet man Diffusionsprozesse, die diese Gradienten verringern. Die mittlere Diffusions-Teilchenstromdichte $\boldsymbol{j}=-D\mathop{\mathbf{grad}}n$ ist proportional zum Dichtegradienten. Die Diffusionskonstante $D$ hängt ab von der Art der Gasmoleküle. Diffusion führt zu einem Massetransport von Orten größerer zu solchen kleinerer Teilchendichte $n$.

Dimension eines Vektorraumes

Die Dimension eines Vektorraumes ist gleich der maximalen Anzahl linear unabh&#228ngiger Vektoren.

Diode und Transistor, Funktionsweise

In Dioden und Transistoren findet der p-n-&#220bergang Anwendung, was durch einen Zusammenschluss eines p- und eines n-Halbleiters zur Elektron-Loch-Rekombination und zu einer daraus resultierenden Verarmungszone f&#252hrt. Dabei lassen sich je nach Richtung einer angelegten Spannung ein Durchlass- und ein Sperrfall identifizieren.

Dipolmoment einer Ladungsverteilung

$$\begin{aligned} & \; \textbf{Dipolmoment:}& \; & \; \boldsymbol{p}=\int\mathrm{d}^{3}r^{{\prime}}\boldsymbol{r}^{{\prime}}\varrho(\boldsymbol{r}^{{\prime}})\;\end{aligned}$$

Dirichlet-Randbedingungen

$$\begin{aligned} \varphi{\text{ auf $\partial V$ gegeben!}}\end{aligned}$$

Dispersion

Der Brechungsindex eines Mediums h&#228ngt von der Farbe des Lichts bzw. dessen Wellenl&#228nge ab. Beispiele: Prisma \& Regenbogen.

Dispersion

Als Disperion bezeichnet man die Abhängigkeit eines Brechungsindizes von der Wellenlänge. Unterschiedliche Farben des Lichts werden entsprechend unterschiedlich stark an einer Grenzfläche gebrochen und besitzen unterschiedliche Geschwindigkeiten in einem Medium.

Dispersion

Materiewellen zeigen Dispersion, d.h. ihre Phasengeschwindigkeit hängt ab von der Frequenz $\omega$ ab. Sie ist größer als die Lichtgeschwindigkeit $c$.

Dispersionsrelation

Die Phononenfrequenz $\Omega_K$ ist im Allgemeinen nicht linear vom Wellenvektor $\mathbf{K}$ abhängig. Die Abhängigkeit $\Omega(\mathbf{K})$ heißt Dispersionsrelation. Sie hängt von den Rückstellkonstanten $C_n$ der Kristallatome ab.

Distributivität Vektoralgebra

Für drei Vektoren $\boldsymbol{a}^{(1)}$, $\boldsymbol{a}^{(2)}$ und $\boldsymbol{b}$ bedeutet Distributivität $ \left(\boldsymbol{a}^{(1)}+\boldsymbol{a}^{(2)})\cdot\boldsymbol{b}~=~\boldsymbol{a}^{(1)}\cdot\boldsymbol{b} + \boldsymbol{a}^{(2)}\cdot\boldsymbol{b} $

Divergenz

Die Divergenz eines Vektors $\boldsymbol{a}$ ist durch den Nabla-Operator ($\nabla$) definiert als $\text{div}(\boldsymbol{a})~=~\nabla \cdot \boldsymbol{a}$. Die Divergenz einer Rotation ist immer identisch null.

Divergenz

Unendlichkeiten in der störungstheoretischen Berechnung von Amplituden
(S-Matrixelementen), verursacht durch unbekannte Physik bei kleinsten Distanzen (höchsten Energien). Renormierungsprogramm verschiebt diese unbekannte Struktur in Massen und Kopplungskonstanten, die experimentell bestimmt werden müssen
(Kap. 6).

Divergenz

Die Divergenz eines Vektorfeldes $\boldsymbol{j}$ ist ein Maß für seine Quellen/Senken. Sie ist definiert als $$\text{div} \boldsymbol{j} := \boldsymbol{\nabla}\circ \boldsymbol{j}$$

Divergenz eines Gradientenfeldes

$\mathop{div}\mathop{grad}\varphi=\sum\limits_{j=1}^{3}\frac{\partial^{2}\varphi}{\partial x_{j}^{2}}\equiv\Delta\varphi\;,$ wobei $\Delta\equiv\frac{\partial^{2}}{\partial x_{1}^{2}}+\frac{\partial^{2}}{\partial x_{2}^{2}}+\frac{\partial^{2}}{\partial x_{3}^{2}}$ der Laplace-Operator genannt wird.

Divergenz eines Vektorfeldes

$\boldsymbol{a}\left(\boldsymbol{r}\right)\equiv\left(a_{1}(\boldsymbol{r}),a_{2}(\boldsymbol{r}),a_{3}(\boldsymbol{r})\right)$ sei ein stetig differenzierbares Vektorfeld. Dann nennt man $\sum\limits_{j=1}^{3}\frac{\partial a_{j}}{\partial x_{j}}\equiv\mathop{div}\boldsymbol{a}(\boldsymbol{r})\equiv\nabla\boldsymbol{\cdot}{}\boldsymbol{a}(\boldsymbol{r})$ die Divergenz von $\boldsymbol{a}(\boldsymbol{r})$.

Divergenz in Kugelkoordinaten

Für einen Vektor $\mathfrak{A}$ mit der Darstellung $(A_r, A_\vartheta, A_\varphi)$ in Kugelkoordinaten gilt \begin{equation} \mathrm{div} \mathfrak{A} = \frac{1}{r^2} \frac{\partial (r^2 A_r)}{\partial r} + \frac{1}{r \sin \vartheta} \frac{\partial (\sin \vartheta A_\vartheta)}{\partial \vartheta} + \frac{1}{r \sin \vartheta} \frac{\partial A_\varphi}{\partial \varphi}. \end{equation}

Doppelbrechung

Bei der Doppelbrechung unterscheiden sich die Brechungsindizes f&#252r unterschiedliche Polarisationsrichtungen und unpolarisierte Lichtstrahlen werden in einen außerordentlichen und einen ordentlichen Strahl aufgeteilt. Der ordentliche Strahl folgt dem Snellius'schen Brechungsgesetz, der außerordentliche jedoch nicht: Seine Brechungsrichtung h&#228ngt von der optischen Achse des Kristalls ab.

Doppelbrechung

Doppelbrechendes Material ist anisotrop und besitzt dadurch zwei verschiedene Brechungsindizes, den ordentlichen $n_\mathrm{o}$ und den außerordentlichen $n_\mathrm{ao}$. Welchen der beiden das einfallende Licht „sieht“, hängt von dessen Polarisation ab, und auch von der Richtung, wie es auf den Kristall trifft.

Doppelspalt

Beim Doppelspalt interferieren Elementarwellen aus den Spalt&#246ffnungen miteinander. Auf einem entfernten Schirm l&#228sst sich ein Beugungsmuster betrachten, das deutliche Intensit&#228tsmaxima und -minima aufweist. Kenngr&#246&#223e ist der Spaltabstand $g$. Konstruktive Interferenz, $n$-tes Maximum: $g\cdot\sin\alpha = n\lambda\,.$ Destruktive Interferenz, $n$-tes Minimum: $g\cdot\sin\alpha = \left(2n + 1\right))\frac{\lambda}{2}\,.$ Das Interferenzmuster wird von dem Beugungsmuster der einzelnen Spalte &#252berlagert bzw. eingeh&#252llt.

Doppelspalt

Konstruktive Interferenz tritt auf, wenn die Wellen gleichphasig schwingen, also einen Gangunterschied $\Delta s$ von null oder ganzzahligen Vielfachen ($n\lambda$) der Wellenlänge besitzen. Destruktive Interferenz hingegen entsteht bei gegenphasiger Schwingung, also einem Gangunterschied $\Delta s$ von ungeraden ganzzahligen Vielfachen von $\frac{\lambda}{2}$.

Doppler-Effekt

Bewegen sich Sender und/oder Empf&#228nger beim Aussenden bzw. Empfangen von Schallwellen, so unterscheidet sich die empfangene Frequenz von der ausgesendeten. Sie wird h&#246her, falls sich Sender und Empf&#228nger ann&#228hern und kleiner, wenn sie sich voneinander entfernen. Daher gilt im Folgenden jeweils das obere Vorzeichen bei Ann&#228herung und das untere bei Entfernung: Sender bewegt, Empf&#228nger ruht: $$f_E = \frac{f_S}{1 \mp \frac{v_S}{c_S}}$$ Empf&#228nger bewegt, Sender ruht: $$f_E = f_S\cdot\left(1 \pm \frac{v_E}{c_S}\right)$$ Allgemeiner Fall (beide bewegt): $$f_E = f_S\cdot\frac{c_S\pm v_E}{c_S \mp v_S}$$

Drehimpuls

Der Drehimpuls $\vec L$ ist im ''Rotationsland'' das Analogon zum Impuls:$$ \vec L = \vec r \times \vec p = rp \sin(\alpha)\,.$$ Der Drehimpuls ist wie der Impuls oder die Energie eine Erhaltungsgr&#246&#223e: $$ \vec L = \text{const.}$$

Drehimpuls

Wenn der Impuls des Teilchens $\vec{p} = m\,\vec{v}$ ist, dann hat das Teilchen einen Drehimpuls $\vec{L}$ bezüglich des Ursprungs, den man als das Vektorprodukt von $\vec{r}$ und $\vec{p}$ definiert: \begin{equation} \vec{L} = \vec{r} \times \vec{p} \end{equation}

Drehimpuls

$\boldsymbol{L}=m\,\left(\boldsymbol{r}\times\dot{\boldsymbol{r}}\right)=\left(\boldsymbol{r}\times\boldsymbol{p}\right)$

Drehimpuls (allgemein)

$L_{k}=\sum_{l}\Theta_{kl}\omega_{l}$

Drehimpuls (Punktmassen)

$\boldsymbol{L}=\sum_{n=1}^{N}m_{n}\boldsymbol{r}_{n}\times\dot{\boldsymbol{r}}_{n} = \sum_{n=1}^{N}m_{n}\boldsymbol{r}_{n}\times(\boldsymbol{{\omega}}\times\boldsymbol{r_{n}})$

Drehimpuls und Drehmoment

Der Drehimpuls eines Massenpunktes $m$, bezogen auf den Nullpunkt des Koordinatensystems, ist $\boldsymbol{L}=(\boldsymbol{r}\times m\cdot\boldsymbol{v})=\boldsymbol{r}\times\boldsymbol{p}$. Das auf den Körper im Kraftfeld $\boldsymbol{F}(\boldsymbol{r})$ wirkende Drehmoment ist $\boldsymbol{D}=\boldsymbol{r}\times\boldsymbol{F}$. Es gilt: $\boldsymbol{D}=\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{L}}{\mathrm{d}t}$.

Drehimpuls, Bahn-

\begin{equation} \vec{L}_\mathrm{Bahn} = m\,\vec{r}_\mathrm{S} \times \vec{v}_\mathrm{S} \end{equation}

Drehimpuls, Bahn- und Eigendrehimpuls

\begin{equation} \vec{L} = \vec{L}_\mathrm{Bahn} + \vec{L}_\mathrm{Spin} \end{equation}

Drehimpuls, Erhaltungssatz

Wenn das gesamte auf ein System wirkende äußere Drehmoment bezüglich eines Punkts null ist, dann ist der Drehimpuls des Systems bezüglich dieses Punkts konstant.

Drehimpuls, rotierendes System

Für jedes System, das um eine Symmetrieachse rotiert, ist der Gesamtdrehimpuls (die Summe der Drehimpulse aller Einzelteilchen des Systems) parallel zur Winkelgeschwindigkeit; dann ist der Gesamtdrehimpuls gegeben durch: \begin{equation} \vec{L} = I\,\vec{\omega} \end{equation} Dabei bezeichnet $I$ das Trägheitsmoment der Anordnung.

Drehimpuls, z-Achse

Wenn der Drehimpuls eines punktförmigen Teilchens bezüglich des Ursprungs $\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p}$ ist, so ist der Drehimpuls bezüglich der $z$-Achse: \begin{equation} \vec{L}_z = \vec{r}_\bot \times \vec{p}_{xy} \end{equation} Dabei ist $\vec{p}_{xy}$ die Komponente des linearen Impulses $\vec{p}$ senkrecht zur $z$-Achse ($\vec{p}_{xy} = \vec{p} - p_z\,\hat{e}_z$).

Drehimpulserhaltung

Der Drehimpuls einer Punktmasse ist genau dann erhalten, wenn keine Drehmomente auf diese Punktmasse wirken.

Drehimpulserhaltung eines Systems von Punktmassen

Der Drehimpulssatz eines Systems von Punktmassen, zwischen denen nur Zentralkräfte wirken, lautet \begin{equation} \dot{ \boldsymbol{L}} = \sum_i \boldsymbol{M}^{(\mathrm{a})}_i = \boldsymbol{M}^{(\mathrm{a})}. \end{equation} Der Gesamtdrehimpuls dieses Systems wird lediglich von den äußeren Kräften bzw. äußeren Drehmomenten beeinflusst. Verschwindet das Gesamtdrehmoment der äußeren Kräfte, so ist der Gesamtdrehimpuls des Systems erhalten.

Drehimpulserhaltung für Zentralkräfte

Der Drehimpuls ist im Zentralkraftfeld erhalten. Insbesondere findet die Bewegung in einer Ebene statt: \begin{equation} \boldsymbol{L} = \mu \varrho^2 \dot \varphi\, \boldsymbol{\hat e}_3 \quad \Longrightarrow \quad \lvert \boldsymbol{L} \rvert = L = \mu \varrho^2 \lvert \dot \varphi \rvert.\end{equation}

Drehimpulssatz

In einem System, in dem keine &#228u&#223eren Drehmomente wirken, ist der Gesamtdrehimpuls erhalten.

Drehmatrizen, zeitabhängige Winkelgeschwindigkeit

Ist die Drehmatrix $ \boldsymbol{R}$ zwischen einem Inertialsystem $\mathcal S$ und einem beschleunigten System $\mathcal B$ zeitabhängig, so wird die momentane Winkelgeschwindigkeit $\boldsymbol{\omega}$ von $\mathcal B$ aus dem Produkt $\boldsymbol{B} = \boldsymbol{R}^\top \dot{ \boldsymbol{R}}$ bestimmt: \begin{equation} b_{ij} = r_{ki} \dot r_{kj} = \epsilon_{ijk} \omega_k, \quad \omega_l = \frac{1}{2} \epsilon_{ijl} b_{ij}. \end{equation} In einer infinitesimalen Zeit $ \mathrm{d} t$ dreht sich $\mathcal B$ dabei um einen Winkel $ \boldsymbol{d} \boldsymbol{\phi} = \boldsymbol{\omega}\, \mathrm{d} t $ um die Achse $\boldsymbol{\omega}$.

Drehmoment

$\boldsymbol{M}=(\boldsymbol{r}\times\boldsymbol{F})$ folgt aus der Ableitung des Drehimpulses: $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\boldsymbol{L}=\boldsymbol{M}\;.$ Diese Gleichung dr&#252ckt den Drehimpulssatz aus: Die zeitliche &#196nderung des Drehimpulses entspricht dem Drehmoment. Ist das Drehmoment identisch Null, so wird aus dem Drehimpulssatz der Drehimpulserhaltungssatz: $ \boldsymbol{M}=0\Leftrightarrow\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\boldsymbol{L}=0\;; \boldsymbol{L}=\mathrm{const}\;.$

Drehmoment

Das Drehmoment $\vec M$ ist im ''Rotationsland'' das Analogon zur Kraft: $$ \vec M = \vec r \times \vec F $$ $$M = rF\sin(\alpha)\,.$$

Drehmoment (Punktmassen)

$\boldsymbol{M}=\sum_{n=1}^{N}\boldsymbol{r_{n}}\times\boldsymbol{F}_{n}
$

Drehmoment, Arbeit

\begin{equation} \mathrm{d} W = M\,\mathrm{d}\theta \end{equation}

Drehmoment, Betrag bezüglich eines Punkts

\begin{equation} \vert\vec{M}\vert = \vert\vec{r}\vert\,\vert\vec{F}\vert\,\sin\varphi \end{equation}

Drehmoment, bezüglich einer Achse

\begin{equation} M = F_\mathrm{t}\,r \end{equation}

Drehmoment, bezüglich eines Punkts

\begin{equation} \vec{M} = \vec{r} \times \vec{F} \end{equation}

Drehmoment, gleichwertige Ausdrücke

\begin{equation} M = F_\mathrm{t}\,r = F\,r\,\sin\theta = F\,l \end{equation}

Drehmoment, Kräftepaar

Das Drehmoment, das von einem Kräftepaar erzeugt wird, ist bezüglich jedes Punkts im Raum gleich.

Drehmoment, Leistung

\begin{equation} P = M\,\omega \end{equation}

Drehstoß und Drehmoment

\begin{equation} \Delta \vec{L} = \int_{t_1}^{t_2} \vec{M}_\mathrm{ext}\,\mathrm{d} t \end{equation}

Drehung, schlupffreie, Beschleunigung

\begin{equation} a_\mathrm{t} = r\,\alpha \end{equation} Hier ist $a_\mathrm{t}$ die Tangentialbeschleunigung des Seils und $\alpha$ die Winkelbeschleunigung des Rads.

Drehung, schlupffreie, Rollbedingung

\begin{equation} v_\mathrm{t} = r\,\omega \end{equation} Dabei ist $v_\mathrm{t}$ die Tangentialgeschwindigkeit des Seils und $r\,\omega$ die Tangentialgeschwindigkeit des Radrands.

Drehwinkel, beschleunigt

\begin{equation} \theta = \theta_0 + \omega_0\,t + \textstyle{\frac{1}{2}}\,\alpha\,t^2 \end{equation}

Dreibein, begleitend

Die ortsabhängige Orthonormalbasis $\left(\boldsymbol{t}, \boldsymbol{h}, \boldsymbol{b}\right)$ mit $$\boldsymbol{t} = \boldsymbol{\gamma}' \,,\qquad \boldsymbol{h} = \frac{1}{\kappa(s)}\boldsymbol{t}' \,,\qquad \boldsymbol{b} = \boldsymbol{t} \times \boldsymbol{h}$$ heißt begleitendes Dreibein der Kurve $\gamma$

Dreiecksungleichung

Für beliebige $x$ und $y$ gelten die Dreiecksungleichung und die erweiterte Dreiecksungleichung: \begin{eqnarray} \left\vert x + y \right\vert & \leq & \vert x \vert + \vert y \vert \\ \left\vert \vert x \vert - \vert y \vert \right\vert & \leq & \left\vert x - y \right\vert \end{eqnarray}

Dritter Hauptsatz

Wenn die innere Energie eines Systems gegen null oder ihren kleinstm&#246glichen Wert geht, wird die Entropie des Systems verschwinden, weil sich das System dann nur noch in seinem Grundzustand aufhalten kann. Zugleich wird auch die Temperatur gegen null gehen: $$ S\to0\quad\hbox{wenn}\quad T\to0\,. \label{eq:td02-131} $$ Diese Aussage wird gelegentlich als dritter Hauptsatz der Thermodynamik oder auch als Nernst'sches Theorem bezeichnet.

Dritter Hauptsatz der Thermodynamik

Die Entropie $S$ geht für $T\to 0$ gegen Null.

Drittes Newtonsches Axiom

Für zwei Körper, die nur miteinander, aber nicht mit anderen Körpern wechselwirken, gilt das 3. Newtonsche Axiom: actio = reactio: $\boldsymbol{F}_{1}=-\boldsymbol{F}_{2}$, wenn $\boldsymbol{F}_{1}$ die Kraft, die auf den 1. Körper, $\boldsymbol{F}_{2}$ die Kraft, die auf den 2. Körper wirkt, bedeutet.

Druck

Der Druck ist allgemein definiert als Kraft pro Fl&#228che: $$p = \frac{F}{A}\,.$$

Dunkle Energie

Viele Kosmologen bevorzugen die Vorstellung, dass die kosmologische Konstante eigentlich nicht konstant ist, sondern dass die beschleunigte kosmische Expansion, die durch die kosmologische Konstante erkl&#228rt werden k&#246nnte durch eine Substanz mit negativem Druck verursacht w&#252rde. Diese hypothetische Substanz wird als dunkle Energie bezeichnet. Sie muss durch eine Zustandsgleichung gekennzeichnet sein, derzufolge der Druck der dunklen Energie gen&#252gend negativ werden kann. Eine solche Erkl&#228rung durch ein dynamisches Feld h&#228tte den Vorzug, dass damit zumindest prinzipiell erkl&#228rbar w&#252rde, wie sich die Dichten der (dunklen) Materie und der dunklen Energie aufeinander einstellen k&#246nnten.

Dunkle Materie

Dunkle Materie macht etwa 85 % der Materie im Universum aus. Wir wissen nur wenig &#252ber sie. Klar ist jedenfalls, dass sie nicht elektromagnetisch wechselwirken darf.

Dynamik idealer, inkompressibler Fluide

Die Feldgleichungen idealer, inkompressibler Fluide lauten \begin{eqnarray} 0 &=& \mathrm{div\,} \boldsymbol{u}, \\ \rho \frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial t} &=& - \rho\, \mathbf{div\,} (\boldsymbol{u} \circ \boldsymbol{u}) - \mathbf{grad\,} P + \boldsymbol{f}, \end{eqnarray} wobei $\rho = \mathrm{const}$ die Zustandsgleichung ist.