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Begriff Erklärung

Ehrenfest Theorem

$$\frac{d}{dt}\langle\hat{p}\rangle_{\Psi}~=~-\,\left\langle\nabla\hat{V}\right\rangle_{\Psi}~=~\left\langle\hat{\boldsymbol{F}}\right\rangle_{\Psi}$$

Ehrenfest-Theorem

Eine Bewegungsgleichung für den Erwartungswert von Operatoren.

Eichfreiheit

Eichtransformation des Vektorpotentials: $$\begin{aligned} \boldsymbol{A}\mapsto\boldsymbol{A}^{{\prime}}=\boldsymbol{A}+\text{grad}\chi\;.\end{aligned}$$ $\chi$ darf dabei eine beliebige skalare Funktion sein, die sich ganz nach Zweckmäßigkeitsgesichtspunkten festlegen lässt, da in jedem Fall gilt: $$\begin{aligned} \text{rot}\text{grad}\chi=0\end{aligned}.$$

Eichgruppe

Menge von lokalen Symmetrietransformationen, die die mathematischen Gruppenpostulate erf\"ullen.

Eichtheorie

(Quanten-)Feldtheorie, die invariant gegen\"uber lokalen Symmetrietransformationen (Eichgruppe) ist. Eichinvarianz (Anhang B) einer relativistischen
Quantenfeldtheorie erfordert die Existenz von Eichbosonen mit Spin 1, im Standardmodell Photon, Gluonen, $W$- und $Z$-Boson.

Eichtransformation

$$\begin{aligned} \boldsymbol{A}(\boldsymbol{r},t)& \; \mapsto\boldsymbol{A}(\boldsymbol{r},t)+\nabla\chi(\boldsymbol{r},t) \;,\end{aligned}$$ $$\begin{aligned} \varphi(\boldsymbol{r},t)& \; \mapsto\varphi(\boldsymbol{r},t)-\dot{\chi}(\boldsymbol{r},t)\;.\end{aligned}$$

Eigenzeit für ein beliebig bewegtes Punktteilchen

Sind $A$ und $B$ Weltpunkte auf einer Weltlinie, die in einem Inertialsystem durch eine Bahnkurve $\boldsymbol{x}(t)$ mit Geschwindigkeit $\boldsymbol{v}(t)=\mathrm{d}\boldsymbol{x}(t)/\mathrm{d}t $ gegeben ist, dann ist die Eigenzeit gegeben durch \begin{eqnarray} \tau_{B}-\tau_{A}&=&\int_{\tau_{A}}^{\tau_{B}}\mathrm{d}\tau=\int_{t_A}^{t_B}\frac{\mathrm{d}t }{\gamma(v(t))} \\ &=&\int_{t_A}^{t_B}\mathrm{d}t \sqrt{1-\frac{\boldsymbol{v}^2(t)}{c^2}} \le t_B-t_A.\end{eqnarray}

Eigenzustand/Eigenwert

Ein Eigenzustand eines Operators ist ein spezieller Zustand, der durch die Anwendung des Operators, bis auf die Multiplikation mit dem Eigenwert, nicht geändert wird.

Einfallslot

Als Einfallslot bezeichnet man die Gerade, die senkrecht zur Grenzfläche steht.

Einstein'sche Summenkonvention

Tritt in einem Term derselbe Index zweimal auf, einmal oben und einmal unten, so ist über diesen Index zu summieren.

Einzelspalt

Das Interferenzmuster beim Einzelspalt kommt dadurch zustande, dass selbst innerhalb eines einzelnen Spalts unendlich viele Elementarwellen entstehen, die miteinander interferieren. Destruktive Interferenz, $n$-tes Minimum: $b\cdot\sin\alpha = n\lambda\,.$ Konstruktive Interferenz, $n$-tes Maximum: $b\cdot\sin\alpha \approx \left(2n + 1\right)\frac{\lambda}{2}\,.$(Die Maxima entstehen nicht genau mittig zwischen den Minima.) Der Intensitätsabfall vom Hauptmaximum zum 1. Maximum ist sehr stark. Maxima höherer Ordnung sind beim Einzelspalt kaum noch zu erkennen.

Elastische Streuung im Laborsystem

Die relative Änderung der kinetischen Energie eines im Laborsystem gestreuten Teilchens der Masse $m_1$ ist \begin{equation} \frac{T_{\mathrm f, 1} - T_{\mathrm i, 1}}{T_{\mathrm i, 1}} = 2 \frac{m_1}{M} \left(1 - \frac{m_1}{M}\right) ( \mathrm{cos\:} \vartheta' - 1) \leq 0 \end{equation} mit $M = m_1 + m_2$. Für alle Streuwinkel $ \vartheta' > 0$ verliert das Teilchen kinetische Energie, die auf das zweite Teilchen übertragen wird. Der Streuwinkel $ \vartheta'$ im Schwerpunktsystem kann formal mithilfe von $\tan\vartheta_1 = \frac{\sin \vartheta'}{\cos \vartheta' + \frac{m_1}{m_2}}$ in den Streuwinkel $\vartheta_1$ von $m_1$ im Laborsystem überführt werden.

Elastischer Körper

Einen Körper, dessen Punktmassen durch konservative Kräfte wechselwirken, nennt man elastisch. Die Gesamtenergie ergibt sich aus der kinetischen und der Wechselwirkungsenergie. Wird ein elastischer Körper verformt, so wird die zur Verformung benötigte Arbeit als elastische (potenzielle) Energie gespeichert und kann wieder vollständig in kinetische Energie umgewandelt werden (wobei der Körper in seine Ursprungsgestalt zurückkehrt). Reibungskräfte treten in einem idealen elastischen Körper nicht auf.

Elastischer Stoß

Bei elastischen Stößen zwischen zwei Teilchen bleiben Gesamtimpuls und kinetische Gesamtenergie der Stoßpartner erhalten.

Elastisches Band, kräftefreie Bewegungsgleichung

Die Bewegungsgleichung des Bandes (d.h. der kontinuierlichen Kette) lautet in Abwesenheit von äußeren Kräften \begin{equation} \rho \frac{\partial^2 q(t, x)}{\partial t^2} - Y \frac{\partial^2 q(t, x)}{\partial x^2} = 0. \end{equation} Es handelt sich hierbei um eine lineare partielle Differenzialgleichung zweiter Ordnung für die Funktion $q(t, x)$, die auf dem Intervall $[0, \ell]$ definiert ist.

Elektrische Energie

Die elektrische Energie ist $$W=Q\cdot U\,,$$ wobei diese meist in Joule angegeben wird, in manchen Fällen aber auch in Elektronenvolt (eV).

Elektrische Stromdichte

Ein elektrischer Strom ist ein Transport elektrischer Ladungen. Er ist immer mit Massetransport verbunden. Die Stromdichte $\boldsymbol{j}=n^{+}q^{+}\boldsymbol{v}_{\text{D}}^{+}+n^{-}q^{-}\boldsymbol{v}_{\text{D}}^{-}$ hängt ab von den Dichten $n^\pm$ der Ladungsträger mit der Ladung $q^\pm$ und von ihren Driftgeschwindigkeiten $\boldsymbol{v}_{\text{D}}^\pm$. Der Zusammenhang zwischen Stromdichte $\boldsymbol{j}$ und elektrischer Feldstärke $\boldsymbol{E}$ wird bei Ohm´schen Leitern durch das Ohm´sche Gesetz gegeben: $\boldsymbol{j}=\sigma_{\text{el}}\cdot\boldsymbol{E}$. Die elektrische Leitfähigkeit $\sigma_{\text{el}}$ ist eine Materialkonstante, die im Allgemeinen von der Temperatur abhängt.

Elektrischer Dipol

Anordnung zweier entgegengesetzt gleicher Punktladungen, deren Abstand bei gleichzeitig anwachsender Ladung so gegen Null geht, dass das Dipolmoment $$\begin{aligned} \boldsymbol{p}=\lim _{{\substack{a\to 0\\ q\to\infty}}}\, q\,\boldsymbol{a}\end{aligned}$$ dabei konstant und endlich bleibt. Der so definierte Dipol liegt dann in einem festen Raumpunkt.

Elektrischer Schwingkreis

Ein elektrischer Schwingkreis ist eine Anordnung aus Induktivität $L$ und Kapazität $C$. Er hat die Resonanzfrequenz $\omega=1/\sqrt{L\cdot C}$.

Elektrisches Dipolmoment

Das elektrische Dipolmoment lautet $\vec{p}=Q\cdot\vec{d}\,.$

Elektrisches Feld der Punktladung

Das elektrische Feld einer Ladung ist gegeben über $$\vec{E}(\vec{r})=\frac{Q}{4\pi\epsilon_0\epsilon_r r^2}\cdot\vec{e_r}$$ mit Betrag $$E(r)=\frac{Q}{4\pi\epsilon_0\epsilon_r r^2}\,.$$ Seine Einheit ist V/m.

Elektrisches Potential und Spannung

Das elektrische Potenzial $\phi$, dessen Differenz zwischen zwei verschiedenen Punkten die Spannung $U$ definiert, ist gegeben durch $$\phi(r)=-\frac{Q}{4\pi\epsilon_0\epsilon_r r}\,.$$ Die elektrische Spannung lautet damit $$U(r)=\frac{Q}{4\pi\epsilon_0\epsilon_r}\cdot\left(\frac{1}{r_1}-\frac{1}{r_2}\right)\,,$$ und ihre Einheit wird mit Volt bezeichnet. Generell ist die Verknüpfung zwischen elektrischem Potenzial und elektrischem Feld $\vec{E}=-\vec{\nabla}\phi$, vereinfacht kann man mit den Beträgen aber auch schreiben $$E=\frac{U}{d}\,.$$

Elektron

Freie Elektronen können erzeugt werden durch Glühemission aus heißen Metallen, durch Feldemission aus Metallspitzen im elektrischen Feld, durch Elektronenstoßionisation freier Atome und durch Photoionisation bei der Lichtabsorption durch freie Atome oder feste Stoffe (Photoeffekt).

elektroschwache Eichtheorie

Vereinheitlichte Theorie der elektromagnetischen und schwachen Wechselwirkungen (Kap. 7); diese Theorie bildet gemeinsam mit der Quantenchromodynamik das Standardmodell der fundamentalen
Wechselwirkungen.

Energie einer Ladungskonfiguration

Die Energie einer auf einen endlichen Raumbereich beschränkten Ladungskonfiguration $\rho (r)$ entspricht der Arbeit, die notwendig ist, um Ladungen aus dem Unendlichen ($\varphi(\infty)$ = 0) zu dieser Konfiguration zusammenzuziehen.

Energie eines Massenpunktes

$ E=\frac{m}{2}\dot{\boldsymbol{r}}^{2}+\,V(\boldsymbol{r})\;.$ Diese Gleichung ist der Energiesatz: Die zeitliche Änderung der Energie ist gleich der Leistung der dissipativen Kräfte. Sind alle Kräfte konservativ, so gilt der Energieerhaltungssatz. $\frac{m}{2}\dot{\boldsymbol{r}}^{2}+V(\boldsymbol{r})=E=\mathrm{const}\;.$

Energie, kinetisch eines rotierenden Körpers

\begin{equation} E_{\text{kin}} = \textstyle{\frac{1}{2}}\,I\,\omega^2 \end{equation}

Energie, kinetische eines rollenden Körpers

\begin{equation} E_\mathrm{kin} = \textstyle{\frac{1}{2}}\,m\,v_\mathrm{S}^2 + \textstyle{\frac{1}{2}}\,I_\mathrm{S}\,\omega^2 \end{equation}

Energie, relativistische

Die relativistische Energie eines (freien) Punktteilchens ist definiert durch \begin{equation} E = \gamma(v)\, m c^2.\end{equation} Auch einer ruhenden Masse wird somit eine Energie zugeordnet; man spricht daher von einer Äquivalenz von Masse und Energie.

Energie-Impuls-Beziehung, relativistisch

Die Relation \begin{equation} (p^0)^2-\boldsymbol{p}^2\equiv \frac{E^2}{c^2}-\boldsymbol{p}^2=m^2 c^2\end{equation} behält ihre Gültigkeit auch für masselose Teilchen, wobei die Identifikationvon $\boldsymbol{p}=\gamma m\boldsymbol{v}$ fallen gelassen wird. Masselose Teilchen haben $|\boldsymbol{v}|=c$ und $|\boldsymbol{p}|=E/c$; sie werden durch einen lichtartigen Vierervektor ($p^\mu p_\mu=0$) charakterisiert.

Energie-Zeit-Unschärfrelation

Die Aussage, die besagt, dass, wenn sich der Energieerwartungswert langsam ändert, dann ist die Energieunschärfe klein, und umgekehrt.

Energiedichte des elektromagnetischen Feldes

$$\begin{aligned} w(\boldsymbol{r},t)=\frac{1}{2}\left[\boldsymbol{H}(\boldsymbol{r},t)\mathbin{\boldsymbol{\cdot}}\boldsymbol{B}(\boldsymbol{r},t)+\boldsymbol{E}(\boldsymbol{r},t)\mathbin{\boldsymbol{\cdot}}\boldsymbol{D}(\boldsymbol{r},t)\right]\;.\end{aligned}$$

Energieerhaltung

Die Energie eines mechanischen Systems ist erhalten, wenn alle Kräfte konservativ sind.

Energieerhaltung in einem System von Punktmassen

Sind alle Kräfte konservativ, ist die Gesamtenergie in einem System aus $N$ paarweise wechselwirkenden Punktmassen erhalten. Dissipative Kräfte können die Gesamtenergie ändern: \begin{equation} \frac{ \mathrm{d}}{ \mathrm{d} t}(T + V) = \sum_i \boldsymbol{F}^{\mathrm{diss}}_i \cdot \dot{\boldsymbol{x}}_i. \end{equation}

Energieerhaltung und Zeittranslationsinvarianz

Ist die Wirkung invariant unter einer konstanten Verschiebung des Zeitnullpunktes, so ist die Gesamtenergie des Systems erhalten.

Energieerhaltungssatz

Die Gesamtenergie $E$ ist zeitlich konstant $ E\left(\dot{\boldsymbol{r}}(t),\,\boldsymbol{r}(t)\right)~:=~\frac{m}{2}\dot{\boldsymbol{r}}^2 + V(\boldsymbol{r})~=~T + V~=~\text{const.} $

Energieerhaltungssatz in einer Dimension

Ist die Kraft $F(z)$ nur eine Funktion des Ortes, so kann in einer Dimension stets ein Potenzial $$V(z) = \int_{z_0}^z F(z') \mathrm{d} z'$$ definiert werden. Die Energie ist dann erhalten.

Energiegewinnung durch Kernspaltung

Zur Erzeugung von Energie aus Kernspaltungen muss eine kontrollierte Kettenreaktion aufrecht erhalten werden. Dies kann z. B. erreicht werden durch mit ${}^{235}\mathrm{U}$ angereichertes Uran. Die Spaltneutronen werden in einem Moderator abgebremst, weil langsame Neutronen einen größeren Spaltquerschnitt haben. Die Zunahme der Neutronenzahl von einer Spaltgeneration zur nächsten wird durch $N(T) = N(0)\cdot \mathrm{e}^{(k_{\text{eff}}-1)\cdot t/T}$ beschrieben, wobei die Reaktorperiode $T$ die mittlere Zeit zwischen zwei Spaltgenerationen ist. Der Multiplikationsfaktor $k_{\text{eff}}=\eta\cdot\varepsilon\cdot p\cdot f$ setzt sich zusammen aus der mittleren Zahl von Spaltneutronen pro ${}^{235}\mathrm{U}$-Kern $\eta$, pro ${}^{238}\mathrm{U}$-Kern $\varepsilon$, der Abbremswahrscheinlichkeit $p$ für ein Neutron und der Wahrscheinlichkeit $f$, dass ein Neutron nicht im Moderator absorbiert wird. Im stationären Betrieb muss $k_{\text{eff}}=1$ sein.

Energiegewinnung durch kontrollierte Kernfusion

Energiegewinnung durch kontrollierte Kernfusion ist möglich durch 1. magnetischen Einschluss eines heißen Plasmas, 2. Erzeugung und Kompression eines dichten Plasmas durch Beschuss von festem Deuterium/Tritium mit Hochleistungslasern oder Teilchenstrahlen (Trägheitseinschluss). Magnetischer Einschluss kann mit einem gasgefüllten Torus in speziellen Magnetfeldanordnungen (Tokamak oder Stellerator) erreicht werden. Die Aufheizung eines Plasmas geschieht durch Ohmsche Heizung, Hochfrequenzheizung und Einschuss energiereicher neutraler Deuteriumatome.

Energieniveaus

Die erlaubten Energien für Atome bzw. Ionen mit nur einem Elektron sind \begin{equation}E_n = -Ry^{∗} \cdot \frac{Z^{2}}{n^{2}} \qquad \left(n=1,2,3,\dots\right) \end{equation} wobei $Ry^{∗}=\mu\cdot e^{4}\,/\,\left(8\,\epsilon_0^{2}\,\mathrm{h}\right)$ die Rydbergkonstante für das System Elektron–Kern mit der reduzierten Masse $\mu$ ist. Alle energetisch angeregten Atomzustände $E_k$ sind instabil. Sie zerfallen durch Emission von Photonen mit $h\,\nu = E_k-E_i$ in tiefere Zustände $E_i$. Die Quantisierung der atomaren Energieniveaus wird experimentell bestätigt durch den Franck-Hertz-Versuch und durch Linienspektren bei der Absorption und Emission von elektromagnetischer Strahlung durch Atome. Eine äquivalente Formulierung der Bohr’schen Quantenbedingung ist die Forderung der Quantisierung des Elektronenbahndrehimpulses $l$: \begin{equation} \left\vert \mathbf{l} \right\vert = n \cdot \hslash \qquad \left(n=1,2,3,\dots\right) \end{equation} Das Bohr’sche Atommodell wird durch die Quantentheorie in einigen Punkten korrigiert.

Energiesatz

In einem abgeschlossenen System verändert sich die Summe aller Energieformen nicht.

Energiesatz unter Berücksichtigung von Zwangsbedingungen

Sind die angewandten Kräfte $\boldsymbol{F}_i$ konservativ, lautet der Energiesatz in Anwesenheit von holonomen Zwangsbedingungen \begin{equation} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} (T + V) = - \sum_{a=1}^r \lambda_a \frac{\partial f_a}{\partial t}. \end{equation} Die Energie ist erhalten, wenn die Zwangsbedingungen skleronom sind, d.h. ihre partiellen Zeitableitungen verschwinden.

Entartung

Zwei oder mehrere Eigenzustände eines Operators sind dann entartet, wenn sie denselben Eigenwert haben.

Entropie

Die Entropie $S=k\ln W$ ist ein Maß für den Ordnungszustand eines Systems. Sie hängt ab von der Zahl $W$ der Realisierungsmöglichkeiten des Systems bei vorgesehener Temperatur und Gesamtenergie.

Entstehung unseres Sonnensystems

Unser Sonnensystem ist vor $4{,}5$ Mrd. Jahren durch Kontraktion einer rotierenden Gaswolke entstanden, wahrscheinlich ausgelöst durch Stoßwellen einer Supernova-Explosion. Die Bildung der sonnennahen erdähnlichen Planeten und der sonnenfernen jupiterähnlichen Planeten kann erklärt werden durch den radialen Temperaturverlauf $T(R)$ in dem rotierenden solaren Nebel. Der Drehimpuls musste während der Kontraktionsphase des solaren Nebels von innen nach außen transportiert werden. Deshalb tragen die Planeten $99\,\%$ des Gesamtdrehimpulses des Systems, während die Sonne $99\,\%$ der Gesamtmasse enthält.

Entstehung von Sternen

Sterne entstehen durch Kontraktion ausgedehnter kalter Molekül- und Staubwolken, die gravitativ instabil werden, wenn die mittlere kinetische Energie der Teilchen kleiner wird als der Betrag der potentiellen Energie (Jeans-Kriterium). Im Allgemeinen entstehen Sterne nicht einzeln, sondern in Gruppen (Assoziationen). Der Kollaps einer rotierenden Wolke geschieht nicht gleichförmig, sondern wird durch den Drehimpulstransport von innen nach außen beeinflusst. Außerdem wird der Kollaps zeitweilig beeinflusst durch Dissoziation der Moleküle, durch Ionisation der Atome und durch zunehmenden Strahlungsdruck. Zuerst bilden sich Protosterne, die im Infraroten strahlen, aber noch keine genügend hohe Zentraltemperatur haben, um Kernfusion zu zünden. Sobald die Zündtemperatur für die Wasserstofffusion im Zentrum erreicht wird (dies geschieht nur für $M > 0{,}08 M_\odot$), kann der Kollaps vollständig gestoppt werden; die stabile Phase der Sternentwicklung beginnt (Hauptreihenstadium).

Erhaltung, Drehimpuls

Der Drehimpuls einer Punktmasse ist genau dann erhalten, wenn keine Drehmomente auf diese Punktmasse wirken.

Erhaltung, Drehimpuls eines Systems von Punktmassen

Der Drehimpulssatz eines Systems von Punktmassen, zwischen denen nur Zentralkräfte wirken, lautet \begin{equation} \dot{ \boldsymbol{L}} = \sum_i \boldsymbol{M}^{(\mathrm{a})}_i = \boldsymbol{M}^{(\mathrm{a})}. \end{equation} Der Gesamtdrehimpuls dieses Systems wird lediglich von den äußeren Kräften bzw. äußeren Drehmomenten beeinflusst. Verschwindet das Gesamtdrehmoment der äußeren Kräfte, so ist der Gesamtdrehimpuls des Systems erhalten.

Erhaltung, Energie (mech. System)

Die Energie eines mechanischen Systems ist erhalten, wenn alle Kräfte konservativ sind.

Erhaltung, Energie in einem System von Punktmassen

Sind alle Kräfte konservativ, ist die Gesamtenergie in einem System aus $N$ paarweise wechselwirkenden Punktmassen erhalten. Dissipative Kräfte können die Gesamtenergie ändern: \begin{equation} \frac{ \mathrm{d}}{ \mathrm{d} t}(T + V) = \sum_i \boldsymbol{F}^{\mathrm{diss}}_i \cdot \dot{\boldsymbol{x}}_i. \end{equation}

Erhaltung, Energie in einer Dimension

Ist die Kraft $F(z)$ nur eine Funktion des Ortes, so kann in einer Dimension stets ein Potenzial $$V(z) = \int_{z_0}^z F(z') \mathrm{d} z'$$ definiert werden. Die Energie ist dann erhalten.

Erhaltung, Impuls eines Systems von Punktmassen

Der Impulssatz eines Systems von Punktmassen lautet \begin{equation} \dot{\boldsymbol{P}} = \sum_i \boldsymbol{F}^{(\mathrm{a})}_i = \boldsymbol{F}^{(\mathrm{a})} \end{equation} Die Bewegung des Schwerpunktes wird nur durch äußere, nicht jedoch durch innere Kräfte beeinflusst. Verschwindet die Summe aller äußeren Kräfte, so ist der Gesamtimpuls erhalten, d.h. der Schwerpunkt bewegt sich geradlinig-gleichförmig.

Erhaltungsgrößen bei Kernreaktionen

Bei allen Kernreaktionen bleiben die Nukleonenzahl, die elektrische Ladung, der Drehimpuls und die Parität erhalten.

Erhaltungsgrößen des schweren Kreisels

Für einen unterstützten symmetrischen Kreisel im homogenen Schwerefeld findet man drei Erhaltungsgrößen: die Projektion des Drehimpulses auf die Figurenachse und auf die Achse, entlang der das Schwerefeld wirkt, sowie die Gesamtenergie.

Erhaltungsgrößen und Bewegungsgleichungen

Das Ausnutzen von Erhaltungsgrößen vereinfacht in der Regel das Lösen der Bewegungsgleichungen. Der erste Schritt bei der Analyse eines physikalischen Problems sollte daher das Identifizieren von Symmetrien und Erhaltungsgrößen sein.

Erhaltungsgrößen und Poisson-Klammern

Verschwindet die Poisson-Klammer einer Observablen $F$ mit der Hamilton-Funktion $H$ und ist $F$ nicht explizit zeitabhängig, d.h. $\partial F / \partial t = 0$, so ist $F$ ein Integral der Bewegung, also eine Erhaltungsgröße. Diese Schlussfolgerung gilt auch in die andere Richtung.

Erhaltungssatz für elektrische Ladungen

In einem abgeschlossenen System bleibt die Summe aus positiver und negativer Ladung konstant.

Alte Definition des Coulomb

Erster Hauptsatz der Thermodynamik

Der 1. Hauptsatz der Thermodynamik $\Delta U=\Delta Q+\Delta W$ ist ein Energieerhaltungssatz: Die Zunahme $\Delta
U$ der inneren Energie $U=N\cdot(f/2)kT$ eines idealen Gases mit $N$ Teilchen ist gleich der Summe aus zugeführter Wärmeenergie $\Delta Q$ und am System geleisteter Arbeit
$\Delta W$.

Erster Hauptsatz der Thermodynamik und Innere Energie

Jedem thermodynamischen System wird die innere Energie $U$ als eine Zustandsgröße zugeordnet. Die innere Energie wächst mit der zugeführten Wärme und nimmt um die vom System an seiner Umwelt verrichtete Arbeit ab. Für ein geschlossenes System beträgt die infinitesimale Änderung der inneren Energie $$ \mathrm{d} U = \delta Q-\delta W\,, \label{eq:td01-45} $$ wenn es die infinitesimale Wärme $\delta Q$ aufnimmt und die infinitesimale Arbeit $\delta W$ an der Umgebung verrichtet. Die innere Energie ist nur bis auf eine additive Konstante bestimmt.

Erstes Newtonsches Axiom

Jeder Körper verharrt im Zustand der Ruhe oder der gleichförmigen geradlinigen Bewegung, solange keine Kraft auf ihn wirkt.

Erwartungswert

Der Mittelwert von Messungen derselben Observablen an einer Vielzahl identischer quantenmechanischer Systeme, also Systeme mit derselben Wellenfunktion.

Erzwungene Schwingung

Bei einer erzwungenen Schwingung wird dem schwingenden System von außen periodisch Energie zugeführt. Nach einem Einschwingvorgang stellt sich eine stationäre Schwingung mit der Erregerfrequenz ein, bei der die Verluste des Systems gerade von außen gedeckt werden. Im Resonanzfall (Erregerfrequenz = Eigenfrequenz des Systems) kann die Amplitude sehr groß werden (Resonanzkatastrophe).

Euler'sche Formel

\mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi}=\cos\varphi+\mathrm{i}\sin\varphi$

Euler'sches Theorem

Wird ein starrer Körper in einem Punkt festgehalten, so ist die allgemeine Bewegung eine Drehung um eine Achse, die durch diesen Punkt läuft.

Euler-Gleichung der Variationsrechnung

Das Integral \begin{equation} F[y] = \int_{x_0}^{x_1} f(x, y, y')\, \mathrm{d} x \end{equation} wird bei festgehaltenen Randpunkten $y(x_0)$ und $y(x_1)$ extremal, wenn die Funktion $y(x)$ die Euler-Gleichung \begin{equation} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \frac{\partial f}{\partial y'} - \frac{\partial f}{\partial y} = 0\end{equation} erfüllt. Diese Gleichung ist also die notwendige Bedingung an $y(x)$. Eine Funktion $y(x)$, heißt Extremale.

Euler-Gleichung für ideale Fluide

Die Impulsdichte $\rho \boldsymbol{u}$ genügt der Euler-Gleichung \begin{equation} \frac{\partial (\rho \boldsymbol{u})}{\partial t} = - \mathbf{div\,} (\rho \boldsymbol{u} \circ \boldsymbol{u}) - \mathbf{grad\,} P + \boldsymbol{f} \end{equation} an jedem Ort $\boldsymbol{r}$ und zu jeder Zeit $t$. Dies sind drei nichtlineare partielle Differenzialgleichungen.

Euler-Gleichung zum Variationsproblem

Ist $g$ zweimal stetig differenzierbar und $\hat{u}\in D$ lokale Extremalfunktion des Funktionals $J$ mit $$J(u) = \int_a^b g\left(u(t), u'(t), t \right) \mathrm{d}t$$ auf dem Zulässigkeitsbereich $$D = \left\lbrace u\in C^1\left([a,b]\right) \vert u(a) = u_a \,, u(b) = u_b \right\rbrace$$ zu vorgegebenen Werten $u_a,u_b\in\mathbb{R}$, dann gilt die Euler-Gleichung $$\frac{\partial g}{\partial u} \left(\hat{u}(t),\hat{u}'(t), t\right) - \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\frac{\partial g}{\partial u'}\left(\hat{u}(t),\hat{u}'(t), t\right) = 0$$ für alle $t\in[a,b]$.

Euler-Gleichungen

Die Bewegungsgleichungen für die Rotation eines starren Körpers im körperfesten System lauten \begin{equation} \boldsymbol{M}^∗ = \boldsymbol{\Theta}^∗ \dot{\boldsymbol{\omega}}^∗ + \boldsymbol{\omega}^∗ \times \left( \boldsymbol{\Theta}^∗ \boldsymbol{\omega}^∗\right). \end{equation} Sie entsprechen den Newton'schen Bewegungsgleichungen für die Translation einer Punktmasse.

Euler-Gleichungen für holonome Nebenbedingungen

Die $N$ Funktionen $y_i(x)$ lassen sich aus \begin{equation} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \frac{\partial f}{\partial y'_i} - \frac{\partial f}{\partial y_i} = - \sum_{j=1}^r \lambda_j(x) \frac{\partial f_j}{\partial y_i} \quad (1 \leq i \leq N) \end{equation} bestimmen.

Euler-Gleichungen für isoperimetrische Nebenbedingungen

Die $N$ Funktionen $y_i(x)$ lassen sich aus \begin{equation} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \frac{\partial f^∗}{\partial y'_i} - \frac{\partial f^∗}{\partial y_i} = 0 \quad (1 \leq i \leq N) \end{equation} bestimmen, wobei $f^∗ := f - \sum_{j=1}^r \lambda_j f_j$ ist.

Euler-Gleichungen für mehrere abhängige Variablen

Gibt es $N$ abhängige Variablen $y_i(x)$, so lautet die Erweiterung der Euler-Gleichung: \begin{equation} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \frac{\partial f}{\partial y'_i} - \frac{\partial f}{\partial y_i} = 0 \quad (1 \leq i \leq N). \end{equation} Es sind also $N$ partielle Differenzialgleichungen zweiter Ordnung unter Berücksichtigung der $2N$ Randbedingungen $y_i(x_0) = y_{i,0}$ und $y_i(x_1) = y_{i,1}$ zu lösen.

Euler-Winkel des kräftefreien symmetrischen Kreisels

Ein kräftefreier symmetrischer Kreisel erlaubt die Lösung \begin{equation} \vartheta(t) = \vartheta_0, \quad \psi(t) = \Omega t + \psi_0, \quad \varphi(t) = \Omega' t + \varphi_0 \end{equation} für die Euler-Winkel.

Existenz eines Potentials

Eine Kraft $\boldsymbol{F}$ hat genau dann ein Potential, wenn $\mathop{rot}\boldsymbol{F}$ verschwindet. Konservative Kräfte leisten auf einem geschlossenen Weg keine Arbeit. Ein Kraftfeld $\boldsymbol{F}$ ist genau dann konservativ, wenn die Arbeit beim Verschieben des Massenpunktes zwischen zwei Raumpunkten wegunabhängig ist.

Existenz- und Eindeutigkeitssatz

Ist die Funktion $f$ in einer Umgebung des Punktes $(x_0,y_0)$ stetig und samt ihrer partiellen Ableitung nach $y$ beschränkt, so gibt es in dieser Umgebung genau eine Lösung $f$ der Differentialgleichung $y'(x)~=~f\left(x,\,y(x)\right) $ mit der Anfangsbedingung $ y(x_0)=y_0 $.

Exotherme Kernreaktionen

Kernreaktionen werden durch ihre Reaktionsenergie (Wärmetönung) $Q$ beschrieben. Sie laufen nur bei Energien $E > E_\mathrm{S}$ oberhalb einer Energieschwelle ab. Reaktionen mit $Q > 0$ sind exotherm. Auch sie können eine Schwellenenergie besitzen (Reaktionsbarriere). Jedoch ist bei exothermen Reaktionen die Energie $E_\mathrm{a}$ im Ausgangskanal größer als die Energie $E_\mathrm{e}$ im Eingangskanal. Ausgangskanäle, für die $E_\mathrm{S} > E_\mathrm{e}$ gilt, heißen geschlossen, solche mit $E_\mathrm{S}

Expansion des Weltalls

Das Universum kann als dreidimensionaler gekrümmter Raum mit einem Skalenfaktor (Krümmungsradius) $R(t)$ beschrieben werden. Die Entwicklung von $R(t)$ gibt die Expansion des Weltalls an. Die Expansion startet bei $t=0$ aus einem begrenzten Bereich mit $R(0)\approx 0$ an keinem ausgezeichneten Raumpunkt des dreidimensionalen Raums. Der zeitliche Verlauf der Expansion $R(t)$ hängt ab von der Massendichte $\rho$ des Universums. Es gibt eine kritische Massendichte $\rho = \rho_\mathrm{c}$, bei der die Gesamtenergie (kinetische Expansionsenergie + negative potentielle Energie) null ist. Für $\rho > \rho_\mathrm{c}$ leben wir in einem geschlossenen Universum, das einen maximalen Wert $R_\mathrm{max}$, erreicht und dann wieder kollabiert. Für $\rho \leq \rho_\mathrm{c}$ hält die Expansion an, sodass $R\to\infty$ geht. Neuere Ergebnisse scheinen zu zeigen, dass die Expansion beschleunigt erfolgt. Dies wird der abstoßenden Wirkung einer noch nicht verstandenen „dunklen Energie“ zugeschrieben.

Exponentialfunktion

Die Exponentialfunktion $\exp: \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}$ ist für alle $z\in\mathbb{C}$ definiert durch die Potenzreihe $$\exp(z) := \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n!} z^n $$ Man definiert außerdem die allgemeine Potenz der eulerschen Zahl $\mathrm{e}$ durch $\mathrm{e}^z = \exp(z)$ für $z\in\mathbb{C}$.

Extrema einer Funktion, Notwendige und hinreichende Bedingungen

$f(x)$ sei in $x_{0}$ differenzierbar und besitze dort ein (lokales) Extremum. Dann gilt $\begin{aligned} f^{\prime}(x_{0})=0.\end{aligned}$ Dieses Kriterium ist nicht hinreichend! Ein hinreichendes Kriterium für ein Extremum im Punkt $x=x_{0}$ lautet $f^{\prime}(x_{0})=0 \text{ und }f^{\prime\prime}(x_{0})\;\;\left\{\begin{array}[]{ll}> 0 \text{ Minimum}\\

Extrema, notwendige Bedingung

Ist eine Funktion $f: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}$ in $\boldsymbol{p}$ differenzierbar und hat dort ein relatives Extremum, so gilt $$\left. \frac{\partial f}{\partial x_i} \right\vert_{\boldsymbol{p}} = 0 \quad\text{ für } i = 1,\dots, n$$

Extremalprinzip

Im Gleichgewicht eines abgeschlossenen, makroskopischen Systems werden sich diejenigen Werte der makroskopischen Zustandsgrößen einstellen, mit denen die größtmögliche Anzahl zugänglicher Mikrozustände verträglich ist.

Extremum

Eine Funktion $f$ einer Variablen $x$ kann nur dann in einem Punkt $\bar{x}$ lokal extremal sein, wenn ihre Ableitung in diesem Punkt verschwindet: $f'(\bar{x})~=~0 $. Eine Funktion $F$ von $N$ Variablen kann in einem Punkt $\bar{\boldsymbol{r}}$ nur dann extremal sein, wenn ihr Gradient in diesem Punkt verschwindet.