Lexikon - Gesamtglossar aller Bücher

\(% Mathematische Symbole and Abkürzungen \newcommand\2{\frac{1}{2}} \newcommand\4{\frac{1}{4}} \newcommand\6{\partial} \newcommand{\ft}[2]{{\textstyle\frac{#1}{#2}}} \newcommand{\vnabla}{{\boldsymbol \nabla}} \newcommand{\vnab}{\vnabla} \newcommand{\laplace}{\varDelta} \newcommand{\lap}{\laplace} \newcommand{\quabla}{\Box} \newcommand{\vLambda}{{\mtbox{\boldmath{$\Lambda$}}}} % fettes \Lambda \newcommand{\vOmega}{{\mtbox{\boldmath{$\Omega$}}}} % fettes \Omega \newcommand{\vPi}{{\mtbox{\boldmath{$\Pi$}}}} % fettes \Pi \newcommand{\vTheta}{{\mtbox{\boldmath{$\Theta$}}}} % fettes \Theta \newcommand{\tinda}{a} % Teilchen-Index 1 \newcommand{\tindb}{b} % Teilchen-Index 2 \newcommand{\abstvec}[1]{{\mathfrak{#1}}} % Fraktur für abstrakte Vektoren\)
BegriffErklärung
Galilei-Transformation
Quelle: Theoretische Physik 1 | Mechanik
Eine eigentliche Galilei-Transformation zwischen zwei Inertialsystemen überführt die Darstellung des Ortsvektors $ \boldsymbol{x}$ und der Zeit $t$ in \begin{equation} \boldsymbol{x}' = \boldsymbol{R} ( \boldsymbol{x} - \boldsymbol{v}_0 t - \boldsymbol{b}_0), \quad t' = t - t_0. \end{equation} Die Drehmatrix $ \boldsymbol{R}$, Relativgeschwindigkeit $\boldsymbol{v}_0$, Verschiebung $\boldsymbol{b}_0$ und Verschiebung $t_0$ der Zeitnullpunkte sind konstant.
Gammafunktion
Quelle: Mathematik zum Mitnehmen
Die Ggammafunktion $\Gamma$ ist für beliebige $x\in \mathbb{R}_{>0}$ definiert als $$\Gamma(x) := \int_0^\infty t^{x-1}\mathrm{e}^{-t} \mathrm{d}t$$ und erfüllt die Funktionalgleichunt $$\Gamma(1+x) = x \Gamma(x)$$ Für $n\in\mathbb{N}_0$ gilt $\Gamma(n+1) = n!$
Gauß'scher Satz
Quelle: Grundkurs Theoretische Physik 3 - Elektrodynamik
$$\begin{aligned} \int\limits _{V}\text{div}\boldsymbol{E}(\boldsymbol{r})\,\mathrm{d}^{3}r=\oint\limits _{{S(V)}}\boldsymbol{E}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{f}\;.\end{aligned}$$
Gauß'scher Integralsatz
Quelle: Tutorium Mathematische Methoden der Elektrodynamik
Der Gauß'sche Integralsatz stellt einen Zusammenhang her zwischen dem Volumenintegral über die Quellen eines Vektorfeldes und dessen Fluss durch die Oberfläche $$\int_V \text{div}\boldsymbol{j} \text{d}V = \oint_{\partial V} \boldsymbol{j}\circ \textbf{d}\boldsymbol{F}$$
Gauß'scher Satz
Quelle: Taylorentwicklung, Jacobi-Matrix, ∇, δ(x) und Co.
Der Fluss eines Vektorfeldes durch eine geschlossene Fläche ist gleich dem Integral seiner Divergenz über das eingeschlossene Volumen. Diese Möglichkeit, Oberflächen- und Volumenintegrale ineinander umzuwandeln, macht den Gauß’schen Satz zu einem unentbehrlichen Hilfsmittel in der Behandlung von Vektorfeldern.
Gaußsches Wellenpaket
Quelle: Quantenmechanik in Concept Maps
Lösung der Schrödinger-Gleichung, bei der die Wahrscheinlichkeitsdichte einer Gauß-Kurve entspricht.
Gebundener Zustand
Quelle: Quantenmechanik in Concept Maps
Eine Wellenfunktion, die durch die Wirkung eines Potenzials räumlich lokalisiert ist.
Gedämpfter Oszillator
Quelle: Experimentalphysik 1 - Mechanik und Wärme
Bei einem gedämpften Oszillator wird Schwingungsenergie in andere Energieformen (z. B. Reibungswärme) umgewandelt. Bei geringer Dämpfung nimmt die Schwingungsamplitude exponentiell ab. Bei starker Dämpfung kann sich keine Schwingung mehr ausbilden.
gegenphasig
Quelle: Durchblick in Optik
Von gegenphasig spricht man, wenn zwei Wellen eine Phasenverschiebung von $\Delta\varphi = 180^\circ$ zueinander haben. Dann treffen die Maxima der einen Welle mit den Minima der anderen Welle aufeinander.
Gekoppelte Schwingung
Quelle: Taylorentwicklung, Jacobi-Matrix, ∇, δ(x) und Co.
Gekoppelte harmonische Schwingungen werden als Superposition unabhängiger Normalmoden beschrieben.
Generator
Quelle: Quantenmechanik in Concept Maps
Der lineare Koeffizient in der Taylor-Entwicklung eines Transformationsoperators für kleine Transformationsparameter.
Geometrische Reihe (Definition und Grenzwert)
Quelle: Grundkurs Theoretische Physik 1 - Klassische Mechanik und mathematische Vorbereitungen
$$q^{0}+q^{1}+q^{2}+\cdots+q^{m}+\cdots=\sum_{m=1}^{\infty}\,q^{m-1}\;=\left\{\begin{array}[]{l} \frac{1}{1-q}\;\text{, falls}\;|q|<1\\ \text{nicht existent, falls}\;|q|\geq 1\end{array}\right.\;.$$
Geometrische Summenformel
Quelle: Mathematik zum Mitnehmen
\begin{equation}\sum_{k=1}^{n} q^k = \frac{1 - q^{n+1}}{1-q} \,,\quad \text{für } q \neq 1 \end{equation}
Gesamtladung/Monopolmoment einer Ladungsverteilung
Quelle: Grundkurs Theoretische Physik 3 - Elektrodynamik
$$\begin{aligned} & \; \textbf{Gesamtladung (Monopol):}& \; & \; q=\int\mathrm{d}^{3}r^{{\prime}}\varrho(\boldsymbol{r}^{{\prime}})\;\end{aligned}$$
Gesamtvergrößerung eines Mikroskops
Quelle: Tutorium Physik fürs Nebenfach
Für die Gesamtvergrößerung gilt $$V = V_\mathrm{Obj}\cdot V_\mathrm{Ok} = \frac{t \cdot s_0}{f_\mathrm{Obj}\cdot f_\mathrm{Ok}}\,.$$
Geschwindigkeit
Quelle: Tutorium Physik fürs Nebenfach
Die Geschwindigkeit ist die zeitliche Ableitung des Ortes, $$ v = \dot s\,.$$
Geschwindigkeit, eindimensional
Quelle: Physik - für Studierende der Naturwissenschaften und Technik
Für den einfachen Fall, dass sich ein Körper geradlinig, z.B. in $x$-Richtung, bewegt, benötigt man keine Vektorschreibweise. Es gilt:\begin{equation} v_x = \frac{\Delta x}{\Delta t}\end{equation}
Geschwindigkeit, mittlere eindimensional
Quelle: Physik - für Studierende der Naturwissenschaften und Technik
Für die ungleichförmige, eindimensionale Bewegung kann man die mittlere Geschwindigkeit folgendermaßen definieren:\begin{equation} \langle v_x \rangle = \frac{\Delta x}{\Delta t} \end{equation}
Geschwindigkeit, mittlere mehrdimensional
Quelle: Physik - für Studierende der Naturwissenschaften und Technik
Für den mehrdimensionalen Fall berechnet sich der Vektor der mittleren Geschwindigkeit aus dem Quotienten des Vektors der Gesamtverschiebung $\Delta \vec{r}$ und der für diese Verschiebung benötigten Zeit $\Delta t$:\begin{equation} \langle \vec{v} \rangle = \frac{\Delta \vec{r}}{\Delta t} \end{equation}
Geschwindigkeit, momentan eindimensional
Quelle: Physik - für Studierende der Naturwissenschaften und Technik
Die Momentangeschwindigkeit in $x$-Richtung $v_x$ ist der Grenzwert des Quotienten $\Delta x/\Delta t$ für $\Delta t$ gegen null:\begin{align} v_x(t) &= \lim_{\Delta t \rightarrow 0} \frac{\Delta x}{\Delta t} \\ \nonumber&=\text{Anstieg der Tangente an die Funktion $x(t)$} \end{align}
Geschwindigkeit, momentan mehrdimensional
Quelle: Physik - für Studierende der Naturwissenschaften und Technik
Der Grenzwert des Vektors der mittleren Geschwindigkeit für $\Delta t$ gegen null wird als Vektor der Momentangeschwindigkeit definiert:\begin{equation} \vec{v}(t) = \lim_{\Delta t\rightarrow 0}\frac{\Delta\vec{r}}{\Delta t} = \frac{\mathrm{d} \vec{r}}{\mathrm{d} t} = \dot{\vec{r}}(t) \end{equation}
Geschwindigkeit, relativ
Quelle: Physik - für Studierende der Naturwissenschaften und Technik
Wenn sich ein Teilchen mit der Geschwindigkeit $\vec{v}^\mathrm{(A)}$ relativ zum Bezugssystem A bewegt, das sich seinerseits mit der Geschwindigkeit $\vec{v}_\mathrm{A}^\mathrm{(B)}$ relativ zum Bezugssystem B bewegt, ist die Geschwindigkeit des Teilchens relativ zum Bezugssystem B:\begin{equation} \vec{v}^\mathrm{(B)} = \vec{v}^\mathrm{(A)} + \vec{v}_\mathrm{A}^\mathrm{(B)} \end{equation}
Gesetz von Malus
Quelle: Durchblick in Optik
Das Gesetz von Malus gibt uns die Lichtintensität $I(\alpha)$, die hinter einem Polarisationsfilter gemessen wird, in Abhängigkeit vom Winkel $\alpha$ zwischen der Polarisationsrichtung des Lichts und der Durchlassrichtung des Filters: $I(\alpha) = I_0\cos^2\alpha$.
Gibbs-Duhem-Beziehung
Quelle: Theoretische Physik 4 | Thermodynamik und Statistische Physik
Die mächtige Gibbs-Duhem-Beziehung lautet: $$ TS-PV+\sum_i\mu^{(i)}N^{(i)} = U\quad\hbox{oder}\quad G = \sum_i\mu^{(i)}N^{(i)}\,, \label{eq:td03-204} $$ wenn die freie Enthalpie durch $G = U+PV-TS$ eingeführt wird. Diese Beziehung ist nach dem US-amerikanischen Physiker Josiah Willard Gibbs (1839--1903) und dem französischen Physiker Pierre Maurice Marie Duhem (1861--1916) benannt. Besteht das System aus nur einer Komponente, ist $$ G = \mu N\quad\hbox{oder}\quad\mu=\frac{G}{N}\,. \label{eq:td03-205} $$
Gitter
Quelle: Tutorium Physik fürs Nebenfach
Beim Gitter treten sehr scharfe Maxima auf. Kenngröße ist die Gitterkonstante $g$, der Abstand zwischen benachbarten Spalten des Gitters. Konstruktive Interferenz (Maxima) bei $n\cdot\lambda = g\sin\alpha\,.$ Zwischen zwei scharfen Maxima gibt es sehr schwache Nebenmaxima. Deren Anzahl und jeweilige Intensität hängt von der Anzahl der beleuchteten Spalte ab. Das optische Gitter findet häufig Anwendung in der Spektroskopie.
Gitterabstand
Quelle: Experimentalphysik 3 - Atome, Moleküle und Festkörper
Der Abstand paralleler Netzebenen $(hkl)$ ist durch \begin{equation} d_{hkl} = \frac{2\pi}{\vert\mathbf{G}\vert} \end{equation} gegeben. Der Vektor $\mathbf{G}(hkl)$ des reziproken Gitters steht senkrecht auf den Ebenen $(hkl)$ des Raumgitters.
Gitterfehler
Quelle: Experimentalphysik 3 - Atome, Moleküle und Festkörper
Reale Kristalle weisen Gitterfehler auf. Diese können sein: \textbf{1)} Leerstellen (Schottky-Defekte), \textbf{2)} Atome auf Zwischengitterplätzen (Frenkel-Defekte), \textbf{3)} Fremdatome auf Gitterplätzen, \textbf{4)} Netzebenenverschiebungen, \textbf{5)} Stufen-Versetzungen. Im thermischen Gleichgewicht stellt sich eine Fehlstellenkonzentration ein, die von der Temperatur, der Energie zur Erzeugung der Fehlstellen und der Entropie abhängt.
Gleichgewicht, mechanisch Punktmasse
Quelle: Theoretische Physik 1 | Mechanik
Eine Punktmasse befindet sich im Gleichgewicht am stationären Ort $q_0$, wenn die Summe aller auf sie wirkenden generalisierten Kräfte verschwindet: \begin{equation} Q = - \left.\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}V}{q}\right\rvert_{q=q_0} = 0. \end{equation}
Gleichgewichtsbedingung
Quelle: Physik - für Studierende der Naturwissenschaften und Technik
1.~Die resultierende äußere Kraft auf den Körper muss null sein: \begin{equation} \sum_i \vec{F}_i = 0 \end{equation} 2.~Das resultierende äußere Drehmoment bezüglich eines beliebigen Punkts muss null sein: \begin{equation} \sum_i \vec{M}_i = 0\end{equation}
Gleichungssystem, linear
Quelle: Taylorentwicklung, Jacobi-Matrix, ∇, δ(x) und Co.
Lösbarkeit Ein lineares Gleichungssystem ist genau dann eindeutig lösbar, wenn die Determinante der Koeffizientenmatrix von null verschieden ist.
Gleichverteilungssatz
Quelle: Theoretische Physik 4 | Thermodynamik und Statistische Physik
Unter den sehr allgemeinen beiden Annahmen, dass die kinetische Energie jedes Freiheitsgrades aus der Hamilton-Funktion abgespalten werden kann und quadratisch im jeweiligen Impuls ist, haben wir daher das einfache und weitreichende Ergebnis erhalten, dass die mittlere kinetische Energie des beliebig herausgegriffenen Freiheitsgrades $i$, und damit jedes Freiheitsgrades, einfach durch $$ \langle\epsilon_i\rangle = \frac{1}{2\beta} = \frac{k_\mathrm{B}T}{2} \label{eq:td04-80} $$ gegeben ist. Dies ist der Gleichverteilungssatz.
Gradient
Quelle: Mathematik zum Mitnehmen
Der Gradient einer partiell differenzierbaren Funktion $f: \mathbb{R}^n\rightarrow \mathbb{R}$ im Punkt $p$ ist der Vektor der partiellen Ableitungen in diesem Pukt; $$\left.\boldsymbol{\nabla}f \right\vert_p \equiv \left.\textbf{grad} f\right\vert_p := \begin{pmatrix} \left. \frac{\partial f}{\partial x_1}\right\vert_p \\ \vdots \\ \left. \frac{\partial f}{\partial x_n}\right\vert_p \end{pmatrix}$$
Gradient
Quelle: Taylorentwicklung, Jacobi-Matrix, ∇, δ(x) und Co.
Der Gradient, auch $\nabla$-Operator (sprich: Nabla), einer Funktion zeigt in die Richtung ihrer größten Änderung und ist eine vektorielle Abbildung.
Gradient eines Skalarfeldes
Quelle: Grundkurs Theoretische Physik 1 - Klassische Mechanik und mathematische Vorbereitungen
Einem stetig differenzierbaren skalaren Feld $\varphi(\boldsymbol{r})$ wird ein vektorielles Feld, das so genannte Gradientenfeld, zugeordnet: $\mathop{grad}\varphi=\left(\frac{\partial\varphi}{\partial x_{1}},\,\frac{\partial\varphi}{\partial x_{2}},\,\frac{\partial\varphi}{\partial x_{3}}\right)\;.$
Gradient in allgemeinen Koordinatensystemen
Quelle: Theoretische Physik 1 | Mechanik
Der Gradient $\boldsymbol{\nabla}$ einer skalaren Funktion $f$ hängt von der Wahl des Koordinatensystems ab: \begin{eqnarray} \boldsymbol{\nabla} f &=& \left(\boldsymbol{\hat e}_1 \frac{\partial}{\partial x_1} + \boldsymbol{\hat e}_2 \frac{\partial}{\partial x_2} + \boldsymbol{\hat e}_3 \frac{\partial}{\partial x_3}\right) f \\ &=& \left(\frac{\boldsymbol{\hat e}'_1}{h_1} \frac{\partial}{\partial q_1} + \frac{\boldsymbol{\hat e}'_2}{h_2} \frac{\partial}{\partial q_2} + \frac{\boldsymbol{\hat e}'_3}{h_3} \frac{\partial}{\partial q_3}\right) f,\end{eqnarray} wenn $h_i^2 = \sum_{j=1}^{3} \left(\frac{\partial x_j}{\partial q_i} \right)^2$ gilt.
Gradient und Wirbelfreiheit
Quelle: Theoretische Physik 1 | Mechanik
Felder $ \boldsymbol{F}( \boldsymbol{x})$, die auf einem einfach zusammenhängenden Gebiet $G$ definiert sind, haben genau dann ein Potenzial $V( \boldsymbol{x})$, wenn sie in $G$ wirbelfrei (rotationsfrei) sind, \begin{equation} \boldsymbol{\nabla} \times \boldsymbol{F} = 0 \; \Longleftrightarrow \; \boldsymbol{F} = - \boldsymbol{\nabla} V. \end{equation}
Gradientenfeld
Quelle: Theoretische Physik 1 | Mechanik
Ein Kurvenintegral über ein Vektorfeld $ \boldsymbol{F}(\boldsymbol{x})$ ist genau dann wegunabhängig, wenn es ein Skalarfeld $\Phi$ gibt, dessen Gradient $ \boldsymbol{F}$ ist, d.h. $$ \boldsymbol{F}( \boldsymbol{x}) = \boldsymbol{\nabla} \Phi(\boldsymbol{x})$$
Gravitationsgesetz
Quelle: Mechanik und Wärmelehre
$$\vec{F}_{\text{Grav}}(\vec{r})=G\frac{m_{1}m_{2}}{r^{2}}\hat{e}_{r}$$
Gravitationsgesetz
Quelle: Tutorium Physik fürs Nebenfach
Das allgemeingültige Gravitationsgesetz zwischen zwei Massen lautet $$ F_\text{G} = G \frac{m_1 m_2}{r^2}\,. $$ $G$ ist eine Naturkonstante mit dem Wert $G = 6.67\cdot10^{-11} \text{m$^3$/kg/s$^2$}$.
Gravitationslinseneffekt
Quelle: Das kosmologische Standardmodell
Eine wichtige Konsequenz der allgemeinen Relativitätstheorie ist es, dass sich in Anwesenheit von Dichteschwankungen in der räumlichen Materieund Energieverteilung die Raumzeit krümmt und damit auch Lichtstrahlen auf leicht gekrümmte Bahnen zwingt. Da das Licht auf diese Weise so abgelenkt wird, als würde es eine optische Linse durchlaufen, spricht man vom Gravitationslinseneffekt.
Gravitationspotenzial, Bahnkurve
Quelle: Theoretische Physik 1 | Mechanik
Die Bahnkurve im Gravitationspotenzial lautet allgemein \begin{equation} r( \varphi) = \frac{p}{1 + \varepsilon\, \mathrm{cos\:} ( \varphi - \varphi_\mathrm{p})}, \end{equation} wobei $p$ der Bahnparameter, $ \varepsilon$ die Exzentrizität und $ \varphi_\mathrm{p}$ eine weitere Integrationskonstante ist.
Green'sche Integralsatz
Quelle: Tutorium Mathematische Methoden der Elektrodynamik
Mittels partieller Integration folgt aus dem Gauß'schen Integralsatz die Integrale von Green wie folgt \begin{eqnarray}
Grenzwert einer Folge
Quelle: Mathematik zum Mitnehmen
Eine Zahl $x\in\mathbb{C}$ heißt Grenzwert einer Folge $\left(x_n\right)^\infty_{n=1}$ in $\mathbb{C}$, wenn es zu jeder Zahl $\varepsilon > 0$ eine natürliche Zahl $N\in\mathbb{N}$ gibt, sodass $$ \vert x_n - x \vert < \varepsilon \qquad \text{für alle } n \geq N$$ gilt. Eine Folge $(x_n)$ in $\mathbb{C}$, die einen Grenzwert hat, heißt konvergent, ansonsten heißt die Folge divergent.
Grundpostulat der statistischen Physik
Quelle: Theoretische Physik 4 | Thermodynamik und Statistische Physik
Abgeschlossene Systeme im Gleichgewicht halten sich mit gleicher Wahrscheinlichkeit in jedem der ihnen zugänglichen Mikrozustände auf.
Grundzustand
Quelle: Quantenmechanik in Concept Maps
Der Zustand eines Systems mit der niedrigsten Energie.
Gruppengeschwindigkeit
Quelle: Durchblick in Optik
Die Gruppengeschwindigkeit $v_\mathrm{g}$ beschreibt die Fortschreitung des gesamten Wellenpakets über die Zeit. Sie kann sogar negativ sein und bestimmt sich über $v_\mathrm{g} = \frac{\partial\omega}{\partial k}$.
Gruppengeschwindigkeit
Quelle: Experimentalphysik 3 - Atome, Moleküle und Festkörper
Teilchen können durch Wellenpakete beschrieben werden. Die Teilchengeschwindigkeit ist gleich der Gruppengeschwindigkeit der Wellenpakete.