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Begriff Erklärung

Galilei-Transformation

Eine eigentliche Galilei-Transformation zwischen zwei Inertialsystemen überführt die Darstellung des Ortsvektors $ \boldsymbol{x}$ und der Zeit $t$ in \begin{equation} \boldsymbol{x}' = \boldsymbol{R} ( \boldsymbol{x} - \boldsymbol{v}_0 t - \boldsymbol{b}_0), \quad t' = t - t_0. \end{equation} Die Drehmatrix $ \boldsymbol{R}$, Relativgeschwindigkeit $\boldsymbol{v}_0$, Verschiebung $\boldsymbol{b}_0$ und Verschiebung $t_0$ der Zeitnullpunkte sind konstant.

Gammafunktion

Die Ggammafunktion $\Gamma$ ist für beliebige $x\in \mathbb{R}_{>0}$ definiert als $$\Gamma(x) := \int_0^\infty t^{x-1}\mathrm{e}^{-t} \mathrm{d}t$$ und erfüllt die Funktionalgleichunt $$\Gamma(1+x) = x \Gamma(x)$$ Für $n\in\mathbb{N}_0$ gilt $\Gamma(n+1) = n!$

Gauß'scher Integralsatz

Der Gauß'sche Integralsatz stellt einen Zusammenhang her zwischen dem Volumenintegral über die Quellen eines Vektorfeldes und dessen Fluss durch die Oberfläche $$\int_V \text{div}\boldsymbol{j} \text{d}V = \oint_{\partial V} \boldsymbol{j}\circ \textbf{d}\boldsymbol{F}$$

Gauß'scher Satz

$$\begin{aligned} \int\limits _{V}\text{div}\boldsymbol{E}(\boldsymbol{r})\,\mathrm{d}^{3}r=\oint\limits _{{S(V)}}\boldsymbol{E}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{f}\;.\end{aligned}$$

Gaußsches Wellenpaket

Lösung der Schrödinger-Gleichung, bei der die Wahrscheinlichkeitsdichte einer Gauß-Kurve entspricht.

Gebundener Zustand

Eine Wellenfunktion, die durch die Wirkung eines Potenzials räumlich lokalisiert ist.

Gedämpfter Oszillator

Bei einem gedämpften Oszillator wird Schwingungsenergie in andere Energieformen (z. B. Reibungswärme) umgewandelt. Bei geringer Dämpfung nimmt die Schwingungsamplitude exponentiell ab. Bei starker Dämpfung kann sich keine Schwingung mehr ausbilden.

gegenphasig

Von gegenphasig spricht man, wenn zwei Wellen eine Phasenverschiebung von $\Delta\varphi = 180^\circ$ zueinander haben. Dann treffen die Maxima der einen Welle mit den Minima der anderen Welle aufeinander.

Gekoppelte Schwingung

Gekoppelte harmonische Schwingungen werden als Superposition unabhängiger Normalmoden beschrieben.

Generator

Der lineare Koeffizient in der Taylor-Entwicklung eines Transformationsoperators für kleine Transformationsparameter.

Geometrische Reihe (Definition und Grenzwert)

$$q^{0}+q^{1}+q^{2}+\cdots+q^{m}+\cdots=\sum_{m=1}^{\infty}\,q^{m-1}\;=\left\{\begin{array}[]{l} \frac{1}{1-q}\;\text{, falls}\;|q|

Geometrische Summenformel

\begin{equation}\sum_{k=1}^{n} q^k = \frac{1 - q^{n+1}}{1-q} \,,\quad \text{für } q \neq 1 \end{equation}

Gesamtladung/Monopolmoment einer Ladungsverteilung

$$\begin{aligned} & \; \textbf{Gesamtladung (Monopol):}& \; & \; q=\int\mathrm{d}^{3}r^{{\prime}}\varrho(\boldsymbol{r}^{{\prime}})\;\end{aligned}$$

Gesamtvergrößerung eines Mikroskops

Für die Gesamtvergrößerung gilt $$V = V_\mathrm{Obj}\cdot V_\mathrm{Ok} = \frac{t \cdot s_0}{f_\mathrm{Obj}\cdot f_\mathrm{Ok}}\,.$$

Geschwindigkeit

Die Geschwindigkeit ist die zeitliche Ableitung des Ortes, $$ v = \dot s\,.$$

Geschwindigkeit, eindimensional

Für den einfachen Fall, dass sich ein Körper geradlinig, z.B. in $x$-Richtung, bewegt, benötigt man keine Vektorschreibweise. Es gilt:\begin{equation} v_x = \frac{\Delta x}{\Delta t}\end{equation}

Geschwindigkeit, mittlere eindimensional

Für die ungleichförmige, eindimensionale Bewegung kann man die mittlere Geschwindigkeit folgendermaßen definieren:\begin{equation} \langle v_x \rangle = \frac{\Delta x}{\Delta t} \end{equation}

Geschwindigkeit, mittlere mehrdimensional

Für den mehrdimensionalen Fall berechnet sich der Vektor der mittleren Geschwindigkeit aus dem Quotienten des Vektors der Gesamtverschiebung $\Delta \vec{r}$ und der für diese Verschiebung benötigten Zeit $\Delta t$:\begin{equation} \langle \vec{v} \rangle = \frac{\Delta \vec{r}}{\Delta t} \end{equation}

Geschwindigkeit, momentan eindimensional

Die Momentangeschwindigkeit in $x$-Richtung $v_x$ ist der Grenzwert des Quotienten $\Delta x/\Delta t$ für $\Delta t$ gegen null:\begin{align} v_x(t) &= \lim_{\Delta t \rightarrow 0} \frac{\Delta x}{\Delta t} \\ \nonumber&=\text{Anstieg der Tangente an die Funktion $x(t)$} \end{align}

Geschwindigkeit, momentan mehrdimensional

Der Grenzwert des Vektors der mittleren Geschwindigkeit für $\Delta t$ gegen null wird als Vektor der Momentangeschwindigkeit definiert:\begin{equation} \vec{v}(t) = \lim_{\Delta t\rightarrow 0}\frac{\Delta\vec{r}}{\Delta t} = \frac{\mathrm{d} \vec{r}}{\mathrm{d} t} = \dot{\vec{r}}(t) \end{equation}

Geschwindigkeit, relativ

Wenn sich ein Teilchen mit der Geschwindigkeit $\vec{v}^\mathrm{(A)}$ relativ zum Bezugssystem A bewegt, das sich seinerseits mit der Geschwindigkeit $\vec{v}_\mathrm{A}^\mathrm{(B)}$ relativ zum Bezugssystem B bewegt, ist die Geschwindigkeit des Teilchens relativ zum Bezugssystem B:\begin{equation} \vec{v}^\mathrm{(B)} = \vec{v}^\mathrm{(A)} + \vec{v}_\mathrm{A}^\mathrm{(B)} \end{equation}

Gesetz von Malus

Das Gesetz von Malus gibt uns die Lichtintensität $I(\alpha)$, die hinter einem Polarisationsfilter gemessen wird, in Abhängigkeit vom Winkel $\alpha$ zwischen der Polarisationsrichtung des Lichts und der Durchlassrichtung des Filters: $I(\alpha) = I_0\cos^2\alpha$.

Gibbs-Duhem-Beziehung

Die mächtige Gibbs-Duhem-Beziehung lautet: $$ TS-PV+\sum_i\mu^{(i)}N^{(i)} = U\quad\hbox{oder}\quad G = \sum_i\mu^{(i)}N^{(i)}\,, \label{eq:td03-204} $$ wenn die freie Enthalpie durch $G = U+PV-TS$ eingeführt wird. Diese Beziehung ist nach dem US-amerikanischen Physiker Josiah Willard Gibbs (1839--1903) und dem französischen Physiker Pierre Maurice Marie Duhem (1861--1916) benannt. Besteht das System aus nur einer Komponente, ist $$ G = \mu N\quad\hbox{oder}\quad\mu=\frac{G}{N}\,. \label{eq:td03-205} $$

Gitter

Beim Gitter treten sehr scharfe Maxima auf. Kenngröße ist die Gitterkonstante $g$, der Abstand zwischen benachbarten Spalten des Gitters. Konstruktive Interferenz (Maxima) bei $n\cdot\lambda = g\sin\alpha\,.$ Zwischen zwei scharfen Maxima gibt es sehr schwache Nebenmaxima. Deren Anzahl und jeweilige Intensität hängt von der Anzahl der beleuchteten Spalte ab. Das optische Gitter findet häufig Anwendung in der Spektroskopie.

Gitterabstand

Der Abstand paralleler Netzebenen $(hkl)$ ist durch \begin{equation} d_{hkl} = \frac{2\pi}{\vert\mathbf{G}\vert} \end{equation} gegeben. Der Vektor $\mathbf{G}(hkl)$ des reziproken Gitters steht senkrecht auf den Ebenen $(hkl)$ des Raumgitters.

Gitterfehler

Reale Kristalle weisen Gitterfehler auf. Diese können sein: \textbf{1)} Leerstellen (Schottky-Defekte), \textbf{2)} Atome auf Zwischengitterplätzen (Frenkel-Defekte), \textbf{3)} Fremdatome auf Gitterplätzen, \textbf{4)} Netzebenenverschiebungen, \textbf{5)} Stufen-Versetzungen. Im thermischen Gleichgewicht stellt sich eine Fehlstellenkonzentration ein, die von der Temperatur, der Energie zur Erzeugung der Fehlstellen und der Entropie abhängt.

Gleichgewicht, mechanisch Punktmasse

Eine Punktmasse befindet sich im Gleichgewicht am stationären Ort $q_0$, wenn die Summe aller auf sie wirkenden generalisierten Kräfte verschwindet: \begin{equation} Q = - \left.\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}V}{q}\right\rvert_{q=q_0} = 0. \end{equation}

Gleichgewichtsbedingung

1.~Die resultierende äußere Kraft auf den Körper muss null sein: \begin{equation} \sum_i \vec{F}_i = 0 \end{equation} 2.~Das resultierende äußere Drehmoment bezüglich eines beliebigen Punkts muss null sein: \begin{equation} \sum_i \vec{M}_i = 0\end{equation}

Gleichungssystem, linear

Lösbarkeit Ein lineares Gleichungssystem ist genau dann eindeutig lösbar, wenn die Determinante der Koeffizientenmatrix von null verschieden ist.

Gleichverteilungssatz

Unter den sehr allgemeinen beiden Annahmen, dass die kinetische Energie jedes Freiheitsgrades aus der Hamilton-Funktion abgespalten werden kann und quadratisch im jeweiligen Impuls ist, haben wir daher das einfache und weitreichende Ergebnis erhalten, dass die mittlere kinetische Energie des beliebig herausgegriffenen Freiheitsgrades $i$, und damit jedes Freiheitsgrades, einfach durch $$ \langle\epsilon_i\rangle = \frac{1}{2\beta} = \frac{k_\mathrm{B}T}{2} \label{eq:td04-80} $$ gegeben ist. Dies ist der Gleichverteilungssatz.

Gradient

Der Gradient einer partiell differenzierbaren Funktion $f: \mathbb{R}^n\rightarrow \mathbb{R}$ im Punkt $p$ ist der Vektor der partiellen Ableitungen in diesem Pukt; $$\left.\boldsymbol{\nabla}f \right\vert_p \equiv \left.\textbf{grad} f\right\vert_p := \begin{pmatrix} \left. \frac{\partial f}{\partial x_1}\right\vert_p \\ \vdots \\ \left. \frac{\partial f}{\partial x_n}\right\vert_p \end{pmatrix}$$

Gradient eines Skalarfeldes

Einem stetig differenzierbaren skalaren Feld $\varphi(\boldsymbol{r})$ wird ein vektorielles Feld, das so genannte Gradientenfeld, zugeordnet: $\mathop{grad}\varphi=\left(\frac{\partial\varphi}{\partial x_{1}},\,\frac{\partial\varphi}{\partial x_{2}},\,\frac{\partial\varphi}{\partial x_{3}}\right)\;.$

Gradient in allgemeinen Koordinatensystemen

Der Gradient $\boldsymbol{\nabla}$ einer skalaren Funktion $f$ hängt von der Wahl des Koordinatensystems ab: \begin{eqnarray} \boldsymbol{\nabla} f &=& \left(\boldsymbol{\hat e}_1 \frac{\partial}{\partial x_1} + \boldsymbol{\hat e}_2 \frac{\partial}{\partial x_2} + \boldsymbol{\hat e}_3 \frac{\partial}{\partial x_3}\right) f \\ &=& \left(\frac{\boldsymbol{\hat e}'_1}{h_1} \frac{\partial}{\partial q_1} + \frac{\boldsymbol{\hat e}'_2}{h_2} \frac{\partial}{\partial q_2} + \frac{\boldsymbol{\hat e}'_3}{h_3} \frac{\partial}{\partial q_3}\right) f,\end{eqnarray} wenn $h_i^2 = \sum_{j=1}^{3} \left(\frac{\partial x_j}{\partial q_i} \right)^2$ gilt.

Gradient und Wirbelfreiheit

Felder $ \boldsymbol{F}( \boldsymbol{x})$, die auf einem einfach zusammenhängenden Gebiet $G$ definiert sind, haben genau dann ein Potenzial $V( \boldsymbol{x})$, wenn sie in $G$ wirbelfrei (rotationsfrei) sind, \begin{equation} \boldsymbol{\nabla} \times \boldsymbol{F} = 0 \; \Longleftrightarrow \; \boldsymbol{F} = - \boldsymbol{\nabla} V. \end{equation}

Gradientenfeld

Ein Kurvenintegral über ein Vektorfeld $ \boldsymbol{F}(\boldsymbol{x})$ ist genau dann wegunabhängig, wenn es ein Skalarfeld $\Phi$ gibt, dessen Gradient $ \boldsymbol{F}$ ist, d.h. $$ \boldsymbol{F}( \boldsymbol{x}) = \boldsymbol{\nabla} \Phi(\boldsymbol{x})$$

Gravitationsgesetz

$$\vec{F}_{\text{Grav}}(\vec{r})=G\frac{m_{1}m_{2}}{r^{2}}\hat{e}_{r}$$

Gravitationslinseneffekt

Eine wichtige Konsequenz der allgemeinen Relativitätstheorie ist es, dass sich in Anwesenheit von Dichteschwankungen in der räumlichen Materieund Energieverteilung die Raumzeit krümmt und damit auch Lichtstrahlen auf leicht gekrümmte Bahnen zwingt. Da das Licht auf diese Weise so abgelenkt wird, als würde es eine optische Linse durchlaufen, spricht man vom Gravitationslinseneffekt.

Gravitationspotenzial, Bahnkurve

Die Bahnkurve im Gravitationspotenzial lautet allgemein \begin{equation} r( \varphi) = \frac{p}{1 + \varepsilon\, \mathrm{cos\:} ( \varphi - \varphi_\mathrm{p})}, \end{equation} wobei $p$ der Bahnparameter, $ \varepsilon$ die Exzentrizität und $ \varphi_\mathrm{p}$ eine weitere Integrationskonstante ist.

Green'sche Integralsatz

Mittels partieller Integration folgt aus dem Gauß'schen Integralsatz die Integrale von Green wie folgt \begin{eqnarray}

Grenzwert einer Folge

Eine Zahl $x\in\mathbb{C}$ heißt Grenzwert einer Folge $\left(x_n\right)^\infty_{n=1}$ in $\mathbb{C}$, wenn es zu jeder Zahl $\varepsilon > 0$ eine natürliche Zahl $N\in\mathbb{N}$ gibt, sodass $$ \vert x_n - x \vert

Grundpostulat der statistischen Physik

Abgeschlossene Systeme im Gleichgewicht halten sich mit gleicher Wahrscheinlichkeit in jedem der ihnen zugänglichen Mikrozustände auf.

Grundzustand

Der Zustand eines Systems mit der niedrigsten Energie.

Gruppengeschwindigkeit

Teilchen können durch Wellenpakete beschrieben werden. Die Teilchengeschwindigkeit ist gleich der Gruppengeschwindigkeit der Wellenpakete.