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Begriff Erklärung

Haftreibungskriterium

Damit ein Körper auf der schiefen Ebene rutscht, muss gelten $$ \tan(\alpha) > \mu_H\,, $$ wobei $\alpha$ der Neigungswinkel der Ebene ist und $\mu_H$ der sogenannte Haftreibungskoeffizient.

Hagen-Poiseuille'sches Gesetz

$$I=\frac{\pi}{8\eta}\frac{\Delta p}{L}R^{4}$$

Hagen-Poisseuille'sches Gesetz

Strömungen werden verursacht durch ein Druckgefälle. Bei Rohren kann über das Gesetz von Hagen-Poiseuille der Volumenstrom berechnet werden:$$\dot{V} = \frac{\Delta p}{R}\quad \mathrm{mit}\quad R = \frac{8\eta l}{\pi r^4}\,.$$ $R$ ist der Strömungswiderstand.

Halbleiter, Dotierung

Fünfwertige Atome im vierwertigen Halbleiter sind Elektronenspender (Donatoren), dreiwertige sind Elektronenfallen (Akzeptoren). Die Energieniveaus der Donatoren liegen in der Bandlücke des Halbleiters, dicht unter dem Leitungsband, die Niveaus der Akzeptoren dicht oberhalb des Valenzbandes. Halbleiter mit Donatoren heißen n-Halbleiter, solche mit Akzeptoren p-Halbleiter.

Halbleiter, elektr. Leitfähigkeit

Die elektrische Leitfähigkeit $\sigma_{el} = n_e\,\left( u^{-} + u^{+} \right)$ von Halbleitern hängt ab von Elektronendichte $n_e$ im Leitungsband und Beweglichkeit $u^{-}$ der Elektronen bzw. $u^{+}$ der Löcher. Sie steigt stark mit der Temperatur, im Gegensatz zu Metallen, denn die Ladungsträgerdichte $n_e$ kann durch Temperaturerhöhung, aber auch durch Lichtabsorption erhöht werden. Man kann die Leitfähigkeit durch Dotierung des reinen Halbleiters mit Fremdatomen stark erhöhen.

Hall-Effekt

Beim Hall-Effekt ergibt sich die Hall-Spannung zu $U_{\mathrm{H}}=\frac{I\cdot B}{n\cdot q\cdot d}\,.$

Halos

Die Verteilung der dunklen Materie im Universum kann so aufgefasst werden, als wäre sie aus einzelnen sogenannten Halos aufgebaut. Damit sind annähernd kugelförmige, überdichte Ansammlungen aus dunkler Materie gemeint, die in ihren Zentren hochgradig nichtlineare Dichten erreichen können.

Hamilton'sche kanonische Gleichungen

\begin{equation} \frac{\partial H}{\partial p_i} = \dot q_i, \quad \frac{\partial H}{\partial q_i} = - \dot p_i \quad (1 \leq i \leq f) \end{equation}

Hamilton'sches Prinzip der stationären Wirkung

Entlang der tatsächlichen Bahn $q(t)$ zwischen den Zeiten $t_0$ und $t_1$ wird die Wirkung $S[q] := \int_{t_0}^{t_1} L(t, q, \dot q)\, \mathrm{d} t$ extremal. Es gilt also \begin{equation} 0 = \delta S = \int_{t_0}^{t_1} \delta L(t, q, \dot q)\, \mathrm{d} t \end{equation} für eine infinitesimale Variation der Wirkung. Diese Aussage wird auch als das Wirkungsprinzip oder Prinzip der stationären Wirkung bezeichnet.

Hamilton-Funktion und Gesamtenergie

Die Hamilton-Funktion \begin{equation} H = \sum_i \dot q_i \frac{\partial L}{\partial \dot q_i} - L \end{equation} ist gleich der erhaltenen Gesamtenergie des Systems, wenn die folgenden Bedingungen erfüllt sind: 1.) Das System ist konservativ; alle Kräfte lassen sich aus $V$ ableiten. 2.) Das Potenzial $V$ ist geschwindigkeitsunabhängig. 3.) Alle Zwangsbedingungen sind skleronom.

Hamilton-Jacobi-Gleichung

Eine Erzeugende $S(t, q, P)$, welche die Hamilton-Jacobi-Gleichung\begin{equation} H\left(t, q, \frac{\partial S}{\partial q}\right) + \frac{\partial S}{\partial t} = 0 \end{equation} erfüllt, führt auf $H' = 0$. Diese Gleichung ist die Bestimmungsgleichung für $S(t, q, P)$.

Hamilton-Operator

Der Operator, der der Observablen Energie zugeordnet ist.

Harmonische Schwingung

Der freie ungedämpfte eindimensionale Oszillator führt eine harmonische Schwingung $x=A\cdot\cos(\omega t+\varphi)$ aus, die durch
Amplitude $A$, Kreisfrequenz $\omega$ und Phasenverschiebung $\varphi$ vollständig beschrieben wird. Die Summe aus kinetischer und potentieller Energie bleibt zeitlich konstant.

Harmonischer Oszillator

Der harmonische Oszillator genügt der Gleichung $$ \ddot x + k x = 0\,, $$ seine Bewegungsgleichung ist $$ x(t) = x_0 \sin(\omega t)\,.$$ $\omega$ ist die Kreisfrequenz. Sie ist mit der Periode $T$ verbunden durch $$ \omega = \frac{2 \pi}{T} = 2\pi f.$$

Hauptachsensystem (HS)

$\Theta_{kl}=\begin{cases}
0, & k\neq l\\
\Theta_{k}, & k=l
\end{cases}$

Hauptsatz der Infinitesimalrechnung

Die Korrespondenz $ \frac{F(x)}{dx}~=~f(x) \qquad\leftrightarrow\qquad F(x)~=~\int\,dx~f(x) $ wird als Hauptsatz der Infinitesimalrechnung, Differentiation und Integration sind Umkehroperationen voneinander.

Hauptsatz der Statik

Ein Körper ist in Ruhe, wenn die Summe aller von außen angreifenden Kräfte und die Summe aller von außen angreifenden Drehmomente verschwindet.

Hauptsatz der Statik (Alternative Formulierung)

Die Wirkung aller in einer Ebene auf einen Körper einwirkenden Kräftepaare lässt sich durch ein einziges Kräftepaar mit dem Schwerpunkt als Mittelpunkt ersetzen.

Hauptsatz der Thermodynamik, Dritter

Der Gleichgewichtszustand am absoluten Nullpunkt ist ein Zustand maximaler Ordnung, der nur eine Realisierungsmöglichkeit mit W=1 hat.

Hauptsatz der Thermodynamik, Dritter (Formulierung mit absolutem Nullpunkt)

Es ist unmöglich, durch irgendeinen Prozess den absoluten Nullpunkt zu erreichen.

Hauptsatz der Thermodynamik, Erster

$$ \Delta U = \Delta Q + \Delta W\,. $$

Hauptsatz der Thermodynamik, Erster (Energiesatz)

Die Änderung der inneren Energie eines Systems entspricht der Differenz aus zugeführter Wärme und der vom System verrichteten Arbeit: $$\Delta U=Q-W.$$

Hauptsatz der Thermodynamik, Nullter

Stehen zwei Körper im thermischen Gleichgewicht, und steht ein dritter mit einem von beiden im thermischen Gleichgewicht, so stehen alle drei im thermischen Gleichgewicht. Thermisches Gleichgewicht heißt, sie haben dieselbe Temperatur.

Hauptsatz der Thermodynamik, Nullter (Gleichgewicht)

Befinden sich zwei Körper mit einem dritten im thermodynamischen Gleichgewicht, so sind sie auch untereinander im Gleichgewicht.

Hauptsatz der Thermodynamik, Nullter (Temperaturen)

Befinden sich zwei Körper auf derselben Temperatur, so sind sie im thermodynamischen Gleichgewicht.

Hauptsatz der Thermodynamik, Zweiter

$$ \Delta S \geq 0 $$ Ein Prozess ist genau dann reversibel, wenn $\Delta S = 0$ gilt.

Hauptsatz der Thermodynamik, Zweiter (Entropiesatz)

Bei allen natürlichen, mit endlicher Geschwindigkeit ablaufenden Vorgängen in einem abgeschlossenen System nimmt die Entropie zu.

Hauptsatz der Thermodynamik, Zweiter (Entropiesatz, Formulierung mit Carnotmaschine)

Jede reversibel arbeitende Wärme-Kraft-Maschine hat den Wirkungsgrad des Carnot'schen Kreisprozesses. Keine hat einen höheren.

Hauptsatz zwei der Differential- und Integralrechnung

Wenn $F:[a,b] \rightarrow \mathbb{R}$ eine stetige und auf $(a,b)$ stetig differenzierbare Funktion ist mit integrierbarer Ableitung $F'$, d.h. $F'\in L\left( (a,b) \right)$, dann gilt: $$\int_a^b F'(x) \mathrm{d}x = F(b) - F(a)$$

Hauptträgheitsmomente

Das Trägheitsmoment $I_{\text{S}}$ hängt ab von der Richtung der Drehachse im Körper. Man kann es als Tensor schreiben. Die Richtungen der Achsen mit größtem und kleinstem Trägheitsmoment bestimmen das Hauptachsensystem. In ihm wird der Trägheitsmomenttensor diagonal. Die Diagonalelemente sind die Hauptträgheitsmomente.

Heisenberg'sche Unschärferelation

$\Delta x\cdot\Delta p\geq \frac{\hbar}{2}$.

Heisenberg-Bewegungsgleichung

Die Bewegungsgleichung für die Operatoren im Heisenberg-Bild.

Heisenberg-Bild

Formulierung der Quantenmechanik mit zeitabhängigen Operatoren und zeitlich konstanten Zuständen.

Heisenberg-Unschärferelation

Mathematische Aussage, dass das Produkt der Unschärfen des Impulses und des Orts eines Teilchens bei gleichzeitiger Messung nicht beliebig klein werden kann.

Hertzsprung-Russell-Diagramm

Im Hertzsprung-Russell-Diagramm wird die Leuchtkraft der Sterne gegen ihre Oberflächentemperatur aufgetragen. Sterne liegen während ihrer stabilen Brennphase in einem eng begrenzten Gebiet (Hauptreihe) dieses Diagramms.

Hertz´scher Dipol

Ein Modell für einen offenen Schwingkreis ist der Hertz´sche Dipol, bei dem eine Ladung $-q$ gegen eine Ladung $+q$ periodisch schwingt und der dadurch ein oszillierendes elektrisches Dipolmoment $$p=q\cdot d_{0}\cdot\sin\omega t$$ darstellt. Die vom Hertz´schen Dipol in den gesamten Raum abgestrahlte zeitlich gemittelte Leistung ist $$P_{\text{em}}\propto q^{2}d_{0}^{2}\,\omega^{4}\,.$$ Die in den Raumwinkel $\mathrm{d}\Omega$ unter dem Winkel $\vartheta$ gegen die Dipolachse abgestrahlte Leistung ist im nichtrelativistischen Fall $\propto\sin^{2}\vartheta\cdot\mathrm{d}\Omega$.

Hesse-Matrix

Die Hesse-Matrix eines skalaren Feldes $\phi$ besteht aus seinen partiellen zweiten Ableitungen bezüglich der Koordinatenbasis. Sie ist für dreidimensionale kartesische Koordinaten definiert als $$\boldsymbol{H}_\phi := \begin{pmatrix} \frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2} & \frac{\partial^2 \phi}{\partial x \partial y} & \frac{\partial^2 \phi}{\partial x \partial z} \\ \frac{\partial^2 \phi}{\partial y \partial x} & \frac{\partial^2 \phi}{\partial y^2} & \frac{\partial^2 \phi}{\partial y \partial z} \\ \frac{\partial^2 \phi}{\partial z \partial x} & \frac{\partial^2 \phi}{\partial z \partial y} & \frac{\partial^2 \phi}{\partial z^2}\end{pmatrix}$$ Die Spur dieser Matrix ist definiert als $\bigtriangleup \phi = \text{div}\, \textbf{grad}\, \phi$

Hilbertraum

Ein Innenproduktraum, der bezüglich der vom Skalarprodukt erzeugten Norm vollständig ist, heißt Hilbertraum.

Holographie

Die Holographie benutzt die Interferenz der vom Objekt gestreuten Lichtwelle mit einer dazu kohärenten Referenzwelle, um die relativen Phasen der von den verschiedenen Objektpunkten gestreuten Objektwellen zu messen. Dadurch gewinnt man Informationen über die räumliche Struktur des Objekts, die im Hologramm verschlüsselt gespeichert sind. Die Beleuchtung des entwickelten Hologramms mit einer „Rekonstruktionswelle“ führt zu dreidimensionalen Bildern des Objekts.

Holomorphe Funktion

Eine komplexe Funktion $f:\mathbb{C}\rightarrow \mathbb{C}$ heißt holomorph, wenn sie komplex differenzierbar ist. Dies kann beispielsweiße mit den Cauchy-Riemann'schen Differenzialgleichungen überprüft werden $$\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} \qquad\text{und}\qquad \frac{\partial u}{\partial y} = - \frac{\partial v}{\partial x}$$ wobei $z=x+\text{i}y$ ist und $f(z) = u(x,y) + \text{i} v(x,y)$. Funktionen, welche auf ganz $\mathbb{C}$ holomorph sind, heißen 'ganz'.

Holonome Zwangsbedingungen

In vielen Fällen lassen sich Zwangsbedingungen in der Form \begin{equation} f_a(t, \boldsymbol{x}_1, \ldots, \boldsymbol{x}_N) = 0 \quad (1 \leq a \leq r) \end{equation} schreiben, wobei $r$ die Anzahl der Zwangsbedingungen ist. Man nennt Zwangsbedingungen dieser Form holonom.

Homogenität der Zeit, Homogenität und Isotropie des Raumes, Relativitätsprinzip

Für abgeschlossene physikalische Systeme mit einer Lagrange-Funktion der Form \begin{equation} L(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{\dot{x}}) = \frac{1}{2} \sum_i m_i \boldsymbol{\dot{x}}_i^2 - \frac{1}{2} \sum_{j \not= i} V_{ij}(\lvert \boldsymbol{x}_i - \boldsymbol{x}_j \rvert).\end{equation} gelten die folgenden vier wichtigen Prinzipien, die man umgekehrt benutzen kann, um die erhaltenen Größen zu definieren: 1.) Homogenität der Zeit: Die Bewegungsgleichungen sind invariant unter einer willkürlichen Verschiebung des Zeitnullpunktes. Man definiert allgemein die Energie als diejenige erhaltene Größe, die sich aus der Homogenität der Zeit ergibt. 2.) Homogenität des Raumes: Eine willkürliche Verschiebung aller Punktmassen hat keinen Einfluss auf die Bewegungsgleichungen. Man definiert allgemein den Gesamtimpuls als diejenige erhaltene Größe, die sich aus der Homogenität des Raumes ergibt. 3.) Isotropie des Raumes: Auch unter willkürlichen Drehungen des Systems bleiben die Bewegungsgleichungen invariant. Es ist keine Richtung ausgezeichnet. Allgemein wird der Gesamtdrehimpuls als diejenige Erhaltungsgröße definiert, die sich aus der Isotropie des Raumes ergibt. 4.) Relativitätsprinzip: Die Bewegungsgleichungen sind invariant unter Transformationen, bei denen der Schwerpunkt mit einer konstanten Geschwindigkeit $\boldsymbol{\dot b}$ bewegt wird.

Homogenität und Isotropie des Raumes, Homogenität der Zeit, Relativitätsprinzip

Für abgeschlossene physikalische Systeme mit einer Lagrange-Funktion der Form \begin{equation} L(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{\dot{x}}) = \frac{1}{2} \sum_i m_i \boldsymbol{\dot{x}}_i^2 - \frac{1}{2} \sum_{j \not= i} V_{ij}(\lvert \boldsymbol{x}_i - \boldsymbol{x}_j \rvert).\end{equation} gelten die folgenden vier wichtigen Prinzipien, die man umgekehrt benutzen kann, um die erhaltenen Größen zu definieren: 1.) Homogenität der Zeit: Die Bewegungsgleichungen sind invariant unter einer willkürlichen Verschiebung des Zeitnullpunktes. Man definiert allgemein die Energie als diejenige erhaltene Größe, die sich aus der Homogenität der Zeit ergibt. 2.) Homogenität des Raumes: Eine willkürliche Verschiebung aller Punktmassen hat keinen Einfluss auf die Bewegungsgleichungen. Man definiert allgemein den Gesamtimpuls als diejenige erhaltene Größe, die sich aus der Homogenität des Raumes ergibt. 3.) Isotropie des Raumes: Auch unter willkürlichen Drehungen des Systems bleiben die Bewegungsgleichungen invariant. Es ist keine Richtung ausgezeichnet. Allgemein wird der Gesamtdrehimpuls als diejenige Erhaltungsgröße definiert, die sich aus der Isotropie des Raumes ergibt. 4.) Relativitätsprinzip: Die Bewegungsgleichungen sind invariant unter Transformationen, bei denen der Schwerpunkt mit einer konstanten Geschwindigkeit $\boldsymbol{\dot b}$ bewegt wird.

Homogenität Vektoralgebra

Für zwei Vektoren $\boldsymbol{a}$ und $\boldsymbol{b}$ und einen Skalar $\lambda$ bedeutet Homogenität $ (\lambda\,\boldsymbol{a})\cdot\boldsymbol{b}~=~\lambda\,(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}) $

Hook'sches Gesetz

Elastische Verformung betrachten wir als linear, daraus folgt auch das Hooke'sche Gesetz. Für die Streckung bzw. Stauchung gilt $$ \frac{F}{A} = E \frac{\Delta l}{l}\,, $$ mit dem Elastizitätsmodul $E$.

Hookesches Gesetz

Für eine relative Längenänderung $\varepsilon=\Delta L/L$ eines Körpers der Länge $L$ mit Querschnitt $A$ und Elastizitätsmodul $E$ braucht man die Zugspannung $\sigma=E\cdot\varepsilon$.

Horizontproblem

Aufgrund des vergleichsweise sehr kleinen kausalen Teilchenhorizonts erweist es sich als schleierhaft, wie es dazu kommen konnte, dass uns der gesamte kosmische Mikrowellenhimmel mit etwa derselben Temperatur erscheint. Es ist zunächst vollkommen unklar, wie es möglich gewesen sein kann, dass sich im gesamten für uns überschaubaren Universum zur Rekombinationszeit thermisches Gleichgewicht einstellen konnte. Das ist das Horizontproblem.

Hubble-Funktion und Hubble Konstante

Die Hubble-Funktion ist als die relative kosmische Expansionsrate definiert, $$ H(t) := \frac{\dot a}{a}\;,\quad$$ $$ H_0 := H(t_0)\;.$$Ihr Wert $H(t_0)$ zum heutigen Zeitpunkt $t_0$ wird Hubble-Konstante $H_0$ genannt. Ihr Wert ist heute recht genau bekannt und beträgt ungefähr $$ H_0 \approx 70\,\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{s\,Mpc}} = 2.27\cdot10^{-18}\,\mathrm{s^{-1}}\;.$$

Hubble-Lemaitre-Gesetz

Unabhängig vom konkreten Entfernungsmaß gilt zwischen Entfernungen $D$ und Fluchtgeschwindigkeiten $v$ das Hubble-Lemaitre-Gesetz $$ v = H_0D\;,$$ solange die Fluchtgeschwindigkeit wesentlich kleiner als die Lichtgeschwindigkeit oder, äquivalent dazu, die Entfernung wesentlich kleiner als der Hubble-Radius ist,$$ v\ll c\;,\quad D\ll\frac{c}{H_0}\;. $$

Huygens'sches Prinzip

Der künftige Verlauf einer beliebig vorgegebenen Wellenfläche ist bestimmt, wenn man von jedem ihrer Punkte eine Kugelwelle ausgehen lässt und die Einhüllende aller dieser kohärenten Kugelwellen konstruiert.

Huygenssches Prinzip

Es besagt, dass sich eine ebene Welle immer als Überlagerung vieler einzelner Kugelwellen, der sogenannten Elementarwellen, beschreiben lässt.

Huygens´sches Prinzip

Die Ausbreitung von Wellen kann durch das Huygens´sche Prinzip beschrieben werden, nach dem jeder Punkt einer Phasenfläche einer Welle Ausgangspunkt einer Kugelwelle ist. Die Gesamtwelle ist die kohärente überlagerung aller Sekundärwellen.

Hyperfeinstrukturaufspaltung

Wenn der Atomkern einen Kernspin $\mathbf{I}$ und ein (kleines) magnetisches Moment $\mathbf{\mu}$ hat, gibt es eine kleine zusätzliche Aufspaltung $\Delta E = -\mathbf{\mu}_K \cdot \mathbf{B}_{\text{int}}$ der Atomterme (Hyperfeinstruktur), die auf der Wechselwirkung des magnetischen Kernmomentes mit dem von den Elektronen am Kernort bewirkten Magnetfeld beruht.