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Unter kanonischen Transformationen versteht man Transformationen $Q$ und $P$, welche die Form der kanonischen Gleichungen invariant lassen und somit \begin{equation} \dot Q_j = \frac{\partial H'}{\partial P_j} \,,\quad \dot P_j = - \frac{\partial H'}{\partial Q_j} \end{equation} erfüllen, wobei $H'(t, Q, P)$ eine geeignete Funktion ist.

Man erält für die kanonische Zustandssumme eines Gemischs aus $r$ verschiedenen idealen Gasen mit jeweils $N_j$ Molekülen $$ Z_\mathrm{c} = \prod_{j=1}^r\frac{\zeta_j^{N_j}}{N_j!}\,. \label{eq:td04-129} $$ Die freie Energie wird damit zu einer Summe über die freien Energien der einzelnen Molekülsorten: $$ F = \sum_{j=1}^rF_j = -k_\mathrm{B}T\sum_{j=1}^r\left(N_j\ln\zeta_j-\ln N_j!\right)\,. \label{eq:td04-130} $$

Die Kapazität $C$ ergibt sich aus $$C=\frac{Q}{U}\,.$$ Für einen Plattenkondensator gilt dabei $$C=\epsilon_0\epsilon_r\frac{A}{d}\,.$$ Ihre Einheit ist das Farad (F). Beim Kondensator gilt für die elektrische Feldenergie
$$W=\frac{1}{2}CU^2\,.$$

Ursache (Zeit $t_U$) $\, \rightarrow$ Wirkung (Zeit $t_W$) mit $t_U Relativit\"atstheorie (Zeit abh\"angig vom Inertialsystem) entspricht die Kausalit\"at der Bedingung, dass es keine Signale mit
\"Uberlichtgeschwindigkeit gibt.

Zweites Kepler'sches Gesetz: Der Fahrstrahl $ \boldsymbol{r}$ überstreicht im Zentralkraftfeld in gleichen Zeiten gleiche Flächen. Die Flächengeschwindigkeit \begin{equation} \dot{ \boldsymbol{A}} = \frac{1}{2} \boldsymbol{r} \times \dot{ \boldsymbol{r}} \end{equation} ist konstant.

Die Quadrate der Umlaufzeiten der Planeten verhalten sich wie die dritten Potenzen der großen Halbachsen.

Die Planeten bewegen sich auf Ellipsen, in deren einem Brennpunkt die Sonne steht.

Ist $\varphi$ eine lineare Abbildung von einem $\mathbb{K}$-Vektorraum $V$ einen $\mathbb{K}$-Vektorraum $W$, so ist der Kern von $\varphi$ definiert als $$\varphi^{-1}\left( \lbrace 0 \rbrace\right) := \left\lbrace \boldsymbol{v}\in V \vert \varphi(\boldsymbol{v}) = \boldsymbol{0} \right\rbrace \subseteq V$$

Der Kernspin $\boldsymbol{I}_0$ eines Kerns im Grundzustand ist gleich der Vektorsumme $\boldsymbol{j}=\sum\boldsymbol{j}_{i}$ der einzelnen Nukleonenspins. Bei deformierten Kernen kann eine kollektive Rotation aller Nukleonen mit Drehimpuls $\boldsymbol{R}$ um den Schwerpunkt angeregt werden, sodass der gesamte Kerndrehimpuls $\boldsymbol{I}=\boldsymbol{I}_{0}+\boldsymbol{R}$ wird.

Kerne können zerfallen, wenn die Masse des Mutterkerns größer ist als die Summe der Massen der Zerfallsprodukte $M\left(\mathrm{{}_{Z}^{A}X}\right) \geq M_{1}\left(\mathrm{{}_{Z^{\prime}}^{A^{\prime}}Y}\right)+M_{2}$ und wenn der Zerfall nicht durch eine Potential-Barriere oder durch Symmetrieregeln verhindert wird. Die möglichen Zerfallsarten sind $\alpha$-, $\beta^{-}$- bzw. $\beta^{+}$-Emission, $K$-Einfang oder Kernspaltung.

Die kinetische Energie eines Körpers der Masse $m$, der sich mit der Geschwindigkeit $\boldsymbol{v}$ bewegt, ist $E_{\text{kin}}=\frac{m}{2}v^{2}$.

Ein Körper, der Strahlung gut absorbiert, kann auch selbst besonders gut strahlen. Das bedeutet, der Emissionsgrad $\epsilon$ eines Körpers ist abhängig von seinem Absorptionsgrad $\alpha$.

Die kovarianten Basisvektoren des krummlinigen Koordinatensystems $(u_1, u_2, u_3)$ erhält man als Tangentenvektoren der Koordinatenlinien $$\boldsymbol{b}_{u_i} = \frac{\partial \boldsymbol{x}}{\partial u_i}$$ Die kontravarianten Basisvektoren sind die Normalenvektoren auf die Koordinatenflächen, $$\boldsymbol{b}^{u_i} = \textbf{grad}u_i$$

Je länger der Zeitraum ist, in dem in einer Welle die Anordnung der Phasen zueinander beibehalten werden kann, desto höher ist ihre zeitliche Kohärenz. Daneben gibt es noch die räumliche Kohärenz, die den Zusammenhang zwischen räumlich getrennten Wellen beschreibt. Ein Maß für die zeitliche Kohärenz ist die Kohärenzzeit $\tau_\mathrm{k}$.

Kometen sind kleine, aus Eis und Staub bestehende Himmelskörper, die wahrscheinlich aus einer fernen Region des Sonnensystems (Oortsche Wolke) stammen und deren Bahn durch Störungen in lang gestreckte Ellipsen gebracht wurde. Beim Vorbeiflug an der Sonne verdampft ein Teil des Kometenkerns, und es bildet sich die Koma und der Kometenschweif. Meteore (Sternschnuppen) sind Leuchterscheinungen am Nachthimmel, die durch Mikropartikel aus Kometenschweifen, welche die Erdbahn kreuzen und in der Erdatmosphäre verglühen, verursacht werden.

Ein Maß für den Unterschied, den die Reihenfolge der Anwendung zweier Operatoren im Ergebnis macht.

Ein Ausdruck der Form $a+\mathrm{i}b$ mit $a,b \in \mathbb{R}$ heißt komplexe Zahl. Die Menge der komplexen Zahlen notiert man als $$ \mathbb{C} := \left\lbrace z = a+ \mathrm{i}b \vert a,b\in\mathbb{R} \right\rbrace $$ Die Darstellung $$ z = r \cos\varphi + \mathrm{i} r \sin\varphi$$ einer komplexen Zahl $z$ heißt Polarkoordinatendarstellung. Dabei ist $r$ der Abstand der Zahl vom Ursprung, der sogenannte Betrag der Zahl, und $\varphi$ bezeichnet den Winkel zur reellen Achse, dieser wird Argument genannt.

Unter allseitigem Druck $p$ wird die relative Volumenänderung eines Körpers
$\Delta V/V=-\kappa\cdot p$ durch die Kompressibilität $\kappa$ gegeben. Es gilt die Relation $\kappa=3/E(1-2\mu)$ mit der Querkontraktionszahl $\mu=-(\Delta d/d)/(\Delta L/L)$.

Kraftfelder $\boldsymbol{F}(\boldsymbol{r})$, bei denen die Arbeit $W=\int\boldsymbol{F}\mathrm{d}\boldsymbol{r}$ nur von Anfangspunkt $P_1$ und Endpunkt $P_2$ dieses Weges abhängen, aber nicht vom Verlauf des Weges zwischen $P_1$ und $P_2$, heißen konservativ. Für solche Kraftfelder gilt: $\mathop{\mathbf{rot}}\boldsymbol{F}=\boldsymbol{0}$. Beispiele sind alle Zentralkraftfelder $\boldsymbol{F}(\boldsymbol{r})=f(r)\cdot\boldsymbol{r}_{0}$.

$$\begin{aligned} \frac{\partial\varrho}{\partial t}+\text{div}\boldsymbol{j}=0\end{aligned}$$

Statt durch seine kartesischen Komponenten $x$ und $y$ beschreiben ebene Polarkoordinaten einen Orstvektor $\boldsymbol{r}$, durch Angabe seines Betrages $r$ und des Winkels $\varphi$, den er mit der x-Achse einschließt. $ x = r\cos\varphi\,,\quad y =r\sin\varphi$ und $ r = \sqrt{x^2+y^2}\,,\quad \varphi = \arctan\frac{y}{x} $.

Die zueinander orthogonalen Einheitsvektoren $\boldsymbol{e}^{(1)},\,\boldsymbol{e}^{(2)},\,\boldsymbol{e}^{(3)}$ spannen den Raum $\mathbb{R}^3$ auf und bilden ein Rechtssystem. Es lässt sich jeder Vektor $\boldsymbol{a}\in\mathbb{R}^3$ dann durch das Zahlen-Tripel $(a_1,a_2,a_3)$ schreiben als $ \boldsymbol{a}~=~a_1\,\boldsymbol{e}^{(1)}+a_2\,\boldsymbol{e}^{(2)}+a_3\,\boldsymbol{e}^{(3)} $

Beim Übergang von kartesischen Koordinaten $x_i$ zu allgemeinen Koordinaten $q_j$ erfüllt das Volumenelement $\mathrm{d} V = \mathrm{d} x_1\, \mathrm{d} x_2\, \mathrm{d} x_3 = (\det \boldsymbol{J})\, \mathrm{d} q_1\, \mathrm{d} q_2\, \mathrm{d} q_3, $ wobei $ \boldsymbol{J}$ die zugehörige Jacobi-Matrix ist. Die Größe $\det \boldsymbol{J}$ nennt man die Jacobi-Determinante oder Funktionaldeterminante, mit der häufigen Schreibweise \begin{equation} \det \boldsymbol{J} = \det \left(\frac{\partial x_i}{\partial q_j}\right). \end{equation}

Eine Lorentz-kovariante Viererkraft ist durch die Ableitung des Viererimpulses nach der Lorentz-invarianten Eigenzeit gegeben: \begin{equation}F^\mu:=\frac{\mathrm{d} p^\mu}{\mathrm{d}\tau}.\end{equation}

Konservative geschwindigkeitsunabhängige Kräfte $ \boldsymbol{F}( \boldsymbol{x})$ lassen sich als Gradient eines skalaren Potenzials $V( \boldsymbol{x})$ darstellen.

Ein Kraftfeld $\boldsymbol{F}(\boldsymbol{r})$, dass sich als Gradient eines skalaren Feldes $V(\boldsymbol{r}$ schreiben lässt, nennt man konservativ. $\boldsymbol{F}(\boldsymbol{r})~=~-\nabla\,V(\boldsymbol{r}) $

Für einen unterstützten symmetrischen Kreisel im homogenen Schwerefeld findet man drei Erhaltungsgrößen: die Projektion des Drehimpulses auf die Figurenachse und auf die Achse, entlang der das Schwerefeld wirkt, sowie die Gesamtenergie.

Die Rotation eines kräftefreien Kreisels ist stabil, wenn sie um die Hauptachse mit dem kleinsten oder größten Trägheitsmoment erfolgt. Im anderen Fall ist die Bewegung instabil.

Die Kreisfrequenz erlaubt eine Aussage, wie schnell (in der Zeit) sich an einem festgelegten Ort(!) ein bestimmter Auslenkungswert wiederholt. Mit steigender Kreisfrequenz nimmt der Zeitabstand zwischen zwei identischen Auslenkungswerten am selben Ort, die sogenannte Periodendauer $T$, ab. Die Kreisfrequenz berechnet sich über $\omega = 2\pi f = \frac{2\pi}{T}$ und hat die Einheit $\frac{1}{\mathrm{s}}$.

$\begin{aligned} \boldsymbol{c}=\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}= \,\sum\limits_{i,\,j}a_{i}b_{j}\left(\boldsymbol{e}_{i}\times\boldsymbol{e}_{j}\right)=\sum\limits_{i,\,j,\,k}\varepsilon_{ijk}a_{i}b_{j}\boldsymbol{e}_{k}=\sum\limits_{k}c_{k}\boldsymbol{e}_{k}\\ \Rightarrow c_{k}= \,\sum\limits_{i,\,j}\varepsilon_{ijk}a_{i}b_{j}\;.\end{aligned}$

Eine Kristallstruktur entsteht, wenn jedem Gitterpunkt des Translationsgitter eine Atombasis zugeordnet wird. Besteht diese nur aus einem Atom, dann heißt das Gitter primitiv. Bei nichtprimitiven Gittern besteht sie aus mehreren gleichen oder unterschiedlichen Atomen. Alle Kristallgitter können gemäß ihrer Symmetrieeigenschaften (Drehungen um Symmetrieachsen, Spiegelungen an Ebenen) in 14 verschiedene Symmetrietypen, die 14 Bravaisgitter, eingeteilt werden.

Die kritische Dichte ist durch $$ \rho_\mathrm{cr}(t) := \frac{3H^2(t)}{8\pi G}\;,\quad $$ $$ \rho_\mathrm{cr,0} := \rho_\mathrm{cr}(t_0)=\frac{3H_0^2}{8\pi G}$$ definiert. Der heutige Wert der kritischen Dichte ist $$ \rho_\mathrm{cr,0} = 9.20\cdot10^{-30}\,\mathrm{g\,cm^{-3}} = 5.50\cdot10^{-6}\,m_\mathrm{p}\,\mathrm{cm^{-3}} = 5.18\,c^{-2}\,\mathrm{keV}\,\mathrm{cm}^{-3}\;,$$ was also einer Protonenmasse $m_\mathrm{p}$ in knapp $2\cdot10^5\,\mathrm{cm^3}$ des kosmischen Volumens entspricht. Diese ungeheuer niedrige Dichte entspricht etwa einer Galaxienmasse pro $\mathrm{Mpc^3}$.

Die Krümmung einer mittels $\boldsymbol{\gamma}(t) = \left( x_1(t), x_2(t) \right)^\top$ parametrisierten, zumindest zweimal differenzierbaren Kurve ist durch $$\kappa(t) = \frac{\det\left((\dot{\boldsymbol{x}},\ddot{\boldsymbol{x}})\right)}{\left(\dot{\boldsymbol{x}_1}^2 + \dot{\boldsymbol{x}_2}^2\right)^{3/2}}$$ gegeben. Einen Punkt der Kurve, an dem die Krümmung ein lokales Extremum annimmt, nennen wir Scheitelpunkt.

Die Jacobi-Determinanten für Zylinder- und Kugelkoordinaten braucht man selbstverständlich nur einmal auszurechnen. Die Ergebnisse $\det \boldsymbol{J} = \varrho $ für Zylinderkoordinaten und $ \det \boldsymbol{J} = r^2 \sin \vartheta $ für Kugelkoordinaten kann man dann für alle entsprechenden Rechnungen direkt verwenden.

Für einen Vektor $\mathfrak{A}$ mit der Darstellung $(A_r, A_\vartheta, A_\varphi)$ in Kugelkoordinaten gilt \begin{equation} \mathrm{div} \mathfrak{A} = \frac{1}{r^2} \frac{\partial (r^2 A_r)}{\partial r} + \frac{1}{r \sin \vartheta} \frac{\partial (\sin \vartheta A_\vartheta)}{\partial \vartheta} + \frac{1}{r \sin \vartheta} \frac{\partial A_\varphi}{\partial \varphi}. \end{equation}

Für einen Vektor $\mathfrak{A}$ mit der Darstellung $(A_r, A_\vartheta, A_\varphi)$ in Kugelkoordinaten gilt \begin{eqnarray} \mathrm{rot} \mathfrak{A} &=& \frac{\boldsymbol{\hat e}_r}{r \sin \vartheta} \left[\frac{\partial (\sin \vartheta A_\varphi)}{\partial \vartheta} - \frac{\partial A_\vartheta}{\partial \varphi}\right] \\ && + \frac{\boldsymbol{\hat e}_\vartheta}{r} \left[\frac{1}{\sin \vartheta} \frac{\partial A_r}{\partial \varphi} - \frac{\partial (r A_ \varphi)}{\partial r}\right] \\ && + \frac{\boldsymbol{\hat e}_ \varphi}{r} \left[\frac{\partial (r A_\vartheta)}{\partial r} - \frac{\partial A_r}{\partial \vartheta}\right]. \end{eqnarray}

Das Kurvenintegral einer skalaren Funktion $\Phi$ über eine Kurve $\gamma$ mit $\boldsymbol{x} = \boldsymbol{\gamma}(t)$ für $t\in[a,b]$ ist definiert als $$\int_\gamma \Phi \mathrm{d}s := \int_a^b \Phi\left(\boldsymbol{x}(t)\right) \Vert \dot{\boldsymbol{x}}(t)\Vert \mathrm{d}t$$