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Begriff Erklärung

Kanonische Gleichungen, nach Hamilton

\begin{equation} \frac{\partial H}{\partial p_i} = \dot q_i, \quad \frac{\partial H}{\partial q_i} = - \dot p_i \quad (1 \leq i \leq f) \end{equation}

Kanonische Transformationen

Unter kanonischen Transformationen versteht man Transformationen $Q$ und $P$, welche die Form der kanonischen Gleichungen invariant lassen und somit \begin{equation} \dot Q_j = \frac{\partial H'}{\partial P_j} \,,\quad \dot P_j = - \frac{\partial H'}{\partial Q_j} \end{equation} erfüllen, wobei $H'(t, Q, P)$ eine geeignete Funktion ist.

Kanonische Zustandssumme

Da der Ausdruck $$ Z_\mathrm{c} = \sum_i\mathrm{e}^{-E_i/k_\mathrm{B}T} \label{eq:td04-14} $$ durch Summation über die Boltzmann-Faktoren aller möglichen, zugänglichen Mikrozustände gewonnen wird, wird er als Zustandssumme des kanonischen Systems oder als kanonische Zustandssumme bezeichnet. Alle thermodynamischen Gleichgewichtseigenschaften eines Systems könen aus seiner Zustandssumme bestimmt werden. Die Zustandssumme kann daher als fundamentale Größe beim Aufbau der Thermodynamik verstanden werden.

Kanonische Zustandssumme und freie Energie eines Gemischs idealer Gase

Man erält für die kanonische Zustandssumme eines Gemischs aus $r$ verschiedenen idealen Gasen mit jeweils $N_j$ Molekülen $$ Z_\mathrm{c} = \prod_{j=1}^r\frac{\zeta_j^{N_j}}{N_j!}\,. \label{eq:td04-129} $$ Die freie Energie wird damit zu einer Summe über die freien Energien der einzelnen Molekülsorten: $$ F = \sum_{j=1}^rF_j = -k_\mathrm{B}T\sum_{j=1}^r\left(N_j\ln\zeta_j-\ln N_j!\right)\,. \label{eq:td04-130} $$

Kanonischen Gleichungen und das Wirkungsprinzip

Das Prinzip $\delta S = 0$ ist äquivalent zu den kanonischen Gleichungen \begin{equation} \frac{\partial H}{\partial p_i} = \dot q_i, \quad \frac{\partial H}{\partial q_i} = - \dot p_i \quad (1 \leq i \leq f) \end{equation}, welche die Bewegung im Phasenraum beschreiben.

Kapazität und Feldenergie eines Kondensators

Die Kapazität $C$ ergibt sich aus $$C=\frac{Q}{U}\,.$$ Für einen Plattenkondensator gilt dabei $$C=\epsilon_0\epsilon_r\frac{A}{d}\,.$$ Ihre Einheit ist das Farad (F). Beim Kondensator gilt für die elektrische Feldenergie
$$W=\frac{1}{2}CU^2\,.$$

Kartesisches Produkt

Das kartesische Produkt $A \times B$ zweier Mengen $A$ und $B$ ist die Menge aller geordneten Paare $(a,b)$, mit $a\in A$ und $b\in B$ $$A \times B := \left\lbrace (a,b): a\in A , b\in B \right\rbrace $$

Kausalit\"at

Ursache (Zeit $t_U$) $\, \rightarrow$ Wirkung (Zeit $t_W$) mit $t_U Relativit\"atstheorie (Zeit abh\"angig vom Inertialsystem) entspricht die Kausalit\"at der Bedingung, dass es keine Signale mit
\"Uberlichtgeschwindigkeit gibt.

Kepler'sches Gesetz, 1.

Erstes Kepler'sches Gesetz: Die Planeten bewegen sich auf Ellipsenbahnen, in deren einem Brennpunkt die Sonne steht.

Kepler'sches Gesetz, 2.

Zweites Kepler'sches Gesetz: Der Fahrstrahl $ \boldsymbol{r}$ überstreicht im Zentralkraftfeld in gleichen Zeiten gleiche Flächen. Die Flächengeschwindigkeit \begin{equation} \dot{ \boldsymbol{A}} = \frac{1}{2} \boldsymbol{r} \times \dot{ \boldsymbol{r}} \end{equation} ist konstant.

Kepler'sches Gesetz, 3.

Drittes Kepler'sches Gesetz: Die Quadrate der Umlaufzeiten der Planeten verhalten sich wie die Kuben ihrer großen Bahnhalbachsen: \begin{equation} T^2 = \frac{4 \pi^2 \mu}{\alpha} a^3. \end{equation} Der Term $4 \pi^2 \mu / \alpha$ ist dabei näherungsweise eine Konstante.

Kepler'sches Gesetz, Drittes

Die Quadrate der Umlaufzeiten der Planeten verhalten sich wie die dritten Potenzen der großen Halbachsen.

Kepler'sches Gesetz, Erste

Die Planeten bewegen sich auf Ellipsen, in deren einem Brennpunkt die Sonne steht.

Kepler'sches Gesetz, Erstes

Die Planeten bewegen sich auf Ellipsen, in deren einem Brennpunkt die Sonne steht.

Kepler'sches Gesetz, Zweites

Der Fahrstrahl von der Sonne zum Planeten überstreicht in gleichen Zeiten gleiche Flächen.

Kern einer linearen Abbildung

Ist $\varphi$ eine lineare Abbildung von einem $\mathbb{K}$-Vektorraum $V$ einen $\mathbb{K}$-Vektorraum $W$, so ist der Kern von $\varphi$ definiert als $$\varphi^{-1}\left( \lbrace 0 \rbrace\right) := \left\lbrace \boldsymbol{v}\in V \vert \varphi(\boldsymbol{v}) = \boldsymbol{0} \right\rbrace \subseteq V$$

Kernfusion

Durch Stöße zwischen geladenen Kernen können stabile größere Kerne entstehen (Kernfusion). Die kinetische Energie der Reaktionspartner muss im Schwerpunktsystem größer sein als die Höhe der Coulomb-Barriere, wenn Tunneleffekte vernachlässigt werden. Bei der Kernfusion leichter Teilchen gewinnt man Energie (bis zur Fusion von Eisenkernen).

Kernspin und Kerndrehimpuls

Der Kernspin $\boldsymbol{I}_0$ eines Kerns im Grundzustand ist gleich der Vektorsumme $\boldsymbol{j}=\sum\boldsymbol{j}_{i}$ der einzelnen Nukleonenspins. Bei deformierten Kernen kann eine kollektive Rotation aller Nukleonen mit Drehimpuls $\boldsymbol{R}$ um den Schwerpunkt angeregt werden, sodass der gesamte Kerndrehimpuls $\boldsymbol{I}=\boldsymbol{I}_{0}+\boldsymbol{R}$ wird.

Kernspin und magnetisches Moment von Nukleonen

Proton und Neutron haben einen Kernspin $\boldsymbol{I}=\sqrt{I(I+1)}\hbar\quad\text{mit}\quad I=1/2$ und ein magnetisches Moment $\mu_{\text{p}}=+2{,}79\mu_{\text{K}}$ bzw. $\mu_{\text{n}}=-1{,}91\mu_{\text{K}}\;,$ wobei $\mu_{\text{K}}=5{,}05\cdot 10^{-27}\,\mathrm{J/T}=(1/1836)\mu_{\text{B}}$ das Kernmagneton ist.

Kernzerfall

Kerne können zerfallen, wenn die Masse des Mutterkerns größer ist als die Summe der Massen der Zerfallsprodukte $M\left(\mathrm{{}_{Z}^{A}X}\right) \geq M_{1}\left(\mathrm{{}_{Z^{\prime}}^{A^{\prime}}Y}\right)+M_{2}$ und wenn der Zerfall nicht durch eine Potential-Barriere oder durch Symmetrieregeln verhindert wird. Die möglichen Zerfallsarten sind $\alpha$-, $\beta^{-}$- bzw. $\beta^{+}$-Emission, $K$-Einfang oder Kernspaltung.

Kettenregel

Wenn zwei differenzierbare Funktionen $f:D\rightarrow \mathbb{R}$ und $g:f(D) \rightarrow \mathbb{R}$ gegeben sind, so ist die Verkettung der Funktionen differenzierbar und es gilt für $x\in D$ $$\left(g\circ f\right)'(x) = g'\left(f(x)\right) f'(x)$$

Kinetische Energie

Die kinetische Energie eines Körpers der Masse $m$, der sich mit der Geschwindigkeit $\boldsymbol{v}$ bewegt, ist $E_{\text{kin}}=\frac{m}{2}v^{2}$.

Kirchhoff'sche Regeln

Die Knotenregel lautet $$\sum_{i=1}^N I_i=0\,.$$ Die Maschenregel lautet $$\sum_{i=1}^N U_i=0\,.$$

Kirchhoffsches Strahlungsgesetz

Ein Körper, der Strahlung gut absorbiert, kann auch selbst besonders gut strahlen. Das bedeutet, der Emissionsgrad $\epsilon$ eines Körpers ist abhängig von seinem Absorptionsgrad $\alpha$.

Kirchhoff´sche Regeln

Die Berechnung auch komplizierter Netzwerke ist mithilfe der Kirchhoff´schen Regeln möglich, die besagen: a) In einem Knotenpunkt mehrerer elektrischer Leiter gilt $\sum_{k}I_{k}=0$. b) In einem geschlossenen Leiterkreis aus mehreren Widerständen oder Spannungsquellen gilt $\sum_{k}U_{k}=0$.

Ko- und Kontravariante Basisvektoren

Die kovarianten Basisvektoren des krummlinigen Koordinatensystems $(u_1, u_2, u_3)$ erhält man als Tangentenvektoren der Koordinatenlinien $$\boldsymbol{b}_{u_i} = \frac{\partial \boldsymbol{x}}{\partial u_i}$$ Die kontravarianten Basisvektoren sind die Normalenvektoren auf die Koordinatenflächen, $$\boldsymbol{b}^{u_i} = \textbf{grad}u_i$$

Koeffizientenvergleich

Seien $x^{(i)}$ für $i=1,2,\dots,N$ linear unabhängige Vektoren. Für zwei Vektoren $\boldsymbol{a} = \sum_i \lambda_i\,\boldsymbol{x}^{(i)}$ und $\boldsymbol{b}=\sum_i \mu_i\,\boldsymbol{x}^{(i)}$ folgt aus der Gleichheit $\boldsymbol{a}=\boldsymbol{b}$ auch, dass $\lambda_i = \mu_i$ für alle $i=1,2,\dots,N$.

Kohärenz

Je länger der Zeitraum ist, in dem in einer Welle die Anordnung der Phasen zueinander beibehalten werden kann, desto höher ist ihre zeitliche Kohärenz. Daneben gibt es noch die räumliche Kohärenz, die den Zusammenhang zwischen räumlich getrennten Wellen beschreibt. Ein Maß für die zeitliche Kohärenz ist die Kohärenzzeit $\tau_\mathrm{k}$.

Kohärenzlänge

Die Kohärenzlänge beschreibt wie lange die Wellenfronten von Licht auf einer Linie sind bevor es zu einem Versatz einzelner Wellenfronten kommt. ACHTUNG: dieser Wert beschreibt die zeitliche Kohärenz, nicht die räumliche! Sie berechnet sich aus dem Produkt der Kohärenzzeit mit der Mediumslichtgeschwindigkeit $l_\mathrm{k} = \tau_\mathrm{k}c_\mathrm{Medium}$.

Kometen und Meteore

Kometen sind kleine, aus Eis und Staub bestehende Himmelskörper, die wahrscheinlich aus einer fernen Region des Sonnensystems (Oortsche Wolke) stammen und deren Bahn durch Störungen in lang gestreckte Ellipsen gebracht wurde. Beim Vorbeiflug an der Sonne verdampft ein Teil des Kometenkerns, und es bildet sich die Koma und der Kometenschweif. Meteore (Sternschnuppen) sind Leuchterscheinungen am Nachthimmel, die durch Mikropartikel aus Kometenschweifen, welche die Erdbahn kreuzen und in der Erdatmosphäre verglühen, verursacht werden.

Kommutativität Vektoralgebra

Für zwei Vektoren $\boldsymbol{a}$ und $\boldsymbol{b}$ bedeutet Kommutativität $ \boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}~=~\boldsymbol{b}\cdot\boldsymbol{a} $

Kommutator

Ein Maß für den Unterschied, den die Reihenfolge der Anwendung zweier Operatoren im Ergebnis macht.

Komplementärfarben

Als Komplementärfarben bezeichnet man Farbpaare, die zusammen schwarz (bei subtraktiver Farbmischung) bzw. weiß (bei additiver Farbmischung) ergeben.

Komplexe Zahl

Ein Ausdruck der Form $a+\mathrm{i}b$ mit $a,b \in \mathbb{R}$ heißt komplexe Zahl. Die Menge der komplexen Zahlen notiert man als $$ \mathbb{C} := \left\lbrace z = a+ \mathrm{i}b \vert a,b\in\mathbb{R} \right\rbrace $$ Die Darstellung $$ z = r \cos\varphi + \mathrm{i} r \sin\varphi$$ einer komplexen Zahl $z$ heißt Polarkoordinatendarstellung. Dabei ist $r$ der Abstand der Zahl vom Ursprung, der sogenannte Betrag der Zahl, und $\varphi$ bezeichnet den Winkel zur reellen Achse, dieser wird Argument genannt.

Komponenten des Trägheitstensors

$ J_{lm}=\sum\limits_{i}m_{i}\left(\boldsymbol{r}_{i}^{2}\delta_{lm}-x_{il}x_{im}\right)\;; l,m=1,2,3\;,$, oder in Integralform $J_{lm}=\int\mathrm{d}^{3}r\varrho(\boldsymbol{r})(r^{2}\delta_{lm}-x_{l}x_{m})\;.$

Kompressibilität

Unter allseitigem Druck $p$ wird die relative Volumenänderung eines Körpers
$\Delta V/V=-\kappa\cdot p$ durch die Kompressibilität $\kappa$ gegeben. Es gilt die Relation $\kappa=3/E(1-2\mu)$ mit der Querkontraktionszahl $\mu=-(\Delta d/d)/(\Delta L/L)$.

konkave Linse

Im Gegensatz zu konvexen Linsen sind konkave Linsen insgesamt nach innen gekrümmt, durch sie hindurch wirken Objekte stets verkleinert und sie besitzen eine negative Brennweite $f

Konservatives Kraftfeld

Kraftfelder $\boldsymbol{F}(\boldsymbol{r})$, bei denen die Arbeit $W=\int\boldsymbol{F}\mathrm{d}\boldsymbol{r}$ nur von Anfangspunkt $P_1$ und Endpunkt $P_2$ dieses Weges abhängen, aber nicht vom Verlauf des Weges zwischen $P_1$ und $P_2$, heißen konservativ. Für solche Kraftfelder gilt: $\mathop{\mathbf{rot}}\boldsymbol{F}=\boldsymbol{0}$. Beispiele sind alle Zentralkraftfelder $\boldsymbol{F}(\boldsymbol{r})=f(r)\cdot\boldsymbol{r}_{0}$.

Kontinuitätsgleichung

Die Massenerhaltung von Fluiden lässt sich durch die lokale Bilanzgleichung \begin{equation} \frac{\partial \rho}{\partial t} = - \mathrm{div\,} \boldsymbol{j} \quad \mathrm{bzw.} \quad \frac{\partial \rho}{\partial t} = - \mathrm{div\,} (\rho \boldsymbol{u}) \end{equation} ausdrücken, die an jedem Ort $\boldsymbol{r}$ und zu jeder Zeit $t$ gilt. Es handelt sich also um eine in $\rho$ und $\boldsymbol{u}$ lineare partielle Differenzialgleichung erster Ordnung. Sie ist identisch mit der Impulsdichte.

Kontnuitätsgleichung

$$\begin{aligned} \frac{\partial\varrho}{\partial t}+\text{div}\boldsymbol{j}=0\end{aligned}$$

konvexe Linse

Konvexe Linsen besitzen eine positive Brennweite $f > 0$ und insgesamt eine Krümmung nach außen, sie können Objekte vergrößert wirken lassen und werden deshalb zum Beispiel in Lupen genutzt. Weiterhin können sie paralleles Licht (beispielsweise von der Sonne) in einem Brennpunkt sammeln, man nennt sie deshalb auch Sammellinsen.

Koordinaten, polar

Statt durch seine kartesischen Komponenten $x$ und $y$ beschreiben ebene Polarkoordinaten einen Orstvektor $\boldsymbol{r}$, durch Angabe seines Betrages $r$ und des Winkels $\varphi$, den er mit der x-Achse einschließt. $ x = r\cos\varphi\,,\quad y =r\sin\varphi$ und $ r = \sqrt{x^2+y^2}\,,\quad \varphi = \arctan\frac{y}{x} $.

Koordinaten, verallgemeinerte

Anstelle der $3 N$ abhängigen Parameter $x_i$ der kartesischen Koordinaten kann man $F = 3 N - r$ unabhängige Parameter $q_j$ ($1 \leq j \leq F$) definieren, die nicht durch die Zwangsbedingungen eingeschränkt werden. Diese werden als neue, verallgemeinerte Koordinaten verwendet. Man spricht auch von generalisierten Koordinaten.

Koordinatensystem, kartesisch

Die zueinander orthogonalen Einheitsvektoren $\boldsymbol{e}^{(1)},\,\boldsymbol{e}^{(2)},\,\boldsymbol{e}^{(3)}$ spannen den Raum $\mathbb{R}^3$ auf und bilden ein Rechtssystem. Es lässt sich jeder Vektor $\boldsymbol{a}\in\mathbb{R}^3$ dann durch das Zahlen-Tripel $(a_1,a_2,a_3)$ schreiben als $ \boldsymbol{a}~=~a_1\,\boldsymbol{e}^{(1)}+a_2\,\boldsymbol{e}^{(2)}+a_3\,\boldsymbol{e}^{(3)} $

Koordinatentransformation, passiv

Passive Koordinatentransformationen entsprechen dem Wechsel von einem Koordinatensystem zu einem anderen. Sie haben keine Auswirkung auf physikalische Größen, ändern aber in der Regel ihre Darstellung.

Koordinatentransformationen, Jacobi-Determinante

Beim Übergang von kartesischen Koordinaten $x_i$ zu allgemeinen Koordinaten $q_j$ erfüllt das Volumenelement $\mathrm{d} V = \mathrm{d} x_1\, \mathrm{d} x_2\, \mathrm{d} x_3 = (\det \boldsymbol{J})\, \mathrm{d} q_1\, \mathrm{d} q_2\, \mathrm{d} q_3, $ wobei $ \boldsymbol{J}$ die zugehörige Jacobi-Matrix ist. Die Größe $\det \boldsymbol{J}$ nennt man die Jacobi-Determinante oder Funktionaldeterminante, mit der häufigen Schreibweise \begin{equation} \det \boldsymbol{J} = \det \left(\frac{\partial x_i}{\partial q_j}\right). \end{equation}

Kraft einer Feder mit Federkonstante D

$$F=-D\cdot s$$

Kraft, Vierer-

Eine Lorentz-kovariante Viererkraft ist durch die Ableitung des Viererimpulses nach der Lorentz-invarianten Eigenzeit gegeben: \begin{equation}F^\mu:=\frac{\mathrm{d} p^\mu}{\mathrm{d}\tau}.\end{equation}

Kraft, Vierer- und Newton

Bezeichnet in einem gegebenen Inertialsystem $\boldsymbol{F}$ weiterhin die gewöhnliche Zeitableitung des (relativistischen) Impulses $\boldsymbol{p}$, dann gilt\begin{equation} F^\mu=\begin{pmatrix}F^0 \\ F^m\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}F^0 \\ \gamma\boldsymbol{F} \end{pmatrix}. \end{equation}

Kräfte, Konservative

Konservative geschwindigkeitsunabhängige Kräfte $ \boldsymbol{F}( \boldsymbol{x})$ lassen sich als Gradient eines skalaren Potenzials $V( \boldsymbol{x})$ darstellen.

Kräfte, Zwangs-

Die Zwangskraft hängt im allgemeinen Fall vom momentanen Bewegungszustand (z.B. der Geschwindigkeit) ab. Da dieser bei der Formulierung des Problems in der Regel unbekannt ist, lassen sich die Newton'schen Bewegungsgleichungen in Anwesenheit von Zwangsbedingungen nicht direkt in herkömmlicher Weise lösen.

Kraftfeld, konservativ

Ein Kraftfeld $\boldsymbol{F}(\boldsymbol{r})$, dass sich als Gradient eines skalaren Feldes $V(\boldsymbol{r}$ schreiben lässt, nennt man konservativ. $\boldsymbol{F}(\boldsymbol{r})~=~-\nabla\,V(\boldsymbol{r}) $

Kreisbeschleuniger

Bei Kreisbeschleunigern werden die Teilchen durch Magnetfelder auf Kreisbahnen gehalten und ihre Energie wird durch synchron gesteuerte Hochfrequenzbeschleunigungsstrecken sukzessive erhöht. Beim Zyklotron bleibt das Magnetfeld zeitlich konstant. Die Kreisradien werden deshalb mit zunehmender Energie der Teilchen größer. Beim Betatron und beim Synchrotron bleiben die Kreisradien konstant. Das Magnetfeld muss daher mit wachsender Teilchenenergie zunehmen. In allen Fällen stellt das Magnetfeld die Begrenzung für die erreichbare Maximalenergie der Teilchen dar.

Kreisel, Erhaltungsgrößen

Für einen unterstützten symmetrischen Kreisel im homogenen Schwerefeld findet man drei Erhaltungsgrößen: die Projektion des Drehimpulses auf die Figurenachse und auf die Achse, entlang der das Schwerefeld wirkt, sowie die Gesamtenergie.

Kreisel, Euler-Winkel

Ein kräftefreier symmetrischer Kreisel erlaubt die Lösung \begin{equation} \vartheta(t) = \vartheta_0, \quad \psi(t) = \Omega t + \psi_0, \quad \varphi(t) = \Omega' t + \varphi_0 \end{equation} für die Euler-Winkel.

Kreisel, Rotation

Die Rotation eines kräftefreien Kreisels ist stabil, wenn sie um die Hauptachse mit dem kleinsten oder größten Trägheitsmoment erfolgt. Im anderen Fall ist die Bewegung instabil.

Kreisel. Euler-Winkel

Ein kräftefreier symmetrischer Kreisel erlaubt die Lösung \begin{equation} \vartheta(t) = \vartheta_0, \quad \psi(t) = \Omega t + \psi_0, \quad \varphi(t) = \Omega' t + \varphi_0 \end{equation} für die Euler-Winkel.

Kreisfrequenz

Die Kreisfrequenz erlaubt eine Aussage, wie schnell (in der Zeit) sich an einem festgelegten Ort(!) ein bestimmter Auslenkungswert wiederholt. Mit steigender Kreisfrequenz nimmt der Zeitabstand zwischen zwei identischen Auslenkungswerten am selben Ort, die sogenannte Periodendauer $T$, ab. Die Kreisfrequenz berechnet sich über $\omega = 2\pi f = \frac{2\pi}{T}$ und hat die Einheit $\frac{1}{\mathrm{s}}$.

Kreuzprodukt

Das Kreuzprodukt zweier Vektoren $\boldsymbol{a}$ und $\boldsymbol{b}$ liefert eine vektorielle Größe $\boldsymbol{c}$ $\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}~:= ~\boldsymbol{c}$ wobei $\boldsymbol{c}$ ein Vektor, welcher senkrecht auf der durch $\boldsymbol{a}$ und $\boldsymbol{b}$ definierten Ebene steht und $c_i = \sum_{j,\,k} \epsilon_{ijk}\,a_j\,b_k$.

Kreuzprodukt zweier Vektoren in Komponentenschreibweise

$\begin{aligned} \boldsymbol{c}=\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}= \,\sum\limits_{i,\,j}a_{i}b_{j}\left(\boldsymbol{e}_{i}\times\boldsymbol{e}_{j}\right)=\sum\limits_{i,\,j,\,k}\varepsilon_{ijk}a_{i}b_{j}\boldsymbol{e}_{k}=\sum\limits_{k}c_{k}\boldsymbol{e}_{k}\\ \Rightarrow c_{k}= \,\sum\limits_{i,\,j}\varepsilon_{ijk}a_{i}b_{j}\;.\end{aligned}$

Kreuzprodukt, Vektor

Das Vektorprodukt (Kreuzprodukt)
zweier Vektoren aus dem $\mathbb{R}^{3}$ ist ein Vektor, der normal
auf die beiden ursprünglichen Vektoren steht:
\begin{equation}
\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}=\left(\begin{array}{c}
a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}\\
a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3}\\
a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}
\end{array}\right)\label{eq:VektoriellesProdukt}
\end{equation}

Kristallgitter

Eine Kristallstruktur entsteht, wenn jedem Gitterpunkt des Translationsgitter eine Atombasis zugeordnet wird. Besteht diese nur aus einem Atom, dann heißt das Gitter primitiv. Bei nichtprimitiven Gittern besteht sie aus mehreren gleichen oder unterschiedlichen Atomen. Alle Kristallgitter können gemäß ihrer Symmetrieeigenschaften (Drehungen um Symmetrieachsen, Spiegelungen an Ebenen) in 14 verschiedene Symmetrietypen, die 14 Bravaisgitter, eingeteilt werden.

Kristallstruktur Messung

Experimentelle Methoden zur Bestimmung der Kristallstruktur sind die Bragg-Reflexion (Drehkristallverfahren), das Debye-Scherrer-Verfahren (für pulverförmige polykristalline Stoffe) und die Laue-Beugung. Allgemeine Bedingung: Konstruktive Interferenz bei der elastischen Streuung erhält man genau dann, wenn die Wellenvektoränderung $\Delta\mathbf{k}=\mathbf{k}_0 - \mathbf{k}$ zwischen einfallender und gestreuter Welle gleich einem reziproken Gittervektor $\mathbf{G}^{∗}$ ist.

Kritische Dichte

Die kritische Dichte ist durch $$ \rho_\mathrm{cr}(t) := \frac{3H^2(t)}{8\pi G}\;,\quad $$ $$ \rho_\mathrm{cr,0} := \rho_\mathrm{cr}(t_0)=\frac{3H_0^2}{8\pi G}$$ definiert. Der heutige Wert der kritischen Dichte ist $$ \rho_\mathrm{cr,0} = 9.20\cdot10^{-30}\,\mathrm{g\,cm^{-3}} = 5.50\cdot10^{-6}\,m_\mathrm{p}\,\mathrm{cm^{-3}} = 5.18\,c^{-2}\,\mathrm{keV}\,\mathrm{cm}^{-3}\;,$$ was also einer Protonenmasse $m_\mathrm{p}$ in knapp $2\cdot10^5\,\mathrm{cm^3}$ des kosmischen Volumens entspricht. Diese ungeheuer niedrige Dichte entspricht etwa einer Galaxienmasse pro $\mathrm{Mpc^3}$.

Kronecker-Symbol

Das Kronecker-Symbol ist ein Kürzel für die Zuordnung $ \delta_{ij} ~:=~\begin{cases} 1 &\quad i=j\\ 0 &\quad \text{sonst} \end{cases} $

Krümmung einer ebenen Kurve

Die Krümmung einer mittels $\boldsymbol{\gamma}(t) = \left( x_1(t), x_2(t) \right)^\top$ parametrisierten, zumindest zweimal differenzierbaren Kurve ist durch $$\kappa(t) = \frac{\det\left((\dot{\boldsymbol{x}},\ddot{\boldsymbol{x}})\right)}{\left(\dot{\boldsymbol{x}_1}^2 + \dot{\boldsymbol{x}_2}^2\right)^{3/2}}$$ gegeben. Einen Punkt der Kurve, an dem die Krümmung ein lokales Extremum annimmt, nennen wir Scheitelpunkt.

Krümmung und Torsion

In allgemeiner Parameterisierung erhalten wir für die Krümmung und Torsion einer Raumkurve $\gamma$, $\boldsymbol{x} = \boldsymbol{x}(t)$ $$\kappa = \frac{\Vert \dot{\boldsymbol{x}}\times\ddot{\boldsymbol{x}}\Vert}{\Vert \dot{\boldsymbol{x}}\Vert^3} \,,\qquad \tau = \frac{\det\left(\dot{\boldsymbol{x}}, \ddot{\boldsymbol{x}}, \dddot{\boldsymbol{x}} \right)}{\Vert \dot{\boldsymbol{x}} \times \ddot{\boldsymbol{x}}\Vert^2}$$

Kugel- und Zylinderkoordinaten, Jacobi-Determinanten

Die Jacobi-Determinanten für Zylinder- und Kugelkoordinaten braucht man selbstverständlich nur einmal auszurechnen. Die Ergebnisse $\det \boldsymbol{J} = \varrho $ für Zylinderkoordinaten und $ \det \boldsymbol{J} = r^2 \sin \vartheta $ für Kugelkoordinaten kann man dann für alle entsprechenden Rechnungen direkt verwenden.

Kugelflächenfunktionen

Die komplexen Kugelflächenfunktionen \begin{eqnarray}Y_l^m (\vartheta,\varphi) &:=& (-1)^m \sqrt{\frac{2l+1}{4\pi}\frac{(l-m)!}{(l+m)!}}P_l^m (\cos\vartheta) \mathrm{e}^{\mathrm{i}m\varphi}\\ Y_l^{-m} &:=& (-1)^m \overline{Y_l^m}\end{eqnarray} mit den Legendre-Funktionen $P_l^m$, bilden auf der Einheitskugel ein Orthogonalsystem mit $$\int\int_{S^2} Y_m^k(\vartheta, \varphi) \overline{Y_m^l}(\vartheta,\varphi) \mathrm{d}\Omega = \delta_{mn} \delta_{kl}$$

Kugelkoordinaten, Divergenz

Für einen Vektor $\mathfrak{A}$ mit der Darstellung $(A_r, A_\vartheta, A_\varphi)$ in Kugelkoordinaten gilt \begin{equation} \mathrm{div} \mathfrak{A} = \frac{1}{r^2} \frac{\partial (r^2 A_r)}{\partial r} + \frac{1}{r \sin \vartheta} \frac{\partial (\sin \vartheta A_\vartheta)}{\partial \vartheta} + \frac{1}{r \sin \vartheta} \frac{\partial A_\varphi}{\partial \varphi}. \end{equation}

Kugelkoordinaten, Laplace-Operator

Der Laplace-Operator $\varDelta$, angewandt auf eine skalare Funktion $f$, hat in Kugelkoordinaten $(r, \vartheta, \varphi)$ die Gestalt: \begin{equation} \varDelta f = \frac{1}{r^2} \frac{\partial}{\partial r} r^2 \frac{\partial f}{\partial r} + \frac{1}{r^2 \sin \vartheta} \frac{\partial}{\partial \vartheta} \sin \vartheta \frac{\partial f}{\partial \vartheta} + \frac{1}{r^2 \sin^2 \vartheta} \frac{\partial^2 f}{\partial \varphi^2}. \end{equation}

Kugelkoordinaten, Rotation

Für einen Vektor $\mathfrak{A}$ mit der Darstellung $(A_r, A_\vartheta, A_\varphi)$ in Kugelkoordinaten gilt \begin{eqnarray} \mathrm{rot} \mathfrak{A} &=& \frac{\boldsymbol{\hat e}_r}{r \sin \vartheta} \left[\frac{\partial (\sin \vartheta A_\varphi)}{\partial \vartheta} - \frac{\partial A_\vartheta}{\partial \varphi}\right] \\ && + \frac{\boldsymbol{\hat e}_\vartheta}{r} \left[\frac{1}{\sin \vartheta} \frac{\partial A_r}{\partial \varphi} - \frac{\partial (r A_ \varphi)}{\partial r}\right] \\ && + \frac{\boldsymbol{\hat e}_ \varphi}{r} \left[\frac{\partial (r A_\vartheta)}{\partial r} - \frac{\partial A_r}{\partial \vartheta}\right]. \end{eqnarray}

Kurvenintegral

Zur Berechnung eines Kurvenintegrals wird als Erstes der Integrationsweg parametrisiert. $ I ~=~ \int_{\boldsymbol{r}(s)}\,dl~F(\boldsymbol{r}) ~=~ \int_{s_1}^{s_2}\,ds~\sqrt{\left(\frac{dx}{ds}\right)^2+\left(\frac{dy}{ds}\right)^2}\,F\left(x(s),y(s)\right) $

Kurvenintegral, skalar

Das Kurvenintegral einer skalaren Funktion $\Phi$ über eine Kurve $\gamma$ mit $\boldsymbol{x} = \boldsymbol{\gamma}(t)$ für $t\in[a,b]$ ist definiert als $$\int_\gamma \Phi \mathrm{d}s := \int_a^b \Phi\left(\boldsymbol{x}(t)\right) \Vert \dot{\boldsymbol{x}}(t)\Vert \mathrm{d}t$$

Kurvenintegral, vektoriell

Das Kurvenintegral entlang einer mit $\boldsymbol{\gamma}(t)$ für $t\in[a,b]$ parametrisierten Kurve $\gamma$ über ein Vektorfeld $$\boldsymbol{v}(\boldsymbol{x}) = \left(v_1(\boldsymbol{x}, \dots ,v_n(\boldsymbol{x})\right)^\top$$ ist definiert als $$\int_\gamma \boldsymbol{v} \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{s} := \int_a^b \boldsymbol{v}\left( \boldsymbol{x}(t) \right) \cdot \dot{\boldsymbol{x}}(t) \mathrm{d}t$$