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Begriff Erklärung

L'Hospital'sche Regel

Ist $I=(a,b)$ ein beschränktes Intervall, $x_0\in I$ und $f,g:I\rightarrow\mathbb{R}$ differenzierbare Funktionen mit $\lim_{x\rightarrow x_0} f(x) = \lim_{x\rightarrow x_0} g(x) = 0$ und $g(x) \neq 0, g'(x) \neq 0$ für alle $x\neq x_0$. Dann gilt $$\lim_{x\rightarrow x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\rightarrow x_0} \frac{f'(x)}{g'(x)}$$ falls der Grenzwert auf der rechten Seite existiert. Die selbe Aussage gilt, wenn $I=(a,\infty)$ und der Grenzwert $x\rightarrow \infty$ oder $I=(-\infty, b)$ und der Grenzwert $x\rightarrow -\infty$ betrachtet wird.

Ladungs-Masse-Verhältnis

Das Ladungs-Masse-Verhältnis $e/m$ von Ionen kann mithilfe von Massenspektrometern bestimmt werden, die entweder auf der Ablenkung der Ionen in elektrischen und/oder magnetischen Feldern basieren oder auf der Flugzeit der durch eine Spannung $U$ beschleunigten Ionen.

Lagrange Multiplikatoren

Wir bezeichnen mit $L=f+\sum_{j=1}^k \lambda_j g_j$ die Lagrange-Funktion zu einem Optimierungsproblem $$\min_{\boldsymbol{x}\in D} f(\boldsymbol{x})$$ mit einer Zielfunktion $f:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}$ und Nebenbedingungen $$D = \left\lbrace\boldsymbol{x}\in \mathbb{R}^n \vert g_j(\boldsymbol{x})= 0\,, j= 1,\dots,k \right\rbrace$$ Ist $\hat{\boldsymbol{x}}\in D$ ein lokales Minimum der Funktion $f$ auf der Menge $D$ und sind die $k$ Gradienten $$\nabla g_1(\hat{\boldsymbol{x}}), \nabla g_2(\hat{\boldsymbol{x}}),\dots \nabla g_k(\hat{\boldsymbol{x}})$$ an der Stelle $\hat{\boldsymbol{x}}$ linear unabhängig, dann existieren Lagrage'sche Multiplikatoren $\hat{\lambda}_1, \dots, \hat{\lambda}_k \in \mathbb{R}$, sodass die $n+k$ Gleichungen mit \begin{eqnarray} \frac{\partial L}{\partial x_i} (\hat{\boldsymbol{x}}, \hat{\lambda}) &=& 0 \,,\qquad i=1,\dots,n\\ \frac{\partial L}{\partial \lambda_i} (\hat{\boldsymbol{x}}, \hat{\lambda}) &=& 0 \,,\qquad i=1,\dots,k \end{eqnarray} erfüllt sind.

Lagrange-Funktion

$$L=L(\boldsymbol{q},\dot{\boldsymbol{q}},t)=T(\boldsymbol{q},\dot{\boldsymbol{q}},t)-U(\boldsymbol{q},t)$$ mit verallgemeinerten Koordinaten $\boldsymbol{q}$ bzw. $q_k$

Lagrange-Funktion, Freiheit der Wahl

Die Bewegungsgleichungen bleiben invariant, wenn zu der Lagrange-Funktion die totale Zeitableitung einer Funktion $f(t, q)$ addiert wird.

Lagrange-Gleichung für dreidimensionales Feld

Die Lagrange-Gleichungen für das dreidimensionale Feld $\boldsymbol{q}(t, \boldsymbol{r})$ lauten \begin{equation} \frac{\partial \mathcal L}{\partial q_i} - \frac{\partial}{\partial t} \frac{\partial \mathcal L}{\partial \dot q_i} - \frac{\partial}{\partial r_j} \frac{\partial \mathcal L}{\partial (\partial_j q_i)} = 0 \quad (i = x, y, z). \end{equation}

Lagrange-Gleichung für eindimensionales Feld

Die Lagrange-Gleichung für das eindimensionale Feld $q(t, x)$ lautet \begin{equation} \frac{\partial \mathcal L}{\partial q} - \frac{\partial}{\partial t} \frac{\partial \mathcal L}{\partial \dot q} - \frac{\partial}{\partial x} \frac{\partial \mathcal L}{\partial q'} = 0, \end{equation} wobei die Lagrange-Dichte $\mathcal L$ neben $q(t, x)$ noch von den beiden Ableitungen $\dot q(t, x)$ und $q'(t, x)$ abhängen darf.

Lagrange-Gleichungen 1. Art

$\frac{d}{d t}\frac{\partial L}{\partial\dot{q}_{k}}-\frac{\partial L}{\partial q_{k}}=\sum_{\alpha}\lambda_{\alpha}\frac{\partial g_{\alpha}}{\partial q_{k}}$

Lagrange-Gleichungen 1. Art für eine Punktmasse

Gibt es eine holonome Zwangsbedingung \begin{equation} f(t, \boldsymbol{x}) = 0, \end{equation} so führt dies auf eine Zwangskraft \begin{equation} \boldsymbol{Z} = \lambda \boldsymbol{\nabla} f \end{equation} mit einem Lagrange-Multiplikator $\lambda$. Die Lagrange-Gleichungen erster Art lauten dann \begin{equation} m \ddot{\boldsymbol{x}} = \boldsymbol{F} + \lambda \boldsymbol{\nabla} f \end{equation} mit der angewandten Kraft $\boldsymbol{F}$ aus den Newton'schen Bewegungsgleichungen.

Lagrange-Gleichungen 1. Art für Systeme von Punktmassen

Für ein System von $N$ Punktmassen unter dem Einfluss von $r$ unabhängigen holonomen Zwangsbedingungen $f_a(t, \boldsymbol{x}_1, \ldots, \boldsymbol{x}_N)$ lauten die Lagrange-Gleichungen erster Art \begin{equation} m_i \ddot{\boldsymbol{x}}_i = \boldsymbol{F}_i + \sum_{a=1}^r \lambda_a \boldsymbol{\nabla}_i f_a \quad (1 \leq i \leq N) \end{equation} bzw. \begin{equation} m_i \ddot x_i = F_i + \sum_{a=1}^r \lambda_a \frac{\partial f_a}{\partial x_i} \quad (1 \leq i \leq 3 N) \end{equation} in der komponentenweisen Darstellung.

Lagrange-Gleichungen 2. Art

Für holonome Zwangsbedingungen lauten die Bewegungsgleichungen der generalisierten Koordinaten \begin{equation} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \frac{\partial T}{\partial \dot q_j} - \frac{\partial T}{\partial q_j} = Q_j, \quad (1 \leq j \leq F). \end{equation}

Lagrange-Gleichungen 2. Art für konservative Systeme

Für konservative Systeme mit holonomen Zwangsbedingungen lauten die Bewegungsgleichungen der generalisierten Koordinaten \begin{equation} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \frac{\partial L}{\partial \dot q_j} - \frac{\partial L}{\partial q_j} = 0 \quad (1 \leq j \leq F). \end{equation} Hier ist \begin{equation} L(t, q, \dot q) := T(t, q, \dot q) - V(t, q) \end{equation} die Lagrange-Funktion des Systems.

Lagrangian

Englische Bezeichnung f\"ur Lagrange-Dichte: Verallgemeinerung der Lagrange-Funktion der klassischen Mechanik in der Feldtheorie. Kompakte Darstellung einer (Quanten-)Feldtheorie, aus der die
Feldgleichungen abgeleitet werden k\"onnen.

Lamb-Shift

Bei Berücksichtigung der Wechselwirkung des Elektrons mit seinem Strahlungsfeld (Emission und Absorption virtueller Photonen) verschieben sich die Energieniveaus geringfügig. Dieser Effekt ist als Lamb-Shift bekannt. Die Verschiebung ist am größten für den $1S$-Term, kleiner für den $2S$-Term und wesentlich kleiner für $P$-Terme. Die Verschiebung kann im Rahmen der Quantenelektrodynamik berechnet werden.

Landau'sche Ordnungssymbole

Es gilt: \begin{align}f(x) =& O\left(g(x)\right) \qquad\text{falls}\quad \lim_{x\rightarrow x_0} \frac{f(x)}{g(x)} \leq C \qquad 0

Laplace-Gleichung

Die Poisson-Gleichung $ -\Delta\,\Phi(\boldsymbol{r})~=~\frac{1}{\epsilon_0}\rho_e(\boldsymbol{r}) $ ist die zentrale Gleichung der Elektro- und Magnetostatik. Ihre homogene Form ($\rho_e = 0$) wird als Laplace-Gleichung bezeichnet.

Laplace-Operator

Der Laplace-Operator in $n$ Dimensionen hat in kartesischen Koordinaten die Form $$ \bigtriangleup = div \textbf{grad} = \sum_{k=1}^{n} \frac{\partial^2}{\partial x_k^2}$$

Laplace-Operator in Kugelkoordinaten

Der Laplace-Operator $\varDelta$, angewandt auf eine skalare Funktion $f$, hat in Kugelkoordinaten $(r, \vartheta, \varphi)$ die Gestalt: \begin{equation} \varDelta f = \frac{1}{r^2} \frac{\partial}{\partial r} r^2 \frac{\partial f}{\partial r} + \frac{1}{r^2 \sin \vartheta} \frac{\partial}{\partial \vartheta} \sin \vartheta \frac{\partial f}{\partial \vartheta} + \frac{1}{r^2 \sin^2 \vartheta} \frac{\partial^2 f}{\partial \varphi^2}. \end{equation}

Laplacetransformation

Zu einer Funktion $f:[0, \infty) \rightarrow \mathbb{C}$ ist auf einem Intervall $J\subseteq\mathbb{R}_{\geq 0}$ die Laplacetransformierte definiert als die Funktion $\mathcal{L} f: J \rightarrow \mathbb{C}$, die durch das Parameterintegral $$\mathcal{L} f(s) = \int_0^\infty f(t) \mathrm{e}^{-st} \mathrm{d}t \,,\qquad s\in J$$ gegeben ist, wenn das Integral für $s\in J$ existiert.

LASER

Das Kunstwort Laser steht für Light Amplification by Stimulated Emission of Radiation. Ein Laser besteht im Wesentlichen aus drei Komponenten: \textbf{1)} Der Energiepumpe, die durch selektive Energiezufuhr in einem Medium eine Besetzungsinversion erzeugt; \textbf{2)} dem aktiven Medium, in dem bei einer Besetzungsinversion eine elektromagnetische Welle verstärkt wird; \textbf{3)} einem optischen Resonator, welcher die vom aktiven Medium emittierte Strahlungsleistung nur in wenigen Moden speichert. In diesen Moden muss die Strahlungsdichte so groß sein, dass die Wahrscheinlichkeit für induzierte Emission groß wird gegen die Wahrscheinlichkeit für spontane Emission.

LASER, gepulst

Bei manchen Lasern lässt sich eine über der Schwelle liegende Besetzungsinversion nur durch gepulste Energiezufuhr für kurze Zeit aufrecht erhalten (gepulste Laser), bei vielen Lasern ist dies dauernd möglich (Dauerstrichlaser). Beispiele für gepulste Laser sind Nd:Glas-Festkörperlaser und Excimer-Gaslaser. Die zeitliche Dauer des Laserpulses ist durch die Dauer des Pumppulses begrenzt. Durch Kopplung vieler Lasermoden kann man Laserpulse bis unter $1\,\mathrm{ps}$ realisieren (modengekoppelte Laser). Durch nichtlineare Wechselwirkungen zwischen kurzen Laserpulsen und einem absorbierenden Medium erreicht man heute Pulsbreiten bis unter $10\,\mathrm{fs} = 10^{-14}\,\mathrm{s}$.

LCAO-Methode

Für ein starres Molekül lassen sich die elektronischen Wellenfunktionen $\Psi(\mathbf{r},\,R)$ und die Eigenwerte $E(R)$ als Funktion des Kernabstandes $R$ näherungsweise durch Linearkombinationen atomarer Wellenfunktionen bestimmen.

Lebensdauer, mittlere

Die mittlere Lebensdauer $\tau_i = 1\,/\,A_i$ eines angeregten Atomzustandes $E_i$ ist durch den Einsteinkoeffizienten $A_i$ der spontanen Übergangswahrscheinlichkeit bestimmt. Die Messung von Lebensdauern erlaubt deshalb die Bestimmung von Übergangswahrscheinlichkeiten und Matrixelementen. Sie sind ein empfindlicher Test für die Genauigkeit gerechneter Wellenfunktionen. Die Lebensdauern sind bestimmt durch strahlenden Zerfall eines Niveaus und auch durch inelastische Stöße, welche die natürlichen Lebensdauern verkürzen.

Legendre-Funktion

Die Funktionen $$P_n^m (x) = \left(1-x^2\right)^{m/2} \frac{\mathrm{d}^m}{\mathrm{d}x^m} P_n(x)$$ (mit $n\in\mathbb{N}$ und $m\in\mathbb{N}_0$ für $m\leq n$) heißen zugeordnete Legendre-Funktionen. Sie sind die Lösungen der Legendre-Gleichung $$\left(1-x^2\right)\, u'' - 2x\, u' \left( n(n+1) - \frac{m}{1-x^2}\right)\, u = 0$$

Leibniz-Kriterium

Ist die Folge $(a_n)$ eine reelle positive, monton fallende Nullfolge, so konvergiert die Reihe $$\sum_{n=1}^\infty (-1)^n a_n$$

Leistungsspektrum und Korrelationsfunktion

Das Leistungsspektrum eines Zufallsfeldes ist die Varianz seiner Fourier-Amplituden. Die Korrelationsfunktion ist die Fourier-Transformierte des Leistungsspektrums.

Lenz'sche Regel

Das induzierte elektrische Feld ist so gerichtet,dass die Ursache seiner Entstehung abgeschwächt wird.

Lenz´sche Regel

Die durch Induktion entstehenden Ströme, Felder und Kräfte sind so gerichtet, dass sie dem die Induktion verursachenden Vorgang entgegenwirken (Lenz´sche Regel).

Leptonen und Hadronen

Alle Teilchen können in zwei Klassen eingeteilt werden: Leptonen ($\text{e}^{-}$, $\mu^{-}$, $\tau^{-}$, $\nu_\mathrm{e}$, $\nu_\mathrm{\mu}$, $\nu_\mathrm{\tau}$ und ihre Antiteilchen) und die Hadronen (Mesonen und Baryonen). Die Leptonen unterliegen der schwachen Wechselwirkung (wenn sie elektrische Ladung haben, auch der elektromagnetischen Wechselwirkung). Sie werden durch eine Leptonenzahl $L$ charakterisiert. Die Hadronen erfahren die starke Wechselwirkung (bzw. zusätzlich elektromagnetische Wechselwirkung bei geladenen Hadronen). Sie werden durch eine Baryonenzahl $B$ charakterisiert. Bei allen bisher gefundenen Reaktionen bleiben Leptonenzahl $L$ und Baryonenzahl $B$ erhalten.

Levi-Civita-Symbol

Das Levi-Civita-Symbol $\epsilon_{ijk}$ ist durch $\epsilon_{123}:=1$ und die Vorschrift, dass es bei jeder Vertauschung zweier Indizes das Vorzeichen wechselt, definiert $\epsilon_{ijk}=-\epsilon{jik}=-\epsilon{kji}=\-epsilon{ikj}$

Lichtbrechung

Trifft ein Lichtstrahl auf eine Grenzfläche zwischen zwei Medien mit unterschiedlichen Brechungsindizes, so wird er gebrochen. Beim Übergang vom optisch dünneren in das optisch dichtere Medium wird zum Einfallslot hin gebrochen. Die Brechung wird durch das Snelliussche Brechungsgesetz beschrieben: $\frac{\sin\theta_1}{\sin\theta_2}=\frac{n_2}{n_1}$.

Lichtgeschwindigkeit

In allen Inertialsystemen ist die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum (unabhängig vom Bewegungszustand der Quellen) gleich groß.

Lichtgeschwindigkeit im Medium

Analog zur Wellenlänge bleibt die Lichtgeschwindigkeit beim Übergang vom Vakuum ($c_0$) in ein Medium ($c_\mathrm{Medium}$) mit größerem Brechungsindex $n$ nicht konstant, sondern ändert sich mit $c_\mathrm{Medium} = c_0 \frac{1}{n_\mathrm{Medium}} = f\cdot\lambda_\mathrm{Medium}$.

Lichtmikroskop

Das Lichtmikroskop ist ein optisches System aus zwei Linsen: dem Objektiv und dem Okular. Zwischen den Linsen befindet sich ein Tubus, dessen Tubuslänge $t$ der Abstand der Brennebenen von Objektiv und Okular ist.

Lichtstreuung

Licht wird von Atomen, Molekülen und Mikropartikeln gestreut. Kohärente Streuung tritt auf, wenn zwischen den verschiedenen Streuzentren zeitlich konstante Abstände $d

Lineare Abbildung

Eine Abbildung $\varphi : V \rightarrow W$ zwischen $\mathbb{K}$-Vektorräumen $V$ und $W$ heißt lineare Abbildung oder Homomorphismus, wenn für alle $\boldsymbol{v},\boldsymbol{w}\in V$ und $\lambda \in K$ gilt:\begin{eqnarray} &\bullet& \varphi(\boldsymbol{v}+\boldsymbol{w}) = \varphi(\boldsymbol{v}) + \varphi(\boldsymbol{w}) \quad\text{(Additivität)} \\ &\bullet& \varphi(\lambda \boldsymbol{v}) = \lambda \varphi(\boldsymbol{v}) \quad\text{(Homogenität)}\end{eqnarray}

lineare Polarisation

Hier schwingt der elektrische Feldvektor ausschließlich in eine Richtung, die er auch in Abhängigkeit der Zeit oder des Ausbreitungsorts nicht ändert.

Lineare Unabhängigkeit

$n$ Vektoren $\boldsymbol{a}_{1}$, $\boldsymbol{a}_{2}$, ..., $\boldsymbol{a}_{n}$ heißen linear unabhängig, falls die Gleichung $\sum\limits_{j=1}^{n}\alpha_{j}\boldsymbol{a}_{j}=0$ nur durch $\alpha_{1}=\alpha_{2}={\ldots}=\alpha_{n}=0$ erfüllt werden kann. Andernfalls heißen sie linear abhängig.

lineare Vergrößerung

Die Vergrößerung $V$ des Bilds $B$ gegenüber dem abgebildeten Gegenstand $G$ bei der Abbildung mit einer Linse errechnet sich aus $V = \frac{B}{G} = -\frac{b}{g}$ und nennt sich lineare Vergrößerung.

Linearkombination

Eine zentrale Struktur in Vektorräumen sind Linearkombinationen, die in der Physik meistens Superpositionen genannt werden: $ \boldsymbol{c}~=~\lambda\boldsymbol{a} + \mu\boldsymbol{b}$

Linienbreite

Die Linienbreiten $\delta\nu$von Spektrallinien mit den Mittenfrequenzen $\nu_{ik}$ sind verursacht: \textbf{1)} durch die natürliche Linienbreite $\delta\nu_n = \frac{1}{2\,\pi}\,\left( \frac{1}{\tau_i}+\frac{1}{\tau_k} \right)$; \textbf{2)} durch die (im Allgemeinen sehr viel größere) Doppler-breite $\delta \nu_D = 7,16\times 10^{-7}\,\nu_{ik}\,\sqrt{T\,/\,M}$, wobei $M$ die Molmasse ist; \textbf{3)} durch Stöße des strahlenden (bzw. absorbierenden) Atoms mit anderen Atomen oder Molekülen (Druckverbreiterung).

Linienintegral, Unabhängigkeit

Das Linienintegral über ein Vektorfeld entlang eines beliebigen Weges hängt genau dann nur vom Anfangs- und Endpunkt dieses Weges ab, wenn die Rotation des Vektorfeldes identisch verschwindet.

Linsenfehler

Die wichtigsten Linsenfehler (Abweichung von der idealen Abbildung) sind chromatische Aberration, sphärische Aberration, Astigmatismus, Koma und Bildfeldwölbung.

Linsengleichung

Mit ihrer Hilfe lässt sich bestimmen, wie durch die Verwendung von Linsen Abbilder von Gegenständen erzeugt werden. Sie lautet $\frac{1}{g} + \frac{1}{b} = \frac{1}{f}$ mit der Gegenstandsweite $g$, der Bildweite $b$ und der Brennweite der Linse $f$.

Linsenschleiferformel

Die Brennweite $f$ einer dünnen Linse berechnet sich mit der sogenannten Linsenschleiferformel über $\frac{1}{f} = \frac{n_\mathrm{Linse}-n_\mathrm{Luft}}{n_\mathrm{Luft}}\cdot\left(\frac{1}{r_1}-\frac{1}{r_2}\right)$.

Lippmann-Schwinger-Gleichung

Eine zur Schrödinger-Differenzialgleichung äquivalente Integralgleichung, die speziell zur Beschreibung des Streuproblems geeignet ist.

Lorentz-Faktor

$$ \gamma = \frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\,.$$ Er ist immer größer als $1$ und geht für $v \rightarrow c$ gegen unendlich.

Lorentz-Kraft

Auf eine elektrische Ladung in einem Magnetfeld wirkt die Lorentz-Kraft $$\vec{F_{\mathrm{L}}}=q\cdot(\vec{v}\times\vec{B})=I(\vec{l}\times\vec{B})\,.$$ Für die Richtung der Lorentz-Kraft gilt die Drei-Finger-Regel der rechten Hand, wobei wir die technische Stromrichtung betrachten.

Lorentz-Transformation

Die Transformation von Ort, Zeit und Geschwindigkeit, und damit auch der Bewegungsgleichung eines Körpers von einem auf ein anderes Inertialsystem wird durch die Lorentz-Transformationen beschrieben. Sie gehen von der durch Experimente gesicherten Konstanz der Vakuum-Lichtgeschwindigkeit aus, die unabhängig ist vom gewählten Inertialsystem. Für kleine Geschwindigkeiten $v\ll c$ gehen sie in die klassischen Galilei-Transformationen über.

Lorentz-Transformation in $x$-Richtung

In Matrixform geschrieben lautet die Lorentz-Transformation von einem Inertialsystem $\mathcal S$ auf ein Inertialsystem $\mathcal S'$, das sich gegenüber $\mathcal S$ mit Geschwindigkeit $v=\beta\, c$in positiver $x$-Richtung bewegt: \begin{equation} \left( \begin{array}{c} c t^\prime \\ x^\prime \\ y^\prime \\ z^\prime \end{array} \right) = \underbrace{\left( \begin{array}{cccc} \gamma & - \beta\gamma & 0 & 0 \\ - \beta\gamma & \gamma & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right)}_{\boldsymbol{\Lambda}(v)} \; \left( \begin{array}{c} c t \\ x \\ y \\ z\end{array} \right), \end{equation} mit den gebräuchlichen Abkürzungen $\beta:=\frac{v}{c},\qquad \gamma:=\frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}$.

Lorentzkraft

$$\begin{aligned} \boldsymbol{F}=q(\boldsymbol{E}+\boldsymbol{v}\times\boldsymbol{B})\;.\end{aligned}$$