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Begriff Erklärung

Magnetische Eigenschaften von Materie

Die magnetischen Eigenschaften von Materie werden durch die magnetische Suszeptibilität beschrieben. Wir unterscheiden: $$\begin{aligned}\text{Diamagnete: } |\chi|\ll 1,\;\chi 0\\ \text{Ferromagnete: } |\chi|\gg 1,\;\chi |\chi|\;\text{ist kleiner als bei Paramagneten}\\ \text{Antiferrimagnete:}\quad|\chi|\gg 1,\;\chi > 0\,.\end{aligned}$$ In Materie gilt: $\boldsymbol{B} =\mu_{0}\,(1+\chi)\,\boldsymbol{H} =\mu\cdot\mu_{0}\boldsymbol{H}$. Die dimensionslose Konstante $\mu$ heißt relative Permeabilitätszahl.

Magnetische Feldkonstante

$$\begin{aligned} \mu _{0}=4\pi\cdot 10^{{-7}}\frac{{\text{Vs}}}{{\text{Am}}}\approx 1{,}2566\cdot 10^{{-6}}\frac{{\text{N}}}{{\text{A}}^{2}}\;.\end{aligned}$$

Magnetische und elektrische Kernmomente

Kerne mit $\boldsymbol{I}\neq 0$ haben ein magnetisches Dipolmoment, solche mit $I \geq 1$ auch ein elektrisches Quadrupolmoment.

Magnetisches Feld

Das magnetische Feld $\vec{B}$ hat die Einheit Tesla und ist zum einen gegeben durch $$\vec{B}=\mu_0\mu_r\vec{H}\,,$$ mit der magnetischen Feldstärke $\vec{H}$. Für bewegte Ladungen gilt zum anderen für das Magnetfeld das Biot-Savart'sche Gesetz $$\vec{B}=\frac{\mu_0\mu_r}{4\pi}\int\frac{I\,\mathrm{d}\vec{l}\times\vec{e_r}}{r^2}\,.$$

Magnetisches Moment

$$\begin{aligned} \boldsymbol{m}=\frac{1}{2}\int\,\mathrm{d}^{3}r\left[\boldsymbol{r}\times\,\boldsymbol{j}(\boldsymbol{r})\right]\end{aligned}$$

Magnetisches Vektorpotential

$$\begin{aligned} \boldsymbol{A}(\boldsymbol{r})=\frac{\mu _{0}}{4\pi}\int\mathrm{d}^{3}r^{{\prime}}\frac{\,\boldsymbol{j}(\boldsymbol{r}^{{\prime}})}{|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}^{{\prime}}|}\;.\end{aligned}$$ $$\text{mit $\textbf{B} =\text{rot} \textbf{A}$}$$

Magnetisierung

$$\begin{aligned} \boldsymbol{M}(\boldsymbol{r})=\frac{1}{v(\boldsymbol{r})}\sum\limits _{{i=1}}^{{N(v(\boldsymbol{r}))}}\boldsymbol{m}_{i}\;.\end{aligned}$$Dies zeigt die anschauliche Bedeutung der Magnetisierung als mittleres magnetisches Moment pro Volumen über die magnetischen Momente $\boldsymbol{m_i}$ im Volumen $v(\boldsymbol{r}).$

Majoranten- und Minorantenkriterium

Für eine Reihe $\left( \sum_{n=0}^{\infty} a_n\right)$ mit $a_n\in\mathbb{C}$ gelten folgende Konvergenzaussagen:$$ ~$$ 1.) Gibt es eine reelle Folge $(b_n)$mit $\vert a_n\vert \leq b_n$ für alle $n\geq n_0$ und konvergiert die Reihe $\left( \sum_{n=0}^\infty b_n \right)$, so konvergiert auch die Reihe $\left( \sum_{n=0}^{\infty} a_n \right)$. $$ ~ $$ 2.) Sind alle $a_n$ reell und gibt es eine divergente Reihe $\left( \sum_{n=0}^\infty b_n\right)$ mit $0\leq b_n \leq a_n$ für alle $n\geq n_0$, so divergiert auch die Reihe $\left( \sum_{n=0}^\infty a_n\right)$.

Makroskopische Polarisation

$$\begin{aligned} \boldsymbol{P}(\boldsymbol{r})=\overline{\boldsymbol{\Pi}_{{\text{e}}}(\boldsymbol{r})}=\frac{1}{v(\boldsymbol{r})}\sum _{{j\in v}}\boldsymbol{p}_{j}\;,\end{aligned}$$ wobei $p_j$ das Dipolmoment des j-ten Teilchens einer kleinen Kugel am Ort $\textbf{r}$ ist

Masse

Masse ist ein Maß dafür, wie stark sich ein Gegenstand gegen eine Bewegungsänderung wehrt. Träge Masse und schwere Masse sind das Gleiche, d.h., der Widerstand gegen Bewegungsänderung und die Stärke der Schwerkraft sind beide von der Masse eines Körpers abhängig.

Massenstromdichte

Die Massenstromdichte lässt sich an jedem Ort allgemein als \begin{equation} \boldsymbol{j}(t, \boldsymbol{r}) = \rho(t, \boldsymbol{r}) \boldsymbol{u}(t, \boldsymbol{r}) \end{equation} schreiben. Sie gibt an, wie viel Masse sich pro Zeiteinheit durch eine bestimmte Querschnittsfläche in eine bestimmte Richtung bewegt.

Massepunkt

Ein Massenpunkt ist ein Körper, dessen Ausdehnung klein gegen die charakteristischen Längen seiner Bahnkurve ist. Entsprechend spielt seine Form keine Rolle, er kann als Punkt mit einer Masse $m$ idealisiert werden.

Materiewelle

Auch Materieteilchen (Elektronen, Atomen,...) kann eine Welle zugeordnet werden. Mit steigender Teilchengröße wird der Nachweis immer schwieriger, da die Wellenlänge $\lambda$ dieser Materiewellen mit steigendem Teilchenimpuls gemäß der de-Broglie-Gleichung $\lambda = \frac{h}{p}$ abnimmt.

Matrix

Ein rechteckiges Zahlenschema $(a_{ij}\in{I\!R})$ der Art $A\equiv\begin{pmatrix}a_{11} {\ldots} a_{1n}\\ \vdots \vdots\\ a_{m1} {\ldots} a_{mn}\end{pmatrix}\equiv(a_{ij})_{\genfrac{}{}{0.0pt}{1}{i\,=\,1,\ldots,\,m}{j\,=\,1,\ldots,\,n}}$ heißt $(m\times n)$-Matrix, bestehend aus $m$ Zeilen $(i=1,2,{\ldots},m)$ und $n$ Spalten $(j=1,2,{\ldots},n)$. Ist $m=n$, so spricht man von einer quadratischen Matrix.

Matrix, Jacobi-

Die durch $ J_{ij} := \partial_{q_j} x_i $ definierte Matrix einer Koordinatentransformation $q_i(x_j)$ mit Umkehrung $x_i(q_j)$ heißt Jacobi-Matrix der Koordinatentransformation. Häufig schreibt man auch \begin{equation} \boldsymbol{J} = \frac{\partial(x_1, x_2, x_3)}{\partial (q_1, q_2, q_3)}. \end{equation}

Matrix, Symmetrische

Symmetrische Matrizen haben reelle Eigenwerte. Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten stehen senkrecht aufeinander.

Matrix-Multiplikation

$A=(a_{ij})$ sei eine $(m\times n)$-Matrix, $B=(b_{ij})$ eine $(n\times r)$-Matrix (Spaltenzahl von $A$ = Zeilenzahl von $B$). Dann versteht man unter der Produktmatrix $C=A\cdot B=\left(c_{ij}\right)$ eine $(m\times r)$-Matrix mit den Elementen $c_{ij}=\sum\limits_{k=1}^{n}a_{ik}b_{kj}\;.$

Matrixaddition

$A=(a_{ij}),\,B=(b_{ij})$ seien zwei $(m\times n)$-Matrizen. Unter der Summe $C=A+B=(c_{ij})$ versteht man die Matrix mit den Elementen $c_{ij}=a_{ij}+b_{ij}\;, \forall\,i,j\;.$ $C$ ist wieder eine $(m\times n)$-Matrix.

Matrizen, Darstellung von Tensoren

Wir halten fest, dass man wegen $T_{ij} = T(\boldsymbol{\hat e}_i \,,\, \boldsymbol{\hat e}_j)$ und $T_{ij} = \frac{T(\boldsymbol{a}\,,\, \boldsymbol{b})}{a_i b_j}$ Tensoren zweiter Stufe als Matrizen darstellen kann. Analog können Tensoren erster Stufe als Vektoren dargestellt werden.

Matrizenprodukt

Man nennt die $m \times p$-Matrix $$\boldsymbol{A}\boldsymbol{B} = \left(c_{ik}\right)_{m,p} \quad\text{ mit } c_{ik} := \boldsymbol{z}_i \boldsymbol{s}_k = \sum_{j=1}^n a_{ij}b_{jk}$$ das Matrizenprodukt oder auch nur kurz Produkt von $\boldsymbol{A}$ und $\boldsymbol{B}$.

Maximierung der Entropie

Im Gleichgewicht bei vorgegebenen äußeren Parametern $a$ wird sich ein isoliertes System so einstellen, dass die Wahrscheinlichkeit seines Zustands und damit auch die Entropie maximal wird. Dann muss $$ \mathrm{d} S = 0 \quad\hbox{und}\quad \frac{\partial^2S}{\partial a^2}\le 0 \label{eq:td03-74} $$ für alle äußeren Parameter gelten, die mit dem Symbol $a$ bezeichnet werden.

Maximum

Eine Funktion $f$ hat im Punkt $\bar{x}$ ein lokales Minimum, falls $f'(\bar{x})=0$ und $ f''(\bar{x})> 0 $ ist, sie besitzt in diesem Punkt ein lokales Maximum, falls $ f'(\bar{x})=0 $ und $ f''(\bar{x})

Maxwell Gleichungen im Vakuum

Es gilt für das elektrische und die magnetische Feldstärke $\boldsymbol{E}$ und $\boldsymbol{B}$, den Strom $\boldsymbol{j}_e$ und die Ladungsdichte $\rho_e$: \begin{align} \nabla \cdot \boldsymbol{E} &~=~ \frac{\rho_e}{\epsilon_0} \nonumber\\ \nabla\cdot\boldsymbol{B} &~=~ 0 \nonumber\\ \nabla \times \boldsymbol{E} &~=~ -\,\frac{\partial \boldsymbol{B}}{\partial t} \nonumber\\ \nabla \times \boldsymbol{B} &~=~ \mu_0\,\boldsymbol{j}_e+ \epsilon_0\,\mu_0\,\frac{\partial\boldsymbol{E}}{\partial t} \end{align}

Maxwell'scher Spannungstensor

$$\begin{aligned} T_{{ij}}=\varepsilon _{{\text{r}}}\varepsilon _{0}E_{i}E_{j}+\frac{1}{\mu _{{\text{r}}}\mu _{0}}B_{i}B_{j}-\frac{1}{2}\delta _{{ij}}\left(\varepsilon _{{\text{r}}}\varepsilon _{0}E^{2}+\frac{1}{\mu _{{\text{r}}}\mu _{0}}B^{2}\right)\;.\end{aligned}$$

Maxwell-Boltzmann-Verteilung

Die Geschwindigkeitsverteilung $n(v)$ der Gasmoleküle im thermischen Gleichgewicht ist durch die Maxwell-Boltzmann-Verteilung $n(v)\mathrm{d}v\propto v^{2}\cdot\mathrm{e}^{-\frac{m}{2}v^{2}/kT}\mathrm{d}v$ für den Betrag $v=|\boldsymbol{v}|$ der Geschwindigkeit gegeben. Die Verteilung $n(v_i),\, i=x,y,z$ der Geschwindigkeitskomponenten ist dagegen eine zu $v_i = 0$ symmetrische Gaußverteilung.

Maxwell-Gleichungen

$$\begin{aligned} \text{div}\boldsymbol{B}& \; =0& \end{aligned}$$ $$\begin{aligned} \text{rot}\boldsymbol{E}+\dot{\boldsymbol{B}}& \; =0& \end{aligned}$$ $$\begin{aligned} \text{div}\boldsymbol{D}& \; =\varrho& \; & \; \end{aligned}$$ $$\begin{aligned} \text{rot}\boldsymbol{H}-\dot{\boldsymbol{D}}& \; =\boldsymbol{j}& \end{aligned}$$ $$\begin{aligned} \; \boldsymbol{B}& \; =\mu _{0}(\boldsymbol{H}+\boldsymbol{M})\,\,\longrightarrow\,\,\mu _{{\text{r}}}\mu _{0}\boldsymbol{H}& \; & \; \end{aligned}$$ $$\begin{aligned} \boldsymbol{D}& \; =\varepsilon _{0}\boldsymbol{E}+\boldsymbol{P}\,\,\underset{\substack{\uparrow\\ \textit{lineares} \text{ Medium}}}{\longrightarrow}\,\,\varepsilon _{{\text{r}}}\varepsilon _{0}\boldsymbol{E}& \; & \; \end{aligned}$$

Maxwell-Gleichungen der Elektrostatik in Materie

$$\begin{aligned} \text{div}\boldsymbol{D}(\boldsymbol{r})=\varrho(\boldsymbol{r})\; \;\quad \text{rot}\,\boldsymbol{E}(\boldsymbol{r})=0\;.\end{aligned}$$

Mechanisches Gleichgewicht, Punktmasse

Eine Punktmasse befindet sich im Gleichgewicht am stationären Ort $q_0$, wenn die Summe aller auf sie wirkenden generalisierten Kräfte verschwindet: \begin{equation} Q = - \left.\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}V}{q}\right\rvert_{q=q_0} = 0. \end{equation}

Mehrfachintegrale

Mehrfachintegrale werden sukzessive berechnet.

Messung

Das Ergebnis einer quantenmechanischen Messung kann nur ein Eigenwert eines hermiteschen Operators sein, der der Observablen zugeordnet ist. Es k\"onnen nur Aussagen über die Wahrscheinlichkeiten eines bestimmten Ergebnisses gemacht werden. Das Ergebnis selbst kann jedoch nicht berechnet werden.

Mie-Streuung

Als Mie-Streuung bezeichnet man die Streuung, bei der die streuenden Partikel eine Größe im Bereich der Lichtwellenlänge haben, also mehrere hundert Nanometer bis einige Mikrometer. Klassische Alltagsbeispiele sind die Milch und Wolken.

Mikrowellenhintergrund, Kosmischer

Beim kosmischen Mikrowellenhintergrund handelt es sich um Wärmestrahlung, die freigesetzt wurde, als das Universum etwa 400 000 Jahre alt war. Eines der stärksten Argumente dafür, dass unser Universum tatsächlich in bester Näherung isotrop erscheint, liefern die winzigen Temperaturschwankungen im kosmischen Mikrowellenhintergrund, deren relative Amplitude bei etwa $10^{-5}$ liegt. Der Mikrowellenhintergrund liefert damit ein erstaunlich isotropes Signal aus der Frühzeit des Universums.

Mikrozustand eines klassischen Systems

Zu jedem Zeitpunkt $t$ bestimmt das Tupel $(q_1(t), q_2(t), \ldots, q_\mathcal{F}(t), p_1(t), p_2(t), \ldots, p_\mathcal{F}(t))$ aus $2\mathcal{F}$ Zahlen den Mikrozustand eines klassischen Systems. Ist der Mikrozustand zu einem Zeitpunkt $t$ gegeben, steht er aufgrund der Bewegungsgleichungen auch zu jedem anderen Zeitpunkt fest. Wir fassen die Paare aus einer verallgemeinerten Ortskoordinate und ihrem konjugierten Impuls auch durch $x_i = (q_i, p_i)$ zusammen. Die Paare $x_i$, $1\le i\le\mathcal{F}$, sind Elemente des Phasenraumes $$ \Gamma = \left\{\left.(x_1, \ldots, x_\mathcal{F})\right\vert x_i = (q_i, p_i)\right\}\,. \label{eq:td02-1} $$

Milchstraße

Unser Milchstraßensystem stellt eine Spiralgalaxie vom Typ Sb dar. Sie besteht aus einer abgeplatteten Scheibe, in deren Spiralarmen neue Sterne entstehen, einem Kern mit großer Dichte alter Sterne und einem Halo von heißem Gas und von Kugelsternhaufen, in denen die ältesten Sterne des Systems zu finden sind. Die Scheibe der Milchstraße hat einen Durchmesser von $30\,\mathrm{kpc}$ und eine Dicke von ca. $1\,\mathrm{kpc}$. Sie rotiert differentiell mit einer Geschwindigkeit am Ort der Sonne ($10\,\mathrm{kpc}$ vom Zentrum entfernt) von $200\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$. Ein Umlauf um das galaktische Zentrum dauert etwa 200 Mio. Jahre. Die Spiralarme entstehen wahrscheinlich durch periodische Dichtewellen aufgrund von Störungen der zylindersymmetrischen rotierenden Masseverteilung. Zwischen den Sternen befindet sich die interstellare Materie aus Gas und Staub. Ihre Gesamtmasse beträgt etwa $10\,\%$ der gesamten Sternmasse, von denen $99\,\%$ in Form von Gas, $1\,\%$ als Staubkörner vorliegt.

Miller'sche Indizes

Die Netzebenen eines Gitters werden durch die drei Miller’schen Indizes $(hkl)$ als Tripel ganzer Zahlen charakterisiert. Ebenen mit gleichen Tripeln $(hkl)$ sind zueinander parallel.

Minimum

Eine Funktion $f$ hat im Punkt $\bar{x}$ ein lokales Minimum, falls $f'(\bar{x})=0$ und $ f''(\bar{x})> 0 $ ist, sie besitzt in diesem Punkt ein lokales Maximum, falls $ f'(\bar{x})=0 $ und $ f''(\bar{x})

Mittelwertsatz der Integralrechnung

Zu einer stetigen Funktion $f: [a,b] \rightarrow \mathbb{R}$ gibt es ein $z\in[a,b]$ mit $$\int_a^b f(x) \mathrm{d}x = f(z) (b-a)$$

Mittlere Besetzungszahl

Die mittlere Besetzungszahl des $k$-ten Zustands ist daher gleich $$ \langle n_k\rangle = \frac{\partial J}{\partial\epsilon_k} = \frac{1}{\mathrm{e}^{\beta(\epsilon_k-\mu)}\mp1}\,, \label{eq:td05-49} $$ wobei wiederum das obere Vorzeichen für Bose-Einstein-Gase, das untere für Fermi-Dirac-Gase gilt.

Modell des Massenpunktes

Ein Körper der Masse $m$ lässt sich durch das idealisierte Modell des Massenpunktes beschreiben, wenn seine räumliche Ausdehnung für die Beschreibung seiner Bewegung keine Rolle spielt.

Moden, optische und akustische

In einem Kristall mit einer Basis von verschiedenen Atomen gibt es akustische und optische Schwingungsmoden. Die optischen Moden können durch Absorption elektromagnetischer Strahlung angeregt werden, die akustischen Moden durch mechanische Schwingungen, die zu Schallwellen im Kristall führen.

Mol

Ein Mol ($1\,\mathrm{mol}$) ist eine Stoffmengeneinheit, die so viel Atome bzw. Moleküle enthält wie $0,012\,\mathrm{kg}$ Kohlenstoff $~^{12}\mathsf{C}$; \textit{oder:} die so viele Gramm eines Stoffes enthält, wie seine atomare bzw. molekulare Massenzahl (in atomaren Masseneinheiten AME) angibt.

Molare Wärmekapazitäten

Die molare Wärmekapazität bei konstantem Volumen $C_{V}=R\cdot f/2$ ist gleich dem Produkt aus Gaskonstante $R=k\cdot N_{\text{A}}$ und der halben Zahl $f$ der Freiheitsgrade für die Bewegung der Atome bzw. Moleküle. Die molare Wärmekapazität idealer Gase bei konstantem Druck ist $C_{p}=C_{V}+R$.

Molare Wärmekapazitäten bei konstantem Volumen und bei konstantem Druck

Aufgrund des ersten Hauptsatzes ist bei $\mathrm{d} V=0$ $$ c^\mathrm{mol}_V = \frac{1}{n}\left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)_{V} = \frac{f}{2}\frac{Nk_\mathrm{B}}{n} = \frac{fR}{2}\,, \label{eq:td03-103} $$ und damit ergibt sich sofort die molare Wärmekapazität bei konstantem Druck: $$ c^\mathrm{mol}_P = \frac{f+2}{2}R\,. \label{eq:td03-104} $$

Molekül, Rotationsenergie

Die Rotationsenergie eines zweiatomigen Moleküls mit der reduzierten Masse $M$ kann näherungsweise durch das Trägheitsmoment $I = M \cdot R^{2}$ und die Rotationsquantenzahl $J$ als \begin{equation} E_{\mathrm{rot}} = \frac{J\,(J+1)\,\hslash^{2}}{2\,I} \end{equation} dargestellt werden. Durch die Zentrifugalaufweitung des Kernabstandes nimmt $I$ zu und deshalb $E_{\mathrm{rot}}$ ab. Die Größe der Abnahme hängt ab von der Steigung der Potentialkurve $E_{\mathrm{pot}}$.

Molekulare Polarisierbarkeit

$$\begin{aligned} \overline{\boldsymbol{p}(\boldsymbol{r})}=\alpha\,\boldsymbol{E}_{{\text{ex}}}(\boldsymbol{r})\;.\end{aligned}$$

Multipolentwicklung

Die Potential-Entwicklung $$\begin{aligned} 4\pi\varepsilon _{0}\varphi(\boldsymbol{r})=\frac{q}{r}+\frac{\boldsymbol{r}\mathbin{\boldsymbol{\cdot}}\boldsymbol{p}}{r^{3}}+\frac{1}{2}\sum _{{i,j}}Q_{{ij}}\frac{x_{i}x_{j}}{r^{5}}+\ldots\end{aligned}$$ zeigt, dass sich das Potential einer beliebigen Ladungsverteilung aus den Potentialen einer Punktladung, eines Dipols, eines Quadrupols, eines Oktupols usw. zusammensetzt. Man spricht von einer Multipolentwicklung.