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Begriff Erklärung

Rayleigh-Kriterium

$$d = \frac{0.61\lambda}{\mathrm{NA}}\,.$$

Rayleigh-Streuung

An Partikeln, die deutlich kleiner als die Lichtwellenlänge sind, tritt vorrangig Rayleigh-Streuung auf. Diese ist abhängig von der Wellenlänge, also der Farbe des Lichts. Je kürzer die Wellenlänge, desto stärker wird das Licht gestreut, also von seinem ursprünglichen Weg abgelenkt.

Reduzierte Masse

Die Relativbewegung zweier Teilchen mit den Massen $m_i$ unter dem Einfluss ihrer gegenseitigen Wechselwirkung $\boldsymbol{F}_{1}=-\boldsymbol{F}_{2}$ kann reduziert werden auf die Bewegung eines Teilchens der reduzierten Masse $\mu=\frac{m_{1}\cdot m_{2}}{m_{1}+m_{2}}$, das sich mit der Relativgeschwindigkeit $\boldsymbol{v}_{12}=\boldsymbol{v}_{1}-\boldsymbol{v}_{2}$ bewegt.

Reflexion

Reflexion beschreibt das Zurückwerfen eines Lichtstrahls an einer Grenzfläche zweier Medien mit unterschiedlichem Brechungsindex. Es gilt stets Reflexionswinkel gleich Einfallswinkel: $\theta_\mathrm{R}=\theta_\mathrm{E}$.

Reflexionsgesetz

Einfallswinkel gleich Ausfallswinkel: $\alpha_1 = \alpha_2$

Reibung, Newton'sche

$\alpha(v) =\alpha\cdot v $, $\boldsymbol{F}_{\text{R}}=-\alpha(v)\boldsymbol{v}\;.$

Reibung, Stokes'sche

$\alpha(v) =\alpha=\mathrm{const} $, $\boldsymbol{F}_{\text{R}}=-\alpha(v)\boldsymbol{v}\;.$

Reibungskräfte

Bei der Relativbewegung sich berührender Körper treten Reibungskräfte auf, die von der physikalischen Beschaffenheit der sich berührenden Oberflächen abhängt. Man unterscheidet zwischen Haftreibung, Gleitreibung und Rollreibung. Im Allgemeinen gilt für die entsprechenden Reibungskräfte $|F_{\text{H}}|> |F_{\text{G}}|> |F_{\text{R}}|$.

Reihe

Für eine beliebige Zahlenfolge $(a_k)$ aus $\mathbb{C}$ heißt die Folge $(s_n)$ der Partialsummen $$s_n = \sum_{k=1}^n a_k$$ eine unendlichte Reihe. Konvergiert die Folge $(s_n)$, so heißt auch die Reihe konvergent, andernfalls divergent. Konvergiert die Folge $(s_n)$, so schreibt man für den Grenzwert $$\sum_{k=1}^{\infty} a_k := \lim_{n\rightarrow \infty} s_n$$ und nennt ihn den Wert der Reihe.

Rekursionsbeziehung

Lässt sich eine Funktion $G$ auf $\mathbb{N}$ charakterisieren in der Form $G(n+1) = G(n) + f(n)$ für eine Funktion $f$, so ist $G$ rekursiv.

Relativistische Energie

Die relativistische Energie eines (freien) Punktteilchens ist definiert durch \begin{equation} E = \gamma(v)\, m c^2.\end{equation} Auch einer ruhenden Masse wird somit eine Energie zugeordnet; man spricht daher von einer Äquivalenz von Masse und Energie.

Relativistische Energie-Impuls-Beziehung

Die Relation \begin{equation} (p^0)^2-\boldsymbol{p}^2\equiv \frac{E^2}{c^2}-\boldsymbol{p}^2=m^2 c^2\end{equation} behält ihre Gültigkeit auch für masselose Teilchen, wobei die Identifikationvon $\boldsymbol{p}=\gamma m\boldsymbol{v}$ fallen gelassen wird. Masselose Teilchen haben $|\boldsymbol{v}|=c$ und $|\boldsymbol{p}|=E/c$; sie werden durch einen lichtartigen Vierervektor ($p^\mu p_\mu=0$) charakterisiert.

Relativistisches Postulat, Zweites

Die Lichtgeschwindigkeit ist die gleiche für alle Beobachter. Im Vakuum beträgt sie
$$ c = 299792458\,\text{m/s}\,.$$

Relativitätsprinzip

In allen zueinander gleichförmig bewegten Bezugssystemen (Inertialsystemen) laufen physikalische Vorgänge bei gleichen Bedingungen gleich ab.

Relativitätsprinzip, Homogenität der Zeit, Homogenität und Isotropie des Raumes

Für abgeschlossene physikalische Systeme mit einer Lagrange-Funktion der Form \begin{equation} L(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{\dot{x}}) = \frac{1}{2} \sum_i m_i \boldsymbol{\dot{x}}_i^2 - \frac{1}{2} \sum_{j \not= i} V_{ij}(\lvert \boldsymbol{x}_i - \boldsymbol{x}_j \rvert).\end{equation} gelten die folgenden vier wichtigen Prinzipien, die man umgekehrt benutzen kann, um die erhaltenen Größen zu definieren: 1.) Homogenität der Zeit: Die Bewegungsgleichungen sind invariant unter einer willkürlichen Verschiebung des Zeitnullpunktes. Man definiert allgemein die Energie als diejenige erhaltene Größe, die sich aus der Homogenität der Zeit ergibt. 2.) Homogenität des Raumes: Eine willkürliche Verschiebung aller Punktmassen hat keinen Einfluss auf die Bewegungsgleichungen. Man definiert allgemein den Gesamtimpuls als diejenige erhaltene Größe, die sich aus der Homogenität des Raumes ergibt. 3.) Isotropie des Raumes: Auch unter willkürlichen Drehungen des Systems bleiben die Bewegungsgleichungen invariant. Es ist keine Richtung ausgezeichnet. Allgemein wird der Gesamtdrehimpuls als diejenige Erhaltungsgröße definiert, die sich aus der Isotropie des Raumes ergibt. 4.) Relativitätsprinzip: Die Bewegungsgleichungen sind invariant unter Transformationen, bei denen der Schwerpunkt mit einer konstanten Geschwindigkeit $\boldsymbol{\dot b}$ bewegt wird.

Renormierung

Relationen zwischen Parametern einer Quantenfeldtheorie (Massen, Kopplungskonstanten) und messbaren Gr\"o\3en; diese Relationen
werden durch die Wechselwirkung ge\"andert (renormiert). Renormierung beseitigt die in der St\"orungstheorie auftretenden Divergenzen von S-Matrixelementen (Kap. 6). Renormierbare Quantenfeldtheorien erm\"oglichen wohldefinierte Vorhersagen in jeder Ordnung St\"orungstheorie.

Residuensatz

Sind in einem einfach zusammenhängenden Gebiet $G$ $z_1,z_2,\dots z_N\in G$ endlich viele (paarweise verschiedene) Punkte und ist die Funktoin $f$ auf $G\setminus\left\lbrace z_1, \dots, z_N\right\rbrace$ holomorph, dann gilt für jeden geschlossenen Weg $C$, der ganz in $G\setminus\left\lbrace z_1, \dots, z_N\right\rbrace$ verläuft: $$\oint_C f(z) \mathrm{d}z = 2\pi \mathrm{i} \cdot \sum_{j=1}^N \left(\mathrm{Res}(f,z_j)\cdot \mathrm{Ind}_C(z_j)\right)$$ mit den Residuen und Cauchy-Integralen.

Retardierte Potentiale

$$\begin{aligned} \varphi(\boldsymbol{r},t)& \; =\frac{1}{4\pi\,\varepsilon _{0}\varepsilon _{{\text{r}}}}\int\mathrm{d}^{3}r^{{\prime}}\,\frac{\varrho(\boldsymbol{r}^{{\prime}},t_{{{\text{ret}}}})}{|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}^{{\prime}}|}\;,\end{aligned}$$ $$\begin{aligned} \boldsymbol{A}(\boldsymbol{r},t)& \; =\frac{\mu _{0}\mu _{{\text{r}}}}{4\pi}\int\mathrm{d}^{3}r^{{\prime}}\,\frac{\boldsymbol{j}(\boldsymbol{r}^{{\prime}},t_{{{\text{ret}}}})}{|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}^{{\prime}}|}\;.\end{aligned}$$

Reversible und irreversible Kreisprozesse

Reversible Prozesse sind idealisierte Prozesse, bei denen ein System ohne Wärmeverluste nach Durchlaufen eines Kreisprozesses wieder in seinen Anfangszustand zurückkehrt. Bei reversiblen Kreisprozessen bleibt die Entropie $S$ konstant. Bei allen irreversiblen Prozessen nimmt die Entropie $S$ zu und die freie Energie $F=U-T\cdot S$ ab.

Reynoldssche Zahl

Bei Strömungsgeschwindigkeiten unterhalb eines kritischen Wertes $u_{\text{c}}$ tritt laminare Strömung auf, oberhalb von $u_{\text{c}}$ turbulente Strömung. Dieser kritische Wert wird durch die Reynoldssche Zahl $\mathop{\mathrm{Re}}=2E_{\text{kin}}/W_{\text{Reibung}}$ bestimmt, die das Verhältnis von kinetischer Energie eines Volumenelementes $\Delta V=L^{3}$ zur Reibungsenergie bei der Verschiebung von $\Delta V$ um $L$ angibt.

Reziprokes Gitter

Zu jedem räumlichen Gitter lässt sich ein reziprokes Gitter angeben. Sein Translationsvektor $\mathbf{G} = h\cdot \mathbf{a}^{∗} + k\cdot \mathbf{b}^{∗} + l\cdot \mathbf{c}^{∗}$ hat die Dimension einer reziproken Länge $\mathrm{m}^{-1}$. Seine Basisvektoren $\mathbf{a}^{∗},\,\mathbf{b}^{∗},\,\mathbf{c}^{∗}$ sind mit den Basisvektoren des räumlichen Gitters verknüpft via \begin{eqnarray} \mathbf{a}^{∗} &=& \frac{2\pi}{V_{\mathrm{E}}}\cdot \left(\mathbf{b}\times \mathbf{c}\right)\\ \mathbf{b}^{∗} &=& \frac{2\pi}{V_{\mathrm{E}}}\cdot \left(\mathbf{c}\times \mathbf{a}\right)\\ \mathbf{c}^{∗} &=& \frac{2\pi}{V_{\mathrm{E}}}\cdot \left(\mathbf{a}\times \mathbf{b}\right) \end{eqnarray}

Rheonome Zwangsbedingungen

Alle Zwangsbedingungen, die sich nicht in der Form \begin{equation} f_a(t, \boldsymbol{x}_1, \ldots, \boldsymbol{x}_N) = 0 \quad (1 \leq a \leq r) \end{equation} schreiben lassen, heißen nichtholonom. Dazu gehören insbesondere (aber nicht ausschließlich) Zwangsbedingungen, die sich nur als Ungleichung formulieren lassen. Man unterscheidet außerdem zeitabhängige bzw. rheonome und zeitunabhängige bzw. skleronome Zwangsbedingungen. Diese Begriffe stammen aus dem Griechischen (rheos: fließend, skleros: starr).

Richtungsableitung

Die Richtungsableitung eines Feldes $\phi$ in Richtung eines Einheitsvektors $\hat{\boldsymbol{e}}$ gibt an, wie sich das Feld in Richtung des Vektors verändert. Sie ist gegeben durch $$\partial_{\hat{\boldsymbol{e}}} \phi := \hat{\boldsymbol{e}} \circ \boldsymbol{\nabla} \phi$$

Robertson-Walker-Metrik

Die Robertson-Walker-Metrik ist die Metrik eines homogenen und isotropen Universums: $$ \mathrm{d} s^2=-c^2\mathrm{d}t^2+a^2(t)\left[ \mathrm{d} w^2+f_K^2(w)\mathrm{d}\Omega^2 \right],$$ wobei $f_K(w)$ durch $$ f_K(w)=\left\{\begin{array}{ll} K^{-1/2}\sin\left(K^{1/2}w\right) & (K>0) \\ w & (K=0) \\ |K|^{-1/2}\sinh\left(|K|^{1/2}w\right) & (K

Rollbedingung, Beschleunigung

\begin{equation} a_\mathrm{S} = r\,\alpha \end{equation}

Rollbedingung, Entfernung

\begin{equation} s = r\,\theta \end{equation}

Rollbedingung, Geschwindigkeit

\begin{equation} v = r_{\!P}\,\omega\, \end{equation} Hierbei gibt $r_{\!P}$ die radial gemessene Entfernung von $P$ zur Rotationsachse an.

Rollbedingung, Geschwindigkeit des Massenmittelpunkts

\begin{equation} v_\mathrm{S} = r\,\omega \end{equation}

Röntgenstrahlung

Röntgenstrahlung entsteht beim Abbremsen von Elektronen mit Energien im keV-Bereich (kontinuierliche Strahlung); und durch Übergänge von Elektronen in freie Plätze in inneren Schalen schwerer Atome (charakteristische Röntgenstrahlung). Die Wellenlänge von Röntgenstrahlung liegt zwischen $0,1\,\mathrm{nm}$ und $10\,\mathrm{nm}$. Sie wird durch Bragg-Reflexion an Einkristallen oder mit Beugungsgittern bei streifendem Einfall gemessen. Röntgenstrahlung wird absorbiert durch den Photoeffekt, Compton-Effekt oder Paarbildung.

Rotation

Die Rotation eines Vektorfeldes $\boldsymbol{j}$ ist ein Maß für seine Wribel. Sie ist definiert als $$\textbf{rot} \boldsymbol{j} := \boldsymbol{\nabla}\times\boldsymbol{j}$$

Rotation eines Vektorfeldes

$\boldsymbol{a}(\boldsymbol{r})\equiv[a_{1}(\boldsymbol{r}),a_{2}(\boldsymbol{r}),a_{3}(\boldsymbol{r})]$ sei ein stetig differenzierbares Vektorfeld. Dann heiüt $\mathop{rot}\boldsymbol{a}=\left(\frac{\partial a_{3}}{\partial x_{2}}-\frac{\partial a_{2}}{\partial x_{3}}\right)\boldsymbol{e}_{1}+\left(\frac{\partial a_{1}}{\partial x_{3}}-\frac{\partial a_{3}}{\partial x_{1}}\right)\boldsymbol{e}_{2}+\left(\frac{\partial a_{2}}{\partial x_{1}}-\frac{\partial a_{1}}{\partial x_{2}}\right)\boldsymbol{e}_{3}$ die Rotation von $\boldsymbol{a}(\boldsymbol{r})$.

Rotation in Kugelkoordinaten

Für einen Vektor $\mathfrak{A}$ mit der Darstellung $(A_r, A_\vartheta, A_\varphi)$ in Kugelkoordinaten gilt \begin{eqnarray} \mathrm{rot} \mathfrak{A} &=& \frac{\boldsymbol{\hat e}_r}{r \sin \vartheta} \left[\frac{\partial (\sin \vartheta A_\varphi)}{\partial \vartheta} - \frac{\partial A_\vartheta}{\partial \varphi}\right] \\ && + \frac{\boldsymbol{\hat e}_\vartheta}{r} \left[\frac{1}{\sin \vartheta} \frac{\partial A_r}{\partial \varphi} - \frac{\partial (r A_ \varphi)}{\partial r}\right] \\ && + \frac{\boldsymbol{\hat e}_ \varphi}{r} \left[\frac{\partial (r A_\vartheta)}{\partial r} - \frac{\partial A_r}{\partial \vartheta}\right]. \end{eqnarray}

Rotation, kräftefreier Kreisel

Die Rotation eines kräftefreien Kreisels ist stabil, wenn sie um die Hauptachse mit dem kleinsten oder größten Trägheitsmoment erfolgt. Im anderen Fall ist die Bewegung instabil.

Rotationsenergie

$T_{\text{rot}}=\frac{1}{2}\sum_{k,l}\Theta_{kl}\omega_{k}\omega_{l}$

Rotationsoperator

Ein Operator, der die Wellenfunktion im Raum dreht.

Rotverschiebung und kosmische Ausdehnung

Wenn $\mathrm{d} t$ durch $\mathrm{d} t=\nu^{-1}$ auf die Periodendauer einer Lichtwelle mit der Frequenz $\nu$ festgelegt wird, dann ist mit den Indizes e (emitted) und o (observed) $$\frac{\nu_\mathrm{e}}{\nu_\mathrm{o}} = \frac{a(t_\mathrm{o})}{a(t_\mathrm{e})} =\frac{\lambda_\mathrm{o}}{\lambda_\mathrm{e}} = 1+\frac{\lambda_\mathrm{o}-\lambda_\mathrm{e}}{\lambda_\mathrm{e}} =: 1+z\;,$$ wobei $z$ die Rotverschiebung des Lichtes bezeichnet.

Rutherford-Streuung, differenzieller Wirkungsquerschnitt

Der differenzielle Wirkungsquerschnitt $\frac{ \mathrm{d} \sigma}{ \mathrm{d} \Omega}$ hängt mit dem Stoßparameter $b$ und dem Streuwinkel $\vartheta$ im Schwerpunktsystem zusammen: \begin{equation} \frac{ \mathrm{d} \sigma}{ \mathrm{d} \Omega} = \frac{b( \vartheta')}{\sin \vartheta'} \left\lvert \frac{ \mathrm{d} b( \vartheta')}{ \mathrm{d} \vartheta'}\right\rvert = \frac{1}{2\, \sin \vartheta'} \left\lvert \frac{ \mathrm{d} b^2( \vartheta')}{ \mathrm{d} \vartheta'}\right\rvert. \end{equation} Der Zusammenhang $b( \vartheta')$ für ein gegebenes Potenzial $V(r)$ kann aus $$ \vartheta' = \pi - 2b \int_{r_{\mathrm{min}}}^\infty \frac{\mathrm{d} r'}{r'^2 \sqrt{\left(1 - b^2 / r'^2 - V(r') / E\right)}} $$ abgeleitet werden.

Rutherford-Streuung, Stoßparameter und Streuwinkel

Wird ein Teilchen im Gravitations- bzw. Coulomb-Potenzial gestreut, lautet die geschlossene Form für den Zusammenhang zwischen Stoßparameter $b$ und Streuwinkel $\vartheta$ im Schwerpunktsystem \begin{equation} b^2 = \left(\frac{1}{ \mathrm{sin\:}^2 ( \vartheta' / 2)} - 1\right) \frac{\alpha^2}{4 E^2}. \end{equation}

Rutherford-Streuung, Wirkungsquerschnitt

Für das Coulomb-Potenzial, $V(r) = - \alpha/r$, ergibt sich der differenzielle Wirkungsquerschnitt im Schwerpunktsystem zu \begin{equation} \frac{ \mathrm{d} \sigma}{ \mathrm{d} \Omega} = \left(\frac{\alpha}{4 E}\right)^2 \frac{1}{\sin^4 ( \vartheta' / 2)}. \end{equation}