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Unitäre
(unendlichdimensionale) Matrix; ein Element dieser Matrix ist die Wahrscheinlichkeitsamplitude für die Entwicklung eines gegebenen Anfangszustandes ($t \to - \infty$) in einen definierten Endzustand ($t \to \infty$). Absolutquadrate von S-Matrixelementen bestimmen
messbare Grö\3en wie Wirkungsquerschnitte und
Zerfallswahrscheinlichkeiten $\to$ Zustand.

Die allgemeine Lösung der Bewegungsgleichung für die schwingende Saite ist \begin{equation} q(t, x) = \sum_{n=1}^\infty c_n \mathrm{cos\:} (\omega_n t - \phi_n) \mathrm{sin\:}(k_n x) \end{equation} mit reellen Koeffizienten $c_n$ und diskreten Frequenzen $\omega_n = \sqrt{\frac{F}{\rho}}k_n$.

" Wählt man in \begin{equation} \dot{\boldsymbol{x}}_{a} (t) = \dot{\boldsymbol{x}}_0 (t) + \boldsymbol{\Omega}(t) \times \boldsymbol{d}_{a} (t) \end{equation} den Punkt $ \boldsymbol{x}_0(t)$ als den Schwerpunkt des starren Körpers, sieht man, dass die Bewegung des starren Körpers als Summe einer Translation, $\dot{ \boldsymbol{x}}_0(t)$, und einer Rotation um den Schwerpunkt, $ \boldsymbol{\Omega}(t) \times ( \boldsymbol{x}_{a}(t) - \boldsymbol{x}_0(t))$, geschrieben werden kann. Diese Aussage ist auch als ""Satz von Chasles"" (nach dem französischen Mathematiker Michel Chasles, 1793-1880) bekannt. Als Ursprung von $\mathcal S^∗$ verwendet man in der Regel den Schwerpunkt. Ist ein Punkt des starren Körpers fixiert, wird dieser normalerweise als Ursprung definiert."

Die Funktion $\begin{aligned} f(x)=\frac{\varphi(x)}{\psi(x)}\end{aligned}$ liefere f&#252r $x\to a$ einen unbestimmten Ausdruck der Art 0/0 oder $\pm\infty/\infty$. Dann gilt $\lim_{x\,\to\,a}\,f(x)=\lim_{x\,\to\,a}\,\frac{\varphi^{\prime}(x)}{\psi^{\prime}(x)}\;.$ Ist die rechte Seite erneut so nicht definiert, so ersetzt man auf der rechten Seite die ersten durch die zweiten Ableitungen. Wenn der Quotient auch dann unbestimmt bleibt, so nimmt man die dritten Ableitungen, und so weiter.

Hat ein K&#246rper der Masse M ein Tr&#228gheitsmoment $I_S$ in Bezug auf eine Achse durch den Schwerpunkt, so ist das Tr&#228gheitsmoment in Bezug auf eine um den Abstand a parallel verschobene Achse $$I_{A}=I_{S}+a^{2}M$$

Für ein stetig differenzierbares Vektorfeld $\boldsymbol{v}\in\mathbb{R}^3$ und eine orientierbare stückweise glatte Fläche $F$ mit dem stückweise glatten Rand $\partial F$ gilt $$\oint_{\partial F} \boldsymbol{v}\cdot \mathrm{d}\boldsymbol{s} = \int_F \textbf{rot} \boldsymbol{v} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{\sigma}$$ wobei die Kurve $\partial F$ so parametrisiert ist, dass sie den nach außen weisenden Normalenvektor der Fläche im mathematisch positiven Sinne umläuft.

Eine Linse kann bei vorgegebener Bildweite jeweils nur einen bestimmten Bereich $\Delta a$ der Gegenstandsweite so scharf abbilden, dass die Unschärfe des Bildes eines Objektpunktes kleiner bleibt als die vom Auge auflösbare Fläche. Dieser Bereich heißt Schärfentiefe $\Delta a$. Er steigt mit abnehmendem Durchmesser der Eingangsblende.

Die scheinbare Helligkeit eines Sterns ist ein logarithmisches Maß für die auf der Erde empfangene Strahlungsflussdichte $\Phi$ des Sterns. Sie wird durch Größenklassen $m=-2{,}5\cdot\log\frac{\Phi}{\Phi_{0}}$ definiert, wobei $\Phi_{0}$ die Strahlungsflussdichte eines Sterns der scheinbaren Helligkeit $m = 0^\mathrm{m}$ ist. Die absolute Helligkeit $M$ eines Sterns ist definiert als die scheinbare Helligkeit, die der Stern hätte, wenn er in einer Entfernung von 10 pc stünde.

Eine tangential an der Seitenfläche eines Körpers angreifende Kraft $F$ bewirkt eine Scherung (Torsion) des Körpers. Für einen Quader mit Seitenfläche $d^2$ ist der Scherwinkel $\alpha$ mit der Schubspannung $\tau=F/d^{2}$ durch $\tau=G\cdot\alpha$ verknüpft. $G$ heißt Schubmodul.

\begin{equation} y(x) = (\tan\theta_0)\,x - \left( \frac{g}{2\,v_0^2\,\cos\!\!^2\,\theta_0} \right)x^2 \end{equation}

\begin{equation} \vec{r} = \vec{r}_0 + \vec{v}_0\,t - \frac{1}{2} g\,t^2\,\hat{e}_y \quad \text{oder} \quad \Delta\vec{r} = \vec{v}_0\,t - \frac{1}{2} g\,t^2\,\hat{e}_y \end{equation}

Für zeitabhängige Probleme liefert die zeitabhängige Schrödingergleichung \begin{equation} \frac{\partial \Psi(x,\,t)}{\partial t} = - \frac{\mathsf{i}}{\hslash}\,\hat{H}\,\Psi(\mathbf{r},\,t) \end{equation} mit dem Hamilton-Operator \begin{equation} \hat{H} = -\frac{\hslash^{2}}{2\,m}\,\nabla + E_{\text{pot}}(\mathbf{r},\,t) \end{equation} zeitabhängige Lösungsfunktionen, deren Absolutquadrat die zeitliche Bewegung des Teilchens beschreibt. Hängt $E_{\text{pot}}$ nicht von der Zeit ab, so lassen sich die zeitabhängigen Wellenfunktionen \begin{equation} \Psi(x,\,t) = \Psi(\mathbf{r})\cdot \mathsf{e}^{\mathsf{i}(E/\hslash)t} \end{equation} aufspalten in ein Produkt aus einer reinen Ortsfunktion $\Psi$, welche Lösung der zeitunabhängigen Schrödingergleichung ist und einen reinen Phasenfaktor, dessen Exponent von der Energie $E$ abhängt.

Formulierung der Quantenmechanik mit zeitlich konstanten Operatoren und zeitabh&#228ngigen Zust&#228nden.

Die sehr kurzreichweitige schwache Wechselwirkung wird durch drei Vektorbosonen $\mathrm{W}^{+}$, $\mathrm{W}^{-}$ und $\mathrm{Z}^{0}$ bewirkt. Sie haben eine große Masse ($M_{\text{W}}\approx 80\,\mathrm{G\mathrm{e\kern-0.5ptV}}/c^{2}$, $M_{\mathrm{Z^{0}}}\approx 90\,\mathrm{G\mathrm{e\kern-0.5ptV}}/c^{2}$). Bei Prozessen der schwachen Wechselwirkung wandeln sich Quarks um in andere Quarktypen.

Im Inneren einer Flüssigkeit herrscht in gleicher Höhe überall der gleiche Druck. Infolge des Schweredrucks steigt der Druck linear mit der Flüssigkeitstiefe. In der Tiefe $h$ unterhalb der horizontalen Oberfläche einer Flüssigkeit mit der Dichte herrscht der Druck $p=p_{0}+\varrho\cdot g\cdot h$, wenn $p_{0}$ der auf die Oberfläche wirkende äußere Druck (z. B. Luftdruck) ist.

Der Schwerpunkt einer Punktmassenverteilung ist
$$ \vec r_s = \frac{1}{M}\sum_i m_i \vec r_i\,, $$ der Schwerpunkt einer kontinuierlichen Massenverteilung ist ein Integral, das bei homogener (also r&#228umlich konstanter) Dichte seinem geometrischen Volumenmittelpunkt entspricht.

Bei Abwesenheit &#228u&#223erer Kr&#228fte bewegt sich der Massenmittelpunkt geradlinig und gleichf&#246rmig.

Die Selbstinduktion einer elektrischen Anordnung bewirkt eine Induktionsspannung $U_{\text{ind}}=-L\cdot\frac{\mathrm{d}I}{\mathrm{d}t}$, welche der von außen angelegten Spannung entgegengerichtet ist. Der Selbstinduktionskoeffizient $L$ hängt von der Geometrie des Schaltkreises ab.

Zum Lösen von partiellen linearen Differenzialgleichungen kann man oft einen Separationsansatz verwenden, d. h., man schreibt die gesuchte Lösung als ein Produkt aus Funktionen, die nur von jeweils einer der Variablen abhängen. Kann man dann die Abhängigkeit von jeweils einer Variable auf jeweils einer Seite der Gleichung isolieren, so müssen die beiden Terme konstant sein, woraus man gewöhnliche Differenzialgleichungen erhält. In vielen Fällen ist diese gewöhnliche Differenzialgleichung eine Eigenwertgleichung mit einem selbstadjungierten Differenzialoperator, sodass man als Lösung ein vollständiges orthogonales Funktionensystem erhält.

Die endliche mittlere freie Wegl&#228nge der Photonen, die im Verlauf der Rekombination schnell zunimmt, erlaubt eine Diffusion der Photonen, die zu einer D&#228mpfung gen&#252gend kleiner Temperaturschwankungen im CMB f&#252hrt. Dieser Effekt wird Silk-D&#228mpfung genannt.

Eindimensionale Größen werden als Skalare beschrieben, bspw. Temperatur, Dichte oder Druck.

$$\begin{aligned} \varphi(\boldsymbol{r})=\frac{1}{4\pi\,\varepsilon _{0}}\,\int\,\mathrm{d}^{3}r^{{\prime}}\,\frac{\varrho(\boldsymbol{r}^{{\prime}})}{|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}^{{\prime}}|}\;.\end{aligned}$$

Aus dem Skalarprodukt zweier Vektoren $\boldsymbol{u}, \boldsymbol{v} \in \mathbb{K}^n$ ist der zwischen ihnen eingeschlossene Winkel $\varphi$ definiert über $$\boldsymbol{u} \cdot \boldsymbol{v} = \Vert \boldsymbol{u} \Vert ~ \Vert \boldsymbol{v} \Vert \cos\varphi$$

Ein Ma&#223 f&#252r die &#196hnlichkeit zweier Zust&#228nde.

Schrödinger-Bild

$\begin{aligned} \boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=\sum_{i=1}^3a_ib_i \end{aligned}$

$$\sin\alpha_1 \cdot n_1 = \sin\alpha_2 \cdot n_2\,.$$

Viele stabile Kerne können durch entsprechende Energiezufuhr gespalten werden. Der zugeführte Energiebetrag muss größer sein als die Potentialbarriere $\Delta E_\mathrm{S}$ bei der Spaltung. Bei der Photospaltung muss $h\cdot\nu > \Delta E_\mathrm{S}$ sein. Bei der neutroneninduzierten Kernspaltung tragen kinetische Energie des Neutrons und seine Bindungsenergie im Compoundkern zur Spaltung bei. Es muss $E_\mathrm{B} + E_\mathrm{kin} > \Delta E_\mathrm{S}$ sein.

Im Gegensatz zu einer Volumenkraft wie der Gravitation beschreibt der Spannungstensor $\boldsymbol{\sigma}$ Flächenkräfte: Auf ein orientiertes Flächenelement $\mathbf{d} \boldsymbol{A}$ wirkt die Kraft \begin{equation} \mathbf{d} \boldsymbol{F} = \boldsymbol{\sigma}\, \mathbf{d} \boldsymbol{A}. \end{equation}

Das spektrale Auflösungsvermögen aller Spektralapparate $$\frac{\lambda}{\Delta\lambda}=\frac{\Delta s_{\text{m}}}{\lambda}$$ ist gleich dem maximalen Wegunterschied $\Delta s_{\text{m}}$ zwischen interferierenden Teilbündeln, gemessen in Einheiten der Wellenlänge $\lambda$. Für den Prismenspektrographen ist $\frac{\lambda}{{\Delta}\lambda} =\frac{a}{2}\frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}\lambda}$, wobei $a$ der Durchmesser des eintretenden Lichtbündels ist und ${\mathrm{d}}\theta/\mathrm{d}\lambda\propto\mathrm{d}n/\mathrm{d}\lambda$ die vom Prismenmaterial mit Brechzahl $n$ abhängige Winkeldispersion. Für den Gitterspektrographen ist $\frac{\lambda}{{\Delta}\lambda}\leq m\cdot N$ abhängig von der Interferenzordnung $m$ und der Gesamtzahl $N$ der beleuchteten Gitterstriche.

Die spektrale Auflösung der klassischen Absorptions- bzw. Emissionsspektroskopie ist durch die verwendeten Spektralapparate begrenzt. Laserspektroskopische Verfahren erlauben die Auflösung der wirklichen Linienbreiten der atomaren bzw. molekularen Übergänge. Mit Methoden der nichtlinearen Laserspektroskopie oder bei Verwendung kollimierter Molekularstrahlen lässt sich eine dopplerfreie spektrale Auflösung erreichen. Mit kurzen Laserpulsen lassen sich zeitaufgelöste Messungen schneller dynamischer Prozesse verfolgen. Die Grenze der Zeitauflösung liegt zur Zeit bei wenigen Femtosekunden.

Molekülschwingungen werden hauptsächlich mit Infrarot- und Raman-Spektroskopie aufgeklärt, wobei sich beide Methoden ergänzen. Übergänge, bei denen sich das elektrische Dipolmoment ändert, sind infrarot-aktiv, solche, bei denen sich die Polarisierbarkeit ändert, sind Raman-aktiv.

Eigendrehimpuls; wird wie der Bahndrehimpuls in Einheiten von $\hbar$ angegeben (Dimension einer Wirkung). Zum Unterschied vom Bahndrehimpuls, der nur ganzzahlige Werte $\ge 0$ annimmt, kann der Spin auch halbzahlige Werte annehmen (Darstellungstheorie der Drehgruppe).

Alle Kerne $\mathrm{{}_{Z}^{A}X}$ mit $Z^2/A > 51$ können sich spontan ohne Tunneleffekt in kleinere Kerne spalten. Für $Z^2/A < 51$ wird die Spaltung nur durch den Tunneleffekt möglich. Je kleiner $Z^2/A$ ist, desto länger wird die Halbwertszeit für spontane Spaltung.

Es bezeichne $f$ eine auf einem offenen Intervall $(a,b)$ definierte Funktion. Jede differenzierbare Funktion $F: (a,b) \rightarrow \mathbb{R}$ mit $F'=f$ heißst Stammfunktion von $f$.

Das Standardmodell des Universums geht von der Annahme aus, dass das Universum als extrem heißer Feuerball zur Zeit $t=0$ begann, sich aufgrund des großen Druckes ausdehnte und dabei abkühlte. Die Ausdehnung hält noch heute an. Experimentelle Hinweise auf dieses Modell werden durch die thermische Hintergrundstrahlung von $T=2{,}7$ K, das Elementeverhältnis von H : D : He und die Rotverschiebung der Spektrallinien ferner Galaxien gegeben.

Die starke Wechselwirkung zwischen Nukleonen ist unabhängig von ihrer Ladung, aber sie hängt von der relativen Orientierung ihrer Spins ab. Die starke Wechselwirkung lässt sich formal durch den Austausch virtueller $\pi$-Mesonen beschreiben. Ihre Reichweite ist dann gleich der reduzierten Compton"=Wellenlänge $r_{0}=\hbar/(m_{\pi}c)$ des $\pi$-Mesons.

Bei einem skalaren Feld $\phi$ heißen die Stellen, bei denen der Gradient verschwindet, stationäre/kritische Punkte. Sind dort alle Eigenwerte der Hesse-Matrix positiv, so hat $\phi$ dort ein lokales Minimum; sind alle Eigenwerte negativ, ein lokales Maximum.

Die ph&#228nomenologische Definition der Entropie ist vertr&#228glich damit, die Entropie als logarithmisches Ma&#223 f&#252r das Phasenraumvolumen $\Omega$ eines abgeschlossenen Systems aufzufassen und $$ S = k_\mathrm{B}\ln\Omega \label{eq:td02-117} $$ zu setzen. Dadurch wird der ph&#228nomenologisch eingef&#252hrten Entropie eine tiefer reichende, statistische Bedeutung unterlegt: Die Entropie erweist sich als ein Ma&#223 f&#252r die Anzahl der Mikrozust&#228nde, die einem abgeschlossenen System bei gegebener Energie und gleichbleibenden makroskopischen Zustandsgr&#246&#223en zug&#228nglich sind. Durch den Logarithmus wird die Entropie additiv und konkav.

Wenn ein Körper der Masse $m$ das Trägheitsmoment $I_{\text{S}}$ bezüglich einer Achse durch den Massenmittelpunkt hat, dann ist das Trägheitsmoment $I$ bezüglich einer parallelen Achse im Abstand $h$ von der ersten Achse gegeben durch den Steiner'schen Satz: \begin{equation} I = I_{\text{S}} + m\,h^2 \end{equation}

Das Tr&#228gheitsmoment $J$ bez&#252glich einer beliebigen Achse setzt sich additiv zusammen aus dem Tr&#228gheitsmoment $J_{\text{s}}$ bez&#252glich der zu ihr parallelen Achse durch den Schwerpunkt plus dem Tr&#228gheitsmoment der im Schwerpunkt vereinigten Gesamtmasse $M$ bez&#252glich der urspr&#252nglichen Achse. $J=J_{\text{s}}+M\,S^{2}$ ($S=$ senkrechter Abstand des Schwerpunktes von der Drehachse $\overset{\wedge}{=}$ Abstand der beiden Achsen).

$$F_{R}=-6\pi\eta Rv$$

Der Stokes'sche Integralsatz stellt einen Zusammenhang her zwischen dem geschlossenen Wegintegral (Zirkulation) über ein Vektorfeld und dem Fluss der Wirkbel dieses Feldes durch eine beliebige Fläche, deren Rand dieser Weg ist, $$\oint_{\partial F} \boldsymbol{A}\circ \textbf{d}\boldsymbol{r} = \int_{F} \textbf{rot}\boldsymbol{A} \circ \textbf{d}\boldsymbol{F}$$

Die Sonne bezieht ihre Strahlungsenergie aus Kernfusionsprozessen im Inneren. Die Energie wird hauptsächlich durch diffundierende Strahlung und im äußeren Bereich auch durch Konvektion an die Oberfläche transportiert. Die mittlere Energietransportzeit beträgt $10^7$ Jahre. Die effektive Oberflächentemperatur der Sonne beträgt etwa 5800 K. Die Temperatur steigt nach innen an. Die Zentraltemperatur ist etwa $1{,}5 \cdot 10^7$ K. Die kontinuierliche Emission der Sonne geschieht aus einer dünnen Schicht, der Photosphäre, die nur etwa 200 km dick ist. Sie wird durch Rekombination $\mathrm{H}+\mathrm{e}^{-}\rightarrow\mathrm{H^{-}}+h\cdot\nu$ von Elektronen mit neutralem Wasserstoff erzeugt. Oberhalb der Photosphäre sind ausgedehnte leuchtende Plasmahüllen mit geringem Gasdruck, aber hohen Temperaturen (Chromosphäre und Korona). Man sieht sie nur, wenn das um viele Größenordnungen hellere Licht der Photosphäre abgedeckt wird.

Ein Prozess, bei dem eine Welle oder ein Teilchen durch ein lokalisiertes Potenzial ver&#228ndert bzw. abgelenkt wird.

Wird ein Teilchen im Gravitations- bzw. Coulomb-Potenzial gestreut, lautet die geschlossene Form für den Zusammenhang zwischen Stoßparameter $b$ und Streuwinkel $\vartheta$ im Schwerpunktsystem \begin{equation} b^2 = \left(\frac{1}{ \mathrm{sin\:}^2 ( \vartheta' / 2)} - 1\right) \frac{\alpha^2}{4 E^2}. \end{equation}

Die relative Änderung der kinetischen Energie eines im Laborsystem gestreuten Teilchens der Masse $m_1$ ist \begin{equation} \frac{T_{\mathrm f, 1} - T_{\mathrm i, 1}}{T_{\mathrm i, 1}} = 2 \frac{m_1}{M} \left(1 - \frac{m_1}{M}\right) ( \mathrm{cos\:} \vartheta' - 1) \leq 0 \end{equation} mit $M = m_1 + m_2$. Für alle Streuwinkel $ \vartheta' > 0$ verliert das Teilchen kinetische Energie, die auf das zweite Teilchen übertragen wird. Der Streuwinkel $ \vartheta'$ im Schwerpunktsystem kann formal mithilfe von $\tan\vartheta_1 = \frac{\sin \vartheta'}{\cos \vartheta' + \frac{m_1}{m_2}}$ in den Streuwinkel $\vartheta_1$ von $m_1$ im Laborsystem überführt werden.

Alle Stromquellen benutzen die durch Energieaufwand erfolgte Trennung von positiven und negativen Ladungen und die dadurch erzeugte Potentialdifferenz zwischen zwei räumlich getrennten Orten (Polen) der Stromquelle als Energiespeicher. Bei der Verbindung der Pole durch einen Leiter mit Widerstand $R_{\text{a}}$ führt dies zu einem elektrischen Strom $I=U/(R_{\text{a}}+R_{\text{i}})$. Der Innenwiderstand $R_{\text{i}}$ der Stromquelle ist durch Stöße der Ladungsträger innerhalb der Stromquelle bedingt und hängt von der Weglänge zwischen dem Ort der Ladungstrennung und den Polen ab.

Die Inflation beschreibt einen physikalischen Prozess, der sowohl das Horizont- als auch das Flachheitsproblem der Urknalltheorie zu beheben vermag und zugleich eine nat&#252rliche Erkl&#228rung f&#252r den Ursprung der Strukturen im Universum bietet.

Es gilt $$\int f(x) \mathrm{d}x = \int f\left( x(u) \right) \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}u} \mathrm{d} u$$ wenn $u$ eine differenzierbare Funktion von $x$ und im Integrationsbereich überall $u' \neq 0$ ist. Dabei bezeichnet $x(u)$ die Umkehrfunktion von $u(x)$.

Die Einstein’sche Summenkonvention, nach der über doppelt auftretende Indizes von Vektorkomponenten automatisch summiert wird, ohne dass die Summationszeichen explizit geschrieben werden

Supraleiter sind Materialien, die zum einen bei sehr tiefen Temperaturen (unterhalb der sogenannten Sprungtemperatur $T_c$) &#252ber einen verschwindenden elektrischen Widerstand verf&#252gen und zum anderen als ideale Diamagneten externe Magnetfelder aus ihrem Inneren infolge des Mei&#223ner-Ochsenfeld-Effekts verdr&#228ngen. Dies wird beim Prinzip der Levitation ausgenutzt. Eine bestimmte Kategorie von Supraleitern verankert dar&#252ber hinaus externe Magnetfelder in Form von quantisierten Flussschl&#228uchen in ihrem Inneren, wodurch man diese Supraleiter im Magnetfeld festhalten kann.

Transformation von Koordinaten und Feldern, die Bewegungs- bzw. Feldgleichungen ungeändert lässt. Solche Transformationen erfüllen die mathematischen Gruppenpostulate. Je nach der Eigenschaft der Transformationsparameter unterscheidet man zwischen diskreten (z. B. Parität) und kontinuierlichen Symmetrien (z. B. Drehungen). Diese Parameter sind entweder koordinatenunabhängig (globale Symmetrie) oder koordinatenabhängig (lokale Symmetrie = Eichsymmetrie).