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Begriff Erklärung

Vakuum-Lichtgeschwindigkeit

Die Ausbreitungsgeschwindigkeit $c=\omega/k$ elektromagnetischer Wellen im Vakuum ist für alle Frequenzen gleich, d. h. es gibt keine Dispersion. Der Wert von $c=299\,792\,458\,\mathrm{m/s}$ wird als Definitionswert aufgefasst und dient zur Definition der Längeneinheit $1\,\mathrm{m}$.

Van der Waals'sche Gasgleichung

Die Van-der-Waals'sche Gasgleichung, die experimentell gefunden wurde und theoretisch gut begründet werden kann, lautet $$ \left(P+\frac{an^2}{V^2}\right)(V-nb) = nRT\,. \label{eq:td03-138} $$ Darin haben $P$, $V$ und $T$ die übliche Bedeutung, und $n$ bezeichnet die Stoffmenge.

Van-der-Waals-Gleichung

Bei realen Gasen kann das Eigenvolumen der Moleküle und die zwischenmolekularen Wechselwirkungen nicht mehr wie beim idealen Gas vernachlässigt werden. Die Zustandsgleichung $p\cdot V=R\cdot T$ muss deshalb erweitert werden zur van-der-Waals-Gleichung eines Mols: $(p+a/V^{2})\cdot(V-b)=R\cdot T$, wobei $a/V^{2}$ den Binnendruck und $b$ das vierfache Eigenvolumen der $N_{\text{A}}$ Moleküle angeben.

Vektor

Unter einem Vektor versteht man eine Größe, die zusätzlich die Angabe einer Richtung benötigt (z. B. Verschiebung, Geschwindigkeit, Beschleunigung, Impuls, Kraft, ...)

Vektor, Basis-

Die Möglichkeit, alle Vektoren des Raumes als Linearkombination von sogenannten Basisvektoren $\boldsymbol{e}^{(i)}$ zu schreiben, hat viele Vorteile.

Vektor, Dimension

Man nennt die maximal mögliche Anzahl von linear unabhängigen Elementen eines Vektorraums seine Dimension.

Vektor, Norm

Die Norm $\Vert \boldsymbol{a} \Vert$ eines Vektors $\boldsymbol{a}$ ist definiert durch $ \Vert\boldsymbol{a}\Vert ~:=~\sqrt{\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{a}} $

Vektor, Null-

Ein Vektor der eine Nullverschiebung beschreibt, dessen Komponenten also alle null sind, heißt Nullvektor $\boldsymbol{o}$.

Vektor, Spalten-

Die Darstellung eines Vektors als Zahlentupel in Form einer Spalte wird als Spaltenvektor bezeichnet, $\boldsymbol{a}~=~\begin{pmatrix}a_1 \\ a_2 \\ a_3\end{pmatrix} $ Die Koordinatendarstellungen von Vektoren sind Spaltenvektoren.

Vektor, Zeilen-

Die Darstellung eines Vektors als Zahlentupel in Form einer Zeile wird als Zeilenvektor bezeichnet, $\boldsymbol{a}~=~\begin{pmatrix}a_1 & a_2 & a_3\end{pmatrix} $

Vektoren und Skalare

Vektoren und Skalare sind zwei unterschiedliche Dinge. Ein Vektor ist eine Größe mit Richtung, ein Skalar ist eine Zahl.

Vektorfeld

Das Vektorfeld ist die Menge von durch Richtung und Betrag gekennzeichneten Vektoren, $\boldsymbol{a}(\boldsymbol{r})=\left(a_{1}\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right),\,a_{2}\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right),\,a_{3}\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right)\right)\;,$ die jedem Punkt $\boldsymbol{r}=(x_{1},x_{2},x_{3})$ eines interessierenden Raumbereichs zugeordnet sind: $M\subset{I\!R}_{3}\rightarrow N\subset{I\!R}_{3}\;.$ Es handelt sich also um eine vektorwertige Funktion dreier unabhängiger Variablen.

Vektorgleichung

Eine Vektorgleichung in einem $N$-dimensionalen Vektorraum enthält ebenso viel Information, wie $N$ skalare Gleichungen.

Vektorpotential

Das Vektorpotential $\boldsymbol{A}$ eines Magnetfeldes $\boldsymbol{B}$ ist definiert durch $\boldsymbol{B}=\mathop{\mathbf{rot}}\,\boldsymbol{A}$. Man kann $\boldsymbol{A}$ eindeutig machen durch die Coulomb´sche Eichbedingung: $\mathop{\mathop{\mathrm{div}}} \,\boldsymbol{A}=0$.

Verallgemeinerte Koordinaten

Anstelle der $3 N$ abhängigen Parameter $x_i$ der kartesischen Koordinaten kann man $F = 3 N - r$ unabhängige Parameter $q_j$ ($1 \leq j \leq F$) definieren, die nicht durch die Zwangsbedingungen eingeschränkt werden. Diese werden als neue, verallgemeinerte Koordinaten verwendet. Man spricht auch von generalisierten Koordinaten.

Vergrößerung eines optischen Instruments

Die Vergrößerung $V$ eines optischen Instrumentes ist definiert als $$V=\frac{\text{Sehwinkel}\;\varepsilon\;\text{mit Instrument}}{\text{Sehwinkel}\;\varepsilon_{0}\;\text{ohne Instrument}}\,,$$ wobei $\varepsilon_{0}=G/s_{0}$ der Sehwinkel ist, unter dem der Durchmesser $G$ eines Gegenstandes in der deutlichen Sehweite $s_{0}=25\,\mathrm{cm}$ erscheint.

Verschiebungsvektors

Die Ortsänderung eines Teilchens wird mit dem Verschiebungsvektor $\Delta\vec{r}$ angegeben:\begin{equation} \Delta\vec{r} = \vec{r}_2 - \vec{r}_1\end{equation}

Vertauschbarkeit

Zwei Operatoren $\hat{A}$ und $\hat{B}$ heißen miteinander vertauschbar (kommutativ), wenn gilt \begin{equation} \hat{A}\,\hat{B}\,\Psi = \hat{B}\,\hat{A}\,\Psi \end{equation} Sie haben dann gleichzeitig messbare Eigenwerte.

Verzögerungsplättchen

Auch $\frac{\lambda}{4}-$Plättchen genannt. Es besteht aus einem doppelbrechenden Material, in dem die Ausbreitungsrichtung der einen Polarisationsrichtung gegenüber der anderen verzögert wird. Mit ihm lässt sich linear in zirkular polarisiertes Licht umwandeln und umgekehrt.

Vierergeschwindigkeit

Die Vierergeschwindigkeit ist durch \begin{equation} u^\mu = \frac{\mathrm{d}x ^\mu}{\mathrm{d}\tau} = \frac{\mathrm{d}x ^\mu}{\mathrm{d}t } \frac{\mathrm{d}t }{\mathrm{d}\tau}\end{equation}definiert. Sie hängt wegen $\mathrm{d}t /\mathrm{d}\tau=\gamma(v)$ mit der Dreiergeschwindigkeit $\boldsymbol{v}$ gemäß \begin{equation} u^\mu=\gamma(v)\begin{pmatrix} c\\ \boldsymbol{v} \end{pmatrix} \end{equation} zusammen.

Viererimpuls

Der Viererimpuls eines Punktteilchens mit Ruhemasse $m$ ist definiert durch \begin{equation} p^\mu:=m\, u^\mu. \end{equation} In einem gegebenen Inertialsystem, in dem das Punktteilchen die Dreiergeschwindigkeit $\boldsymbol{v}(t)$ hat, ist \begin{equation} p^\mu=\begin{pmatrix}p^0 \\ \boldsymbol{p}\end{pmatrix} =m\,\gamma(v)\begin{pmatrix}c \\ \boldsymbol{v}\end{pmatrix}.\end{equation} Der Dreierimpuls ist damit durch \begin{equation}\boldsymbol{p}=m\,\gamma(v)\,\boldsymbol{v} \end{equation} gegeben. Dies stimmt mit der nichtrelativistischen Definition eines Impulses überein, wenn man eine geschwindigkeitsabhängige Masse $m(v)=\gamma(v)\,m$ einführt (in der älteren Literatur auch relativistische Masse genannt). In Übereinstimmung mit den heutigen Gepflogenheiten wird mit $m$ jedoch immer die Ruhemasse $m=m(0)$ bezeichnen.

Viererkraft

Eine Lorentz-kovariante Viererkraft ist durch die Ableitung des Viererimpulses nach der Lorentz-invarianten Eigenzeit gegeben: \begin{equation}F^\mu:=\frac{\mathrm{d} p^\mu}{\mathrm{d}\tau}.\end{equation}

Viererkraft und Newton-Kraft

Bezeichnet in einem gegebenen Inertialsystem $\boldsymbol{F}$ weiterhin die gewöhnliche Zeitableitung des (relativistischen) Impulses $\boldsymbol{p}$, dann gilt\begin{equation} F^\mu=\begin{pmatrix}F^0 \\ F^m\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}F^0 \\ \gamma\boldsymbol{F} \end{pmatrix}. \end{equation}

Virialsatz

Ist die Bewegung eines Systems von Punktmassen endlich, dann gilt bei hinreichend langer Zeitmittelung der folgende Zusammenhang zwischen der mittleren kinetischen Energie und dem Virial: \begin{equation} \langle T \rangle_t = - \frac{1}{2} \Bigg_t. \end{equation}

Viskoser Spannungstensor

Für ein beliebiges Strömungsfeld $\boldsymbol{u}(t, \boldsymbol{r})$ lautet der Beitrag der viskosen Reibung zum Spannungstensor \begin{equation} \boldsymbol{\sigma}_\eta = \eta \left(\mathbf{grad\,} \boldsymbol{u} + (\mathbf{grad\,} \boldsymbol{u})^\top\right) \end{equation} bzw. \begin{equation} \sigma_{\eta, ij} = \eta\left(\partial_i u_j + \partial_j u_i \right) \end{equation}

Vollständigkeitsrelation

$$\sum_{k}u_{k}(\boldsymbol{x})\,u_{k}(\boldsymbol{y})^{∗}~+~\sum_{k}\int\,\frac{d^{3}p}{(2\pi\hbar)^{3}}~u_{\boldsymbol{p},\,k}(\boldsymbol{x})\,u_{\boldsymbol{p},\,k}(\boldsymbol{y})^{∗}~=~\delta^{(3)}(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y})$$

Volumenelemente unter Koordinatentransformationen, Jacobi-Determinante

Beim Übergang von kartesischen Koordinaten $x_i$ zu allgemeinen Koordinaten $q_j$ erfüllt das Volumenelement $\mathrm{d} V = \mathrm{d} x_1\, \mathrm{d} x_2\, \mathrm{d} x_3 = (\det \boldsymbol{J})\, \mathrm{d} q_1\, \mathrm{d} q_2\, \mathrm{d} q_3, $ wobei $ \boldsymbol{J}$ die zugehörige Jacobi-Matrix ist. Die Größe $\det \boldsymbol{J}$ nennt man die Jacobi-Determinante oder Funktionaldeterminante, mit der häufigen Schreibweise \begin{equation} \det \boldsymbol{J} = \det \left(\frac{\partial x_i}{\partial q_j}\right). \end{equation}