Mathematik zum Mitnehmen

\(% Mathematische Symbole and Abkürzungen \newcommand\2{\frac{1}{2}} \newcommand\4{\frac{1}{4}} \newcommand\6{\partial} \newcommand{\ft}[2]{{\textstyle\frac{#1}{#2}}} \newcommand{\vnabla}{{\boldsymbol \nabla}} \newcommand{\vnab}{\vnabla} \newcommand{\laplace}{\varDelta} \newcommand{\lap}{\laplace} \newcommand{\quabla}{\Box} \newcommand{\vLambda}{{\mtbox{\boldmath{$\Lambda$}}}} % fettes \Lambda \newcommand{\vOmega}{{\mtbox{\boldmath{$\Omega$}}}} % fettes \Omega \newcommand{\vPi}{{\mtbox{\boldmath{$\Pi$}}}} % fettes \Pi \newcommand{\vTheta}{{\mtbox{\boldmath{$\Theta$}}}} % fettes \Theta \newcommand{\tinda}{a} % Teilchen-Index 1 \newcommand{\tindb}{b} % Teilchen-Index 2 \newcommand{\abstvec}[1]{{\mathfrak{#1}}} % Fraktur für abstrakte Vektoren\)
Cover zu "Mathematik zum Mitnehmen"

Mathematik zum Mitnehmen, Zusammenfassungen und Übersichten aus Arens et al., Mathematik

ISBN: 
978-3-8274-2494-5

Mathematik zum Mitnehmen" enthält alle Zusammenfassungen und Übersichten des inhaltsreichen Lehrbuchs Arens et al., Mathematik. Damit bietet Ihnen dieses kompakte Buch wesentliche Begriffe, wichtige Aussagen sowie zentrale Rechentechniken und Formeln in handlicher Form für unterwegs und zum Wiederholen. Grundlegende Themen wie die Analysis einer Veränderlichen, die lineare Algebra, der Analysis mehrerer Veränderlicher bis hin zu fortgeschrittenen Themen, die für die Anwendung besonders wichtig sind, wie partielle Differenzialgleichungen, Fourierreihen und Laplacetransformationen werden abgedeckt.

Weiterlesen

Mathematik ist schwer – nein, nicht schwer zu verstehen oder zu lesen – schwer zu tragen! Diese Kritik von so manchen Studierenden, die mit unserem Lehrbuch Mathematik arbeiten, greifen wir gerne auf.

Die vorliegende Zusammenstellung der Übersichten und Zusammenfassungen des Lehrbuchs bietet eine Gesamtschau des umfangreichen Stoffes – diesmal als leichtes Gepäck. Gerade in einer Übung, einem Tutorium oder bei Gruppenarbeit zu Ihren Hausaufgaben wird oft ein Blick in die Zusammenstellung der Formeln und wichtigsten Aussagen genügen. Zur schnellen Orientierung dient das Verzeichnis der Übersichten auf der vorderen Umschlagklappe. Ansonsten ist der Inhalt nach den Kapiteln des Hauptwerks geordnet. In diesem Sinne ist dieses Buch als nützliche Ergänzung gedacht. Es reiht sich ein in die zahlreichen Begleitmaterialien zum Lehrbuch, in elektronischer und/oder gedruckter Form.

Das Lehrbuch ersetzen kann diese kurze Zusammenstellung selbstverständlich nicht.

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BegriffErklärung
Abbildung
Eine Abbildung $f$ aus einer Menge $A$ in eine Menge $B$ ist eine Vorschrift, die jedem Element $a$ aus $A$ genau ein Element $b = f (a)$ aus $f (A) \subseteq B$ zuordnet. Dabei nennt man $A = D(f)$ die Definitionsmenge, $f (A)$ ist das Bild, und $B = W(f)$ heißt die Wertemenge.
Arithmetische Summenformel
\begin{equation} \sum_{k=1}^{n} k = \frac{n \left( n + 1 \right)}{2} \end{equation}
Banachraum
Ein normierter Raum in dem jede Cauchy-Folge einen Grenzwert besitzt, heißt vollständig. Einen vollständigen normerten Raum man auch Banachraum.
Besselfunktionen
Für die Besselfunktionen $J_\lambda$ erhalten wir die Reihendarstellung $$J_\lambda (z) = \left(\frac{z}{2}\right)^\lambda \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{k! \Gamma(1+k+\lambda)} \left(\frac{z}{2}\right)^{2k}$$ für $z\in\mathbb{C}$ und $\lambda \in \mathbb{C}\setminus\mathbb{Z}_{<0}$. Die Funktion kann nach $\lambda\in\mathbb{Z}_{<0}$ holomorph fortgesetzt werden.
Bijektivität
Eine Abbildung $f: A\rightarrow B\,, a\mapsto f(a)$ heißt bijektiv, wenn sie sowohl injektiv als auch surjektiv ist.
Weitere Begriffe
  • Mathematik zum Mitnehmen (37)
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Frage 1 von 37
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  • Was bedeutet Injektivität, Surjektivität und Bijektivität?

    Lösung

    Eine Abbildung $f: A\rightarrow B\,, a\mapsto f(a)$ heißt: \begin{eqnarray} \text{injektiv } &\quad ,& \text{wenn aus } a_1 = a_2 \text{ auch immer } f(a_1)=f(a_2) \text{ folgt.} \\ \text{surjektiv } &\quad ,& \text{wenn auf jedes Element der Wertemenge abgebildet wird.} \\ \text{bijektiv } &\quad ,& \text{wenn sie sowohl injektiv als auch surjektiv ist.}\end{eqnarray}
  • Geben Sie die allgemeine Definition der Binomische Formel an.

    Lösung

    Für die Potenzen eines Binoms $(a+b)$ gilt: \begin{equation} (a+b)^n = \sum_{k=0}^n \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} a^{n-k} b^k \end{equation}
  • Wie ist der Grenzwert einer Folge definiert?

    Lösung

    Eine Zahl $x\in\mathbb{C}$ heißt Grenzwert einer Folge $\left(x_n\right)^\infty_{n=1}$ in $\mathbb{C}$, wenn es zu jeder Zahl $\varepsilon > 0$ eine natürliche Zahl $N\in\mathbb{N}$ gibt, sodass $$ \vert x_n - x \vert < \varepsilon \qquad \text{für alle } n \geq N$$ gilt. Eine Folge $(x_n)$ in $\mathbb{C}$, die einen Grenzwert hat, heißt konvergent, ansonsten heißt die Folge divergent.
  • Wie lautet der Fundamentalsatz der Algebra?

    Lösung

    Jedes Polynom $p: \mathbb{C}\rightarrow \mathbb{C}$ vom Grad $n\geq 1$ besitzt mindestens eine Nullstelle.
  • Was besagt das Leibniz-Kriterium für Folgen?

    Lösung

    Ist die Folge $(a_n)$ eine reelle positive, monton fallende Nullfolge, so konvergiert die Reihe $$\sum_{n=1}^\infty (-1)^n a_n$$
  • Wann gilt die Cauchy-Produkt Konvergenz?

    Lösung

    Sind die Reihen $\left( \sum_{n=1}^\infty a_n \right)$ und $\left( \sum_{n=1}^\infty b_n \right)$ absolut konvergent, dann konvergiert auch ihr Cauchy-Produkt absolut, und für die Grenzwerte gilt $$\left[\sum_{n=1}^\infty a_n\right]\cdot \left[\sum_{n=1}^\infty b_n\right] = \sum_{n=1}^\infty \sum_{k=1}^{n-1} a_k b_{n-k}$$
  • Wie ist die Exponentialfunktion definiert?

    Lösung

    Die Exponentialfunktion $\exp: \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}$ ist für alle $z\in\mathbb{C}$ definiert durch die Potenzreihe $$\exp(z) := \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n!} z^n $$ Man definiert außerdem die allgemeine Potenz der eulerschen Zahl $\mathrm{e}$ durch $\mathrm{e}^z = \exp(z)$ für $z\in\mathbb{C}$.
  • Wie lautet Produktregel der Differenziation?

    Lösung

    Das Produkt zweier differenzierbarer Funktionen $f,g: D \rightarrow \mathbb{R}$ ist differenzierbar und es gilt für die Ableitung $$\left(fg\right)'(x) = f(x)g'(x) + f'(x)g(x) $$
  • Wie lautet die Kettenregel der Differenziation?

    Lösung

    Wenn zwei differenzierbare Funktionen $f:D\rightarrow \mathbb{R}$ und $g:f(D) \rightarrow \mathbb{R}$ gegeben sind, so ist die Verkettung der Funktionen differenzierbar und es gilt für $x\in D$ $$\left(g\circ f\right)'(x) = g'\left(f(x)\right) f'(x)$$
  • Wie lautet die L'Hospital'sche Regel?

    Lösung

    Ist $I=(a,b)$ ein beschränktes Intervall, $x_0\in I$ und $f,g:I\rightarrow\mathbb{R}$ differenzierbare Funktionen mit $\lim_{x\rightarrow x_0} f(x) = \lim_{x\rightarrow x_0} g(x) = 0$ und $g(x) \neq 0, g'(x) \neq 0$ für alle $x\neq x_0$. Dann gilt $$\lim_{x\rightarrow x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\rightarrow x_0} \frac{f'(x)}{g'(x)}$$ falls der Grenzwert auf der rechten Seite existiert. Die selbe Aussage gilt, wenn $I=(a,\infty)$ und der Grenzwert $x\rightarrow \infty$ oder $I=(-\infty, b)$ und der Grenzwert $x\rightarrow -\infty$ betrachtet wird.
  • Was ist eine Stammfunktion?

    Lösung

    Es bezeichne $f$ eine auf einem offenen Intervall $(a,b)$ definierte Funktion. Jede differenzierbare Funktion $F: (a,b) \rightarrow \mathbb{R}$ mit $F'=f$ heißst Stammfunktion von $f$.
  • Wie lautet der zweite Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung?

    Lösung

    Wenn $F:[a,b] \rightarrow \mathbb{R}$ eine stetige und auf $(a,b)$ stetig differenzierbare Funktion ist mit integrierbarer Ableitung $F'$, d.h. $F'\in L\left( (a,b) \right)$, dann gilt: $$\int_a^b F'(x) \mathrm{d}x = F(b) - F(a)$$
  • Wie verwendet man die Substitutionsmethode zur Lösung eines Integrals?

    Lösung

    Es gilt $$\int f(x) \mathrm{d}x = \int f\left( x(u) \right) \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}u} \mathrm{d} u$$ wenn $u$ eine differenzierbare Funktion von $x$ und im Integrationsbereich überall $u' \neq 0$ ist. Dabei bezeichnet $x(u)$ die Umkehrfunktion von $u(x)$.
  • Wie berechnet man allgemein die Determinante einer $n\times n$ Matrix?

    Lösung

    Gegeben sei eine Matrix $A=(a_{ij})\in\mathbb{K}^{n\times n}$.$$ $$ Für $n=1$, d.h. $A=(a_{11})$, definieren wir $$\det \boldsymbol{A} := a_{11}$$ Für $n\geq 2$ definieren wir \begin{eqnarray} \det\boldsymbol{A} &:=& \sum_{i=1}^n (-1)^{i+1} a_{i1} \det(\boldsymbol{A}_{i1}) \\ &=& a_{11} \det(\boldsymbol{A}_{11}) -+ \dots (-1)^{n+1} a_{n1} \det(\boldsymbol{A}_{n1}) \end{eqnarray}
  • Welche Bedingungen muss eine lineare Abbildung erfüllen?

    Lösung

    Eine Abbildung $\varphi : V \rightarrow W$ zwischen $\mathbb{K}$-Vektorräumen $V$ und $W$ heißt lineare Abbildung oder Homomorphismus, wenn für alle $\boldsymbol{v},\boldsymbol{w}\in V$ und $\lambda \in K$ gilt:\begin{eqnarray} &\bullet& \varphi(\boldsymbol{v}+\boldsymbol{w}) = \varphi(\boldsymbol{v}) + \varphi(\boldsymbol{w}) \quad\text{(Additivität)} \\ &\bullet& \varphi(\lambda \boldsymbol{v}) = \lambda \varphi(\boldsymbol{v}) \quad\text{(Homogenität)}\end{eqnarray}
  • Was sind Kern und Bild einer linearen Abbildung?

    Lösung

    Ist $\varphi$ eine lineare Abbildung von einem $\mathbb{K}$-Vektorraum $V$ einen $\mathbb{K}$-Vektorraum $W$, so ist $$ $$ der Kern von $\varphi$ definiert als $$\varphi^{-1}\left( \lbrace 0 \rbrace\right) := \left\lbrace \boldsymbol{v}\in V \vert \varphi(\boldsymbol{v}) = \boldsymbol{0} \right\rbrace \subseteq V$$ $$ $$ das Bild von $\varphi$ definiert als $$\varphi\left(V \right) := \left\lbrace \varphi(\boldsymbol{v}) \vert \boldsymbol{v}\in V \right\rbrace \subseteq W$$
  • Wie ist das Skalarprodukt mit dem Winkel zwischen den Vektoren verknüpft?

    Lösung

    Aus dem Skalarprodukt zweier Vektoren $\boldsymbol{u}, \boldsymbol{v} \in \mathbb{K}^n$ ist der zwischen ihnen eingeschlossene Winkel $\varphi$ definiert über $$\boldsymbol{u} \cdot \boldsymbol{v} = \Vert \boldsymbol{u} \Vert ~ \Vert \boldsymbol{v} \Vert \cos\varphi$$
  • Wie lautet die Cauchy-Schwarz'sche Ungleichung?

    Lösung

    Für zwei Vektoren $\boldsymbol{u}, \boldsymbol{v} \in \mathbb{K}^n$ gilt: $$\vert\boldsymbol{u} \cdot \boldsymbol{v}\vert \leq \Vert \boldsymbol{u} \Vert ~ \Vert\boldsymbol{v}\Vert $$ Dabei gilt die Gleichheit genau dann, wenn die Vektoren $\boldsymbol{u}$ und $\boldsymbol{v}$ linear abhängig sind.
  • Was ist die Norm eines Vektors?

    Lösung

    Ist $\boldsymbol{v}$ ein Element eines euklidischen bzw. unitären Vektorraums $V$ mit Skalarprodukt $\cdot$, so nennt man die positive reelle Zahl $$\Vert \boldsymbol{v} \Vert := \sqrt{\boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{v}}$$ die Norm bzw. Länge des Vektors.
  • Wann gilt die Einstein'sche Summenkonvention?

    Lösung

    Tritt in einem Term derselbe Index zweimal auf, einmal oben und einmal unten, so ist über diesen Index zu summieren.
  • Was bedeutet Stetigkeit?

    Lösung

    Eine Funktion $f: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}$ ist stetig in einem Punkt $\tilde{\boldsymbol{x}} = \left( \tilde{x}_1, \dots , \tilde{x}_n \right)$, wenn $$\lim_{\boldsymbol{x}\rightarrow\tilde{\boldsymbol{x}}} f(\boldsymbol{x}) = f (\tilde{\boldsymbol{x}})$$ ist. Sie ist stetig in einem Bereich $B\subseteq D(f) \subseteq \mathbb{R}^n$, wenn sie in jedem Punkt $\tilde{\boldsymbol{x}}\in B$ stetig ist.
  • Wie ist der Gradient definiert?

    Lösung

    Der Gradient einer partiell differenzierbaren Funktion $f: \mathbb{R}^n\rightarrow \mathbb{R}$ im Punkt $p$ ist der Vektor der partiellen Ableitungen in diesem Pukt; $$\left.\boldsymbol{\nabla}f \right\vert_p \equiv \left.\textbf{grad} f\right\vert_p := \begin{pmatrix} \left. \frac{\partial f}{\partial x_1}\right\vert_p \\ \vdots \\ \left. \frac{\partial f}{\partial x_n}\right\vert_p \end{pmatrix}$$
  • Wie wird die Taylor-Entwicklung für n-dim Funktionen angewendet?

    Lösung

    Für eine Funktion $f: G \rightarrow \mathbb{R}$ mit $G \subset \mathbb{R}^n$ offen, $f\in C^{n+1}(G)$, einen Vektor $\tilde{\boldsymbol{x}}\in G$ und eine Vektor $\boldsymbol{h} = \left( h_1, \dots, h_n\right)^\top$ gilt: $$ $$ Liegen die Punkte $\tilde{\boldsymbol{x}} + t\boldsymbol{h}$ für $t\in[0,1]$ alle in $G$, dann gibt es ein $\vartheta \in (0,1)$, sodass \begin{eqnarray} f(\tilde{\boldsymbol{x}} + \boldsymbol{h}) &=& \sum_{\nu= 0}^m \left. \frac{1}{\nu!} \left( \boldsymbol{h} \cdot \nabla\right)^\nu f \right\vert_{\tilde{\boldsymbol{x}}} \\ && + \left. \frac{1}{(m+1)!} \left( \boldsymbol{h} \cdot \nabla \right)^{m+1} f \right\vert_{\tilde{\boldsymbol{x}}+\vartheta\boldsymbol{h}}\end{eqnarray} hierbei nennen wir dabei $\tilde{\boldsymbol{x}}$ die Entwicklungsstelle.
  • Wie bestimmt man die Bogenlänge einer ebenen Kurve?

    Lösung

    Für die Bogenlänge einer stetig differenzierbaren Kurve $\gamma$ mit $\boldsymbol{x} = \boldsymbol{\gamma}(t)$ und $\dot{\boldsymbol{\gamma}}(t) \neq 0$ für alle $t\in I$, erhalten wir im Intervall $\left[t_0, t_1\right]\subseteq I$: $$s\left(t_0, t_1\right) = \int_{t_0}^{t_1} \Vert \dot{\boldsymbol{x}}(t) \Vert \mathrm{d}t = \int_{t_0}^{t_1} \sqrt{\dot{x}^2 + \dot{y}^2} \mathrm{d}t$$
  • Wie bestimmt man die Krümmung einer ebenen Kurve?

    Lösung

    Die Krümmung einer mittels $\boldsymbol{\gamma}(t) = \left( x_1(t), x_2(t) \right)^\top$ parametrisierten, zumindest zweimal differenzierbaren Kurve ist durch $$\kappa(t) = \frac{\det\left((\dot{\boldsymbol{x}},\ddot{\boldsymbol{x}})\right)}{\left(\dot{\boldsymbol{x}_1}^2 + \dot{\boldsymbol{x}_2}^2\right)^{3/2}}$$ gegeben. Einen Punkt der Kurve, an dem die Krümmung ein lokales Extremum annimmt, nennen wir Scheitelpunkt.
  • Wie ist das begleitende Dreibein zu einer Kurve definiert?

    Lösung

    Die ortsabhängige Orthonormalbasis $\left(\boldsymbol{t}, \boldsymbol{h}, \boldsymbol{b}\right)$ mit $$\boldsymbol{t} = \boldsymbol{\gamma}' \,,\qquad \boldsymbol{h} = \frac{1}{\kappa(s)}\boldsymbol{t}' \,,\qquad \boldsymbol{b} = \boldsymbol{t} \times \boldsymbol{h}$$ heißt begleitendes Dreibein der Kurve $\gamma$
  • Wie bestimmt man Ko- und Kontravariante Basisvektoren?

    Lösung

    Die kovarianten Basisvektoren des krummlinigen Koordinatensystems $(u_1, u_2, u_3)$ erhält man als Tangentenvektoren der Koordinatenlinien $$\boldsymbol{b}_{u_i} = \frac{\partial \boldsymbol{x}}{\partial u_i}$$ Die kontravarianten Basisvektoren sind die Normalenvektoren auf die Koordinatenflächen, $$\boldsymbol{b}^{u_i} = \textbf{grad}u_i$$
  • Was ist ein Potentialfeld?

    Lösung

    Ein Vektorfeld $\boldsymbol{v}$, das sich als Gradient eines Skalarfeldes darstellen lässt $$\boldsymbol{v} = \textbf{grad}\Phi$$ heißt Potenzialfeld, Gradientenfeld oder konservativ. Man sagt auch "$\boldsymbol{v}$ besitzt ein Potenzial".
  • Wie ist der Laplace-Operator definiert?

    Lösung

    Der Laplace-Operator in $n$ Dimensionen hat in kartesischen Koordinaten die Form $$ \bigtriangleup = div \textbf{grad} = \sum_{k=1}^{n} \frac{\partial^2}{\partial x_k^2}$$
  • Wie bestimmt man ein vektorielles Kurvenintegral?

    Lösung

    Das Kurvenintegral entlang einer mit $\boldsymbol{\gamma}(t)$ für $t\in[a,b]$ parametrisierten Kurve $\gamma$ über ein Vektorfeld $$\boldsymbol{v}(\boldsymbol{x}) = \left(v_1(\boldsymbol{x}, \dots ,v_n(\boldsymbol{x})\right)^\top$$ ist definiert als $$\int_\gamma \boldsymbol{v} \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{s} := \int_a^b \boldsymbol{v}\left( \boldsymbol{x}(t) \right) \cdot \dot{\boldsymbol{x}}(t) \mathrm{d}t$$
  • Wie lautet der Satz von Gauß?

    Lösung

    Ist $B$ ein Teilbereich des $\mathbb{R}^3$ mit der stückweise stetig differenzierbaren Oberfläche $\partial B$ und ist $\boldsymbol{v}(\boldsymbol{r})$ ein in ganz $B$ stetig differenzierbares Vektorfeld, so gilt $$\int_{\partial B} \boldsymbol{v} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{\sigma} = \int_B \textbf{div} \boldsymbol{v} \mathrm{d} \boldsymbol{x}$$
  • Wie lautet der Satz von Stokes?

    Lösung

    Für ein stetig differenzierbares Vektorfeld $\boldsymbol{v}\in\mathbb{R}^3$ und eine orientierbare stückweise glatte Fläche $F$ mit dem stückweise glatten Rand $\partial F$ gilt $$\oint_{\partial F} \boldsymbol{v}\cdot \mathrm{d}\boldsymbol{s} = \int_F \textbf{rot} \boldsymbol{v} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{\sigma}$$ wobei die Kurve $\partial F$ so parametrisiert ist, dass sie den nach außen weisenden Normalenvektor der Fläche im mathematisch positiven Sinne umläuft.
  • Wie löst man eine Wellengleichung (Ansatz nach D'Alembert)?

    Lösung

    Ist $f\in C^2(\mathbb{R})$ und $g\in C^1(\mathbb{R})$. Dann besitzt das Anfangswertproblem \begin{eqnarray} \frac{\partial^2 }{\partial t^2} - a^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} &=& 0 \qquad \text{ in } \mathbb{R}\times(0,\infty), \\ u(x,0) &=& f(x) \qquad \text{ für } x\in\mathbb{R}, \\ \frac{\partial u(x,0)}{\partial t} &=& g(x) \qquad \text{ für } x\in\mathbb{R}\end{eqnarray} genau eine Lösung. Diese ist gegeben durch $$u(x,t) = \frac{1}{2}\left( f(x+at) + f(x-at) \right) + \frac{1}{2a} \int_{x-at}^{x+at} g(z) \mathrm{d}z$$
  • Was ist ein Hilbertraum?

    Lösung

    Ein Innenproduktraum, der bezüglich der vom Skalarprodukt erzeugten Norm vollständig ist, heißt Hilbertraum.
  • Was besagen die Cauchy-Riemann-Gleichungen?

    Lösung

    Eine komplexe Funktion $f= u+\mathrm{i} v$ ist genau dann in einem Punkt $z = x+\mathrm{i}y\,\in D(f)$ komplex differenzierbar, wenn sie dort reell (als Funktion $\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2$) differenziebar ist und zusätzlich die Cauchy-Riemann-Gleichungen erfüllt sind: $$\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} \,,\qquad \frac{\partial u}{\partial y} = - \frac{\partial v}{\partial x}$$
  • Wie ist die Laplacetransformation definiert?

    Lösung

    Zu einer Funktion $f:[0, \infty) \rightarrow \mathbb{C}$ ist auf einem Intervall $J\subseteq\mathbb{R}_{\geq 0}$ die Laplacetransformierte definiert als die Funktion $\mathcal{L} f: J \rightarrow \mathbb{C}$, die durch das Parameterintegral $$\mathcal{L} f(s) = \int_0^\infty f(t) \mathrm{e}^{-st} \mathrm{d}t \,,\qquad s\in J$$ gegeben ist, wenn das Integral für $s\in J$ existiert.
  • Wie ist die Fouriertransformation definiert?

    Lösung

    Zu einer über $\mathbb{R}$ integrierbaren Funktion $x\in L(\mathbb{R})$ ist die Fouriertransformation definiert durch $$\mathcal{F}(x) (s) = \int_{-\infty}^{\infty} \mathrm{e}^{-\mathrm{i}st} x(t) \mathrm{d}t \,,\qquad \text{für } s\in\mathbb{R}$$ fener ist mit dem Schwartz-Raum $ \mathcal{F}x \in S(\mathbb{R})$, und es ist $$x(t) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} \mathrm{e}^{\mathrm{i}st} \left(\mathcal{F}x(s)\right)\mathrm{d}s \,,\qquad t\in\mathbb{R}$$
  • Fertig!

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