Physikalische Rezepte: Mechanik

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Physikalische Rezepte: Mechanik

ISBN: 
978-3-662-57296-2

"Was muss ich eigentlich tun?" Diese Frage kommt schnell auf, wenn man mit einer Aufgabe aus der theoretischen Physik konfrontiert wird. In den physikalischen Rezepten stellen die Autoren anhand von im Detail durchgerechneten Beispielen die wesentlichen Aspekte und Vorgehensweisen beim Lösen klassischer Problemstellungen ins Rampenlicht. Damit schaffen sie Klarheit bei der Aufgabenbearbeitung, die vor allem Studierende in den ersten Semestern oft missen.

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Das Buch deckt den typischen Vorlesungsstoff der theoretischen Mechanik, inkl. Relativistischer Mechanik, ab. Dennoch ist es weder ein klassisches Lehrbuch noch eine Aufgabensammlung. Vielmehr zeigen die Autoren in "Kochrezepten" auf, welche Konzepte und Rechenmethoden beim Lösen von Aufgaben immer wieder zum Einsatz kommen und heben sie klar und deutlich hervor. Schritt für Schritt wird anhand einzelner Rezepte gezeigt, wie man an Problemstellungen aus der theoretischen Mechanik herangeht und mit welchem Handwerkszeug man die Aufgaben lösen kann.

Die Kapitel sind aus folgenden Elementen aufgebaut:

-       Ein Aperitif fasst wesentliche Überlegungen und Konzepte zusammen

-       Die Zutatenliste gibt einen Überblick über die wichtigsten physikalischen Größen und Formeln

-       Die Rezepte führen Schritt für Schritt durch die eigentlichen Aufgaben

-       Kleine Übungsbeispiele regen "Zum Nachkochen" an

-       Ein Digestif rundet das Kapitel mit weiterführenden Informationen und historischen Anmerkungen ab

Darüber hinaus geben die Autoren Ein- und Ausblicke, die über die bloße Rechentechnik hinausgehen. So werden Studierende inspiriert, mit Kreativität und Intuition an neue Aufgaben heranzugehen, die nicht direkt in ein besprochenes Schema passen.

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PDF icon physikalische_rezepte_mechanik_iv.pdf197.19 KB
BegriffErklärung
Ableitung, Kettenregel
$(f(g(x)))'= f'(g(x))\,g'(x)$
Ableitung, Produktregel
$(f(x)\,g(x))' = f'(x)\,g(x)+f(x)\,g'(x)$
Ableitung, Quotientenregel
$(\frac{u(x)}{v(x)})'= \frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{v(x)^{2}}$
Drehimpuls (allgemein)
$L_{k}=\sum_{l}\Theta_{kl}\omega_{l}$
Drehimpuls (Punktmassen)
$\boldsymbol{L}=\sum_{n=1}^{N}m_{n}\boldsymbol{r}_{n}\times\dot{\boldsymbol{r}}_{n} = \sum_{n=1}^{N}m_{n}\boldsymbol{r}_{n}\times(\boldsymbol{{\omega}}\times\boldsymbol{r_{n}})$
Weitere Begriffe
  • Kapitel 1 Grundzutaten und Basisrezepte" (2)
  • Kapitel 6 Starre Körper (1)
  • Kapitel 2 Newtonsche Mechanik" (1)
  • Kapitel 1 Grundzutaten und Basisrezepte (3)
  • Kapitel 3 Lagrange-Formalismus (1)
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Frage 1 von 8
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  • Wie löst man eine lineare Differentialgleichung mit dem Exponentialansatz?

    Lösung

    1. Den Typ der linearen Differentialgleichung feststellen: Von welcher Ordnung ist sie, hat sie konstante Koeffizienten, ist sie homogen oder inhomogen? 2. Wir suchen zunächst die allgemeine Lösung der homogenen Gleichung. Bei einer linearen Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten kann man diese mit einem Exponentialansatz finden. 3. Die allgemeine Lösung einer inhomogenen Gleichung lässt sich als Summe der allgemeinen Lösung der homogenen Gleichung und irgendeiner Lösung der inhomogenen Gleichung schreiben. Eine solche partikuläre Lösung lässt sich meist am besten über einen passenden Ansatz ermitteln.
  • Wie löst man eine Differentialgleichung 1. Ordnung mithilfe der Trennung von Variablen? Beispiel: $\dot{u}(t)=2(u(t)+1)\,t$

    Lösung

    1. Die Gleichung so umformen, dass die linke Seite das Produkt von $\dot{u}$ mit einer Funktion von $u$ ist, während die rechte Seite nur von $t$ abhängt. \begin{equation}\frac{\dot{u}}{u+1}=2t\end{equation} 2. Erste Ableitung $\dot{u}$ als $d u/d t$ schreiben und $d t$ auf die rechte Seite bringen. \begin{equation}\frac{1}{u+1}\,\frac{du}{dt}=2t\quad\Leftrightarrow\quad\frac{1}{u+1}\,du=2t\,dt \end{equation} 3. Einmal (unbestimmt) integrieren und die Integrationskonstante beachten!\begin{equation}\int\frac{1}{u+1}\,du=\int2t\,dt\qquad\Leftrightarrow\qquad\ln|u+1|=t^{2}+C\end{equation} 4. Umformen, um die Funktion $u$ explizit als Ergebnis zu erhalten.\begin{equation}|u+1|=\exp\left\{ t^{2}+C\right\} =\underbrace{e^{C}}_{=:A}\exp\left\{ t^{2}\right\} \,.\end{equation} 5. Plausibilitätsprüfung, ob das Ergebnis sinnvoll und vollständig ist.
  • Wie diagonalisiert man den Trägheitstensor?

    Lösung

    1. Skizze, Geometrie analysieren und Abstände zum Ursprung berechnen. 2. Komponenten $\Theta_{kl}=\sum_{n=1}^{N}m_{n}(\boldsymbol{r}_{n}^{\,2}\delta_{kl}-x_{k}^{n}x_{l}^{n})$ des Trägheitstensors aufstellen. 3. $\Theta_{kl}$ als Matrix schreiben und Eigenwerte berechnen. 4. Eigenvektoren berechnen und ins Hauptachsensystem transformieren.

  • Wie bestimmen Sie mittels komponentenweiser unbestimmter Integration das Potenzial zu einer Kraft?

    Lösung

    1. Überprüfen, ob die Rotation des Kraftfeldes $\boldsymbol{F}(\boldsymbol{r})$ verschwindet. 2. Beziehung Potential $\leftrightarrow$ Kraft in kartesischen Komponenten anschreiben. 3. Eine der Gleichungen unbestimmt integrieren (Integrationskonstante!) 4. In die verbleibenden Gleichungen einsetzen und weiter auswerten. 5. Integrationskonstante einsetzen $\Rightarrow$ allgemeine Lösung für das Potential $U$. 6. Potentialnullpunkt festsetzen, um Integrationskonstanten festzulegen.
  • Wann ist eine Differentialgleichung linear?

    Lösung

    Dafuer duerfen die gesuchte Funktion $u$ selbst, ihre Ableitung $\dot{u}$ sowie etwaige hoehere Ableitungen jeweils nur in erster Potenz vorkommen. Es darf auch keine gemischten Produkte wie z.B. $u\dot{u}$ geben und $u$ bzw. Ableitungen davon duerfen nicht als Argument einer transzendenten Funktion (Exponentialfunktion, Winkelfunktionen, Logarithmus,...) auftreten.
  • Wann sind zwei Vektoren zueinander orthogonal?

    Lösung

    Zwei Vektoren sind genau dann orthogonal (stehen also normal aufeinander), wenn ihr Skalarprodukt verschwindet: $\boldsymbol{v}_a\perp\boldsymbol{v}_b\iff\boldsymbol{v}_a\cdot\boldsymbol{v}_b=0$
  • Was ist eine Diagonalmatrix?

    Lösung

    Eine Matrix, die nur auf der Hauptdiagonalen Elemente ungleich Null hat, heisst Diagonalmatrix. Eine besonders wichtige Diagonalmatrix ist die Einheitsmatrix, die als Hauptdiagonal-Elemente nur Einsen hat: $\left\{\mathbb{I}\right\}_{ij}=\delta_{ij}$
  • Was sind zyklische Koordinaten?

    Lösung

    Tritt eine Koordinate weder in der Lagrange-Funktion noch in den Zwangsbedingungen auf (letzteres ist fuer Lagrange-Gleichungen 1. Art relevant), so nennt man diese zyklisch und der dazugehoerige verallgemeinerte Impuls ist erhalten, aendert sich also entlang der Bahnkurve nicht. Das kann uns das Leben oft einfacher machen, vor allem in Kombination mit der Energieerhaltung
  • Fertig!

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