Taylorentwicklung, Jacobi-Matrix, ∇, δ(x) und Co.

\(% Mathematische Symbole and Abkürzungen \newcommand\2{\frac{1}{2}} \newcommand\4{\frac{1}{4}} \newcommand\6{\partial} \newcommand{\ft}[2]{{\textstyle\frac{#1}{#2}}} \newcommand{\vnabla}{{\boldsymbol \nabla}} \newcommand{\vnab}{\vnabla} \newcommand{\laplace}{\varDelta} \newcommand{\lap}{\laplace} \newcommand{\quabla}{\Box} \newcommand{\vLambda}{{\mtbox{\boldmath{$\Lambda$}}}} % fettes \Lambda \newcommand{\vOmega}{{\mtbox{\boldmath{$\Omega$}}}} % fettes \Omega \newcommand{\vPi}{{\mtbox{\boldmath{$\Pi$}}}} % fettes \Pi \newcommand{\vTheta}{{\mtbox{\boldmath{$\Theta$}}}} % fettes \Theta \newcommand{\tinda}{a} % Teilchen-Index 1 \newcommand{\tindb}{b} % Teilchen-Index 2 \newcommand{\abstvec}[1]{{\mathfrak{#1}}} % Fraktur für abstrakte Vektoren\)
Cover zu Engel - Taylorentwicklung, Jacobi-Matrix, Nabla, Delta

Taylorentwicklung, Jacobi-Matrix, ∇, δ(x) und Co.

ISBN: 
978-3-662-59751-4

Dieses Lehrbuch bietet eine Einführung in die wichtigsten mathematischen Methoden, die Studierende der Physik in den ersten Semestern benötigen. Der Fokus liegt auf der Anwendung dieser Methoden, nicht auf ihrer Begründung. Mit zahlreichen Übungsaufgaben am Ende der Kapitel können Leserinnen und Leser ihre Fähigkeiten überprüfen. Computeralgebrasysteme bilden ein unverzichtbares Hilfsmittel bei der Lösung von Problemen der angewandten Mathematik. Die Entwicklung der mathematischen Methoden wird daher durch spezielle MapleTM-Worksheets ergänzt, die den Einstieg in die Nutzung solcher Systeme erleichtern. Auch eine Reihe der Übungsaufgaben erfordert einen entsprechenden Einsatz von MapleTM. Die Worksheets stehen im Buch sowie online zur Verfügung. Zielgruppe sind in erster Linie Studierende der Physik in den ersten Semestern an deutschsprachigen Universitäten und Hochschulen. Das Buch baut auf einem Kenntnisstand in Mathematik auf, wie er mit dem Abitur erreicht wird.

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Aus dem Inhalt:

  • Differentiation und Integration
  • Differentielle Modellbildung
  • Lineare Räume und lineare Abbildungen
  • Mehrdimensionale Differentiation und Integration, krummlinige Koordinatensysteme
  • Gewöhnliche Differentialgleichungen, Newton’sche Mechanik
  • Partielle Differentialgleichungen, Green’sche Funktion, Fourier-Transformation

Der Autor, Andreas Engel, ist Professor für theoretische Physik an der Universität Oldenburg. Das Buch basiert auf seiner Vorlesung „Einführung in die theoretische Physik“, die er mehrfach gehalten hat. Sein Arbeitsgebiet liegt in der statistischen Physik.

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BegriffErklärung
Abbildung, identische
Eine identische Abbildung, oder Identität, bildet einen Vektor auf sich selbst ab.
Abbildung, linear
Man nennt eine Abbildung $A$ über einem $N$-dimensionalen Vektorraum $V$ linear, wenn sie additiv und homogen ist, das heißt, wenn für $\boldsymbol{a},\,\boldsymbol{b}$ aus $V$ und eine reelle Zahl $\lambda$ sowohl $ A(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})~=~A\boldsymbol{a}+A\boldsymbol{b} \qquad\text{als auch}\quad A(\lambda\,\boldsymbol{a})~=~\lambda\,(A\boldsymbol{a}) $ Die Koordinatendarstellungen von linearen Abbildungen sind Matrizen.
Ableitung
Die Ableitung einer Funktion an einem Punkt charakterisiert den linearen Zusammenhang zwischen kleinen Änderungen des Arguments und des Wertes der Funktion an diesem Punkt.
Approximation, linear
Eine Funktion $f$ kann in der Nähe eines Punktes $x_0$ durch eine lineare Funktion approximiert werden $ f_l(x)~=~f'(x_0)\,(x-x_0)+f(x_0) $
Barometrische Höhenformel
Der Luftdruck $p$ in einer Höhe $h$ über der Erdoberfläche lässt sich näherungsweise beschreiben durch $ p(h)~=~p_0\,\exp(-C\,g\,h) $ mit den konstante Größen: Luftdruck an der Erdoberfläche $p_0$, der Erdbeschleunigung $g$ und einer Konstanten $C$.
Weitere Begriffe
  • Kapitel 1: Differentiation (3)
  • Kapitel 2: Integration (2)
  • Kapitel 3: Differentielle Modellbildung (3)
  • Kapitel 4: Dreidimensionale Vektoren (4)
  • Kapitel 5: Allgemeine Vektorräume (4)
  • Kapitel 6: Lineare Abbildungen (5)
  • Kapitel 7: Mehrdimensionale Differentiation (4)
  • Kapitel 8: Mehrdimensionale Integration (3)
  • Kapitel 9: Krummlinige Koordinatensysteme (6)
  • Kapitel 10: Gewöhnliche Differentialgleichungen (5)
  • Kapitel 11: Newton'sche Mechanik (5)
  • Kapitel 12: Extrema (5)
  • Kapitel 13: Wichtige Beispiele (4)
  • Kapitel 14: Separationsansätze (4)
  • Kapitel 15: Die Green'sche Funktion (3)
  • Kapitel 16: Die Fourier-Transformation (3)
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Frage 1 von 63
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  • Welche Bedingung müssen zwei Funktionen $f$ und $g$ einer Veränderlichen $x$ erfüllen, damit $f(x)=o\left(g(x)\right)$ für $x\rightarrow a$ gilt?

    Lösung

    $\lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)}{g(x)}=0$
  • Welche anschauliche Bedeutung hat die Ableitung einer Funktion einer Veränderlichen?

    Lösung

    Die Ableitung einer Funktion an einem Punkt charakterisiert den linearen Zusammenhang zwischen kleinen Änderungen des Arguments und des Wertes der Funktion an diesem Punkt.
  • Wie lauten die ersten Terme der Taylor-Reihe von $\ln(1+x)$ für kleine $x$?

    Lösung

    $\ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+O(x^4)$
  • Die Stammfunktion $F$ einer Funktion $f$ ist durch $F'(x)=f(x)$ definiert. Wie lässt sich ein bestimmtes Integral der Form $\int_a^b \!\! dx\, f(x)$ mit ihrer Hilfe berechnen?

    Lösung

    $\int_a^b \!\! dx\, f(x)=F(b)-F(a)$
  • Welche drei Schritte sind durchzuführen, um ein Integral der Form $\int_{x_1}^{x_2}\!\!dx\, f(x)$ durch eine Substitution $x=g(s)$ zu berechnen?

    Lösung

    \begin{enumerate} Das Differential $dx$ muss gemäß der Kettenregel in das Differential $ds$ überführt werden, $dx=g'(s)ds$. Der Integrand muss gemäß $f(x)=f\left(g(s)\right)=:h(s)$ als Funktion der neuen Integrationsvariablen $s$ geschrieben werden. Die Grenzen des Integrals sind zu transformieren, $s_1=g^{-1}(x_1), s_2=g^{-1}(x_2)$. Hierbei bezeichnet $g^{-1}$ die Umkehrfunktion von $g$. \end{enumerate} Insgesamt ergibt sich $\int_{x_1}^{x_2}\!\!dx\, f(x)=\int_{s_1}^{s_2}\!\!ds\,g'(s) f\left(g(s)\right)$.
  • Warum ist es im Allgemeinen einfacher, Aussagen über die \textit{Änderung} einer Funktion $f$ bei infinitesimaler Änderung ihres Arguments von $x$ auf $x+dx$ zu gewinnen, als über den \textit{Wert} der Funktion am Punkt $x$?

    Lösung

    Weil Terme höherer als linearer Ordnung in $dx$ vernachlässigt werden können.
  • Warum lassen sich die durch differentielle Modellbildung gefundenen Ausdrücke für die Ableitungen der gesuchten Funktionen nur selten direkt integrieren?

    Lösung

    Weil sie die gesuchte Funktion selbst beinhalten (und somit auf Diffentialgleichungen führen).
  • Wann lässt sich eine gewöhnliche Differentialgleichung erster Ordnung für eine Funktion $y$ einer Variablen $x$ durch Trennung der Veränderlichen lösen?

    Lösung

    Wenn Sie von der Form $ y'(x)+\frac{h(x)}{g(y)}=0$ ist.
  • Wann sind drei Vektoren $\boldsymbol{a},\,\boldsymbol{b},\,\boldsymbol{c}$ linear abhängig voneinander?

    Lösung

    Wenn es drei reelle Zahlen $\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3$ gibt, die nicht alle null sind, aber $\lambda_1 \boldsymbol{a}+\lambda_2 \boldsymbol{b}+\lambda_3 \boldsymbol{c}~=~\boldsymbol{o}$ realisieren. Hierbei bezeichnet $\boldsymbol{o}$ den Nullvektor.
  • Wann spannen drei Vektoren $\boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{e}_2,\boldsymbol{e}_3$ ein kartesisches Koordinatensystem im $\mathbb{R}^3$ auf?

    Lösung

    Wenn $\boldsymbol{e}_i\cdot\boldsymbol{e}_j=\delta_{ij}$ für alle Kombinationen $i=1,2,3,~j=1,2,3$ gilt.
  • Welche Relationen gelten für das skalare und das Kreuzprodukt eines Vektors $\boldsymbol{a}$ mit sich selbst?

    Lösung

    $\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{a}=\left\vert\boldsymbol{a}\right\vert^2,\; \boldsymbol{a}\times\boldsymbol{a}=\boldsymbol{o}$
  • Warum lässt sich $\boldsymbol{a}\times(\boldsymbol{b}\times\boldsymbol{c})$ linear aus $\boldsymbol{b}$ und $\boldsymbol{c}$ kombinieren?

    Lösung

    $\boldsymbol{d}:=\boldsymbol{b}\times\boldsymbol{c}$ ist ein Vektor, der senkrecht auf der von $\boldsymbol{b}$ und $\boldsymbol{c}$ aufgespannten Ebene steht. $\boldsymbol{a}\times(\boldsymbol{b}\times\boldsymbol{c})=\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{d}$ steht wiederum senkrecht auf $\boldsymbol{d}$ und liegt somit in dieser Ebene.
  • Warum führt die Definition \begin{equation} \angle(\boldsymbol{a},\,\boldsymbol{b}):=\arccos\left(\frac{\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}}{a\,b}\right) \end{equation} für den Winkel zwischen zwei Vektoren $\boldsymbol{a}$ und $\boldsymbol{b}$ eines $N$-dimensionalen Vektorraumes nicht auf komplexe Werte für diesen Winkel?

    Lösung

    Weil das Argument des $\arccos$ wegen der Cauchy-Schwarz'schen-Ungleichung immer zwischen $-1$ und $1$ liegt.
  • Warum sind Orthonormalsysteme besonders geeignete Basen in Vektorräumen?

    Lösung

    Weil sich die Entwicklungkoeffizienten $a_i$ eines Vektors $\boldsymbol{a}=\sum_i a_i \boldsymbol{e}^{(i)}$ nach der einfachen Vorschrift $a_i=\boldsymbol{e}^{(i)}\cdot\boldsymbol{a}$ gewinnen lassen.
  • Wie lässt sich ein Skalarprodukt zwischen zwei Funktionen $f$ und $g$ einer Veränderlichen definieren?

    Lösung

    Zum Beispiel durch $f\cdot g:=\int\!\! dx\, f(x) g(x)$ oder durch $f\cdot g:=\int\!\! dx\, w(x) f(x) g(x)$ mit einer geeigneten Gewichtsfunktion $w$. Dabei müssen die Integrale natürlich für alle zugelassenen Funktionen $f$ und $g$ existieren.
  • Welche Bedingung muss eine auf dem Intervall $-\pi\leq x\leq \pi$ definierte Funktion $f$ erfüllen, damit in ihrer Fourier-Reihe $a_0+\sum_k (a_k\cos kx +b_k \sin kx)$ alle Koeffizienten $b_k$ null sind?

    Lösung

    Es muss eine gerade Funktion sein, $f(-x)=f(x)$.
  • Wann nennt man eine Abbildung $A$ eines Vektorraumes auf sich selbst linear?

    Lösung

    Wenn für beliebige Elemente $\boldsymbol{a}$ und $\boldsymbol{b}$ und beliebige reelle Zahlen $\lambda_1,\lambda_2$ die Beziehung $A(\lambda_1\boldsymbol{a}+\lambda_2\boldsymbol{b})~=~\lambda_1 A\boldsymbol{a}+\lambda_2 A\boldsymbol{b}$ gilt.
  • Wann ist ein lineares Gleichungssystem von $N$ Gleichungen für $N$ Unbekannte eindeutig lösbar?

    Lösung

    Wenn die Determinante der Koeffizientenmatrix von null verschieden ist.
  • Was versteht man unter einer nichttrivialen Lösung eines homogenen linearen Gleichungssystems $A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{o}$?

    Lösung

    Eine Lösung, die verschieden vom Nullvektor ist, $\boldsymbol{x} \neq \boldsymbol{o}$.
  • Unter welcher Bedingung besitzt ein homogenes lineares Gleichungssystem eine nichttriviale Lösung?

    Lösung

    Falls die Determinante der Koeffizientenmatrix null ist. Denn es muss neben der trivialen Lösung $\boldsymbol{x} = \boldsymbol{o}$ noch eine andere geben.
  • Welche besondere Eigenschaften haben die Eigenwerte und Eigenvektoren symmetrischer Matrizen?

    Lösung

    Die Eigenwerte sind reell und Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten stehen senkrecht aufeinander.
  • Wie lautet das totale Differential einer Funktion $F$ von drei Variablen $x,y,z$?

    Lösung

    $dF=\frac{\partial F}{\partial x} dx+\frac{\partial F}{\partial y} dy+\frac{\partial F}{\partial z} dz$
  • Warum steht ein vom Nullvektor verschiedener Gradient $\nabla F$ einer Funktion $F$ eines vektoriellen Arguments $\boldsymbol{r}$ immer senkrecht auf den Niveau-Linien $F(\boldsymbol{r})=$const. dieser Funktion?

    Lösung

    Weil entlang einer Niveau-Linie $0=dF=\nabla F\cdot d\boldsymbol{r}$ gilt und somit $\nabla F$ orthogonal zum differentiellen Tangentialvektor $d\boldsymbol{r}$ an diese Niveau-Linie ist.
  • Geben Sie ein Beispiel für eine implizit definierte Funktion $f$ einer Veränderlichen $x$ an.

    Lösung

    Die allgemeine Form lautet $F(x,f(x))=0$, wobei $F$ eine Funktion von zwei Veränderlichen ist. Ein Beispiel wäre $x^4+\left(f(x)\right)^4=1$, was zu $F(x,y)=x^4+y^4-1$ korrespondiert.
  • Wie lautet der quadratische Term der Taylor-Entwicklung einer Funktion $f$ von $N$ Veränderlichen $x_1,\dots, x_N$ um den Punkt $(y_1,\dots, y_N)$?

    Lösung

    $\frac{1}{2} \sum_{i=1}^N\sum_{j=1}^N \frac{\partial^2 f}{\partial x_i\,\partial x_j}(y_1,\dots, y_N)\,(x_i-y_i)(x_j-y_j)$.
  • Eine Kurve im Raum sei durch die Parametrisierung $\boldsymbol{r}(s)$, also durch die Funktionen $x(s), y(s), z(s)$ gegeben. Wie lässt sich ihre Länge $l$ zwischen den Punkten $\boldsymbol{r}_1=\boldsymbol{r}(s_1)$ und $\boldsymbol{r}_2=\boldsymbol{r}(s_2)$ berechnen?

    Lösung

    $l=\int_{s_1}^{s_2}\!\! ds\,\sqrt{\left(x'(s)\right)^2+\left(y'(s)\right)^2+\left(z'(s)\right)^2}$
  • Wann hängt das Linienintegral $\int_{\boldsymbol{r}(s)}\!\! d\boldsymbol{r}\cdot\boldsymbol{a}(\boldsymbol{r})$ entlang einer ebenen Kurve $\boldsymbol{r}(s)$ nur vom Anfangs- und Endpunkt dieser Kurve, nicht aber von ihrem detaillierten Verlauf dazwischen ab?

    Lösung

    Falls $\partial a_x/\partial y=\partial a_y/\partial x$, d.h. $\left[\nabla \times\boldsymbol{a}\right]_z\equiv0$ gilt.
  • Welche Bedingung an die Funktion $F$ zweier Variablen ist hinreichend dafür, dass $\int_0^a\!\! dx \int_0^a\!\! dy\, F(x,y)=2\int_0^a\!\! dx \int_0^x\!\! dy\, F(x,y)$ für alle $a>0$ gilt?

    Lösung

    $F(x,y)=F(y,x)$.
  • Warum sind Punkte, an denen die Jacobi-Matrix einer Koordinatentransformation $(x,y,z) \rightarrow (u,v,w)$ null ist, besonderer Beachtung wert?

    Lösung

    Weil an ihnen kein umkehrbar eindeutiger Zusammenhang zwischen den beiden Koordinatensätzen existiert.
  • Wann heißt ein krummliniges Koordinatensystem lokal orthogonal?

    Lösung

    Wenn seine Metrik eine Diagonalmatrix ist.
  • Welche drei Schritte sind notwendig, um ein zweidimensionales Integral der Form $\int_A\!\!dxdy\, F(x,y)$ durch eine Substitution $(x,y)\rightarrow(u,v)$ zu berechnen?

    Lösung

    Es muss \begin{enumerate} \item das differentielle Flächenelement $dxdy$ der alten Koordinaten nach der Vorschrift $dxdy=du dv\,\vert\det J(u,v)\vert$ in das der neuen überführt, \item der Integrand gemäß $F(x,y)=F\left(x(u,v),y(u,v)\right)$ als Funktion der neuen Integrationsvariablen $u$ und $v$ geschrieben und \item das Integrationsgebiet $A$ durch die neuen Koordinaten $u,v$ parametrisiert werden. \end{enumerate}
  • Was besagt der Gauß'sche Satz der Vektoranalysis?

    Lösung

    Der Fluss eines Vektorfeldes durch eine geschlossene Fläche ist gleich dem Integral seiner Divergenz über das eingeschlossene Volumen.
  • Wie lautet die allgemeine Struktur einer lokalen Bilanzgleichung?

    Lösung

    $\partial \rho/\partial t+\nabla\cdot \boldsymbol{j}=p$, wobei $\rho$ eine Dichte, $\boldsymbol{j}$ die zugehörige Stromdichte und $p$ die entsprechende Produktionsdichte bezeichnen.
  • Warum sind Vektordifferentialoperationen in krummlinigen Koordinatensystemen im Allgemeinen komplizierter als in kartesischen Koordinaten?

    Lösung

    Weil sich die lokalen Basisvektoren von Ort zu Ort ändern.
  • Geben Sie ein Beispiel für ein Anfangswertproblem für eine gewöhnliche Differentialgleichung an, das keine eindeutige Lösung besitzt.

    Lösung

    $y'(x)=y(x)\ln y(x)$ mit $y(0)=0$. (Die Ableitung der rechten Seite nach $y$ ist an der Stelle $y=0$ nicht beschränkt.)
  • Was versteht man unter einem ersten Integral einer gewöhnlichen Differentialgleichung dritter Ordnung?

    Lösung

    Eine Funktion $H$ von vier Veränderlichen, derart dass $H(y''(x),y'(x),y(x),x)$ für jede Lösung $y(x)$ der Differentialgleichung konstant (also unabhängig von $x$) ist.
  • Wann heißt eine gewöhnliche Differentialgleichung linear?

    Lösung

    Wenn mit $y_1$ und $y_2$ auch $\lambda_1 y_1+\lambda_2 y_2$ für beliebige reelle Zahlen $\lambda_1,\lambda_2$ eine Lösung ist.
  • Mit welchem Ansatz lassen sich lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten lösen?

    Lösung

    Mit einem Exponentialansatz.
  • Mit welcher Methode lässt sich aus der Lösung einer homogenen linearen gewöhnlichen Differentialgleichung eine Lösung der zugehörigen inhomogenen Differentialgleichung gewinnen?

    Lösung

    Mithilfe der Methode der Variation der Konstanten.
  • Warum muss die senkrechte Komponente der Geschwindigkeit im höchsten Punkt eines senkrechten Wurfs nach oben null sein?

    Lösung

    Wäre sie größer null, flöge der Körper noch weiter, wäre sie kleiner Null, käme er von weiter oben her. In beiden Fällen kann der betrachtete Punkt nicht der höchste Punkt der Flugbahn sein.
  • Warum wird die Beschleunigung einer Rakete bei konstantem Schub ihrer Triebwerke immer größer?

    Lösung

    Weil ihre Masse beständig um die des ausgestossenen Treibstoffs abnimmt.
  • Nimmt die Schwingungsdauer eines mathematischen Pendels mit der Amplitude zu oder ab?

    Lösung

    Sie nimmt ab, weil der Potentialverlauf $V(\varphi)=mgl(1-\cos\varphi)$ hinter seiner quadratischen Approximation $V_{\text{app}}(\varphi)=mgl \varphi^2/2$ zurückbleibt.
  • Durch welche drei charakteristischen Eigenschaften ist der harmonische Oszillator in der klassischen Mechanik ausgezeichnet?

    Lösung

    Durch ein quadratisches Potential, $V=k\, x^2/2$, eine lineare rücktreibende Kraft, $F=-kx$, und eine harmonische Zeitabhängigkeit der Lösung, $x(t)=A\cos\omega t+ B\sin \omega t$.
  • Wann lässt sich ein System verkoppelter Schwingungen in ein gleichwertiges System unabhängiger Schwingungen überführen?

    Lösung

    Falls es ein System harmonischer Oszillatoren ist.
  • Wo liegen die Extrema einer Funktion $f$ einer Veränderlichen, deren Ableitung $f'$ auf dem gesamten Definitionsbereich das gleiche Vorzeichen hat?

    Lösung

    An den Rändern des Definitionsbereichs.
  • Welche Bedingung ist notwendig dafür, dass eine Funktion $F$ von $N$ Variablen am Punkt $\bar{\boldsymbol{r}}$ ein Extremum besitzt?

    Lösung

    $\nabla F(\bar{\boldsymbol{r}})=\boldsymbol{o}$.
  • Welche Methode ist im Allgemeinen am effektivsten zur Bestimmung von Extrema mit Nebenbedingungen?

    Lösung

    Die Lagrange'sche Multiplikatorenmethode.
  • Was besagt das Fermat'sche Prinzip der geometrischen Optik?

    Lösung

    Lichtstrahlen verlaufen in einem Medium mit Brechungsindex $n(\boldsymbol{r})$ so, dass die Zeit, die das Licht vom Start- bis zum Zielpunkt benötigt, minimal ist.
  • Wie ist die Wirkung $S$ für die Bewegung eines Massenpunkts der Masse $m$ entlang der Bahnkurve $\boldsymbol{r}(t)$ in einem Potential $V(\boldsymbol{r})$ definiert?

    Lösung

    \begin{equation} S[\boldsymbol{r}]=\int\!\! dt \, \left[\frac{m}{2} \dot{\boldsymbol{r}}^2(t)-V\big(\boldsymbol{r}(t)\big)\right] \end{equation}
  • Wie lautet die homogene eindimensionale Wellengleichung für ein skalares Feld $\psi(x,t)$?

    Lösung

    $\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2}-\frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2}=0$. Dabei bezeichnet $c$ die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Wellen.
  • Welche Gleichungen für die Potentiale $\phi(\boldsymbol{r},t)$ und $\boldsymbol{A}(\boldsymbol{r},t)$ sind den Maxwell-Gleichungen \begin{align} \nabla\cdot\boldsymol{E}&=\frac{\rho_e}{\eps_0} \qquad\quad \;\nabla\cdot\boldsymbol{B}=0\nonumber\\ \nabla\times\boldsymbol{E}&=-\frac{\partial \boldsymbol{B}}{\partial t} \qquad \nabla\times\boldsymbol{B}=\mu_0 \boldsymbol{j}_e +\eps_0\mu_0\frac{\partial \boldsymbol{E}}{\partial t} \end{align} für die elektromagnetischen Felder $\boldsymbol{E}(\boldsymbol{r},t)$ und $\boldsymbol{B}(\boldsymbol{r},t)$ im Vakuum äquivalent?

    Lösung

    Die inhomogenen dreidimensionalen Wellengleichungen \begin{equation} \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 \phi}{\partial t^2}-\Delta\phi=\frac{\rho_e}{\eps_0} \qquad\text{und}\quad \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 \boldsymbol{A}}{\partial t^2}-\Delta\boldsymbol{A}=\mu_0\boldsymbol{j}_e. \end{equation}
  • Wie ist die Diffusionsstromdichte $\boldsymbol{j}_n(\boldsymbol{r},t)$ einer Substanz mit der Konzentration $n(\boldsymbol{r},t)$ definiert?

    Lösung

    $\boldsymbol{j}_n(\boldsymbol{r},t)=-D\nabla n(\boldsymbol{r},t)$, wobei $D$ den Diffusionkoeffizienten bezeichnet.
  • Was versteht man in der Elektrodynamik unter Eichinvarianz?

    Lösung

    Die Tatsache, dass bestimmte Änderungen der Potentiale $\phi(\boldsymbol{r},t)$ und $\boldsymbol{A}(\boldsymbol{r},t)$ keine Änderungen der dazugehörigen Felder $\boldsymbol{E}(\boldsymbol{r},t)$ und $\boldsymbol{B}(\boldsymbol{r},t)$ nach sich ziehen.
  • Was versteht man unter einem Separationsansatz zur Lösung einer partiellen Differentialgleichung?

    Lösung

    Die gesuchte Funktion von mehreren Variablen wird als Produkt von Funktionen angesetzt, die jeweils nur von disjunkten Untermengen dieser Variablen abhängen.
  • Inwiefern kann sich die Lösung einer linearen partiellen Differentialgleichung durch einen Separationsansatz vereinfachen?

    Lösung

    Es ist möglich, dass statt der partiellen nur mehrere gewöhnliche Differentialgleichungen zu lösen sind.
  • Warum ist die zweidimensionale Wellengleichung, in die die Ableitungen nach $x$ und $y$ symmetrisch und additiv eingehen, nicht immer in diesen Variablen separierbar?

    Lösung

    Weil die zugehörigen Randbedingungen nicht immer in $x$ und $y$ separieren. Ein Beispiel ist eine am Rand eingespannte kreisförmige Membran.
  • Wann ist die Einführung von Kugelkoordinaten für die Lösung von partiellen Differentialgleichungen im $\mathbb{R}^3$ besonders effektiv?

    Lösung

    Wenn das Problem rotationsinvariant ist, so dass alle Ableitungen nach den Winkeln $\theta$ und $\varphi$ verschwinden.
  • Wie ist die Green'sche Funktion $G(\boldsymbol{r},t)$ eines linearen Differentialoperators $\hat{L}$ definiert?

    Lösung

    $\hat{L} G(\boldsymbol{r},t)=\delta(\boldsymbol{r})\,\delta(t)$.
  • Mithilfe welcher Relationen lässt sich die Analogie zwischen dem Kronecker-Symbol $\delta_{ij}$ und der Funktion $\delta(x-x')$ veranschaulichen?

    Lösung

    \begin{equation} \sum_j a_j \delta_{ij}= a_i\qquad\longleftrightarrow\qquad\int\!\! dx'\, a(x')\,\delta(x-x')=a(x). \end{equation}
  • Wie lautet die Green'sche Funktion $G(x,t)$ der eindimensionalen Diffusionsgleichung?

    Lösung

    \begin{equation} G(x,t)=\theta(t)\frac{1}{\sqrt{4\pi D t}}\exp\left(-\frac{x^2}{4 D t}\right). \end{equation}
  • Warum gilt für die Koeffizienten $c_k$ in der komplexen Fourier-Reihe $f(x)=\sum_k c_k e^{ikx}$ einer reellwertigen, $2\pi$-periodischen Funktion $f$ die Beziehung $c_{-k}=c_k^{∗}$, wobei der Stern komplexe Konjugation bedeutet?

    Lösung

    Da $f$ reellwertig ist, gilt $\sum_{k'} c_{k'}^{∗} e^{-ik'x}=f^{∗}(x)=f(x)=\sum_k c_k e^{ikx}$ und die Behauptung folgt aus dem Identitätssatz für Fourierreihen.
  • Wie ist die Fourier-Transformation und ihre Umkehrtransformation für eine skalare Funktion $f$ einer Veränderlichen $x$ definiert?

    Lösung

    \begin{equation} \tilde{f}(k):=\int_{-\infty}^{\infty}\!\!\!\! dx\, f(x) \, e^{-ikx} \qquad f(x)=\int_{-\infty}^{\infty}\!\! \frac{dk}{2\pi}\,\tilde{f}(k)\, e^{ikx} \end{equation}
  • Welche Gleichung ergibt sich für die Fourier-Transformierte $\tilde{\psi}(k,\omega)$ einer Funktion $\psi(x,t)$, die der homogenen eindimensionalen Wellengleichung \begin{equation} \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2}-\frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2}=0 \end{equation} genügt?

    Lösung

    \begin{equation} -\frac{\omega^2}{c^2} \tilde{\psi}(k,\omega)+k^2 \tilde{\psi}(k,\omega)=0.\end{equation}
  • Fertig!

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