Theoretische Physik 1 | Mechanik

Die Änderung der Bewegung ist der Einwirkung der bewegenden Kraft proportional und geschieht nach der Richtung derjenigen geraden Linie, nach welcher jene Kraft wirkt.

Die Kraft ist stets der Gegenkraft gleich, d.h. die Kräfte zweier Körper aufeinander sind stets betragsgleich, aber von entgegengesetzter Richtung.

Wirken auf einen Punkt mehrere Kräfte, so addieren sich diese vektoriell zu einer resultierenden Kraft auf.

Inertialsysteme sind Bezugssysteme, in denen sich ein kräftefreier Körper geradlinig-gleichförmig bewegt.

In der klassischen Mechanik (und sogar darüber hinaus) sind schwere und träge Masse äquivalent.

Für die vollständige Lösung der Bewegungsgleichungen einer Punktmasse entlang einer Achse benötigt man zwei Integrationskonstanten. Dies können beispielsweise die Anfangsbedingungen für Ort und Geschwindigkeit sein.

Ist die Kraft $F(z)$ nur eine Funktion des Ortes, so kann in einer Dimension stets ein Potenzial $$V(z) = \int_{z_0}^z F(z') \mathrm{d} z'$$ definiert werden. Die Energie ist dann erhalten.

Der Drehimpuls einer Punktmasse ist genau dann erhalten, wenn keine Drehmomente auf diese Punktmasse wirken.

Konservative geschwindigkeitsunabhängige Kräfte $ \boldsymbol{F}( \boldsymbol{x})$ lassen sich als Gradient eines skalaren Potenzials $V( \boldsymbol{x})$ darstellen. $$\boldsymbol{F}(\boldsymbol{x}) = -\boldsymbol{\nabla} V(\boldsymbol{x})$$

Die Energie eines mechanischen Systems ist erhalten, wenn alle Kräfte konservativ sind.

Ein Kurvenintegral über ein Vektorfeld $ \boldsymbol{F}(\boldsymbol{x})$ ist genau dann wegunabhängig, wenn es ein Skalarfeld $\Phi$ gibt, dessen Gradient $ \boldsymbol{F}$ ist, d.h. $$ \boldsymbol{F}( \boldsymbol{x}) = \boldsymbol{\nabla} \Phi(\boldsymbol{x})$$

Felder $ \boldsymbol{F}( \boldsymbol{x})$, die auf einem einfach zusammenhängenden Gebiet $G$ definiert sind, haben genau dann ein Potenzial $V( \boldsymbol{x})$, wenn sie in $G$ wirbelfrei (rotationsfrei) sind, \begin{equation} \boldsymbol{\nabla} \times \boldsymbol{F} = 0 \; \Longleftrightarrow \; \boldsymbol{F} = - \boldsymbol{\nabla} V. \end{equation}

Passive Koordinatentransformationen entsprechen dem Wechsel von einem Koordinatensystem zu einem anderen. Sie haben keine Auswirkung auf physikalische Größen, ändern aber in der Regel ihre Darstellung.

Der Koordinatenvektor des Ortes transformiert unter passiven Drehungen vermittelt durch die Matrix $ \boldsymbol{R}$ wie \begin{equation} \boldsymbol{x}' = \boldsymbol{R} \boldsymbol{x}. \end{equation}

Der Ortsvektor ist ein an den Ursprung gebundener Vektor. Nur Differenzen von Ortsvektoren, $\boldsymbol{d} = \boldsymbol{x} - \boldsymbol{b}$, transformieren sich wie \begin{equation} \boldsymbol{d}' = \boldsymbol{R} \boldsymbol{d}. \end{equation} Solche Größen nennt man im physikalischen Sinne Vektoren.

Eine eigentliche Galilei-Transformation zwischen zwei Inertialsystemen überführt die Darstellung des Ortsvektors $ \boldsymbol{x}$ und der Zeit $t$ in \begin{equation} \boldsymbol{x}' = \boldsymbol{R} ( \boldsymbol{x} - \boldsymbol{v}_0 t - \boldsymbol{b}_0), \quad t' = t - t_0. \end{equation} Die Drehmatrix $ \boldsymbol{R}$, Relativgeschwindigkeit $\boldsymbol{v}_0$, Verschiebung $\boldsymbol{b}_0$ und Verschiebung $t_0$ der Zeitnullpunkte sind konstant.

Das erste Newton'sche Axiom ändert seine Form unter Galilei-Transformationen nicht. Dies ist äquivalent zu einem Übergang von einem zu einem anderen Inertialsystem. Sind zwei Koordinatensysteme gegeneinander beschleunigt, treten Zusatzterme auf, und das erste Newton'sche Axiom ist nicht mehr kovariant. Das zweite Newton'sche Axiom ist unter Galilei-Transformationen kovariant. Die Newton'schen Bewegungsgleichungen ändern ihre Form beim Übergang zwischen Inertialsystemen nicht.

Ist die Drehmatrix $ \boldsymbol{R}$ zwischen einem Inertialsystem $\mathcal S$ und einem beschleunigten System $\mathcal B$ zeitabhängig, so wird die momentane Winkelgeschwindigkeit $\boldsymbol{\omega}$ von $\mathcal B$ aus dem Produkt $\boldsymbol{B} = \boldsymbol{R}^\top \dot{ \boldsymbol{R}}$ bestimmt: \begin{equation} b_{ij} = r_{ki} \dot r_{kj} = \epsilon_{ijk} \omega_k, \quad \omega_l = \frac{1}{2} \epsilon_{ijl} b_{ij}. \end{equation} In einer infinitesimalen Zeit $ \mathrm{d} t$ dreht sich $\mathcal B$ dabei um einen Winkel $ \boldsymbol{d} \boldsymbol{\phi} = \boldsymbol{\omega}\, \mathrm{d} t $ um die Achse $\boldsymbol{\omega}$.

Die Winkelgeschwindigkeit $\boldsymbol{\omega}$ ist wie der Drehimpuls $ \boldsymbol{L}$ ein axialer Vektor und transformiert unter orthogonalen Transformationen $ \boldsymbol{R}$ wie \begin{equation} \boldsymbol{\omega}' = \det ( \boldsymbol{R}) \boldsymbol{R} \boldsymbol{\omega}. \end{equation}

Transformiert man einen polaren Vektor $\boldsymbol{d}'$ mittels einer orthogonalen Transformation $ \boldsymbol{R}$ von einem rotierenden System zurück in ein Inertialsystem, so lauten die Transformationsgleichungen für $\boldsymbol{d}$ und seine ersten beiden Zeitableitungen \begin{eqnarray} \boldsymbol{d} &=& \boldsymbol{R}^\top \boldsymbol{d}',\\ \dot{\boldsymbol{d}} &=& \boldsymbol{R}^\top \left(\dot{\boldsymbol{d}}' + \boldsymbol{\omega}' \times \boldsymbol{d}'\right), \\ \ddot{\boldsymbol{d}} &=& \boldsymbol{R}^\top \left(\ddot{\boldsymbol{d}}' + \dot{\boldsymbol{\omega}}' \times \boldsymbol{d}' + \boldsymbol{\omega}' \times \dot{\boldsymbol{d}}' + \boldsymbol{\omega}' \times (\dot{\boldsymbol{d}}' + \boldsymbol{\omega}' \times \boldsymbol{d}')\right). \end{eqnarray}

Auf eine Punktmasse am Ort $\boldsymbol{x}'$ in einem mit $\boldsymbol{\omega}'$ rotierenden Bezugssystem $\mathcal B$ wirken äußere Kräfte und Scheinkräfte $\boldsymbol{F}'_{\mathrm{ext}}$. Die Bewegungsgleichung für eine Punktmasse in $\mathcal B$ lautet \begin{eqnarray} m \ddot{\boldsymbol{x}}' &=& \boldsymbol{F}'_{\mathrm{ext}} - m \dot{\boldsymbol{\omega}}' \times (\boldsymbol{x}' - \boldsymbol{b}') - 2 m \boldsymbol{\omega}' \times \dot{\boldsymbol{x}}' \\ && - m \boldsymbol{\omega}' \times \left[\boldsymbol{\omega}' \times (\boldsymbol{x}' - \boldsymbol{b}')\right]. \end{eqnarray} Der Vektor $\boldsymbol{b}'$ zeigt vom Ursprung von $\mathcal B$ zum Drehzentrum.

Der Gradient $\boldsymbol{\nabla}$ einer skalaren Funktion $f$ hängt von der Wahl des Koordinatensystems ab: \begin{eqnarray} \boldsymbol{\nabla} f &=& \left(\boldsymbol{\hat e}_1 \frac{\partial}{\partial x_1} + \boldsymbol{\hat e}_2 \frac{\partial}{\partial x_2} + \boldsymbol{\hat e}_3 \frac{\partial}{\partial x_3}\right) f \\ &=& \left(\frac{\boldsymbol{\hat e}'_1}{h_1} \frac{\partial}{\partial q_1} + \frac{\boldsymbol{\hat e}'_2}{h_2} \frac{\partial}{\partial q_2} + \frac{\boldsymbol{\hat e}'_3}{h_3} \frac{\partial}{\partial q_3}\right) f,\end{eqnarray} wenn $h_i^2 = \sum_{j=1}^{3} \left(\frac{\partial x_j}{\partial q_i} \right)^2$ gilt.

Für einen Vektor $\mathfrak{A}$ mit der Darstellung $(A_r, A_\vartheta, A_\varphi)$ in Kugelkoordinaten gilt \begin{equation} \mathrm{div} \mathfrak{A} = \frac{1}{r^2} \frac{\partial (r^2 A_r)}{\partial r} + \frac{1}{r \sin \vartheta} \frac{\partial (\sin \vartheta A_\vartheta)}{\partial \vartheta} + \frac{1}{r \sin \vartheta} \frac{\partial A_\varphi}{\partial \varphi}. \end{equation}

Für einen Vektor $\mathfrak{A}$ mit der Darstellung $(A_r, A_\vartheta, A_\varphi)$ in Kugelkoordinaten gilt \begin{eqnarray} \mathrm{rot} \mathfrak{A} &=& \frac{\boldsymbol{\hat e}_r}{r \sin \vartheta} \left[\frac{\partial (\sin \vartheta A_\varphi)}{\partial \vartheta} - \frac{\partial A_\vartheta}{\partial \varphi}\right] \\ && + \frac{\boldsymbol{\hat e}_\vartheta}{r} \left[\frac{1}{\sin \vartheta} \frac{\partial A_r}{\partial \varphi} - \frac{\partial (r A_ \varphi)}{\partial r}\right] \\ && + \frac{\boldsymbol{\hat e}_ \varphi}{r} \left[\frac{\partial (r A_\vartheta)}{\partial r} - \frac{\partial A_r}{\partial \vartheta}\right]. \end{eqnarray}

Der Laplace-Operator $\varDelta$, angewandt auf eine skalare Funktion $f$, hat in Kugelkoordinaten $(r, \vartheta, \varphi)$ die Gestalt: \begin{equation} \varDelta f = \frac{1}{r^2} \frac{\partial}{\partial r} r^2 \frac{\partial f}{\partial r} + \frac{1}{r^2 \sin \vartheta} \frac{\partial}{\partial \vartheta} \sin \vartheta \frac{\partial f}{\partial \vartheta} + \frac{1}{r^2 \sin^2 \vartheta} \frac{\partial^2 f}{\partial \varphi^2}. \end{equation}

Der Impulssatz eines Systems von Punktmassen lautet \begin{equation} \dot{\boldsymbol{P}} = \sum_i \boldsymbol{F}^{(\mathrm{a})}_i = \boldsymbol{F}^{(\mathrm{a})} \end{equation} Die Bewegung des Schwerpunktes wird nur durch äußere, nicht jedoch durch innere Kräfte beeinflusst. Verschwindet die Summe aller äußeren Kräfte, so ist der Gesamtimpuls erhalten, d.h. der Schwerpunkt bewegt sich geradlinig-gleichförmig.

Der Drehimpulssatz eines Systems von Punktmassen, zwischen denen nur Zentralkräfte wirken, lautet \begin{equation} \dot{ \boldsymbol{L}} = \sum_i \boldsymbol{M}^{(\mathrm{a})}_i = \boldsymbol{M}^{(\mathrm{a})}. \end{equation} Der Gesamtdrehimpuls dieses Systems wird lediglich von den äußeren Kräften bzw. äußeren Drehmomenten beeinflusst. Verschwindet das Gesamtdrehmoment der äußeren Kräfte, so ist der Gesamtdrehimpuls des Systems erhalten.

Sind alle Kräfte konservativ, ist die Gesamtenergie in einem System aus $N$ paarweise wechselwirkenden Punktmassen erhalten. Dissipative Kräfte können die Gesamtenergie ändern: \begin{equation} \frac{ \mathrm{d}}{ \mathrm{d} t}(T + V) = \sum_i \boldsymbol{F}^{\mathrm{diss}}_i \cdot \dot{\boldsymbol{x}}_i. \end{equation}

Aus der Gesamtimpulserhaltung des Zweikörperproblems folgt direkt die Separation der Schwerpunkts- und der Relativbewegung. Es müssen nur noch drei anstatt sechs Differenzialgleichungen zweiter Ordnung gelöst werden.

Die Planeten bewegen sich auf Ellipsenbahnen, in deren einem Brennpunkt die Sonne steht.

Der Fahrstrahl $ \boldsymbol{r}$ überstreicht im Zentralkraftfeld in gleichen Zeiten gleiche Flächen. Die Flächengeschwindigkeit \begin{equation} \dot{ \boldsymbol{A}} = \frac{1}{2} \boldsymbol{r} \times \dot{ \boldsymbol{r}} \end{equation} ist konstant.

Die Quadrate der Umlaufzeiten der Planeten verhalten sich wie die Kuben ihrer großen Bahnhalbachsen: \begin{equation} T^2 = \frac{4 \pi^2 \mu}{\alpha} a^3. \end{equation} Der Term $4 \pi^2 \mu / \alpha$ ist dabei näherungsweise eine Konstante.

Der Drehimpuls ist im Zentralkraftfeld erhalten. Insbesondere findet die Bewegung in einer Ebene statt: \begin{equation} \boldsymbol{L} = \mu \varrho^2 \dot \varphi\, \boldsymbol{\hat e}_3 \quad \Longrightarrow \quad \lvert \boldsymbol{L} \rvert = L = \mu \varrho^2 \lvert \dot \varphi \rvert.\end{equation}

Das Ausnutzen von Erhaltungsgrößen vereinfacht in der Regel das Lösen der Bewegungsgleichungen. Der erste Schritt bei der Analyse eines physikalischen Problems sollte daher das Identifizieren von Symmetrien und Erhaltungsgrößen sein.

Ist das effektive Potenzial $U(r)$ bekannt, so lautet die Bahnkurve allgemein in impliziter Form\begin{equation} \varphi - \varphi_0 = L \int_{r_0}^r \frac{ \mathrm{d} r'}{r'^2 \sqrt{2 \mu \left(E - U(r')\right)}}.\end{equation} Die erhaltene Energie $E$ und der konstante Drehimpuls $ \boldsymbol{L}$ sowie die Anfangsbedingungen $r_0$ und $\varphi_0$ bilden die sechs Integrationskonstanten und legen die Form und Orientierung der Bahnkurve fest.

In vielen Fällen lassen sich qualitative physikalische Aussagen treffen, ohne die Bewegungsgleichungen direkt zu lösen, indem man sich die Struktur der Gleichungen und gegebenenfalls Grenzfälle zu betrachten.

Die Bahnkurve im Gravitationspotenzial lautet allgemein \begin{equation} r( \varphi) = \frac{p}{1 + \varepsilon\, \mathrm{cos\:} ( \varphi - \varphi_\mathrm{p})}, \end{equation} wobei $p$ der Bahnparameter, $ \varepsilon$ die Exzentrizität und $ \varphi_\mathrm{p}$ eine weitere Integrationskonstante ist.

Die relative Änderung der kinetischen Energie eines im Laborsystem gestreuten Teilchens der Masse $m_1$ ist \begin{equation} \frac{T_{\mathrm f, 1} - T_{\mathrm i, 1}}{T_{\mathrm i, 1}} = 2 \frac{m_1}{M} \left(1 - \frac{m_1}{M}\right) ( \mathrm{cos\:} \vartheta' - 1) \leq 0 \end{equation} mit $M = m_1 + m_2$. Für alle Streuwinkel $ \vartheta' > 0$ verliert das Teilchen kinetische Energie, die auf das zweite Teilchen übertragen wird. Der Streuwinkel $ \vartheta'$ im Schwerpunktsystem kann formal mithilfe von $\tan\vartheta_1 = \frac{\sin \vartheta'}{\cos \vartheta' + \frac{m_1}{m_2}}$ in den Streuwinkel $\vartheta_1$ von $m_1$ im Laborsystem überführt werden.

Wird ein Teilchen im Gravitations- bzw. Coulomb-Potenzial gestreut, lautet die geschlossene Form für den Zusammenhang zwischen Stoßparameter $b$ und Streuwinkel $\vartheta$ im Schwerpunktsystem \begin{equation} b^2 = \left(\frac{1}{ \mathrm{sin\:}^2 ( \vartheta' / 2)} - 1\right) \frac{\alpha^2}{4 E^2}. \end{equation}

Der differenzielle Wirkungsquerschnitt $\frac{ \mathrm{d} \sigma}{ \mathrm{d} \Omega}$ hängt mit dem Stoßparameter $b$ und dem Streuwinkel $\vartheta$ im Schwerpunktsystem wie folgt zusammen: \begin{equation} \frac{ \mathrm{d} \sigma}{ \mathrm{d} \Omega} = \frac{b( \vartheta')}{\sin \vartheta'} \left\lvert \frac{ \mathrm{d} b( \vartheta')}{ \mathrm{d} \vartheta'}\right\rvert = \frac{1}{2\, \sin \vartheta'} \left\lvert \frac{ \mathrm{d} b^2( \vartheta')}{ \mathrm{d} \vartheta'}\right\rvert. \end{equation}

Für das Coulomb-Potenzial, $V(r) = - \alpha/r$, ergibt sich der differenzielle Wirkungsquerschnitt im Schwerpunktsystem zu \begin{equation} \frac{ \mathrm{d} \sigma}{ \mathrm{d} \Omega} = \left(\frac{\alpha}{4 E}\right)^2 \frac{1}{\sin^4 ( \vartheta' / 2)}. \end{equation}

Ist die Bewegung eines Systems von Punktmassen endlich, dann gilt bei hinreichend langer Zeitmittelung der folgende Zusammenhang zwischen der mittleren kinetischen Energie und dem Virial: \begin{equation} \langle T \rangle_t = - \frac{1}{2} \Bigg< \sum_i \boldsymbol{F}_i \cdot \boldsymbol{x}_i \Bigg>_t. \end{equation}

Wird ein starrer Körper in einem Punkt festgehalten, so ist die allgemeine Bewegung eine Drehung um eine Achse, die durch diesen Punkt läuft.

Wählt man in \begin{equation} \dot{\boldsymbol{x}}_{a} (t) = \dot{\boldsymbol{x}}_0 (t) + \boldsymbol{\Omega}(t) \times \boldsymbol{d}_{a} (t) \end{equation} den Punkt $ \boldsymbol{x}_0(t)$ als den Schwerpunkt des starren Körpers, sieht man, dass die Bewegung des starren Körpers als Summe einer Translation, $\dot{ \boldsymbol{x}}_0(t)$, und einer Rotation um den Schwerpunkt, $ \boldsymbol{\Omega}(t) \times ( \boldsymbol{x}_{a}(t) - \boldsymbol{x}_0(t))$, geschrieben werden kann. Diese Aussage ist auch als "Satz von Chasles" (nach dem französischen Mathematiker Michel Chasles, 1793-1880) bekannt. Als Ursprung von $\mathcal S^∗$ verwendet man in der Regel den Schwerpunkt. Ist ein Punkt des starren Körpers fixiert, wird dieser normalerweise als Ursprung definiert.

Die Größe $ \boldsymbol{\Theta}'$ mit den neun Komponenten \begin{eqnarray} \Theta'_{ij} &:=& \sum_{a} m_{a} \left(\delta_{ij} \boldsymbol{x}'^2_{a} - x'_{{a}, i} x'_{{a}, j}\right) \\ &=& \sum_{a} m_{a} \begin{pmatrix} x_{{a},2}^2 + x_{{a},3}^2 & -x_{{a},1} x_{{a},2} & -x_{{a},1} x_{{a},3} \\ - x_{{a},1} x_{{a},2} & x_{{a},1}^2 + x_{{a},3}^2 & - x_{{a},2} x_{{a},3} \\ -x_{{a},1} x_{{a},3} & - x_{{a},2} x_{{a},3} & x_{{a},1}^2 + x_{{a},2}^2\end{pmatrix} \end{eqnarray} ist der Trägheitstensor eines starren Körpers in seinem Schwerpunktsystem. Mit seiner Hilfe lässt sich die kinetische Energie (Rotationsenergie) des starren Körpers berechnen, wenn die Winkelgeschwindigkeit $\boldsymbol{\omega}'$ im Schwerpunktsystem bekannt ist: \begin{equation} T'_\mathrm{R} = \frac{1}{2} \omega'_i \Theta'_{ij} \omega'_j = \frac{1}{2} \boldsymbol{\omega}'^\top \boldsymbol{\Theta}' \boldsymbol{\omega}'. \end{equation}

Man kann wegen $T_{ij} = T(\boldsymbol{\hat e}_i \,,\, \boldsymbol{\hat e}_j)$ und $T_{ij} = \frac{T(\boldsymbol{a}\,,\, \boldsymbol{b})}{a_i b_j}$ Tensoren zweiter Stufe als Matrizen darstellen. Analog können Tensoren erster Stufe als Vektoren dargestellt werden.

Tensor- und Vektorgleichungen sind forminvariant unter orthogonalen Transformationen. Forminvarianz bzw. Kovarianz spielt eine zentrale Rolle in der theoretischen Physik. So gilt beispielsweise die Form von \begin{equation} T'_\mathrm{R} = \frac{1}{2} \omega'_i \Theta'_{ij} \omega'_j = \frac{1}{2} \boldsymbol{\omega}'^\top \boldsymbol{\Theta}' \boldsymbol{\omega}'. \end{equation} in allen Inertialsystemen.

Für die Drehung um eine feste Achse $ \boldsymbol{\hat n}$ reicht es, das Trägheitsmoment \begin{equation} \Theta_n = \sum_{a} m_{a} \left[ \boldsymbol{x}_{a}^2 - ( \boldsymbol{x}_{a} \cdot \boldsymbol{\hat n})^2\right] = \sum_{a} m_{a} l_{a}^2 \end{equation} zu kennen, wobei $l_{a}$ der Abstand von $m_{a}$ zur Drehachse ist. Ist die Drehachse bezüglich des starren Körpers eine Funktion der Zeit, kann das Trägheitsmoment ebenfalls zeitabhängig sein.

Der Steiner'sche Satz (nach dem Schweizer Mathematiker Jakob Steiner, 1796-1863) besagt: "Das Trägheitsmoment eines starren Körpers mit der Masse $M$ um eine beliebige Drehachse im Abstand $l$ von seinem Schwerpunkt ist gleich dem Trägheitsmoment um die parallele Drehachse, die durch den Schwerpunkt verläuft, plus $M l^2$."

Da der Trägheitstensor als reellwertige, symmetrische Matrix zweiter Ordnung dargestellt werden kann, hat der Trägheitstensor stets drei reelle Eigenwerte, die Hauptträgheitsmomente. Es gibt ein Koordinatensystem, in dem der Trägheitstensor diagonal ist. Man nennt diejenige Transformation, die auf das Diagonalsystem führt Hauptachsentransformation.

1. Berechnen Sie den Trägheitstensor mit $T'_\mathrm{R} = \frac{1}{2} \omega'_i \Theta'_{ij} \omega'_j = \frac{1}{2} \boldsymbol{\omega}'^\top \boldsymbol{\Theta}' \boldsymbol{\omega}'.$ 2. Stellen Sie die Eigenwertgleichung $\det \left(\lambda \boldsymbol{I} - \boldsymbol{A} \right) = 0$ auf und lösen Sie diese. 3. Falls benötigt oder erwünscht, können die Hauptachsen bestimmt werden. Sind Eigenwerte entartet, müssen die entsprechenden Eigenvektoren so gewählt werden, dass alle drei paarweise orthogonal sind.

Die Komponenten des Trägheitstensors für eine kontinuierliche Massenverteilung $\mu( \boldsymbol{x})$ lauten \begin{equation} \Theta_{ij} = \int \mathrm{d} V\, \mu( \boldsymbol{x}) \left( \boldsymbol{x}^2 \delta_{ij} - x_i x_j\right). \end{equation}

Die durch $ J_{ij} := \partial_{q_j} x_i $ definierte Matrix einer Koordinatentransformation $q_i(x_j)$ mit Umkehrung $x_i(q_j)$ heißt Jacobi-Matrix der Koordinatentransformation. Häufig schreibt man auch \begin{equation} \boldsymbol{J} = \frac{\partial(x_1, x_2, x_3)}{\partial (q_1, q_2, q_3)}. \end{equation}

Beim Übergang von kartesischen Koordinaten $x_i$ zu allgemeinen Koordinaten $q_j$ erfüllt das Volumenelement $\mathrm{d} V = \mathrm{d} x_1\, \mathrm{d} x_2\, \mathrm{d} x_3 = (\det \boldsymbol{J})\, \mathrm{d} q_1\, \mathrm{d} q_2\, \mathrm{d} q_3, $ wobei $ \boldsymbol{J}$ die zugehörige Jacobi-Matrix ist. Die Größe $\det \boldsymbol{J}$ nennt man die Jacobi-Determinante oder Funktionaldeterminante, mit der häufigen Schreibweise \begin{equation} \det \boldsymbol{J} = \det \left(\frac{\partial x_i}{\partial q_j}\right). \end{equation}

Die Jacobi-Determinanten für Zylinder- und Kugelkoordinaten braucht man selbstverständlich nur einmal auszurechnen. Die Ergebnisse $\det \boldsymbol{J} = \varrho $ für Zylinderkoordinaten und $ \det \boldsymbol{J} = r^2 \sin \vartheta $ für Kugelkoordinaten kann man dann für alle entsprechenden Rechnungen direkt verwenden.

Die Bewegungsgleichungen für die Rotation eines starren Körpers im körperfesten System lauten \begin{equation} \boldsymbol{M}^∗ = \boldsymbol{\Theta}^∗ \dot{\boldsymbol{\omega}}^∗ + \boldsymbol{\omega}^∗ \times \left( \boldsymbol{\Theta}^∗ \boldsymbol{\omega}^∗\right). \end{equation} Sie entsprechen den Newton'schen Bewegungsgleichungen für die Translation einer Punktmasse.

Die Rotation eines kräftefreien Kreisels ist stabil, wenn sie um die Hauptachse mit dem kleinsten oder größten Trägheitsmoment erfolgt. Im anderen Fall ist die Bewegung instabil.

Ein kräftefreier symmetrischer Kreisel erlaubt die Lösung \begin{equation} \vartheta(t) = \vartheta_0, \quad \psi(t) = \Omega t + \psi_0, \quad \varphi(t) = \Omega' t + \varphi_0 \end{equation} für die Euler-Winkel.

Die Figurenachse (Symmetrieachse) des kräftefreien Kreisels präzediert im raumfesten System $\mathcal S$ mit der Frequenz \begin{equation} \Omega' = \frac{\Theta_3 \omega^∗_3}{\Theta \mathrm{cos\:} \vartheta} = \frac{L}{\Theta} \end{equation} um die Drehimpulsachse.

Für einen unterstützten symmetrischen Kreisel im homogenen Schwerefeld findet man drei Erhaltungsgrößen: die Projektion des Drehimpulses auf die Figurenachse und auf die Achse, entlang der das Schwerefeld wirkt, sowie die Gesamtenergie.

In vielen Fällen lassen sich Zwangsbedingungen in der Form \begin{equation} f_a(t, \boldsymbol{x}_1, \ldots, \boldsymbol{x}_N) = 0 \quad (1 \leq a \leq r) \end{equation} schreiben, wobei $r$ die Anzahl der Zwangsbedingungen ist. Man nennt Zwangsbedingungen dieser Form holonom.

Alle Zwangsbedingungen, die sich nicht in der Form \begin{equation} f_a(t, \boldsymbol{x}_1, \ldots, \boldsymbol{x}_N) = 0 \quad (1 \leq a \leq r) \end{equation} schreiben lassen, heißen nichtholonom. Dazu gehören insbesondere (aber nicht ausschließlich) Zwangsbedingungen, die sich nur als Ungleichung formulieren lassen. Man unterscheidet außerdem zeitabhängige bzw. rheonome und zeitunabhängige bzw. skleronome Zwangsbedingungen. Diese Begriffe stammen aus dem Griechischen (rheos: fließend, skleros: starr).

Anstelle der $3 N$ abhängigen Parameter $x_i$ der kartesischen Koordinaten kann man $F = 3 N - r$ unabhängige Parameter $q_j$ ($1 \leq j \leq F$) definieren, die nicht durch die Zwangsbedingungen eingeschränkt werden. Diese werden als neue, verallgemeinerte Koordinaten verwendet. Man spricht auch von generalisierten Koordinaten.

Zwangskraft hängt im allgemeinen Fall vom momentanen Bewegungszustand (z.B. der Geschwindigkeit) ab. Da dieser bei der Formulierung des Problems in der Regel unbekannt ist, lassen sich die Newton'schen Bewegungsgleichungen in Anwesenheit von Zwangsbedingungen nicht direkt in herkömmlicher Weise lösen.

Gibt es eine holonome Zwangsbedingung \begin{equation} f(t, \boldsymbol{x}) = 0, \end{equation} so führt dies auf eine Zwangskraft \begin{equation} \boldsymbol{Z} = \lambda \boldsymbol{\nabla} f \end{equation} mit einem Lagrange-Multiplikator $\lambda$. Die Lagrange-Gleichungen erster Art lauten dann \begin{equation} m \ddot{\boldsymbol{x}} = \boldsymbol{F} + \lambda \boldsymbol{\nabla} f \end{equation} mit der angewandten Kraft $\boldsymbol{F}$ aus den Newton'schen Bewegungsgleichungen.

Für ein System von $N$ Punktmassen unter dem Einfluss von $r$ unabhängigen holonomen Zwangsbedingungen $f_a(t, \boldsymbol{x}_1, \ldots, \boldsymbol{x}_N)$ lauten die Lagrange-Gleichungen erster Art \begin{equation} m_i \ddot{\boldsymbol{x}}_i = \boldsymbol{F}_i + \sum_{a=1}^r \lambda_a \boldsymbol{\nabla}_i f_a \quad (1 \leq i \leq N) \end{equation} bzw. \begin{equation} m_i \ddot x_i = F_i + \sum_{a=1}^r \lambda_a \frac{\partial f_a}{\partial x_i} \quad (1 \leq i \leq 3 N) \end{equation} in der komponentenweisen Darstellung.

Sind die angewandten Kräfte $\boldsymbol{F}_i$ konservativ, lautet der Energiesatz in Anwesenheit von holonomen Zwangsbedingungen \begin{equation} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} (T + V) = - \sum_{a=1}^r \lambda_a \frac{\partial f_a}{\partial t}. \end{equation} Die Energie ist erhalten, wenn die Zwangsbedingungen skleronom sind, d.h. ihre partiellen Zeitableitungen verschwinden.

Wird die Bewegung des gesamten Systems auf eine Koordinatenebene beschränkt, so lässt sich das System direkt im zweidimensionalen Raum formulieren. Dies reduziert die Anzahl der Zwangsbedingungen und Lagrange-Multiplikatoren. Dies gilt entsprechend auch, wenn die Bewegung entlang nur einer Koordinatenachse eingeschränkt wird.

Für holonome Zwangsbedingungen lauten die Bewegungsgleichungen der generalisierten Koordinaten \begin{equation} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \frac{\partial T}{\partial \dot q_j} - \frac{\partial T}{\partial q_j} = Q_j, \quad (1 \leq j \leq F). \end{equation}

Für konservative Systeme mit holonomen Zwangsbedingungen lauten die Bewegungsgleichungen der generalisierten Koordinaten \begin{equation} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \frac{\partial L}{\partial \dot q_j} - \frac{\partial L}{\partial q_j} = 0 \quad (1 \leq j \leq F). \end{equation} Hier ist \begin{equation} L(t, q, \dot q) := T(t, q, \dot q) - V(t, q) \end{equation} die Lagrange-Funktion des Systems.

Ist eine generalisierte Koordinate $q_j$ zyklisch, so ist ihr konjugierter Impuls $p_j$ eine Erhaltungsgröße. Jede zyklische Koordinate führt daher auf einen Erhaltungssatz, was einer ersten Integration der Bewegungsgleichung entspricht.

Man bezeichnet \begin{equation} p_j := \frac{\partial L}{\partial \dot q_j} \end{equation} als den generalisierten Impuls zur Koordinate $q_j$ oder auch den kanonisch konjugierten Impuls. Dieser erlaubt oft eine rasche Identifizierung von Erhaltungsgrößen des betrachteten Systems: Eine Koordinate $q_j$ heißt zyklisch, wenn die Lagrange-Funktion nicht von ihr abhängt. In diesem Fall lautet die entsprechende Bewegungsgleichung einfach \begin{equation} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{t}} \frac{\partial L}{\partial \dot q_j} = \dot p_j = 0. \end{equation} Dies bedeutet, dass der kanonische Impuls $p_j$ eine Erhaltungsgröße ist.

Die Hamilton-Funktion \begin{equation} H = \sum_i \dot q_i \frac{\partial L}{\partial \dot q_i} - L \end{equation} ist gleich der erhaltenen Gesamtenergie des Systems, wenn die folgenden Bedingungen erfüllt sind: 1.) Das System ist konservativ; alle Kräfte lassen sich aus $V$ ableiten. 2.) Das Potenzial $V$ ist geschwindigkeitsunabhängig. 3.) Alle Zwangsbedingungen sind skleronom.

Das Integral \begin{equation} F[y] = \int_{x_0}^{x_1} f(x, y, y')\, \mathrm{d} x \end{equation} wird bei festgehaltenen Randpunkten $y(x_0)$ und $y(x_1)$ extremal, wenn die Funktion $y(x)$ die Euler-Gleichung \begin{equation} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \frac{\partial f}{\partial y'} - \frac{\partial f}{\partial y} = 0\end{equation} erfüllt. Diese Gleichung ist also die notwendige Bedingung an $y(x)$. Eine Funktion $y(x)$, heißt Extremale.

Gibt es $N$ abhängige Variablen $y_i(x)$, so lautet die Erweiterung der Euler-Gleichung: \begin{equation} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \frac{\partial f}{\partial y'_i} - \frac{\partial f}{\partial y_i} = 0 \quad (1 \leq i \leq N). \end{equation} Es sind also $N$ partielle Differenzialgleichungen zweiter Ordnung unter Berücksichtigung der $2N$ Randbedingungen $y_i(x_0) = y_{i,0}$ und $y_i(x_1) = y_{i,1}$ zu lösen.

Entlang der tatsächlichen Bahn $q(t)$ zwischen den Zeiten $t_0$ und $t_1$ wird die Wirkung $S[q] := \int_{t_0}^{t_1} L(t, q, \dot q)\, \mathrm{d} t$ extremal. Es gilt also \begin{equation} 0 = \delta S = \int_{t_0}^{t_1} \delta L(t, q, \dot q)\, \mathrm{d} t \end{equation} für eine infinitesimale Variation der Wirkung. Diese Aussage wird auch als das Wirkungsprinzip oder Prinzip der stationären Wirkung bezeichnet. Das Hamilton'sche Prinzip und die Euler-Lagrange-Gleichungen sind äquivalent.

Die $N$ Funktionen $y_i(x)$ lassen sich aus \begin{equation} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \frac{\partial f^∗}{\partial y'_i} - \frac{\partial f^∗}{\partial y_i} = 0 \quad (1 \leq i \leq N) \end{equation} bestimmen, wobei $f^∗ := f - \sum_{j=1}^r \lambda_j f_j$ ist.

Die $N$ Funktionen $y_i(x)$ lassen sich aus \begin{equation} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \frac{\partial f}{\partial y'_i} - \frac{\partial f}{\partial y_i} = - \sum_{j=1}^r \lambda_j(x) \frac{\partial f_j}{\partial y_i} \quad (1 \leq i \leq N) \end{equation} bestimmen.

Die Bewegungsgleichungen bleiben invariant, wenn zu der Lagrange-Funktion die totale Zeitableitung einer Funktion $f(t, q)$ addiert wird.

Die Bewegungsgleichungen sind dann unter einer infinitesimalen Transformation invariant, wenn \begin{equation} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\epsilon} \left.\left[L\left(t', q', \frac{\mathrm{d}q'}{\mathrm{d}t'}\right) \dot t'\right] \right\rvert_{\epsilon = 0} = \frac{\mathrm{d} f}{\mathrm{d}t} \end{equation} für eine beliebige Funktion $f$ gilt.

Sind die Bewegungsgleichungen unter der infinitesimalen Koordinatentransformation $q_i \to q'_i = q_i + \epsilon \tilde q_i(t, q, \dot q), \quad t \to t' = t + \epsilon \tilde t(t, q, \dot q)$ invariant, d.h. gilt $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\epsilon} \left.\left[L\left(t', q', \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}q'}{t'}\right) \dot t'\right] \right\rvert_{\epsilon = 0} = \frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}t}$, so ist die Größe \begin{equation} I(t, q, \dot q) = \sum_i \frac{\partial L}{\partial \dot q_i} \tilde q_i + \left(L - \sum_i \frac{\partial L}{\partial \dot q_i} \dot q_i\right) \tilde t - f \end{equation} eine Erhaltungsgröße. Dies bedeutet: Zu jeder infinitesimalen Transformation, welche die Wirkung höchstens um eine Konstante ändert, gibt es eine Erhaltungsgröße.

Ist die Wirkung invariant unter einer konstanten Verschiebung des Zeitnullpunktes, so ist die Gesamtenergie des Systems erhalten.

Für abgeschlossene physikalische Systeme mit einer Lagrange-Funktion der Form \begin{equation} L(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{\dot{x}}) = \frac{1}{2} \sum_i m_i \boldsymbol{\dot{x}}_i^2 - \frac{1}{2} \sum_{j \not= i} V_{ij}(\lvert \boldsymbol{x}_i - \boldsymbol{x}_j \rvert).\end{equation} gelten die folgenden vier wichtigen Prinzipien, die man umgekehrt benutzen kann, um die erhaltenen Größen zu definieren: 1.) Homogenität der Zeit: Die Bewegungsgleichungen sind invariant unter einer willkürlichen Verschiebung des Zeitnullpunktes. Man definiert allgemein die Energie als diejenige erhaltene Größe, die sich aus der Homogenität der Zeit ergibt. 2.) Homogenität des Raumes: Eine willkürliche Verschiebung aller Punktmassen hat keinen Einfluss auf die Bewegungsgleichungen. Man definiert allgemein den Gesamtimpuls als diejenige erhaltene Größe, die sich aus der Homogenität des Raumes ergibt. 3.) Isotropie des Raumes: Auch unter willkürlichen Drehungen des Systems bleiben die Bewegungsgleichungen invariant. Es ist keine Richtung ausgezeichnet. Allgemein wird der Gesamtdrehimpuls als diejenige Erhaltungsgröße definiert, die sich aus der Isotropie des Raumes ergibt. 4.) Relativitätsprinzip: Die Bewegungsgleichungen sind invariant unter Transformationen, bei denen der Schwerpunkt mit einer konstanten Geschwindigkeit $\boldsymbol{\dot b}$ bewegt wird.

Eine Punktmasse befindet sich im Gleichgewicht am stationären Ort $q_0$, wenn die Summe aller auf sie wirkenden generalisierten Kräfte verschwindet: \begin{equation} Q = - \left.\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}V}{q}\right\rvert_{q=q_0} = 0. \end{equation}

Die Auslenkung des schwach gedämpften Oszillators ($\lambda < \omega_0$) ist \begin{eqnarray} x(t) &=& \mathrm{e}^{-\lambda t} \left[a_1 \mathrm{sin\:}(\tilde \omega t) + a_2 \mathrm{cos\:}(\tilde \omega t)\right] \\ &=& \tilde A \mathrm{e}^{-\lambda t} \mathrm{cos\:} \left(\tilde \omega t - \tilde \delta\right) \end{eqnarray} mit $\tilde \omega = \sqrt{\omega_0^2 - \lambda^2}$.

Den von den $2f$ Parametern $(q,p) = \left( q_1,\dots, q_f, p_1,\dots,p_f\right)$, aufgebaut aus den generalisierten Koordinaten $q$ und Impulsen $p$, aufgespannten Raum nennt man Phasenraum. Jeder Bewegungszustand des Systems entspricht genau einem Punkt im Phasenraum $\mathbb{R}^{2f}$. Entsprechend lässt sich jeder Kurve im Phasenraum (auch Trajektorie genannt) eine Bahn im Konfigurationsraum $\mathbb{R}^f$ zuordnen.

Eine Trajektorie bezeichnet eine Kurve im Phasenraum, der eine Bahn im Konfigurationsraum $\mathbb{R}^f$ zuzuordnen ist.

Sie lauten: \begin{equation} \frac{\partial H}{\partial p_i} = \dot q_i, \quad \frac{\partial H}{\partial q_i} = - \dot p_i \quad (1 \leq i \leq f) \end{equation}

Sind zwei Observablen $F$ und $G$ gegeben, so lautet die Poisson-Klammer \begin{equation} \left\lbrace F, G\right\rbrace := \sum_i \left(\frac{\partial F}{\partial q_i} \frac{\partial G}{\partial p_i} - \frac{\partial F}{\partial p_i} \frac{\partial G}{\partial q_i}\right). \end{equation}

Verschwindet die Poisson-Klammer einer Observablen $F$ mit der Hamilton-Funktion $H$ und ist $F$ nicht explizit zeitabhängig, d.h. $\partial F / \partial t = 0$, so ist $F$ ein Integral der Bewegung, also eine Erhaltungsgröße. Diese Schlussfolgerung gilt auch in die andere Richtung.

Das Prinzip $\delta S = 0$ ist äquivalent zu den kanonischen Gleichungen \begin{equation} \frac{\partial H}{\partial p_i} = \dot q_i, \quad \frac{\partial H}{\partial q_i} = - \dot p_i \quad (1 \leq i \leq f), \end{equation} welche die Bewegung im Phasenraum beschreiben.

Unter kanonischen Transformationen versteht man Transformationen $Q$ und $P$, welche die Form der kanonischen Gleichungen invariant lassen und somit \begin{equation} \dot Q_j = \frac{\partial H'}{\partial P_j} \,,\quad \dot P_j = - \frac{\partial H'}{\partial Q_j} \end{equation} erfüllen, wobei $H'(t, Q, P)$ eine geeignete Funktion ist.

Eine Erzeugende $S(t, q, P)$, welche die Hamilton-Jacobi-Gleichung\begin{equation} H\left(t, q, \frac{\partial S}{\partial q}\right) + \frac{\partial S}{\partial t} = 0 \end{equation} erfüllt, führt auf $H' = 0$. Diese Gleichung ist die Bestimmungsgleichung für $S(t, q, P)$.

Die zeitunabhängige Hamilton-Jacobi-Gleichung lautet \begin{equation} H(q, \partial W / \partial q) = a_0. \end{equation}

Einen Körper, dessen Punktmassen durch konservative Kräfte wechselwirken, nennt man elastisch. Die Gesamtenergie ergibt sich aus der kinetischen und der Wechselwirkungsenergie. Wird ein elastischer Körper verformt, so wird die zur Verformung benötigte Arbeit als elastische (potenzielle) Energie gespeichert und kann wieder vollständig in kinetische Energie umgewandelt werden (wobei der Körper in seine Ursprungsgestalt zurückkehrt). Reibungskräfte treten in einem idealen elastischen Körper nicht auf.

In der Physik versteht man unter einem Feld eine Größe, die eine Funktion des Ortes ist (z.B. eine Funktion von $\boldsymbol{r}$ in drei Dimensionen). Zusätzlich kann ein Feld zeitabhängig sein. Felder können skalar-, vektor- oder tensorwertig sein. So ist beispielsweise die Temperaturkarte der Wettervorhersage ein Skalarfeld, da die Temperatur eine skalare Größe ist: $T(\boldsymbol{r})$. Ein Geschwindigkeitsfeld $\boldsymbol{u}(\boldsymbol{r})$ hingegen ist eine vektorwertige Größe und wird beispielsweise verwendet, um die Strömung einer Flüssigkeit am Ort $\boldsymbol{r}$ zu beschreiben.

Die Bewegungsgleichung des Bandes (d.h. der kontinuierlichen Kette) lautet in Abwesenheit von äußeren Kräften \begin{equation} \rho \frac{\partial^2 q(t, x)}{\partial t^2} - Y \frac{\partial^2 q(t, x)}{\partial x^2} = 0. \end{equation} Es handelt sich hierbei um eine lineare partielle Differenzialgleichung zweiter Ordnung für die Funktion $q(t, x)$, die auf dem Intervall $[0, \ell]$ definiert ist.

Mit den Parametern $\xi = x + v t$ und $\eta = x - v t$ nimmt die Schwingungsgleichung die einfache Form \begin{equation} \frac{\partial^2 q}{\partial \xi \partial \eta} = 0 \end{equation} an.

Die Bewegungsgleichungen der kontinuierlichen, kräftefrei schwingenden Saite lauten \begin{eqnarray} \rho \frac{\partial^2 q_\|(t, x)}{\partial t^2} - Y \frac{\partial^2 q_\|(t, x)}{\partial x^2} &=& 0, \\ \rho \frac{\partial^2 \boldsymbol{q}_\perp(t, x)}{\partial t^2} - F \frac{\partial^2 \boldsymbol{q}_\perp(t, x)}{\partial x^2} &=& 0. \end{eqnarray} Sie ist auf dem Intervall $(0, \ell')$ definiert.

Die allgemeine Lösung der Bewegungsgleichung für die schwingende Saite ist \begin{equation} q(t, x) = \sum_{n=1}^\infty c_n \mathrm{cos\:} (\omega_n t - \phi_n) \mathrm{sin\:}(k_n x) \end{equation} mit reellen Koeffizienten $c_n$ und diskreten Frequenzen $\omega_n = \sqrt{\frac{F}{\rho}}k_n$.

Funktionen der Periode $T = 2 \pi / \omega$ lassen sich durch eine Fourier-Reihe darstellen: \begin{eqnarray} f(t) &=& \sum_{j=0}^{\infty} [a_j g_j(t) + b_j h_j(t)] \\ &=& \frac{a_0}{\sqrt{2}} + \sum_{j=1}^{\infty} \left[a_j \mathrm{cos\:}(j \omega t) + b_j \mathrm{sin\:}(j \omega t)\right]. \end{eqnarray}

Die Fourier-Koeffizienten einer periodischen Funktion $f(t)$ können über \begin{eqnarray} a_j &=& \frac{2}{T} \int_c^{c+T} f(t) g_j(t)\, \mathrm{d} t, \\ b_j &=& \frac{2}{T} \int_c^{c+T} f(t) h_j(t)\, \mathrm{d} t \end{eqnarray} berechnet werden.

Die Lagrange-Gleichung für das eindimensionale Feld $q(t, x)$ lautet \begin{equation} \frac{\partial \mathcal L}{\partial q} - \frac{\partial}{\partial t} \frac{\partial \mathcal L}{\partial \dot q} - \frac{\partial}{\partial x} \frac{\partial \mathcal L}{\partial q'} = 0, \end{equation} wobei die Lagrange-Dichte $\mathcal L$ neben $q(t, x)$ noch von den beiden Ableitungen $\dot q(t, x)$ und $q'(t, x)$ abhängen darf.

Die Lagrange-Gleichungen für das dreidimensionale Feld $\boldsymbol{q}(t, \boldsymbol{r})$ lauten \begin{equation} \frac{\partial \mathcal L}{\partial q_i} - \frac{\partial}{\partial t} \frac{\partial \mathcal L}{\partial \dot q_i} - \frac{\partial}{\partial r_j} \frac{\partial \mathcal L}{\partial (\partial_j q_i)} = 0 \quad (i = x, y, z). \end{equation}

Ein elastisches Medium erfüllt die Bewegungsgleichungen $$\rho \ddot q_i = \partial_j \sigma_{ij} + f_i,$$ bzw. in Vektornotation formuliert: $$\rho \boldsymbol{\ddot q} = \mathbf{div\,} \boldsymbol{\sigma} + \boldsymbol{f}$$ Hier ist $\boldsymbol{\sigma}$ der Spannungstensor und $\mathbf{div\,} \boldsymbol{\sigma} = (\partial_j \sigma_{ij})$ seine Divergenz, die in diesem Fall vektorwertig ist.

Im Gegensatz zu einer Volumenkraft wie der Gravitation beschreibt der Spannungstensor $\boldsymbol{\sigma}$ Flächenkräfte: Auf ein orientiertes Flächenelement $\mathbf{d} \boldsymbol{A}$ wirkt die Kraft \begin{equation} \mathbf{d} \boldsymbol{F} = \boldsymbol{\sigma}\, \mathbf{d} \boldsymbol{A}. \end{equation}

Die Massenstromdichte lässt sich an jedem Ort allgemein als \begin{equation} \boldsymbol{j}(t, \boldsymbol{r}) = \rho(t, \boldsymbol{r}) \boldsymbol{u}(t, \boldsymbol{r}) \end{equation} schreiben. Sie gibt an, wie viel Masse sich pro Zeiteinheit durch eine bestimmte Querschnittsfläche in eine bestimmte Richtung bewegt.

Die Massenerhaltung von Fluiden lässt sich durch die lokale Bilanzgleichung \begin{equation} \frac{\partial \rho}{\partial t} = - \mathrm{div\,} \boldsymbol{j} \quad \mathrm{bzw.} \quad \frac{\partial \rho}{\partial t} = - \mathrm{div\,} (\rho \boldsymbol{u}) \end{equation} ausdrücken, die an jedem Ort $\boldsymbol{r}$ und zu jeder Zeit $t$ gilt. Es handelt sich also um eine in $\rho$ und $\boldsymbol{u}$ lineare partielle Differenzialgleichung erster Ordnung. Sie ist identisch mit der Impulsdichte.

Die Impulsdichte von Fluiden lässt sich durch die lokale Bilanzgleichung \begin{equation} \frac{\partial \rho}{\partial t} = - \mathrm{div\,} \boldsymbol{j} \quad \mathrm{bzw.} \quad \frac{\partial \rho}{\partial t} = - \mathrm{div\,} (\rho \boldsymbol{u}) \end{equation} ausdrücken, die an jedem Ort $\boldsymbol{r}$ und zu jeder Zeit $t$ gilt. Es handelt sich also um eine in $\rho$ und $\boldsymbol{u}$ lineare partielle Differenzialgleichung erster Ordnung. Sie ist identisch mit der Massenstromdichte.

Die Impulsdichte $\rho \boldsymbol{u}$ genügt der Euler-Gleichung \begin{equation} \frac{\partial (\rho \boldsymbol{u})}{\partial t} = - \mathbf{div\,} (\rho \boldsymbol{u} \circ \boldsymbol{u}) - \mathbf{grad\,} P + \boldsymbol{f} \end{equation} an jedem Ort $\boldsymbol{r}$ und zu jeder Zeit $t$. Dies sind drei nichtlineare partielle Differenzialgleichungen.

Die Feldgleichungen idealer, inkompressibler Fluide lauten \begin{eqnarray} 0 &=& \mathrm{div\,} \boldsymbol{u}, \\ \rho \frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial t} &=& - \rho\, \mathbf{div\,} (\boldsymbol{u} \circ \boldsymbol{u}) - \mathbf{grad\,} P + \boldsymbol{f}, \end{eqnarray} wobei $\rho = \mathrm{const}$ die Zustandsgleichung ist.

Für ein beliebiges Strömungsfeld $\boldsymbol{u}(t, \boldsymbol{r})$ lautet der Beitrag der viskosen Reibung zum Spannungstensor \begin{equation} \boldsymbol{\sigma}_\eta = \eta \left(\mathbf{grad\,} \boldsymbol{u} + (\mathbf{grad\,} \boldsymbol{u})^\top\right) \end{equation} bzw. \begin{equation} \sigma_{\eta, ij} = \eta\left(\partial_i u_j + \partial_j u_i \right) \end{equation}

Für eine inkompressible Flüssigkeit ($\rho = \mathrm{const}$) lautet die Impulsgleichung \begin{equation} \rho \frac{\mathbf{d} \boldsymbol{u}}{\mathrm{d} t} = - \mathbf{grad\,} P + \eta \varDelta \boldsymbol{u} + \boldsymbol{f}. \end{equation} Sie wird auch inkompressible Navier-Stokes-Gleichung genannt.

In allen zueinander gleichförmig bewegten Bezugssystemen (Inertialsystemen) laufen physikalische Vorgänge bei gleichen Bedingungen gleich ab.

In allen Inertialsystemen ist die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum (unabhängig vom Bewegungszustand der Quellen) gleich groß.

In Matrixform geschrieben lautet die Lorentz-Transformation von einem Inertialsystem $\mathcal S$ auf ein Inertialsystem $\mathcal S'$, das sich gegenüber $\mathcal S$ mit Geschwindigkeit $v=\beta\, c$in positiver $x$-Richtung bewegt: \begin{equation} \left( \begin{array}{c} c t^\prime \\ x^\prime \\ y^\prime \\ z^\prime \end{array} \right) = \underbrace{\left( \begin{array}{cccc} \gamma & - \beta\gamma & 0 & 0 \\ - \beta\gamma & \gamma & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right)}_{\boldsymbol{\Lambda}(v)} \; \left( \begin{array}{c} c t \\ x \\ y \\ z\end{array} \right), \end{equation} mit den gebräuchlichen Abkürzungen $\beta:=\frac{v}{c},\qquad \gamma:=\frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}$.

Sind $A$ und $B$ Weltpunkte auf einer Weltlinie, die in einem Inertialsystem durch eine Bahnkurve $\boldsymbol{x}(t)$ mit Geschwindigkeit $\boldsymbol{v}(t)=\mathrm{d}\boldsymbol{x}(t)/\mathrm{d}t $ gegeben ist, dann ist die Eigenzeit gegeben durch \begin{eqnarray} \tau_{B}-\tau_{A}&=&\int_{\tau_{A}}^{\tau_{B}}\mathrm{d}\tau=\int_{t_A}^{t_B}\frac{\mathrm{d}t }{\gamma(v(t))} \\ &=&\int_{t_A}^{t_B}\mathrm{d}t \sqrt{1-\frac{\boldsymbol{v}^2(t)}{c^2}} \le t_B-t_A.\end{eqnarray}

Es ist $\mathfrak{a}=a^\mu\mathfrak{e}_\mu$ ein Vierervektor mit kontravarianten Komponenten $a^\mu$, wenn letztere bei einer gemäß \begin{equation} a'^\mu=\Lambda^\mu{}_\nu\,a^\nu\end{equation} transformieren.

Für einen physikalischen Viererortsvektor $\mathfrak{x}$ mit Koordinaten $x^\mu$, $\mu=0,\ldots 3$ ist die Poincare-Transformation \begin{equation}x'^\mu=\Lambda^\mu{}_\nu\,(x^\nu-b^\nu), \end{equation} wobei $b^\mu$ die Verschiebung des Zeitnullpunktes und die Verschiebung des räumlichen Koordinatenursprungs zusammenfasst.

Die Vierergeschwindigkeit ist durch \begin{equation} u^\mu = \frac{\mathrm{d}x ^\mu}{\mathrm{d}\tau} = \frac{\mathrm{d}x ^\mu}{\mathrm{d}t } \frac{\mathrm{d}t }{\mathrm{d}\tau}\end{equation}definiert. Sie hängt wegen $\mathrm{d}t /\mathrm{d}\tau=\gamma(v)$ mit der Dreiergeschwindigkeit $\boldsymbol{v}$ gemäß \begin{equation} u^\mu=\gamma(v)\begin{pmatrix} c\\ \boldsymbol{v} \end{pmatrix} \end{equation} zusammen.

Der Viererimpuls eines Punktteilchens mit Ruhemasse $m$ ist definiert durch \begin{equation} p^\mu:=m\, u^\mu. \end{equation} In einem gegebenen Inertialsystem, in dem das Punktteilchen die Dreiergeschwindigkeit $\boldsymbol{v}(t)$ hat, ist \begin{equation} p^\mu=\begin{pmatrix}p^0 \\ \boldsymbol{p}\end{pmatrix} =m\,\gamma(v)\begin{pmatrix}c \\ \boldsymbol{v}\end{pmatrix}.\end{equation} Der Dreierimpuls ist damit durch \begin{equation}\boldsymbol{p}=m\,\gamma(v)\,\boldsymbol{v} \end{equation} gegeben. Dies stimmt mit der nichtrelativistischen Definition eines Impulses überein, wenn man eine geschwindigkeitsabhängige Masse $m(v)=\gamma(v)\,m$ einführt (in der älteren Literatur auch relativistische Masse genannt). In Übereinstimmung mit den heutigen Gepflogenheiten wird mit $m$ jedoch immer die Ruhemasse $m=m(0)$ bezeichnen.

Eine Lorentz-kovariante Viererkraft ist durch die Ableitung des Viererimpulses nach der Lorentz-invarianten Eigenzeit gegeben: \begin{equation}F^\mu:=\frac{\mathrm{d} p^\mu}{\mathrm{d}\tau}.\end{equation}

Bezeichnet in einem gegebenen Inertialsystem $\boldsymbol{F}$ weiterhin die gewöhnliche Zeitableitung des (relativistischen) Impulses $\boldsymbol{p}$, dann gilt\begin{equation} F^\mu=\begin{pmatrix}F^0 \\ F^m\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}F^0 \\ \gamma\boldsymbol{F} \end{pmatrix}. \end{equation}

Die relativistische Energie eines (freien) Punktteilchens ist definiert durch \begin{equation} E = \gamma(v)\, m c^2.\end{equation} Auch einer ruhenden Masse wird somit eine Energie zugeordnet; man spricht daher von einer Äquivalenz von Masse und Energie.

Die Relation \begin{equation} (p^0)^2-\boldsymbol{p}^2\equiv \frac{E^2}{c^2}-\boldsymbol{p}^2=m^2 c^2\end{equation} behält ihre Gültigkeit auch für masselose Teilchen, wobei die Identifikationvon $\boldsymbol{p}=\gamma m\boldsymbol{v}$ fallen gelassen wird. Masselose Teilchen haben $|\boldsymbol{v}|=c$ und $|\boldsymbol{p}|=E/c$; sie werden durch einen lichtartigen Vierervektor ($p^\mu p_\mu=0$) charakterisiert.