Theoretische Physik 1 | Mechanik

\(% Mathematische Symbole and Abkürzungen \newcommand\2{\frac{1}{2}} \newcommand\4{\frac{1}{4}} \newcommand\6{\partial} \newcommand{\ft}[2]{{\textstyle\frac{#1}{#2}}} \newcommand{\vnabla}{{\boldsymbol \nabla}} \newcommand{\vnab}{\vnabla} \newcommand{\laplace}{\varDelta} \newcommand{\lap}{\laplace} \newcommand{\quabla}{\Box} \newcommand{\vLambda}{{\mtbox{\boldmath{$\Lambda$}}}} % fettes \Lambda \newcommand{\vOmega}{{\mtbox{\boldmath{$\Omega$}}}} % fettes \Omega \newcommand{\vPi}{{\mtbox{\boldmath{$\Pi$}}}} % fettes \Pi \newcommand{\vTheta}{{\mtbox{\boldmath{$\Theta$}}}} % fettes \Theta \newcommand{\tinda}{a} % Teilchen-Index 1 \newcommand{\tindb}{b} % Teilchen-Index 2 \newcommand{\abstvec}[1]{{\mathfrak{#1}}} % Fraktur für abstrakte Vektoren\)
bartelmann_a1_978-3-662-56114-0_cover.png

Theoretische Physik 1 | Mechanik

ISBN: 
978-3-662-56114-0

Das beliebte Buch Theoretische Physik wird jetzt erstmalig in korrigierter und ergänzter Form in Einzelbänden angeboten. Das ermöglicht den Studierenden, die handlichen Bände zum Lernen, Aufgabenlösen und zum schnellen Nachschlagen leichter mitnehmen und nutzen zu können. Gleichzeitig wird die gesamte theoretische Physik des Bachelorstudiums (und darüber hinaus) in den vier Bänden aufeinander abgestimmt präsentiert. Das vorliegende Buch ist der erste Teil der vierbändigen Reihe und deckt den Lehrstoff der Bachelorvorlesung zur Theoretischen Mechanik großer Universitäten in Deutschland, Österreich und der Schweiz möglichst umfassend ab.

Weiterlesen

Die besondere Stärke dieser Reihe liegt darin, den Leser mit einer Vielzahl von didaktischen Elementen beim Lernen zu unterstützen:

  • Alle Kapitel werden mit grundsätzlichen Fragen eingeleitet
  • Wichtige Aussagen, Formeln und Definitionen sind übersichtlich hervorgehoben
  • Beispiele regen zum Aktivwerden an
  • Selbstfragen helfen dem Leser, den behandelten Stoff zu reflektieren
  • So geht’s weiter“-Abschnitte, beispielsweise über den Lense-Thirring-Effekt oder Determinismus und Chaos ermöglichen einen Blick über den Tellerrand und geben Einblicke in aktuelle Forschung
  • Anhand ausführlich gelöster Aufgaben kann das Gelernte überprüft und gefestigt werden
  • Mathematische Boxen sind zum schnellen Nachschlagen herausgehoben
  • Alle Bände sind durchgehend vierfarbig und mit übersichtlichen Grafiken gestaltet.

Die Autoren haben ihre langjährige und vielfach hervorragend bewertete Lehrerfahrung in das Werk einfließen lassen. Darüber hinaus gelingt es ihnen, die Zusammenhänge in der Theoretischen Physik auch bandübergreifend klar werden zu lassen.

Datei: 
AnhangGröße
PDF icon leseprobe_978-3-662-56114-0.pdf3.21 MB
Datei: 
BegriffErklärung
Bahnkurve im Gravitationspotenzial
Die Bahnkurve im Gravitationspotenzial lautet allgemein \begin{equation} r( \varphi) = \frac{p}{1 + \varepsilon\, \mathrm{cos\:} ( \varphi - \varphi_\mathrm{p})}, \end{equation} wobei $p$ der Bahnparameter, $ \varepsilon$ die Exzentrizität und $ \varphi_\mathrm{p}$ eine weitere Integrationskonstante ist.
Bahnkurve im Zentralkraftfeld
Ist das effektive Potenzial $U(r)$ bekannt, so lautet die Bahnkurve allgemein in impliziter Form\begin{equation} \varphi - \varphi_0 = L \int_{r_0}^r \frac{ \mathrm{d} r'}{r'^2 \sqrt{2 \mu \left(E - U(r')\right)}}.\end{equation} Die erhaltene Energie $E$ und der konstante Drehimpuls $ \boldsymbol{L}$ sowie die Anfangsbedingungen $r_0$ und $\varphi_0$ bilden die sechs Integrationskonstanten und legen die Form und Orientierung der Bahnkurve fest.
Bewegung auf einer Koordinatenebene
Wird die Bewegung des gesamten Systems auf eine Koordinatenebene beschränkt, so lässt sich das System direkt im zweidimensionalen Raum formulieren. Dies reduziert die Anzahl der Zwangsbedingungen und Lagrange-Multiplikatoren. Dies gilt entsprechend auch, wenn die Bewegung entlang nur einer Koordinatenachse eingeschränkt wird.
Bewegungsgleichung des elastischen Mediums
Ein elastisches Medium erfüllt die Bewegungsgleichungen $$\rho \ddot q_i = \partial_j \sigma_{ij} + f_i,$$ bzw. in Vektornotation formuliert: $$\rho \boldsymbol{\ddot q} = \mathbf{div\,} \boldsymbol{\sigma} + \boldsymbol{f}$$ Hier ist $\boldsymbol{\sigma}$ der Spannungstensor und $\mathbf{div\,} \boldsymbol{\sigma} = (\partial_j \sigma_{ij})$ seine Divergenz, die in diesem Fall vektorwertig ist.
Bewegungsgleichung, kräftefreie des elastischen Bandes
Die Bewegungsgleichung des Bandes (d.h. der kontinuierlichen Kette) lautet in Abwesenheit von äußeren Kräften \begin{equation} \rho \frac{\partial^2 q(t, x)}{\partial t^2} - Y \frac{\partial^2 q(t, x)}{\partial x^2} = 0. \end{equation} Es handelt sich hierbei um eine lineare partielle Differenzialgleichung zweiter Ordnung für die Funktion $q(t, x)$, die auf dem Intervall $[0, \ell]$ definiert ist.
Weitere Begriffe
  • Kapitel 1: Newton’sche Axiome (13)
  • Kapitel 2: Koordinatentransformationen und beschleunigte Bezugssysteme (13)
  • Kapitel 3: Systeme von Punktmassen (17)
  • Kapitel 4: Starre Körper (18)
  • Kapitel 5: Lagrange-Formalismus und Variationsrechnung (23)
  • Kapitel 6: Schwingungen (2)
  • Kapitel 7: Hamilton-Formalismus (9)
  • Kapitel 8: Kontinuumsmechanik (19)
  • Kapitel 9: Spezielle Relativitätstheorie (7)
  • Kapitel 10: Relativistische Mechanik (5)
Zurück
Frage 1 von 126
Weiter
  • Was besagt das erste Newton'sches Axiom?

    Lösung

    Jeder Körper beharrt in seinem Zustand der Ruhe oder gleichförmigen geradlinigen Bewegung, wenn er nicht durch einwirkende Kräfte gezwungen wird, seinen Zustand zu ändern.
  • Was besagt das zweite Newton'sches Axiom?

    Lösung

    Die Änderung der Bewegung ist der Einwirkung der bewegenden Kraft proportional und geschieht nach der Richtung derjenigen geraden Linie, nach welcher jene Kraft wirkt.
  • Was besagt das dritte Newton'sches Axiom?

    Lösung

    Die Kraft ist stets der Gegenkraft gleich, d.h. die Kräfte zweier Körper aufeinander sind stets betragsgleich, aber von entgegengesetzter Richtung.
  • Was besagt das vierte Newton'sches Axiom?

    Lösung

    Wirken auf einen Punkt mehrere Kräfte, so addieren sich diese vektoriell zu einer resultierenden Kraft auf.
  • Was sind Inertialsysteme?

    Lösung

    Inertialsysteme sind Bezugssysteme, in denen sich ein kräftefreier Körper geradlinig-gleichförmig bewegt.
  • Was ist der Unterschied zwischen schwerer und träger Masse?

    Lösung

    In der klassischen Mechanik (und sogar darüber hinaus) sind schwere und träge Masse äquivalent.
  • Was benötigen Sie zur vollständigen Lösung der Bewegungsgleichung einer Punktmasse?

    Lösung

    Für die vollständige Lösung der Bewegungsgleichungen einer Punktmasse entlang einer Achse benötigt man zwei Integrationskonstanten. Dies können beispielsweise die Anfangsbedingungen für Ort und Geschwindigkeit sein.
  • Wann gilt der Energieerhaltungssatz in einer Dimension?

    Lösung

    Ist die Kraft $F(z)$ nur eine Funktion des Ortes, so kann in einer Dimension stets ein Potenzial $$V(z) = \int_{z_0}^z F(z') \mathrm{d} z'$$ definiert werden. Die Energie ist dann erhalten.
  • Wann ist der Drehimpuls erhalten?

    Lösung

    Der Drehimpuls einer Punktmasse ist genau dann erhalten, wenn keine Drehmomente auf diese Punktmasse wirken.
  • Was sind konservative Kräfte?

    Lösung

    Konservative geschwindigkeitsunabhängige Kräfte $ \boldsymbol{F}( \boldsymbol{x})$ lassen sich als Gradient eines skalaren Potenzials $V( \boldsymbol{x})$ darstellen. $$\boldsymbol{F}(\boldsymbol{x}) = -\boldsymbol{\nabla} V(\boldsymbol{x})$$
  • Wann ist die Energie eines mechanischen Systems erhalten?

    Lösung

    Die Energie eines mechanischen Systems ist erhalten, wenn alle Kräfte konservativ sind.
  • Wann ist ein Kurvenintegral vom Weg unabhängig?

    Lösung

    Ein Kurvenintegral über ein Vektorfeld $ \boldsymbol{F}(\boldsymbol{x})$ ist genau dann wegunabhängig, wenn es ein Skalarfeld $\Phi$ gibt, dessen Gradient $ \boldsymbol{F}$ ist, d.h. $$ \boldsymbol{F}( \boldsymbol{x}) = \boldsymbol{\nabla} \Phi(\boldsymbol{x})$$
  • Welcher Zusammenhang besteht zwischen der Wirbelfreiheit und dem Gradient eines Kraftfeldes?

    Lösung

    Felder $ \boldsymbol{F}( \boldsymbol{x})$, die auf einem einfach zusammenhängenden Gebiet $G$ definiert sind, haben genau dann ein Potenzial $V( \boldsymbol{x})$, wenn sie in $G$ wirbelfrei (rotationsfrei) sind, \begin{equation} \boldsymbol{\nabla} \times \boldsymbol{F} = 0 \; \Longleftrightarrow \; \boldsymbol{F} = - \boldsymbol{\nabla} V. \end{equation}
  • Was ist eine passive Koordinatentransformation?

    Lösung

    Passive Koordinatentransformationen entsprechen dem Wechsel von einem Koordinatensystem zu einem anderen. Sie haben keine Auswirkung auf physikalische Größen, ändern aber in der Regel ihre Darstellung.
  • Wie transformiert die Darstellung des Ortsvektors unter passiven Drehungen?

    Lösung

    Der Koordinatenvektor des Ortes transformiert unter passiven Drehungen vermittelt durch die Matrix $ \boldsymbol{R}$ wie \begin{equation} \boldsymbol{x}' = \boldsymbol{R} \boldsymbol{x}. \end{equation}
  • Wie transformiert die Darstellung des Ortsvektors unter passiven Rotationen und Translationen?

    Lösung

    Der Ortsvektor ist ein an den Ursprung gebundener Vektor. Nur Differenzen von Ortsvektoren, $\boldsymbol{d} = \boldsymbol{x} - \boldsymbol{b}$, transformieren sich wie \begin{equation} \boldsymbol{d}' = \boldsymbol{R} \boldsymbol{d}. \end{equation} Solche Größen nennt man im physikalischen Sinne Vektoren.
  • Was ist eine Galilei-Transformation?

    Lösung

    Eine eigentliche Galilei-Transformation zwischen zwei Inertialsystemen überführt die Darstellung des Ortsvektors $ \boldsymbol{x}$ und der Zeit $t$ in \begin{equation} \boldsymbol{x}' = \boldsymbol{R} ( \boldsymbol{x} - \boldsymbol{v}_0 t - \boldsymbol{b}_0), \quad t' = t - t_0. \end{equation} Die Drehmatrix $ \boldsymbol{R}$, Relativgeschwindigkeit $\boldsymbol{v}_0$, Verschiebung $\boldsymbol{b}_0$ und Verschiebung $t_0$ der Zeitnullpunkte sind konstant.
  • Was bedeutet die Kovarianz der Newton'schen Axiome unter Galilei-Transformationen?

    Lösung

    Das erste Newton'sche Axiom ändert seine Form unter Galilei-Transformationen nicht. Dies ist äquivalent zu einem Übergang von einem zu einem anderen Inertialsystem. Sind zwei Koordinatensysteme gegeneinander beschleunigt, treten Zusatzterme auf, und das erste Newton'sche Axiom ist nicht mehr kovariant. Das zweite Newton'sche Axiom ist unter Galilei-Transformationen kovariant. Die Newton'schen Bewegungsgleichungen ändern ihre Form beim Übergang zwischen Inertialsystemen nicht.
  • Wie hängt die relative Winkelgeschwindigkeit eines beschleunigten Systems von der zeitabhängigen Drehung bezüglich eines Inertialsystem ab?

    Lösung

    Ist die Drehmatrix $ \boldsymbol{R}$ zwischen einem Inertialsystem $\mathcal S$ und einem beschleunigten System $\mathcal B$ zeitabhängig, so wird die momentane Winkelgeschwindigkeit $\boldsymbol{\omega}$ von $\mathcal B$ aus dem Produkt $\boldsymbol{B} = \boldsymbol{R}^\top \dot{ \boldsymbol{R}}$ bestimmt: \begin{equation} b_{ij} = r_{ki} \dot r_{kj} = \epsilon_{ijk} \omega_k, \quad \omega_l = \frac{1}{2} \epsilon_{ijl} b_{ij}. \end{equation} In einer infinitesimalen Zeit $ \mathrm{d} t$ dreht sich $\mathcal B$ dabei um einen Winkel $ \boldsymbol{d} \boldsymbol{\phi} = \boldsymbol{\omega}\, \mathrm{d} t $ um die Achse $\boldsymbol{\omega}$.
  • Wie transformiert die Winkelgeschwindigkeit unter orthogonalen Transformationen?

    Lösung

    Die Winkelgeschwindigkeit $\boldsymbol{\omega}$ ist wie der Drehimpuls $ \boldsymbol{L}$ ein axialer Vektor und transformiert unter orthogonalen Transformationen $ \boldsymbol{R}$ wie \begin{equation} \boldsymbol{\omega}' = \det ( \boldsymbol{R}) \boldsymbol{R} \boldsymbol{\omega}. \end{equation}
  • Wie transformiert ein polarer Vektor und seine Zeitableitungen unter orthogonalen Transformationen?

    Lösung

    Transformiert man einen polaren Vektor $\boldsymbol{d}'$ mittels einer orthogonalen Transformation $ \boldsymbol{R}$ von einem rotierenden System zurück in ein Inertialsystem, so lauten die Transformationsgleichungen für $\boldsymbol{d}$ und seine ersten beiden Zeitableitungen \begin{eqnarray} \boldsymbol{d} &=& \boldsymbol{R}^\top \boldsymbol{d}',\\ \dot{\boldsymbol{d}} &=& \boldsymbol{R}^\top \left(\dot{\boldsymbol{d}}' + \boldsymbol{\omega}' \times \boldsymbol{d}'\right), \\ \ddot{\boldsymbol{d}} &=& \boldsymbol{R}^\top \left(\ddot{\boldsymbol{d}}' + \dot{\boldsymbol{\omega}}' \times \boldsymbol{d}' + \boldsymbol{\omega}' \times \dot{\boldsymbol{d}}' + \boldsymbol{\omega}' \times (\dot{\boldsymbol{d}}' + \boldsymbol{\omega}' \times \boldsymbol{d}')\right). \end{eqnarray}
  • Wie wirken sich Scheinkräfte in rotierenden Bezugssystemen auf die Bewegungsgleichung für einer Punktmasse aus?

    Lösung

    Auf eine Punktmasse am Ort $\boldsymbol{x}'$ in einem mit $\boldsymbol{\omega}'$ rotierenden Bezugssystem $\mathcal B$ wirken äußere Kräfte und Scheinkräfte $\boldsymbol{F}'_{\mathrm{ext}}$. Die Bewegungsgleichung für eine Punktmasse in $\mathcal B$ lautet \begin{eqnarray} m \ddot{\boldsymbol{x}}' &=& \boldsymbol{F}'_{\mathrm{ext}} - m \dot{\boldsymbol{\omega}}' \times (\boldsymbol{x}' - \boldsymbol{b}') - 2 m \boldsymbol{\omega}' \times \dot{\boldsymbol{x}}' \\ && - m \boldsymbol{\omega}' \times \left[\boldsymbol{\omega}' \times (\boldsymbol{x}' - \boldsymbol{b}')\right]. \end{eqnarray} Der Vektor $\boldsymbol{b}'$ zeigt vom Ursprung von $\mathcal B$ zum Drehzentrum.
  • Wie hängt der Gradient einer skalaren Funktion von den Axen des Koordinatensystems ab?

    Lösung

    Der Gradient $\boldsymbol{\nabla}$ einer skalaren Funktion $f$ hängt von der Wahl des Koordinatensystems ab: \begin{eqnarray} \boldsymbol{\nabla} f &=& \left(\boldsymbol{\hat e}_1 \frac{\partial}{\partial x_1} + \boldsymbol{\hat e}_2 \frac{\partial}{\partial x_2} + \boldsymbol{\hat e}_3 \frac{\partial}{\partial x_3}\right) f \\ &=& \left(\frac{\boldsymbol{\hat e}'_1}{h_1} \frac{\partial}{\partial q_1} + \frac{\boldsymbol{\hat e}'_2}{h_2} \frac{\partial}{\partial q_2} + \frac{\boldsymbol{\hat e}'_3}{h_3} \frac{\partial}{\partial q_3}\right) f,\end{eqnarray} wenn $h_i^2 = \sum_{j=1}^{3} \left(\frac{\partial x_j}{\partial q_i} \right)^2$ gilt.
  • Wie lautet die Divergenz in Kugelkoordinaten?

    Lösung

    Für einen Vektor $\mathfrak{A}$ mit der Darstellung $(A_r, A_\vartheta, A_\varphi)$ in Kugelkoordinaten gilt \begin{equation} \mathrm{div} \mathfrak{A} = \frac{1}{r^2} \frac{\partial (r^2 A_r)}{\partial r} + \frac{1}{r \sin \vartheta} \frac{\partial (\sin \vartheta A_\vartheta)}{\partial \vartheta} + \frac{1}{r \sin \vartheta} \frac{\partial A_\varphi}{\partial \varphi}. \end{equation}
  • Wie lautet die Rotation in Kugelkoordinaten?

    Lösung

    Für einen Vektor $\mathfrak{A}$ mit der Darstellung $(A_r, A_\vartheta, A_\varphi)$ in Kugelkoordinaten gilt \begin{eqnarray} \mathrm{rot} \mathfrak{A} &=& \frac{\boldsymbol{\hat e}_r}{r \sin \vartheta} \left[\frac{\partial (\sin \vartheta A_\varphi)}{\partial \vartheta} - \frac{\partial A_\vartheta}{\partial \varphi}\right] \\ && + \frac{\boldsymbol{\hat e}_\vartheta}{r} \left[\frac{1}{\sin \vartheta} \frac{\partial A_r}{\partial \varphi} - \frac{\partial (r A_ \varphi)}{\partial r}\right] \\ && + \frac{\boldsymbol{\hat e}_ \varphi}{r} \left[\frac{\partial (r A_\vartheta)}{\partial r} - \frac{\partial A_r}{\partial \vartheta}\right]. \end{eqnarray}
  • Wie lautet der Laplace-Operator in Kugelkoordinaten?

    Lösung

    Der Laplace-Operator $\varDelta$, angewandt auf eine skalare Funktion $f$, hat in Kugelkoordinaten $(r, \vartheta, \varphi)$ die Gestalt: \begin{equation} \varDelta f = \frac{1}{r^2} \frac{\partial}{\partial r} r^2 \frac{\partial f}{\partial r} + \frac{1}{r^2 \sin \vartheta} \frac{\partial}{\partial \vartheta} \sin \vartheta \frac{\partial f}{\partial \vartheta} + \frac{1}{r^2 \sin^2 \vartheta} \frac{\partial^2 f}{\partial \varphi^2}. \end{equation}
  • Wie lautet der Impulssatz eines Systems von Punktmassen?

    Lösung

    Der Impulssatz eines Systems von Punktmassen lautet \begin{equation} \dot{\boldsymbol{P}} = \sum_i \boldsymbol{F}^{(\mathrm{a})}_i = \boldsymbol{F}^{(\mathrm{a})} \end{equation} Die Bewegung des Schwerpunktes wird nur durch äußere, nicht jedoch durch innere Kräfte beeinflusst. Verschwindet die Summe aller äußeren Kräfte, so ist der Gesamtimpuls erhalten, d.h. der Schwerpunkt bewegt sich geradlinig-gleichförmig.
  • Wie lautet der Drehimpulssatz eines Systems von Punktmassen?

    Lösung

    Der Drehimpulssatz eines Systems von Punktmassen, zwischen denen nur Zentralkräfte wirken, lautet \begin{equation} \dot{ \boldsymbol{L}} = \sum_i \boldsymbol{M}^{(\mathrm{a})}_i = \boldsymbol{M}^{(\mathrm{a})}. \end{equation} Der Gesamtdrehimpuls dieses Systems wird lediglich von den äußeren Kräften bzw. äußeren Drehmomenten beeinflusst. Verschwindet das Gesamtdrehmoment der äußeren Kräfte, so ist der Gesamtdrehimpuls des Systems erhalten.
  • Wie lautet der Energieerhaltungssatz in einem System von Punktmassen?

    Lösung

    Sind alle Kräfte konservativ, ist die Gesamtenergie in einem System aus $N$ paarweise wechselwirkenden Punktmassen erhalten. Dissipative Kräfte können die Gesamtenergie ändern: \begin{equation} \frac{ \mathrm{d}}{ \mathrm{d} t}(T + V) = \sum_i \boldsymbol{F}^{\mathrm{diss}}_i \cdot \dot{\boldsymbol{x}}_i. \end{equation}
  • Wie trägt die Impulserhaltung zur Lösung der Bewegungsgleichungen bei?

    Lösung

    Aus der Gesamtimpulserhaltung des Zweikörperproblems folgt direkt die Separation der Schwerpunkts- und der Relativbewegung. Es müssen nur noch drei anstatt sechs Differenzialgleichungen zweiter Ordnung gelöst werden.
  • Was besagt das erste Kepler'sche Gesetz?

    Lösung

    Die Planeten bewegen sich auf Ellipsenbahnen, in deren einem Brennpunkt die Sonne steht.
  • Was besagt das zweite Kepler'sche Gesetz?

    Lösung

    Der Fahrstrahl $ \boldsymbol{r}$ überstreicht im Zentralkraftfeld in gleichen Zeiten gleiche Flächen. Die Flächengeschwindigkeit \begin{equation} \dot{ \boldsymbol{A}} = \frac{1}{2} \boldsymbol{r} \times \dot{ \boldsymbol{r}} \end{equation} ist konstant.
  • Was besagt das dritte Kepler'sche Gesetz?

    Lösung

    Die Quadrate der Umlaufzeiten der Planeten verhalten sich wie die Kuben ihrer großen Bahnhalbachsen: \begin{equation} T^2 = \frac{4 \pi^2 \mu}{\alpha} a^3. \end{equation} Der Term $4 \pi^2 \mu / \alpha$ ist dabei näherungsweise eine Konstante.
  • Was gilt für die Drehimpulserhaltung für ein System mit Zentralkräften?

    Lösung

    Der Drehimpuls ist im Zentralkraftfeld erhalten. Insbesondere findet die Bewegung in einer Ebene statt: \begin{equation} \boldsymbol{L} = \mu \varrho^2 \dot \varphi\, \boldsymbol{\hat e}_3 \quad \Longrightarrow \quad \lvert \boldsymbol{L} \rvert = L = \mu \varrho^2 \lvert \dot \varphi \rvert.\end{equation}
  • Mit welchen Größen lassen sich Bewegungsgleichungen vereinfachen?

    Lösung

    Das Ausnutzen von Erhaltungsgrößen vereinfacht in der Regel das Lösen der Bewegungsgleichungen. Der erste Schritt bei der Analyse eines physikalischen Problems sollte daher das Identifizieren von Symmetrien und Erhaltungsgrößen sein.
  • Wie lautet die implizite Bahnkurve im Zentralkraftfeld?

    Lösung

    Ist das effektive Potenzial $U(r)$ bekannt, so lautet die Bahnkurve allgemein in impliziter Form\begin{equation} \varphi - \varphi_0 = L \int_{r_0}^r \frac{ \mathrm{d} r'}{r'^2 \sqrt{2 \mu \left(E - U(r')\right)}}.\end{equation} Die erhaltene Energie $E$ und der konstante Drehimpuls $ \boldsymbol{L}$ sowie die Anfangsbedingungen $r_0$ und $\varphi_0$ bilden die sechs Integrationskonstanten und legen die Form und Orientierung der Bahnkurve fest.
  • Kann man qualitative physikalische Aussagen treffen ohne die Bewegungsgleichungen zu lösen?

    Lösung

    In vielen Fällen lassen sich qualitative physikalische Aussagen treffen, ohne die Bewegungsgleichungen direkt zu lösen, indem man sich die Struktur der Gleichungen und gegebenenfalls Grenzfälle zu betrachten.
  • Wie lautet die allgemeine Bahnkurve im Gravitationspotenzial?

    Lösung

    Die Bahnkurve im Gravitationspotenzial lautet allgemein \begin{equation} r( \varphi) = \frac{p}{1 + \varepsilon\, \mathrm{cos\:} ( \varphi - \varphi_\mathrm{p})}, \end{equation} wobei $p$ der Bahnparameter, $ \varepsilon$ die Exzentrizität und $ \varphi_\mathrm{p}$ eine weitere Integrationskonstante ist.
  • Wie ermitteln Sie den Energieübertrag bei elastischer Streuung im Laborsystem?

    Lösung

    Die relative Änderung der kinetischen Energie eines im Laborsystem gestreuten Teilchens der Masse $m_1$ ist \begin{equation} \frac{T_{\mathrm f, 1} - T_{\mathrm i, 1}}{T_{\mathrm i, 1}} = 2 \frac{m_1}{M} \left(1 - \frac{m_1}{M}\right) ( \mathrm{cos\:} \vartheta' - 1) \leq 0 \end{equation} mit $M = m_1 + m_2$. Für alle Streuwinkel $ \vartheta' > 0$ verliert das Teilchen kinetische Energie, die auf das zweite Teilchen übertragen wird. Der Streuwinkel $ \vartheta'$ im Schwerpunktsystem kann formal mithilfe von $\tan\vartheta_1 = \frac{\sin \vartheta'}{\cos \vartheta' + \frac{m_1}{m_2}}$ in den Streuwinkel $\vartheta_1$ von $m_1$ im Laborsystem überführt werden.
  • Welcher Zusammenhang besteht zwischen Stoßparameter und Streuwinkel bei der Rutherford'schen Streuung?

    Lösung

    Wird ein Teilchen im Gravitations- bzw. Coulomb-Potenzial gestreut, lautet die geschlossene Form für den Zusammenhang zwischen Stoßparameter $b$ und Streuwinkel $\vartheta$ im Schwerpunktsystem \begin{equation} b^2 = \left(\frac{1}{ \mathrm{sin\:}^2 ( \vartheta' / 2)} - 1\right) \frac{\alpha^2}{4 E^2}. \end{equation}
  • Welcher Zusammenhang besteht zwischen differenziellem Wirkungsquerschnitt und dem Stoßparameter?

    Lösung

    Der differenzielle Wirkungsquerschnitt $\frac{ \mathrm{d} \sigma}{ \mathrm{d} \Omega}$ hängt mit dem Stoßparameter $b$ und dem Streuwinkel $\vartheta$ im Schwerpunktsystem wie folgt zusammen: \begin{equation} \frac{ \mathrm{d} \sigma}{ \mathrm{d} \Omega} = \frac{b( \vartheta')}{\sin \vartheta'} \left\lvert \frac{ \mathrm{d} b( \vartheta')}{ \mathrm{d} \vartheta'}\right\rvert = \frac{1}{2\, \sin \vartheta'} \left\lvert \frac{ \mathrm{d} b^2( \vartheta')}{ \mathrm{d} \vartheta'}\right\rvert. \end{equation}
  • Wie ist der Rutherford'scher Wirkungsquerschnitt definiert?

    Lösung

    Für das Coulomb-Potenzial, $V(r) = - \alpha/r$, ergibt sich der differenzielle Wirkungsquerschnitt im Schwerpunktsystem zu \begin{equation} \frac{ \mathrm{d} \sigma}{ \mathrm{d} \Omega} = \left(\frac{\alpha}{4 E}\right)^2 \frac{1}{\sin^4 ( \vartheta' / 2)}. \end{equation}
  • Was besagt der Virialsatz?

    Lösung

    Ist die Bewegung eines Systems von Punktmassen endlich, dann gilt bei hinreichend langer Zeitmittelung der folgende Zusammenhang zwischen der mittleren kinetischen Energie und dem Virial: \begin{equation} \langle T \rangle_t = - \frac{1}{2} \Bigg< \sum_i \boldsymbol{F}_i \cdot \boldsymbol{x}_i \Bigg>_t. \end{equation}
  • Was besagt das Euler'sches Theorem für die Bewegung eines starren Körpers?

    Lösung

    Wird ein starrer Körper in einem Punkt festgehalten, so ist die allgemeine Bewegung eine Drehung um eine Achse, die durch diesen Punkt läuft.
  • Wie lautet der "Satz von Chasles"?

    Lösung

    Wählt man in \begin{equation} \dot{\boldsymbol{x}}_{a} (t) = \dot{\boldsymbol{x}}_0 (t) + \boldsymbol{\Omega}(t) \times \boldsymbol{d}_{a} (t) \end{equation} den Punkt $ \boldsymbol{x}_0(t)$ als den Schwerpunkt des starren Körpers, sieht man, dass die Bewegung des starren Körpers als Summe einer Translation, $\dot{ \boldsymbol{x}}_0(t)$, und einer Rotation um den Schwerpunkt, $ \boldsymbol{\Omega}(t) \times ( \boldsymbol{x}_{a}(t) - \boldsymbol{x}_0(t))$, geschrieben werden kann. Diese Aussage ist auch als "Satz von Chasles" (nach dem französischen Mathematiker Michel Chasles, 1793-1880) bekannt. Als Ursprung von $\mathcal S^∗$ verwendet man in der Regel den Schwerpunkt. Ist ein Punkt des starren Körpers fixiert, wird dieser normalerweise als Ursprung definiert.
  • Wie ist der Trägheitstensor eines starren Körpers definiert?

    Lösung

    Die Größe $ \boldsymbol{\Theta}'$ mit den neun Komponenten \begin{eqnarray} \Theta'_{ij} &:=& \sum_{a} m_{a} \left(\delta_{ij} \boldsymbol{x}'^2_{a} - x'_{{a}, i} x'_{{a}, j}\right) \\ &=& \sum_{a} m_{a} \begin{pmatrix} x_{{a},2}^2 + x_{{a},3}^2 & -x_{{a},1} x_{{a},2} & -x_{{a},1} x_{{a},3} \\ - x_{{a},1} x_{{a},2} & x_{{a},1}^2 + x_{{a},3}^2 & - x_{{a},2} x_{{a},3} \\ -x_{{a},1} x_{{a},3} & - x_{{a},2} x_{{a},3} & x_{{a},1}^2 + x_{{a},2}^2\end{pmatrix} \end{eqnarray} ist der Trägheitstensor eines starren Körpers in seinem Schwerpunktsystem. Mit seiner Hilfe lässt sich die kinetische Energie (Rotationsenergie) des starren Körpers berechnen, wenn die Winkelgeschwindigkeit $\boldsymbol{\omega}'$ im Schwerpunktsystem bekannt ist: \begin{equation} T'_\mathrm{R} = \frac{1}{2} \omega'_i \Theta'_{ij} \omega'_j = \frac{1}{2} \boldsymbol{\omega}'^\top \boldsymbol{\Theta}' \boldsymbol{\omega}'. \end{equation}
  • Wie können Tensoren dargestellt werden?

    Lösung

    Man kann wegen $T_{ij} = T(\boldsymbol{\hat e}_i \,,\, \boldsymbol{\hat e}_j)$ und $T_{ij} = \frac{T(\boldsymbol{a}\,,\, \boldsymbol{b})}{a_i b_j}$ Tensoren zweiter Stufe als Matrizen darstellen. Analog können Tensoren erster Stufe als Vektoren dargestellt werden.
  • Wann gilt die Forminvarianz für Tensor- und Vektorgleichungen?

    Lösung

    Tensor- und Vektorgleichungen sind forminvariant unter orthogonalen Transformationen. Forminvarianz bzw. Kovarianz spielt eine zentrale Rolle in der theoretischen Physik. So gilt beispielsweise die Form von \begin{equation} T'_\mathrm{R} = \frac{1}{2} \omega'_i \Theta'_{ij} \omega'_j = \frac{1}{2} \boldsymbol{\omega}'^\top \boldsymbol{\Theta}' \boldsymbol{\omega}'. \end{equation} in allen Inertialsystemen.
  • Wie lautet das Trägheitsmoment für die Drehung um eine Achse?

    Lösung

    Für die Drehung um eine feste Achse $ \boldsymbol{\hat n}$ reicht es, das Trägheitsmoment \begin{equation} \Theta_n = \sum_{a} m_{a} \left[ \boldsymbol{x}_{a}^2 - ( \boldsymbol{x}_{a} \cdot \boldsymbol{\hat n})^2\right] = \sum_{a} m_{a} l_{a}^2 \end{equation} zu kennen, wobei $l_{a}$ der Abstand von $m_{a}$ zur Drehachse ist. Ist die Drehachse bezüglich des starren Körpers eine Funktion der Zeit, kann das Trägheitsmoment ebenfalls zeitabhängig sein.
  • Was besagt der "Steiner'scher Satz"?

    Lösung

    Der Steiner'sche Satz (nach dem Schweizer Mathematiker Jakob Steiner, 1796-1863) besagt: "Das Trägheitsmoment eines starren Körpers mit der Masse $M$ um eine beliebige Drehachse im Abstand $l$ von seinem Schwerpunkt ist gleich dem Trägheitsmoment um die parallele Drehachse, die durch den Schwerpunkt verläuft, plus $M l^2$."
  • Wann kann der Trägheitstensor diagonalisiert werden und wie heißt diese Transformation?

    Lösung

    Da der Trägheitstensor als reellwertige, symmetrische Matrix zweiter Ordnung dargestellt werden kann, hat der Trägheitstensor stets drei reelle Eigenwerte, die Hauptträgheitsmomente. Es gibt ein Koordinatensystem, in dem der Trägheitstensor diagonal ist. Man nennt diejenige Transformation, die auf das Diagonalsystem führt Hauptachsentransformation.
  • Wie kann der Trägheitstensor diagonalisiert werden?

    Lösung

    1. Berechnen Sie den Trägheitstensor mit $T'_\mathrm{R} = \frac{1}{2} \omega'_i \Theta'_{ij} \omega'_j = \frac{1}{2} \boldsymbol{\omega}'^\top \boldsymbol{\Theta}' \boldsymbol{\omega}'.$ 2. Stellen Sie die Eigenwertgleichung $\det \left(\lambda \boldsymbol{I} - \boldsymbol{A} \right) = 0$ auf und lösen Sie diese. 3. Falls benötigt oder erwünscht, können die Hauptachsen bestimmt werden. Sind Eigenwerte entartet, müssen die entsprechenden Eigenvektoren so gewählt werden, dass alle drei paarweise orthogonal sind.
  • Wie lautet der Trägheitstensor einer kontinuierlichen Massenverteilung?

    Lösung

    Die Komponenten des Trägheitstensors für eine kontinuierliche Massenverteilung $\mu( \boldsymbol{x})$ lauten \begin{equation} \Theta_{ij} = \int \mathrm{d} V\, \mu( \boldsymbol{x}) \left( \boldsymbol{x}^2 \delta_{ij} - x_i x_j\right). \end{equation}
  • Was ist die Jacobi-Matrix?

    Lösung

    Die durch $ J_{ij} := \partial_{q_j} x_i $ definierte Matrix einer Koordinatentransformation $q_i(x_j)$ mit Umkehrung $x_i(q_j)$ heißt Jacobi-Matrix der Koordinatentransformation. Häufig schreibt man auch \begin{equation} \boldsymbol{J} = \frac{\partial(x_1, x_2, x_3)}{\partial (q_1, q_2, q_3)}. \end{equation}
  • Wie transformieren Volumenelemente unter Koordinatentransformationen?

    Lösung

    Beim Übergang von kartesischen Koordinaten $x_i$ zu allgemeinen Koordinaten $q_j$ erfüllt das Volumenelement $\mathrm{d} V = \mathrm{d} x_1\, \mathrm{d} x_2\, \mathrm{d} x_3 = (\det \boldsymbol{J})\, \mathrm{d} q_1\, \mathrm{d} q_2\, \mathrm{d} q_3, $ wobei $ \boldsymbol{J}$ die zugehörige Jacobi-Matrix ist. Die Größe $\det \boldsymbol{J}$ nennt man die Jacobi-Determinante oder Funktionaldeterminante, mit der häufigen Schreibweise \begin{equation} \det \boldsymbol{J} = \det \left(\frac{\partial x_i}{\partial q_j}\right). \end{equation}
  • Wie lauten die Jacobi-Determinanten für Zylinder- und Kugelkoordinaten?

    Lösung

    Die Jacobi-Determinanten für Zylinder- und Kugelkoordinaten braucht man selbstverständlich nur einmal auszurechnen. Die Ergebnisse $\det \boldsymbol{J} = \varrho $ für Zylinderkoordinaten und $ \det \boldsymbol{J} = r^2 \sin \vartheta $ für Kugelkoordinaten kann man dann für alle entsprechenden Rechnungen direkt verwenden.
  • Wie laute die Euler-Gleichungen?

    Lösung

    Die Bewegungsgleichungen für die Rotation eines starren Körpers im körperfesten System lauten \begin{equation} \boldsymbol{M}^∗ = \boldsymbol{\Theta}^∗ \dot{\boldsymbol{\omega}}^∗ + \boldsymbol{\omega}^∗ \times \left( \boldsymbol{\Theta}^∗ \boldsymbol{\omega}^∗\right). \end{equation} Sie entsprechen den Newton'schen Bewegungsgleichungen für die Translation einer Punktmasse.
  • Wann ist die Rotation eines kräftefreien Kreisels stabil?

    Lösung

    Die Rotation eines kräftefreien Kreisels ist stabil, wenn sie um die Hauptachse mit dem kleinsten oder größten Trägheitsmoment erfolgt. Im anderen Fall ist die Bewegung instabil.
  • Wie sind die Euler-Winkel des kräftefreien symmetrischen Kreisels definiert?

    Lösung

    Ein kräftefreier symmetrischer Kreisel erlaubt die Lösung \begin{equation} \vartheta(t) = \vartheta_0, \quad \psi(t) = \Omega t + \psi_0, \quad \varphi(t) = \Omega' t + \varphi_0 \end{equation} für die Euler-Winkel.
  • Mit welcher Frequenz findet die Präzession der Figurenachse (Symmetrieachse) in einem raumfesten System statt?

    Lösung

    Die Figurenachse (Symmetrieachse) des kräftefreien Kreisels präzediert im raumfesten System $\mathcal S$ mit der Frequenz \begin{equation} \Omega' = \frac{\Theta_3 \omega^∗_3}{\Theta \mathrm{cos\:} \vartheta} = \frac{L}{\Theta} \end{equation} um die Drehimpulsachse.
  • Was sind die Erhaltungsgrößen des schweren Kreisels?

    Lösung

    Für einen unterstützten symmetrischen Kreisel im homogenen Schwerefeld findet man drei Erhaltungsgrößen: die Projektion des Drehimpulses auf die Figurenachse und auf die Achse, entlang der das Schwerefeld wirkt, sowie die Gesamtenergie.
  • Was sind holonome Zwangsbedingungen?

    Lösung

    In vielen Fällen lassen sich Zwangsbedingungen in der Form \begin{equation} f_a(t, \boldsymbol{x}_1, \ldots, \boldsymbol{x}_N) = 0 \quad (1 \leq a \leq r) \end{equation} schreiben, wobei $r$ die Anzahl der Zwangsbedingungen ist. Man nennt Zwangsbedingungen dieser Form holonom.
  • Was sind nichtholonome, rheonome und skleronome Zwangsbedingungen?

    Lösung

    Alle Zwangsbedingungen, die sich nicht in der Form \begin{equation} f_a(t, \boldsymbol{x}_1, \ldots, \boldsymbol{x}_N) = 0 \quad (1 \leq a \leq r) \end{equation} schreiben lassen, heißen nichtholonom. Dazu gehören insbesondere (aber nicht ausschließlich) Zwangsbedingungen, die sich nur als Ungleichung formulieren lassen. Man unterscheidet außerdem zeitabhängige bzw. rheonome und zeitunabhängige bzw. skleronome Zwangsbedingungen. Diese Begriffe stammen aus dem Griechischen (rheos: fließend, skleros: starr).
  • Wann spricht man von verallgemeinerten Koordinaten?

    Lösung

    Anstelle der $3 N$ abhängigen Parameter $x_i$ der kartesischen Koordinaten kann man $F = 3 N - r$ unabhängige Parameter $q_j$ ($1 \leq j \leq F$) definieren, die nicht durch die Zwangsbedingungen eingeschränkt werden. Diese werden als neue, verallgemeinerte Koordinaten verwendet. Man spricht auch von generalisierten Koordinaten.
  • Wovon hängen Zwangskräfte ab und wie beeinflussen sie die Lösung der Bewegungsgleichungen?

    Lösung

    Zwangskraft hängt im allgemeinen Fall vom momentanen Bewegungszustand (z.B. der Geschwindigkeit) ab. Da dieser bei der Formulierung des Problems in der Regel unbekannt ist, lassen sich die Newton'schen Bewegungsgleichungen in Anwesenheit von Zwangsbedingungen nicht direkt in herkömmlicher Weise lösen.
  • Wie lauten die Lagrange-Gleichungen erster Art für eine Punktmasse unter dem Einfluss einer Zwangsbedingung?

    Lösung

    Gibt es eine holonome Zwangsbedingung \begin{equation} f(t, \boldsymbol{x}) = 0, \end{equation} so führt dies auf eine Zwangskraft \begin{equation} \boldsymbol{Z} = \lambda \boldsymbol{\nabla} f \end{equation} mit einem Lagrange-Multiplikator $\lambda$. Die Lagrange-Gleichungen erster Art lauten dann \begin{equation} m \ddot{\boldsymbol{x}} = \boldsymbol{F} + \lambda \boldsymbol{\nabla} f \end{equation} mit der angewandten Kraft $\boldsymbol{F}$ aus den Newton'schen Bewegungsgleichungen.
  • Wie lauten die Lagrange-Gleichungen erster Art für Systeme von Punktmassen?

    Lösung

    Für ein System von $N$ Punktmassen unter dem Einfluss von $r$ unabhängigen holonomen Zwangsbedingungen $f_a(t, \boldsymbol{x}_1, \ldots, \boldsymbol{x}_N)$ lauten die Lagrange-Gleichungen erster Art \begin{equation} m_i \ddot{\boldsymbol{x}}_i = \boldsymbol{F}_i + \sum_{a=1}^r \lambda_a \boldsymbol{\nabla}_i f_a \quad (1 \leq i \leq N) \end{equation} bzw. \begin{equation} m_i \ddot x_i = F_i + \sum_{a=1}^r \lambda_a \frac{\partial f_a}{\partial x_i} \quad (1 \leq i \leq 3 N) \end{equation} in der komponentenweisen Darstellung.
  • Wie lautet der Energiesatz unter Berücksichtigung von Zwangsbedingungen?

    Lösung

    Sind die angewandten Kräfte $\boldsymbol{F}_i$ konservativ, lautet der Energiesatz in Anwesenheit von holonomen Zwangsbedingungen \begin{equation} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} (T + V) = - \sum_{a=1}^r \lambda_a \frac{\partial f_a}{\partial t}. \end{equation} Die Energie ist erhalten, wenn die Zwangsbedingungen skleronom sind, d.h. ihre partiellen Zeitableitungen verschwinden.
  • Wie lässt sich die Anzal an Zwangsbedingung und Lagrange-Multiplikatoren geschickt reduzieren?

    Lösung

    Wird die Bewegung des gesamten Systems auf eine Koordinatenebene beschränkt, so lässt sich das System direkt im zweidimensionalen Raum formulieren. Dies reduziert die Anzahl der Zwangsbedingungen und Lagrange-Multiplikatoren. Dies gilt entsprechend auch, wenn die Bewegung entlang nur einer Koordinatenachse eingeschränkt wird.
  • Wie lauten die Lagrange-Gleichungen zweiter Art für holonome Zwangsbedingungen?

    Lösung

    Für holonome Zwangsbedingungen lauten die Bewegungsgleichungen der generalisierten Koordinaten \begin{equation} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \frac{\partial T}{\partial \dot q_j} - \frac{\partial T}{\partial q_j} = Q_j, \quad (1 \leq j \leq F). \end{equation}
  • Wie lauten die Lagrange-Gleichungen zweiter Art für konservative Systeme?

    Lösung

    Für konservative Systeme mit holonomen Zwangsbedingungen lauten die Bewegungsgleichungen der generalisierten Koordinaten \begin{equation} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \frac{\partial L}{\partial \dot q_j} - \frac{\partial L}{\partial q_j} = 0 \quad (1 \leq j \leq F). \end{equation} Hier ist \begin{equation} L(t, q, \dot q) := T(t, q, \dot q) - V(t, q) \end{equation} die Lagrange-Funktion des Systems.
  • Wann heißt eine Koordinate zyklisch?

    Lösung

    Ist eine generalisierte Koordinate $q_j$ zyklisch, so ist ihr konjugierter Impuls $p_j$ eine Erhaltungsgröße. Jede zyklische Koordinate führt daher auf einen Erhaltungssatz, was einer ersten Integration der Bewegungsgleichung entspricht.
  • Was ist der Kanonisch konjugierte Impuls und wie hängt er mit Erhaltungsgrößen zusammen?

    Lösung

    Man bezeichnet \begin{equation} p_j := \frac{\partial L}{\partial \dot q_j} \end{equation} als den generalisierten Impuls zur Koordinate $q_j$ oder auch den kanonisch konjugierten Impuls. Dieser erlaubt oft eine rasche Identifizierung von Erhaltungsgrößen des betrachteten Systems: Eine Koordinate $q_j$ heißt zyklisch, wenn die Lagrange-Funktion nicht von ihr abhängt. In diesem Fall lautet die entsprechende Bewegungsgleichung einfach \begin{equation} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{t}} \frac{\partial L}{\partial \dot q_j} = \dot p_j = 0. \end{equation} Dies bedeutet, dass der kanonische Impuls $p_j$ eine Erhaltungsgröße ist.
  • Wie hängen Hamilton-Funktion und Gesamtenergie des Systems zusammen?

    Lösung

    Die Hamilton-Funktion \begin{equation} H = \sum_i \dot q_i \frac{\partial L}{\partial \dot q_i} - L \end{equation} ist gleich der erhaltenen Gesamtenergie des Systems, wenn die folgenden Bedingungen erfüllt sind: 1.) Das System ist konservativ; alle Kräfte lassen sich aus $V$ ableiten. 2.) Das Potenzial $V$ ist geschwindigkeitsunabhängig. 3.) Alle Zwangsbedingungen sind skleronom.
  • Wie lautet die Euler-Gleichung der Variationsrechnung?

    Lösung

    Das Integral \begin{equation} F[y] = \int_{x_0}^{x_1} f(x, y, y')\, \mathrm{d} x \end{equation} wird bei festgehaltenen Randpunkten $y(x_0)$ und $y(x_1)$ extremal, wenn die Funktion $y(x)$ die Euler-Gleichung \begin{equation} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \frac{\partial f}{\partial y'} - \frac{\partial f}{\partial y} = 0\end{equation} erfüllt. Diese Gleichung ist also die notwendige Bedingung an $y(x)$. Eine Funktion $y(x)$, heißt Extremale.
  • Wie lautet die Erweiterung der Euler-Gleichungen für mehrere abhängige Variablen?

    Lösung

    Gibt es $N$ abhängige Variablen $y_i(x)$, so lautet die Erweiterung der Euler-Gleichung: \begin{equation} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \frac{\partial f}{\partial y'_i} - \frac{\partial f}{\partial y_i} = 0 \quad (1 \leq i \leq N). \end{equation} Es sind also $N$ partielle Differenzialgleichungen zweiter Ordnung unter Berücksichtigung der $2N$ Randbedingungen $y_i(x_0) = y_{i,0}$ und $y_i(x_1) = y_{i,1}$ zu lösen.
  • Was besagt das Hamilton'sches Prinzip der stationären Wirkung?

    Lösung

    Entlang der tatsächlichen Bahn $q(t)$ zwischen den Zeiten $t_0$ und $t_1$ wird die Wirkung $S[q] := \int_{t_0}^{t_1} L(t, q, \dot q)\, \mathrm{d} t$ extremal. Es gilt also \begin{equation} 0 = \delta S = \int_{t_0}^{t_1} \delta L(t, q, \dot q)\, \mathrm{d} t \end{equation} für eine infinitesimale Variation der Wirkung. Diese Aussage wird auch als das Wirkungsprinzip oder Prinzip der stationären Wirkung bezeichnet. Das Hamilton'sche Prinzip und die Euler-Lagrange-Gleichungen sind äquivalent.
  • Wie lauten die Euler-Gleichungen für isoperimetrische Nebenbedingungen?

    Lösung

    Die $N$ Funktionen $y_i(x)$ lassen sich aus \begin{equation} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \frac{\partial f^∗}{\partial y'_i} - \frac{\partial f^∗}{\partial y_i} = 0 \quad (1 \leq i \leq N) \end{equation} bestimmen, wobei $f^∗ := f - \sum_{j=1}^r \lambda_j f_j$ ist.
  • Wie lauten die Euler-Gleichungen für holonome Nebenbedingungen?

    Lösung

    Die $N$ Funktionen $y_i(x)$ lassen sich aus \begin{equation} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \frac{\partial f}{\partial y'_i} - \frac{\partial f}{\partial y_i} = - \sum_{j=1}^r \lambda_j(x) \frac{\partial f_j}{\partial y_i} \quad (1 \leq i \leq N) \end{equation} bestimmen.
  • Was bedeutet Freiheit in der Wahl der Lagrange-Funktion?

    Lösung

    Die Bewegungsgleichungen bleiben invariant, wenn zu der Lagrange-Funktion die totale Zeitableitung einer Funktion $f(t, q)$ addiert wird.
  • Wie lauten die Invarianzbedingung für Bewegungsgleichungen?

    Lösung

    Die Bewegungsgleichungen sind dann unter einer infinitesimalen Transformation invariant, wenn \begin{equation} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\epsilon} \left.\left[L\left(t', q', \frac{\mathrm{d}q'}{\mathrm{d}t'}\right) \dot t'\right] \right\rvert_{\epsilon = 0} = \frac{\mathrm{d} f}{\mathrm{d}t} \end{equation} für eine beliebige Funktion $f$ gilt.
  • Was besagt das Noether-Theorem?

    Lösung

    Sind die Bewegungsgleichungen unter der infinitesimalen Koordinatentransformation $q_i \to q'_i = q_i + \epsilon \tilde q_i(t, q, \dot q), \quad t \to t' = t + \epsilon \tilde t(t, q, \dot q)$ invariant, d.h. gilt $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\epsilon} \left.\left[L\left(t', q', \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}q'}{t'}\right) \dot t'\right] \right\rvert_{\epsilon = 0} = \frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}t}$, so ist die Größe \begin{equation} I(t, q, \dot q) = \sum_i \frac{\partial L}{\partial \dot q_i} \tilde q_i + \left(L - \sum_i \frac{\partial L}{\partial \dot q_i} \dot q_i\right) \tilde t - f \end{equation} eine Erhaltungsgröße. Dies bedeutet: Zu jeder infinitesimalen Transformation, welche die Wirkung höchstens um eine Konstante ändert, gibt es eine Erhaltungsgröße.
  • Wie hängen Zeittranslations, Wirkung Gesamtenergie des Systems zusammen?

    Lösung

    Ist die Wirkung invariant unter einer konstanten Verschiebung des Zeitnullpunktes, so ist die Gesamtenergie des Systems erhalten.
  • Was bedeuten Isotropie und Homogenität des Raumes, Homogenität der Zeit und das Relativitätsprinzip und wie hängen sie zusammen?

    Lösung

    Für abgeschlossene physikalische Systeme mit einer Lagrange-Funktion der Form \begin{equation} L(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{\dot{x}}) = \frac{1}{2} \sum_i m_i \boldsymbol{\dot{x}}_i^2 - \frac{1}{2} \sum_{j \not= i} V_{ij}(\lvert \boldsymbol{x}_i - \boldsymbol{x}_j \rvert).\end{equation} gelten die folgenden vier wichtigen Prinzipien, die man umgekehrt benutzen kann, um die erhaltenen Größen zu definieren: 1.) Homogenität der Zeit: Die Bewegungsgleichungen sind invariant unter einer willkürlichen Verschiebung des Zeitnullpunktes. Man definiert allgemein die Energie als diejenige erhaltene Größe, die sich aus der Homogenität der Zeit ergibt. 2.) Homogenität des Raumes: Eine willkürliche Verschiebung aller Punktmassen hat keinen Einfluss auf die Bewegungsgleichungen. Man definiert allgemein den Gesamtimpuls als diejenige erhaltene Größe, die sich aus der Homogenität des Raumes ergibt. 3.) Isotropie des Raumes: Auch unter willkürlichen Drehungen des Systems bleiben die Bewegungsgleichungen invariant. Es ist keine Richtung ausgezeichnet. Allgemein wird der Gesamtdrehimpuls als diejenige Erhaltungsgröße definiert, die sich aus der Isotropie des Raumes ergibt. 4.) Relativitätsprinzip: Die Bewegungsgleichungen sind invariant unter Transformationen, bei denen der Schwerpunkt mit einer konstanten Geschwindigkeit $\boldsymbol{\dot b}$ bewegt wird.
  • Wann befinde sich eine Punktmasse im mechanischen Gleichgewicht?

    Lösung

    Eine Punktmasse befindet sich im Gleichgewicht am stationären Ort $q_0$, wenn die Summe aller auf sie wirkenden generalisierten Kräfte verschwindet: \begin{equation} Q = - \left.\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}V}{q}\right\rvert_{q=q_0} = 0. \end{equation}
  • Wie lautet die allgemeine Lösung des schwach gedämpften Oszillators?

    Lösung

    Die Auslenkung des schwach gedämpften Oszillators ($\lambda < \omega_0$) ist \begin{eqnarray} x(t) &=& \mathrm{e}^{-\lambda t} \left[a_1 \mathrm{sin\:}(\tilde \omega t) + a_2 \mathrm{cos\:}(\tilde \omega t)\right] \\ &=& \tilde A \mathrm{e}^{-\lambda t} \mathrm{cos\:} \left(\tilde \omega t - \tilde \delta\right) \end{eqnarray} mit $\tilde \omega = \sqrt{\omega_0^2 - \lambda^2}$.
  • Wozu dient der Phasenraum?

    Lösung

    Den von den $2f$ Parametern $(q,p) = \left( q_1,\dots, q_f, p_1,\dots,p_f\right)$, aufgebaut aus den generalisierten Koordinaten $q$ und Impulsen $p$, aufgespannten Raum nennt man Phasenraum. Jeder Bewegungszustand des Systems entspricht genau einem Punkt im Phasenraum $\mathbb{R}^{2f}$. Entsprechend lässt sich jeder Kurve im Phasenraum (auch Trajektorie genannt) eine Bahn im Konfigurationsraum $\mathbb{R}^f$ zuordnen.
  • Wie nennt man eine Kurve im Phasenraum?

    Lösung

    Eine Trajektorie bezeichnet eine Kurve im Phasenraum, der eine Bahn im Konfigurationsraum $\mathbb{R}^f$ zuzuordnen ist.
  • Wie lauten die Hamilton'schen kanonischen Gleichungen?

    Lösung

    Sie lauten: \begin{equation} \frac{\partial H}{\partial p_i} = \dot q_i, \quad \frac{\partial H}{\partial q_i} = - \dot p_i \quad (1 \leq i \leq f) \end{equation}
  • Wie sind Poisson-Klammern definiert?

    Lösung

    Sind zwei Observablen $F$ und $G$ gegeben, so lautet die Poisson-Klammer \begin{equation} \left\lbrace F, G\right\rbrace := \sum_i \left(\frac{\partial F}{\partial q_i} \frac{\partial G}{\partial p_i} - \frac{\partial F}{\partial p_i} \frac{\partial G}{\partial q_i}\right). \end{equation}
  • Wie hängen Poisson-Klammern und Erhaltungsgrößen zusammen?

    Lösung

    Verschwindet die Poisson-Klammer einer Observablen $F$ mit der Hamilton-Funktion $H$ und ist $F$ nicht explizit zeitabhängig, d.h. $\partial F / \partial t = 0$, so ist $F$ ein Integral der Bewegung, also eine Erhaltungsgröße. Diese Schlussfolgerung gilt auch in die andere Richtung.
  • Wie hängt das Wirkungsprinzips mit den kanonischen Gleichungen zusammen?

    Lösung

    Das Prinzip $\delta S = 0$ ist äquivalent zu den kanonischen Gleichungen \begin{equation} \frac{\partial H}{\partial p_i} = \dot q_i, \quad \frac{\partial H}{\partial q_i} = - \dot p_i \quad (1 \leq i \leq f), \end{equation} welche die Bewegung im Phasenraum beschreiben.
  • Was sind kanonische Transformationen?

    Lösung

    Unter kanonischen Transformationen versteht man Transformationen $Q$ und $P$, welche die Form der kanonischen Gleichungen invariant lassen und somit \begin{equation} \dot Q_j = \frac{\partial H'}{\partial P_j} \,,\quad \dot P_j = - \frac{\partial H'}{\partial Q_j} \end{equation} erfüllen, wobei $H'(t, Q, P)$ eine geeignete Funktion ist.
  • Wie ist die Bestimmungsgleichung für eine Erzeugende $S(t, q, P)$?

    Lösung

    Eine Erzeugende $S(t, q, P)$, welche die Hamilton-Jacobi-Gleichung\begin{equation} H\left(t, q, \frac{\partial S}{\partial q}\right) + \frac{\partial S}{\partial t} = 0 \end{equation} erfüllt, führt auf $H' = 0$. Diese Gleichung ist die Bestimmungsgleichung für $S(t, q, P)$.
  • Wie lautet die zeitunabhängige Hamilton-Jacobi-Gleichung?

    Lösung

    Die zeitunabhängige Hamilton-Jacobi-Gleichung lautet \begin{equation} H(q, \partial W / \partial q) = a_0. \end{equation}
  • Was ist ein elastischer Körper?

    Lösung

    Einen Körper, dessen Punktmassen durch konservative Kräfte wechselwirken, nennt man elastisch. Die Gesamtenergie ergibt sich aus der kinetischen und der Wechselwirkungsenergie. Wird ein elastischer Körper verformt, so wird die zur Verformung benötigte Arbeit als elastische (potenzielle) Energie gespeichert und kann wieder vollständig in kinetische Energie umgewandelt werden (wobei der Körper in seine Ursprungsgestalt zurückkehrt). Reibungskräfte treten in einem idealen elastischen Körper nicht auf.
  • Was ist ein "Feld" in der Physik?

    Lösung

    In der Physik versteht man unter einem Feld eine Größe, die eine Funktion des Ortes ist (z.B. eine Funktion von $\boldsymbol{r}$ in drei Dimensionen). Zusätzlich kann ein Feld zeitabhängig sein. Felder können skalar-, vektor- oder tensorwertig sein. So ist beispielsweise die Temperaturkarte der Wettervorhersage ein Skalarfeld, da die Temperatur eine skalare Größe ist: $T(\boldsymbol{r})$. Ein Geschwindigkeitsfeld $\boldsymbol{u}(\boldsymbol{r})$ hingegen ist eine vektorwertige Größe und wird beispielsweise verwendet, um die Strömung einer Flüssigkeit am Ort $\boldsymbol{r}$ zu beschreiben.
  • Wie lautet die kräftefreie Bewegungsgleichung des elastischen Bandes?

    Lösung

    Die Bewegungsgleichung des Bandes (d.h. der kontinuierlichen Kette) lautet in Abwesenheit von äußeren Kräften \begin{equation} \rho \frac{\partial^2 q(t, x)}{\partial t^2} - Y \frac{\partial^2 q(t, x)}{\partial x^2} = 0. \end{equation} Es handelt sich hierbei um eine lineare partielle Differenzialgleichung zweiter Ordnung für die Funktion $q(t, x)$, die auf dem Intervall $[0, \ell]$ definiert ist.
  • Wie lautet die D'Alembert'sche Schwingungsgleichung?

    Lösung

    Mit den Parametern $\xi = x + v t$ und $\eta = x - v t$ nimmt die Schwingungsgleichung die einfache Form \begin{equation} \frac{\partial^2 q}{\partial \xi \partial \eta} = 0 \end{equation} an.
  • Wie lautet die kräftefreie kontinuierliche Bewegungsgleichung einer schwingenden Saite?

    Lösung

    Die Bewegungsgleichungen der kontinuierlichen, kräftefrei schwingenden Saite lauten \begin{eqnarray} \rho \frac{\partial^2 q_\|(t, x)}{\partial t^2} - Y \frac{\partial^2 q_\|(t, x)}{\partial x^2} &=& 0, \\ \rho \frac{\partial^2 \boldsymbol{q}_\perp(t, x)}{\partial t^2} - F \frac{\partial^2 \boldsymbol{q}_\perp(t, x)}{\partial x^2} &=& 0. \end{eqnarray} Sie ist auf dem Intervall $(0, \ell')$ definiert.
  • Wie lautet die allgemeine Lösung der Bewegungsgleichung einer schwingenden Saite?

    Lösung

    Die allgemeine Lösung der Bewegungsgleichung für die schwingende Saite ist \begin{equation} q(t, x) = \sum_{n=1}^\infty c_n \mathrm{cos\:} (\omega_n t - \phi_n) \mathrm{sin\:}(k_n x) \end{equation} mit reellen Koeffizienten $c_n$ und diskreten Frequenzen $\omega_n = \sqrt{\frac{F}{\rho}}k_n$.
  • Wozu dient eine Fourier-Reihe und wie ist sie definiert?

    Lösung

    Funktionen der Periode $T = 2 \pi / \omega$ lassen sich durch eine Fourier-Reihe darstellen: \begin{eqnarray} f(t) &=& \sum_{j=0}^{\infty} [a_j g_j(t) + b_j h_j(t)] \\ &=& \frac{a_0}{\sqrt{2}} + \sum_{j=1}^{\infty} \left[a_j \mathrm{cos\:}(j \omega t) + b_j \mathrm{sin\:}(j \omega t)\right]. \end{eqnarray}
  • Wie können die Fourier-Koeffizienten berechnet werden?

    Lösung

    Die Fourier-Koeffizienten einer periodischen Funktion $f(t)$ können über \begin{eqnarray} a_j &=& \frac{2}{T} \int_c^{c+T} f(t) g_j(t)\, \mathrm{d} t, \\ b_j &=& \frac{2}{T} \int_c^{c+T} f(t) h_j(t)\, \mathrm{d} t \end{eqnarray} berechnet werden.
  • Wie lautet die Lagrange-Gleichung für das eindimensionale Feld?

    Lösung

    Die Lagrange-Gleichung für das eindimensionale Feld $q(t, x)$ lautet \begin{equation} \frac{\partial \mathcal L}{\partial q} - \frac{\partial}{\partial t} \frac{\partial \mathcal L}{\partial \dot q} - \frac{\partial}{\partial x} \frac{\partial \mathcal L}{\partial q'} = 0, \end{equation} wobei die Lagrange-Dichte $\mathcal L$ neben $q(t, x)$ noch von den beiden Ableitungen $\dot q(t, x)$ und $q'(t, x)$ abhängen darf.
  • Wie lautet die Lagrange-Gleichung für das dreidimensionale Feld?

    Lösung

    Die Lagrange-Gleichungen für das dreidimensionale Feld $\boldsymbol{q}(t, \boldsymbol{r})$ lauten \begin{equation} \frac{\partial \mathcal L}{\partial q_i} - \frac{\partial}{\partial t} \frac{\partial \mathcal L}{\partial \dot q_i} - \frac{\partial}{\partial r_j} \frac{\partial \mathcal L}{\partial (\partial_j q_i)} = 0 \quad (i = x, y, z). \end{equation}
  • Welche Bewegungsgleichung erfüllt ein elastisches Medium?

    Lösung

    Ein elastisches Medium erfüllt die Bewegungsgleichungen $$\rho \ddot q_i = \partial_j \sigma_{ij} + f_i,$$ bzw. in Vektornotation formuliert: $$\rho \boldsymbol{\ddot q} = \mathbf{div\,} \boldsymbol{\sigma} + \boldsymbol{f}$$ Hier ist $\boldsymbol{\sigma}$ der Spannungstensor und $\mathbf{div\,} \boldsymbol{\sigma} = (\partial_j \sigma_{ij})$ seine Divergenz, die in diesem Fall vektorwertig ist.
  • Was beschreibt der Spannungstensor und wie?

    Lösung

    Im Gegensatz zu einer Volumenkraft wie der Gravitation beschreibt der Spannungstensor $\boldsymbol{\sigma}$ Flächenkräfte: Auf ein orientiertes Flächenelement $\mathbf{d} \boldsymbol{A}$ wirkt die Kraft \begin{equation} \mathbf{d} \boldsymbol{F} = \boldsymbol{\sigma}\, \mathbf{d} \boldsymbol{A}. \end{equation}
  • Was ist die Massenstromdichte und wie ist sie definiert?

    Lösung

    Die Massenstromdichte lässt sich an jedem Ort allgemein als \begin{equation} \boldsymbol{j}(t, \boldsymbol{r}) = \rho(t, \boldsymbol{r}) \boldsymbol{u}(t, \boldsymbol{r}) \end{equation} schreiben. Sie gibt an, wie viel Masse sich pro Zeiteinheit durch eine bestimmte Querschnittsfläche in eine bestimmte Richtung bewegt.
  • Wie ist die Kontinuitätsgleichung definiert und wie hängt sie mit der Impulsdichte zusammen?

    Lösung

    Die Massenerhaltung von Fluiden lässt sich durch die lokale Bilanzgleichung \begin{equation} \frac{\partial \rho}{\partial t} = - \mathrm{div\,} \boldsymbol{j} \quad \mathrm{bzw.} \quad \frac{\partial \rho}{\partial t} = - \mathrm{div\,} (\rho \boldsymbol{u}) \end{equation} ausdrücken, die an jedem Ort $\boldsymbol{r}$ und zu jeder Zeit $t$ gilt. Es handelt sich also um eine in $\rho$ und $\boldsymbol{u}$ lineare partielle Differenzialgleichung erster Ordnung. Sie ist identisch mit der Impulsdichte.
  • Wie ist die Impulsdichte definiert?

    Lösung

    Die Impulsdichte von Fluiden lässt sich durch die lokale Bilanzgleichung \begin{equation} \frac{\partial \rho}{\partial t} = - \mathrm{div\,} \boldsymbol{j} \quad \mathrm{bzw.} \quad \frac{\partial \rho}{\partial t} = - \mathrm{div\,} (\rho \boldsymbol{u}) \end{equation} ausdrücken, die an jedem Ort $\boldsymbol{r}$ und zu jeder Zeit $t$ gilt. Es handelt sich also um eine in $\rho$ und $\boldsymbol{u}$ lineare partielle Differenzialgleichung erster Ordnung. Sie ist identisch mit der Massenstromdichte.
  • Wie lautet die Euler-Gleichung für ideale Fluide?

    Lösung

    Die Impulsdichte $\rho \boldsymbol{u}$ genügt der Euler-Gleichung \begin{equation} \frac{\partial (\rho \boldsymbol{u})}{\partial t} = - \mathbf{div\,} (\rho \boldsymbol{u} \circ \boldsymbol{u}) - \mathbf{grad\,} P + \boldsymbol{f} \end{equation} an jedem Ort $\boldsymbol{r}$ und zu jeder Zeit $t$. Dies sind drei nichtlineare partielle Differenzialgleichungen.
  • Wie lauten die Feldgleichungenen idealer, inkompressibler Fluide?

    Lösung

    Die Feldgleichungen idealer, inkompressibler Fluide lauten \begin{eqnarray} 0 &=& \mathrm{div\,} \boldsymbol{u}, \\ \rho \frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial t} &=& - \rho\, \mathbf{div\,} (\boldsymbol{u} \circ \boldsymbol{u}) - \mathbf{grad\,} P + \boldsymbol{f}, \end{eqnarray} wobei $\rho = \mathrm{const}$ die Zustandsgleichung ist.
  • Wie ist der Beitrag der viskosen Reibung zum Spannungstensor definiert?

    Lösung

    Für ein beliebiges Strömungsfeld $\boldsymbol{u}(t, \boldsymbol{r})$ lautet der Beitrag der viskosen Reibung zum Spannungstensor \begin{equation} \boldsymbol{\sigma}_\eta = \eta \left(\mathbf{grad\,} \boldsymbol{u} + (\mathbf{grad\,} \boldsymbol{u})^\top\right) \end{equation} bzw. \begin{equation} \sigma_{\eta, ij} = \eta\left(\partial_i u_j + \partial_j u_i \right) \end{equation}
  • Wie lautet die Navier-Stokes-Gleichung für inkompressible Flüssigkeit?

    Lösung

    Für eine inkompressible Flüssigkeit ($\rho = \mathrm{const}$) lautet die Impulsgleichung \begin{equation} \rho \frac{\mathbf{d} \boldsymbol{u}}{\mathrm{d} t} = - \mathbf{grad\,} P + \eta \varDelta \boldsymbol{u} + \boldsymbol{f}. \end{equation} Sie wird auch inkompressible Navier-Stokes-Gleichung genannt.
  • Was besagt das Relativitätsprinzip?

    Lösung

    In allen zueinander gleichförmig bewegten Bezugssystemen (Inertialsystemen) laufen physikalische Vorgänge bei gleichen Bedingungen gleich ab.
  • Was gilt für die Lichtgeschwindigkeit in Inertialsystemen?

    Lösung

    In allen Inertialsystemen ist die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum (unabhängig vom Bewegungszustand der Quellen) gleich groß.
  • Wie lautet die Matrixform einer Lorentz-Transformation in $x$-Richtung?

    Lösung

    In Matrixform geschrieben lautet die Lorentz-Transformation von einem Inertialsystem $\mathcal S$ auf ein Inertialsystem $\mathcal S'$, das sich gegenüber $\mathcal S$ mit Geschwindigkeit $v=\beta\, c$in positiver $x$-Richtung bewegt: \begin{equation} \left( \begin{array}{c} c t^\prime \\ x^\prime \\ y^\prime \\ z^\prime \end{array} \right) = \underbrace{\left( \begin{array}{cccc} \gamma & - \beta\gamma & 0 & 0 \\ - \beta\gamma & \gamma & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right)}_{\boldsymbol{\Lambda}(v)} \; \left( \begin{array}{c} c t \\ x \\ y \\ z\end{array} \right), \end{equation} mit den gebräuchlichen Abkürzungen $\beta:=\frac{v}{c},\qquad \gamma:=\frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}$.
  • Wie ist die Eigenzeit für ein zwischen zwei Weltpunkten bewegtes Punktteilchen definiert?

    Lösung

    Sind $A$ und $B$ Weltpunkte auf einer Weltlinie, die in einem Inertialsystem durch eine Bahnkurve $\boldsymbol{x}(t)$ mit Geschwindigkeit $\boldsymbol{v}(t)=\mathrm{d}\boldsymbol{x}(t)/\mathrm{d}t $ gegeben ist, dann ist die Eigenzeit gegeben durch \begin{eqnarray} \tau_{B}-\tau_{A}&=&\int_{\tau_{A}}^{\tau_{B}}\mathrm{d}\tau=\int_{t_A}^{t_B}\frac{\mathrm{d}t }{\gamma(v(t))} \\ &=&\int_{t_A}^{t_B}\mathrm{d}t \sqrt{1-\frac{\boldsymbol{v}^2(t)}{c^2}} \le t_B-t_A.\end{eqnarray}
  • Wie transformiert ein Vierervektor mit kontravarianten Komponenten?

    Lösung

    Es ist $\mathfrak{a}=a^\mu\mathfrak{e}_\mu$ ein Vierervektor mit kontravarianten Komponenten $a^\mu$, wenn letztere bei einer gemäß \begin{equation} a'^\mu=\Lambda^\mu{}_\nu\,a^\nu\end{equation} transformieren.
  • Wie ist die Poincare-Transformation für einen Viererortsvektor definiert?

    Lösung

    Für einen physikalischen Viererortsvektor $\mathfrak{x}$ mit Koordinaten $x^\mu$, $\mu=0,\ldots 3$ ist die Poincare-Transformation \begin{equation}x'^\mu=\Lambda^\mu{}_\nu\,(x^\nu-b^\nu), \end{equation} wobei $b^\mu$ die Verschiebung des Zeitnullpunktes und die Verschiebung des räumlichen Koordinatenursprungs zusammenfasst.
  • Wie ist die Vierergeschwindigkeit definiert?

    Lösung

    Die Vierergeschwindigkeit ist durch \begin{equation} u^\mu = \frac{\mathrm{d}x ^\mu}{\mathrm{d}\tau} = \frac{\mathrm{d}x ^\mu}{\mathrm{d}t } \frac{\mathrm{d}t }{\mathrm{d}\tau}\end{equation}definiert. Sie hängt wegen $\mathrm{d}t /\mathrm{d}\tau=\gamma(v)$ mit der Dreiergeschwindigkeit $\boldsymbol{v}$ gemäß \begin{equation} u^\mu=\gamma(v)\begin{pmatrix} c\\ \boldsymbol{v} \end{pmatrix} \end{equation} zusammen.
  • Wie ist der Viererimpuls eines Punktteilchens definiert?

    Lösung

    Der Viererimpuls eines Punktteilchens mit Ruhemasse $m$ ist definiert durch \begin{equation} p^\mu:=m\, u^\mu. \end{equation} In einem gegebenen Inertialsystem, in dem das Punktteilchen die Dreiergeschwindigkeit $\boldsymbol{v}(t)$ hat, ist \begin{equation} p^\mu=\begin{pmatrix}p^0 \\ \boldsymbol{p}\end{pmatrix} =m\,\gamma(v)\begin{pmatrix}c \\ \boldsymbol{v}\end{pmatrix}.\end{equation} Der Dreierimpuls ist damit durch \begin{equation}\boldsymbol{p}=m\,\gamma(v)\,\boldsymbol{v} \end{equation} gegeben. Dies stimmt mit der nichtrelativistischen Definition eines Impulses überein, wenn man eine geschwindigkeitsabhängige Masse $m(v)=\gamma(v)\,m$ einführt (in der älteren Literatur auch relativistische Masse genannt). In Übereinstimmung mit den heutigen Gepflogenheiten wird mit $m$ jedoch immer die Ruhemasse $m=m(0)$ bezeichnen.
  • Wie erhateln Sie die Viererkraft aus dem Viererimpuls?

    Lösung

    Eine Lorentz-kovariante Viererkraft ist durch die Ableitung des Viererimpulses nach der Lorentz-invarianten Eigenzeit gegeben: \begin{equation}F^\mu:=\frac{\mathrm{d} p^\mu}{\mathrm{d}\tau}.\end{equation}
  • Wie hängen Viererkraft und Newton-Kraft zusammen?

    Lösung

    Bezeichnet in einem gegebenen Inertialsystem $\boldsymbol{F}$ weiterhin die gewöhnliche Zeitableitung des (relativistischen) Impulses $\boldsymbol{p}$, dann gilt\begin{equation} F^\mu=\begin{pmatrix}F^0 \\ F^m\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}F^0 \\ \gamma\boldsymbol{F} \end{pmatrix}. \end{equation}
  • Wie ist die relativistische Energie eines (freien) Punktteilchens definiert?

    Lösung

    Die relativistische Energie eines (freien) Punktteilchens ist definiert durch \begin{equation} E = \gamma(v)\, m c^2.\end{equation} Auch einer ruhenden Masse wird somit eine Energie zugeordnet; man spricht daher von einer Äquivalenz von Masse und Energie.
  • Wie lautet die relativistische Energie-Impuls-Beziehung?

    Lösung

    Die Relation \begin{equation} (p^0)^2-\boldsymbol{p}^2\equiv \frac{E^2}{c^2}-\boldsymbol{p}^2=m^2 c^2\end{equation} behält ihre Gültigkeit auch für masselose Teilchen, wobei die Identifikationvon $\boldsymbol{p}=\gamma m\boldsymbol{v}$ fallen gelassen wird. Masselose Teilchen haben $|\boldsymbol{v}|=c$ und $|\boldsymbol{p}|=E/c$; sie werden durch einen lichtartigen Vierervektor ($p^\mu p_\mu=0$) charakterisiert.
  • Fertig!

    Zurück zu Frage 1
Zurück
Frage 1 von 126
Weiter

Weitere Videos zum Thema

Dozentenmaterialien

Hier finden Sie die zum Buch gehörenden Dozentenmaterialien.
Registrieren Sie sich, oder melden Sie sich an, falls Sie bereits registriert sind.

Zusatzmaterialien zum Buch

News