Theoretische Physik 4 | Thermodynamik und Statistische Physik

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Theoretische Physik 4 | Thermodynamik und Statistische Physik

ISBN: 
978-3-662-56112-6

Das beliebte Buch Theoretische Physik wird jetzt erstmalig in korrigierter und ergänzter Form in Einzelbänden angeboten. Das ermöglicht den Studierenden, die handlichen Bände zum Lernen, Aufgabenlösen und zum schnellen Nachschlagen leichter mitnehmen und nutzen zu können. Gleichzeitig wird die gesamte theoretische Physik des Bachelorstudiums (und darüber hinaus) in den vier Bänden aufeinander abgestimmt präsentiert. Das vorliegende Buch ist der vierte Teil der vierbändigen Reihe und deckt den Lehrstoff der Bachelorvorlesung zur Thermodynamik und Statistischen Physik großer Universitäten in Deutschland, Österreich und der Schweiz möglichst umfassend ab.

Weiterlesen

Die besondere Stärke dieser Reihe liegt darin, den Leser mit einer Vielzahl von didaktischen Elementen beim Lernen zu unterstützen:

  • Alle Kapitel werden mit grundsätzlichen Fragen eingeleitet
  • Wichtige Aussagen, Formeln und Definitionen sind übersichtlich hervorgehoben
  • Beispiele regen zum Aktivwerden an
  • Selbstfragen helfen dem Leser, den behandelten Stoff zu reflektieren
  • „So geht’s weiter“-Abschnitte, beispielsweise über das Curie-Weiss-Modell, Weiße Zwerge und Systeme außerhalb des Gleichgewichts ermöglichen einen Blick über den Tellerrand und geben Einblicke in aktuelle Forschung
  • Anhand ausführlich gelöster Aufgaben kann das Gelernte überprüft und gefestigt werden
  • Mathematische Boxen sind zum schnellen Nachschlagen herausgehoben
  • Alle Bände sind durchgehend vierfarbig und mit übersichtlichen Grafiken gestaltet.

Die Autoren haben ihre langjährige und vielfach hervorragend bewertete Lehrerfahrung in das Werk einfließen lassen. Darüber hinaus gelingt es ihnen, die Zusammenhänge in der Theoretischen Physik auch bandübergreifend klar werden zu lassen.

 

BegriffErklärung
Übliche Ensembles
Je nach den makroskopischen Zustandsgrößen, die jeweils vorgeschrieben werden, werden üblicherweise drei Arten von Ensembles in der Thermodynamik bzw. in der statistischen Physik unterschieden: Das mikrokanonische Ensemble besteht aus abgeschlossenen Systemen, denen also sowohl die Gesamtenergie $E$ als auch die Teilchenzahl $N$ fest vorgegeben wird. Die Systeme eines mikrokanonischen Ensembles sind also sowohl thermisch als auch bezüglich jedes Materieaustauschs gegenüber ihrer Umwelt isoliert. Das kanonische Ensemble besteht aus Systemen, die keine Materie mit ihrer Umgebung austauschen können, die aber nicht mehr thermisch isoliert sind, sondern durch ein Wärmebad auf einer vorgegebenen Temperatur gehalten werden. Wie wir feststellen werden, ist dann nicht mehr ihre Gesamtenergie konstant, sondern nur noch ihre mittlere Gesamtenergie, die wir als innere Energie $U$ bezeichnen. Das großkanonische Ensemble schließlich besteht aus Systemen, deren Temperatur durch Kopplung an ein Wärmebad vorgegeben wird und die zudem Teilchen mit ihrer Umgebung austauschen können. Damit handelt es sich um offene Systeme, denen durch ihre Umgebung neben einer mittleren inneren Energie auch eine mittlere Teilchenzahl vorgegeben wird.
Avogadrozahl und Stoffmenge
Die Stoffmenge bezeichnet die Anzahl der Moleküle oder Teilchen eines physikalischen Systems. Sie wird in Mol angegeben. Ein Mol eines Stoffes enthält ebenso viele Teilchen, wie Atome in 12 g des Kohlenstoffisotops $^{12}$C enthalten sind. Dies entspricht gerade der Avogadro-Zahl mit dem ungeheuer großen Wert $$ N_\mathrm{A} = 6{,}02214129 (27)\cdot10^{23}\,\frac{\mathrm{Teilchen}}{\mathrm{mol}}\,. \label{eq:td01-3} $$ Entsprechend beträgt die Stoffmenge eines Systems aus $N$ Teilchen $$ n = \frac{N}{N_\mathrm{A}}\,. \label{eq:td01-4} $$ Die Avogadro-Zahl wird besonders in der älteren Literatur gelegentlich auch als Loschmidt-Zahl bezeichnet.
Boltzmann-Verteilung
Die Boltzmann-Verteilung ist gegeben durch $$ p_i = Z_\mathrm{c}^{-1}\,\mathrm{e}^{-E_i/k_\mathrm{B}T}\,,\quad Z_\mathrm{c} := \sum_i\mathrm{e}^{-E_i/k_\mathrm{B}T}\,. \label{eq:td04-11} $$
Bose-Einstein-Kondensation
Bei fallender Temperatur ist der Anteil der Teilchen im Grundzustand zunächst beliebig klein, bis die Übergangstemperatur $T_\mathrm{c}$ erreicht und unterschritten wird. Nimmt die Temperatur weiter ab, steigt der Anteil der Teilchen im Grundzustand steil an und geht für $T\to0$ gegen eins. Alle Teilchen halten sich dann im Grundzustand auf.
Charakterisierung eines idealen Gases
Die Zustandsgleichung des idealen Gases folgt aus den Annahmen, dass die Teilchen eines solchen Gases nur ein vernachlässigbares Eigenvolumen haben und nur durch direkte Stöße miteinander wechselwirken, aber keine potenzielle Energie relativ zueinander haben.
Weitere Begriffe
  • Kapitel 1: Phänomenologische Begründung der Thermodynamik (33)
  • Kapitel 2: Statistische Begründung der Thermodynamik (8)
  • Kapitel 3: Einfache thermodynamische Anwendungen (20)
  • Kapitel 4: Ensembles und Zustandssummen (8)
  • Kapitel 5: Quantenstatistik (4)
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Frage 1 von 73
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  • Was bestimmt die Entropie?

    Lösung

    Die Entropie bestimmt, welche von allen denkbaren Zustandsänderungen makroskopischer Systeme überhaupt möglich sind
  • Wie kann die Thermodynamik mikroskopische begründet werden?

    Lösung

    Die kinetische Theorie der Wärme ermöglichte eine mikroskopische Begründung der thermodynamischen Gesetze.
  • In welchem Bereich ist die Thermodynamik gültig?

    Lösung

    Die Thermodynamik beschreibt den Energieaustausch zwischen physikalischen Systemen mit vielen Freiheitsgraden und ihrer Umgebung. Sie sieht dabei bewusst von den mikroskopischen Vorgängen der Energieübertragung ab.
  • Was versteht man unter der Stoffmenge? Wie erhält man daraus die Avogadrozahl?

    Lösung

    Die Stoffmenge bezeichnet die Anzahl der Moleküle oder Teilchen eines physikalischen Systems. Sie wird in Mol angegeben. Ein Mol eines Stoffes enthält ebenso viele Teilchen, wie Atome in 12 g des Kohlenstoffisotops $^{12}$C enthalten sind. Dies entspricht gerade der Avogadro-Zahl mit dem ungeheuer großen Wert $$ N_\mathrm{A} = 6{,}02214129 (27)\cdot10^{23}\,\frac{\mathrm{Teilchen}}{\mathrm{mol}}\,. $$ Entsprechend beträgt die Stoffmenge eines Systems aus $N$ Teilchen $$ n = \frac{N}{N_\mathrm{A}}\,. $$ Die Avogadro-Zahl wird besonders in der älteren Literatur gelegentlich auch als Loschmidt-Zahl bezeichnet.
  • Welche Rolle spielen makroskopische Zustandsgrößen in der Thermodynamik?

    Lösung

    Die Thermodynamik verzichtet bewusst darauf, alle mikroskopischen Bestandteile eines makroskopischen Systems durch die Angabe ihrer Zustandsgrößen exakt zu beschreiben. Stattdessen beschränkt sie sich darauf, makroskopische Systeme durch Zustandsgrößen zu beschreiben, die makroskopisch als Eigenschaften großer Gesamtheiten vieler Teilchen mit vielen Freiheitsgraden messbar sind.
  • Wofür nutzt man die Axiome (oder auch Hauptsätze) der Thermodynamik?

    Lösung

    Die Thermodynamik baut auf drei Axiomen auf, Hauptsätze genannt. Sie definieren den Begriff der Temperatur, die Umwandlung verschiedener Energieformen ineinander und die physikalisch erlaubten Energieumwandlungen.
  • Was besagt der nullte Hauptsatz der Thermodynamik?

    Lösung

    Makroskopischen physikalischen Systemen wird eine Temperatur zugeordnet. Als thermisches Gleichgewicht zwischen zwei Systemen wird der Zustand der beiden Systeme bezeichnet, in dem sich ihre Temperaturen aneinander angeglichen haben.
  • Was sind Zustandsgrößen?

    Lösung

    Zustandsgrößen kennzeichnen den Zustand makroskopischer physikalischer Systeme auf eine Weise, die unabhängig davon ist, wie das System in seinen Zustand gelangt ist. Mathematisch entsprechen Zustandsgrößen Funktionen der makroskopischen Freiheitsgrade, von denen vollständige Differenziale gebildet werden können, weil sie nicht von dem Weg abhängen dürfen, über den ein System in seinen Zustand gelangt ist. Intensive Zustandsgrößen hängen nicht von der Stoffmenge des Systems ab, während extensive Zustandsgrößen proportional zur Stoffmenge sind.
  • Was unterscheidet Prozessgrößen von Zustandsgrößen?

    Lösung

    Im Unterschied zu den Zustandsgrößen kennzeichnen Prozessgrößen nicht den Zustand eines makroskopischen physikalischen Systems, sondern den Weg, auf dem das System in seinen Zustand gelangt ist. Aus mathematischer Sicht haben Prozessgrößen keine vollständigen Differenziale.
  • Wie sind offene, geschlossene und abgeschlossene Systeme definiert?

    Lösung

    Ein System heißt offen, wenn alle Austauschprozesse erlaubt sind; geschlossen, wenn es keinen Stoffaustausch gibt; anergisch, wenn es keinen Arbeitsaustausch gibt; (adiabatisch) isoliert, wenn kein Wärmeaustausch möglich ist; thermisch isoliert, wenn weder Arbeits- noch Wärmeaustausch möglich sind; abgeschlossen, wenn weder Energie- noch Stoffaustausch möglich sind. Das Adjektiv adiabatisch leitet sich von den griechischen Worten a für "nicht" und diabainein für "hindurchgehen" ab.
  • Wie kann man Zustandsänderungen einteilen?

    Lösung

    Eine Zustandsänderung eines Systems heißt quasistatisch, wenn sie so langsam verläuft, dass das System während der gesamten Zustandsänderung näherungsweise im Gleichgewicht bleibt. Reversibel sind solche Prozesse, die das System auch in umgekehrter Richtung durchlaufen kann, wenn die äußeren Parameter so verändert werden, dass sie am Ende des umgekehrten Verlaufs auch wieder ihre ursprünglichen Werte annehmen. Reversible Prozesse sind quasistatisch, quasistatische Prozesse aber nicht unbedingt reversibel.
  • Wie ist die Einheit Kalorie definiert?

    Lösung

    Die Wärmemenge, die 1 g Wasser bei Atmosphärendruck von $14{,}5$ auf $15{,}5\,^\circ$C erwärmt, heißt eine Kalorie.
  • Was versteht man unter einer Wärmekapazität?

    Lösung

    Die Wärmemenge, die ein Körper pro Masse oder pro Stoffmenge bei einer Temperaturänderung $\Delta T$ aufnehmen oder abgeben kann, ist seine spezifische Wärmekapazität $c$ oder seine molare Wärmekapazität $c^\mathrm{mol}$. Wärmekapazitäten bei konstantem Druck sind größer als bei konstantem Volumen, $$ C_P > C_V\,, \label{eq:td01-22a} $$ weil bei konstantem Druck ein Teil der aufgenommenen Wärme als Druck-Volumen-Arbeit gegen die Umgebung verrichtet werden muss.
  • Was besagen die Gesetze von Boyle-Mariotte und von Gay-Lussac?

    Lösung

    Das Gesetz von Boyle-Mariotte besagt, dass das Produkt aus Druck und Volumen eines idealen Gases bei konstanter Temperatur konstant ist: $$ PV = \mathrm{const}\quad\mbox{bei $T = \mathrm{const}$}\,. \label{eq:td01-33b} $$ Das Gesetz von Gay-Lussac stellt fest, dass Druck bzw.\ Volumen eines idealen Gases proportional zur Temperatur sind, wenn das Volumen bzw.\ der Druck konstant gehalten werden: \begin{align} P\propto T\quad&\mbox{bei $V = \mathrm{const}$}\,,\nonumber\\ V\propto T\quad&\mbox{bei $P = \mathrm{const}$}\,. \end{align}
  • Wie lautet die Zustandsgleichung eines idealen Gases?

    Lösung

    Die Zustandsgleichung eines idealen Gases lautet $$ PV = nRT\,, \label{eq:td01-39} $$ wenn die Temperatur in Kelvin angegeben wird. Darin tritt die allgemeine Gaskonstante $R$ als Proportionalitätsfaktor auf. Bei $T=0\,\mathrm{K}$ verschwindet formal das Produkt $PV$ aus Druck und Volumen. Das ist eine unrealistische Folge der Annahme, dass das Gas ideal sei. Jedes reale Gas verflüssigt sich bei einer geringen, aber endlichen Temperatur.
  • Gibt es eine absolute Temperatur?

    Lösung

    Es gibt eine absolute Temperaturskala. Ihr Nullpunkt bei $-273{,}15\,^\circ\mathrm{C}$ kann dadurch definiert werden, dass dort der Druck eines idealen Gases verschwindet. Absolute Temperaturen werden in Kelvin (K) angegeben. Die Temperaturskala wird dadurch festgelegt, dass dem Tripelpunkt des Wassers die Temperatur $273{,}16\,\mathrm{K} = 0{,}01^\circ\mathrm{C}$ zugewiesen wird.
  • Wie lautet die ideale Gasgleichung mit Teilchenzahl?

    Lösung

    Setzen wir anstelle der Stoffmenge $n$ das Verhältnis $n = N/N_A$ ein und definieren die Konstante $k_\mathrm{B} = R/N_A$, so erhalten wir für die Zustandsgleichung idealer Gase die weitere Fassung $$ PV = Nk_\mathrm{B}T\,. \label{eq:td01-43} $$
  • Wie lautet der erste Hauptsatz der Thermodynamik?

    Lösung

    Jedem thermodynamischen System wird die innere Energie $U$ als eine Zustandsgröße zugeordnet. Die innere Energie wächst mit der zugeführten Wärme und nimmt um die vom System an seiner Umwelt verrichtete Arbeit ab. Für ein geschlossenes System beträgt die infinitesimale änderung der inneren Energie $$ \mathrm{d} U = \delta Q-\delta W\,, \label{eq:td01-45} $$ wenn es die infinitesimale Wärme $\delta Q$ aufnimmt und die infinitesimale Arbeit $\delta W$ an der Umgebung verrichtet. Die innere Energie ist nur bis auf eine additive Konstante bestimmt.
  • Wie berechnet sich die innere Energie eines idealen Gases?

    Lösung

    Bei fester Teilchenzahl hängt die innere Energie eines idealen Gases allein von seiner Temperatur, aber nicht von seinem Volumen ab.
  • Wie stehen die Wärmekapazitäten des idealen Gases im Verhältnis?

    Lösung

    Die Differenz der molaren Wärmekapazitäten $c^\mathrm{mol}_P$ und $c^\mathrm{mol}_V$ eines idealen Gases ist gleich der idealen Gaskonstanten $R$.
  • Was unterscheidet die innere Energie und Enthalpie?

    Lösung

    Während änderungen der inneren Energie durch die Differenz aus der zugeführten Wärme und der Druck-Volumen-Arbeit zustande kommen, gibt eine Enthalpieänderung die Differenz aus zugeführter Wärme und technisch nutzbarer Arbeit an.
  • Wie ist der Wirkungsgrad des Carnot'schen Kreisprozesses definiert?

    Lösung

    Der Wirkungsgrad $\eta_\mathrm{c}$ des (reversibel durchgeführten) Carnot'schen Kreisprozesses, d.h. das Verhältnis aus der insgesamt gewonnenen Arbeit und der dafür insgesamt aufgewendeten Wärme, ist durch $$ \eta_\mathrm{c} = \frac{\Delta W}{\Delta Q_1} = 1-\frac{\Delta Q_2}{\Delta Q_1} \label{eq:td01-87} $$ gegeben.
  • Wie lautet das Clausius'sches Postulat?

    Lösung

    Wärme kann nicht von selbst von einem niederen zu einem höheren Temperaturniveau übergehen.
  • Welcher wichtige Zusammenhang folgt aus der Definition des Wirkungsgrades des Carnot'schen Kreisprozesses?

    Lösung

    Aus der Definition des Wirkungsgrades schließt man auf die Gleichung $$ \eta_\mathrm{c} = 1-\frac{T_2}{T_1} \label{eq:td01-98} $$ für den Wirkungsgrad der Carnot-Maschine.
  • Wie kann die Entropie eines idealen Gases berechnet werden?

    Lösung

    Für ein ideales Gas mit festgehaltener Teilchenzahl $N$ besteht der Zusammenhang $$ S(T,V) = nC_V\ln\frac{T}{T_0}+nR\ln\frac{V}{V_0}+S_0 \label{eq:td01-106} $$ zwischen den unabhängigen Zustandsgrößen $(T, V)$ und der Entropie $S$, wobei $S_0 = S(T_0,V_0)$ abgekürzt wurde.
  • Was kann über die Entropiebilanz bei reversiblen Kreisprozessen ausgesagt werden?

    Lösung

    Für einen reversibel geführten Kreisprozess ist die Summe aus aufgenommener und abgegebener Entropie immer gleich null: $$ \oint\mathrm{d} S = 0\,. \label{eq:td01-115} $$
  • Wie hängen Arbeit und Entropie zusammen?

    Lösung

    Bei festgehaltener aufgenommener Wärmemenge $\Delta Q_1$ ist daher der Anteil von $\Delta Q_1$, der in Arbeit umgewandelt werden kann, umso größer, je kleiner der Betrag $\vert\Delta S\vert$ der Entropie ist, der während eines Umlaufs zunächst von der Wärmekraftmaschine aufgenommen und dann wieder abgegeben wird.
  • Wie kann der Entropieunterschied zweier Zustände berechnet werden?

    Lösung

    Man berechnet den Unterschied der Entropien zweier beliebiger Zustände $Z_1$ und $Z_2$ durch $$ S(Z_2)-S(Z_1) = \int_{Z_1}^{Z_2}\frac{\delta Q_\mathrm{rev}}{T}\,. \label{eq:td01-117} $$
  • Wie verhält sich die Entropie in abgeschlossenen Systemen unter reversiblen Prozessen?

    Lösung

    Die Entropie eines abgeschlossenen Systems ist nur für reversibel geführte Prozesse konstant.
  • Ist die Entropie eine extensive Zustandsgröße?

    Lösung

    Die Entropie ist eine extensive Zustandsgröße. Sie ist deswegen eine homogene Funktion vom Grad 1 in der Stoffmenge.
  • Wie lautet der zweite Hauptsatz für reversible Prozesse?

    Lösung

    Für reversibel geführte Prozesse ist das Differenzial $$ \mathrm{d} S = \frac{\delta Q_\mathrm{rev}}{T} \label{eq:td01-122a} $$ vollständig. Es definiert eine Zustandsgröße $S$, die Entropie. Bei einem vollständigen Umlauf eines reversibel geführten Kreisprozesses ändert sich die Entropie nicht: $$ \oint\mathrm{d} S = \oint\frac{\delta Q_\mathrm{rev}}{T} = 0\,. \label{eq:td01-122b} $$
  • Was gilt für die Entropie in einem abgeschlossenen System bei irreversiblen Prozessen?

    Lösung

    Läuft in einem abgeschlossenen System ein Prozess adiabatisch ab, d.h. ohne Wärmeaustausch mit der Umgebung, so erhöht sich im irreversiblen Fall die Entropie und bleibt im reversiblen Fall erhalten.
  • Wie lautet der zweite Hauptsatz für irreversible Prozesse?

    Lösung

    Bei irreversibel verlaufenden Prozessen nimmt die Entropie zu. Da die Entropie als Zustandsgröße nicht davon abhängt, wie ein System von einem Gleichgewichtszustand in einen anderen gelangt, kann die Entropiezunahme anhand eines reversiblen Ersatzprozesses berechnet werden.
  • Wie kann der Mikrozustand eines klassischen Systems beschrieben werden?

    Lösung

    Zu jedem Zeitpunkt $t$ bestimmt das Tupel $(q_1(t), q_2(t), \ldots, q_\mathcal{F}(t), p_1(t), p_2(t), \ldots, p_\mathcal{F}(t))$ aus $2\mathcal{F}$ Zahlen den Mikrozustand eines klassischen Systems. Ist der Mikrozustand zu einem Zeitpunkt $t$ gegeben, steht er aufgrund der Bewegungsgleichungen auch zu jedem anderen Zeitpunkt fest. Wir fassen die Paare aus einer verallgemeinerten Ortskoordinate und ihrem konjugierten Impuls auch durch $x_i = (q_i, p_i)$ zusammen. Die Paare $x_i$, $1\le i\le\mathcal{F}$, sind Elemente des Phasenraumes $$ \Gamma = \left\{\left.(x_1, \ldots, x_\mathcal{F})\right\vert x_i = (q_i, p_i)\right\}\,. \label{eq:td02-1} $$.
  • Welchen Einfluss hat der Mikrozustand makroskopischer Systeme auf unsere Beobachtung des Systems?

    Lösung

    Der genaue mechanische Mikrozustand eines makroskopischen Systems, der durch die Angabe aller seiner Phasenraumkoordinaten gekennzeichnet ist, ist in den allermeisten Fällen für unser physikalisches Verständnis von Systemen mit sehr vielen Freiheitsgraden unwichtig.
  • Wie lautet das Grundpostulat der statistischen Physik?

    Lösung

    Abgeschlossene Systeme im Gleichgewicht halten sich mit gleicher Wahrscheinlichkeit in jedem der ihnen zugänglichen Mikrozustände auf.
  • Was passiert bei einer Störung des Gleichgewichts?

    Lösung

    Wird eine makroskopische Zustandsgröße eines abgeschlossenen Systems verändert, verändert sich in der Regel auch der mikroskopische Zustandsraum, der dem System zugänglich ist. Unmittelbar nach der änderung kann sich das System nicht im Gleichgewicht befinden, weil es sich nicht mit gleicher Wahrscheinlichkeit in jedem zugänglichen Mikrozustand befinden kann: Ein Teil der nunmehr zugänglichen Mikrozustände wurden ihm gerade erst eröffnet oder genommen. Wechselwirkungen zwischen den Komponenten (Teilchen) des Systems und deren thermische Bewegung werden dafür sorgen, dass sich ein neues Gleichgewicht einstellt. Wie schnell das geschehen kann, hängt von der Stärke der Wechselwirkung zwischen den Systemkomponenten und von der Geschwindigkeit ihrer thermischen Bewegung ab.
  • Wie äußern sich reversible und irreversible Zustandsänderungen in der Anzahl der möglichen Mikrozustände?

    Lösung

    Beim Wegfall äußerer Hemmungen eines abgeschlossenen Systems bleibt die Anzahl zugänglicher Mikrozustände gleich, oder sie nimmt zu. Die dadurch eingeleitete Zustandsänderung des Systems ist reversibel, wenn sich die Anzahl der ihm zugänglichen Mikrozustände nicht verändert, und irreversibel, wenn sie zunimmt.
  • Was besagt das Extremalprinzip?

    Lösung

    Im Gleichgewicht eines abgeschlossenen, makroskopischen Systems werden sich diejenigen Werte der makroskopischen Zustandsgrößen einstellen, mit denen die größtmögliche Anzahl zugänglicher Mikrozustände verträglich ist.
  • Wie kann die Entropie statistisch interpretiert werden?

    Lösung

    Die phänomenologische Definition der Entropie ist verträglich damit, die Entropie als logarithmisches Maß für das Phasenraumvolumen $\Omega$ eines abgeschlossenen Systems aufzufassen und $$ S = k_\mathrm{B}\ln\Omega \label{eq:td02-117} $$ zu setzen. Dadurch wird der phänomenologisch eingeführten Entropie eine tiefer reichende, statistische Bedeutung unterlegt: Die Entropie erweist sich als ein Maß für die Anzahl der Mikrozustände, die einem abgeschlossenen System bei gegebener Energie und gleichbleibenden makroskopischen Zustandsgrößen zugänglich sind. Durch den Logarithmus wird die Entropie additiv und konkav.
  • Wie lautet der dritte Hauptsatz der Thermodynamik?

    Lösung

    Wenn die innere Energie eines Systems gegen null oder ihren kleinstmöglichen Wert geht, wird die Entropie des Systems verschwinden, weil sich das System dann nur noch in seinem Grundzustand aufhalten kann. Zugleich wird auch die Temperatur gegen null gehen: $$ S\to0\quad\hbox{für}\quad T\to0\,. \label{eq:td02-131} $$ Diese Aussage wird gelegentlich als dritter Hauptsatz der Thermodynamik oder auch als Nernst'sches Theorem bezeichnet.
  • Wie ist die Legendre-Transformation definiert?

    Lösung

    Gegeben sei eine Funktion $f(x)$. Um den Wert $$ g(u) = f\left(x(u)\right) - ux(u) \label{eq:td03-25a} $$ ihrer Legendre-Transformierten an der Stelle $u$ auf geometrische Weise zu erhalten, konstruiert man die Berührtangente an den Graphen von $f$ mit der Steigung $u$. Der Schnittpunkt dieser Berührtangente mit der Ordinate ist dann gleich dem Wert $g(u)$ für die gewählte Steigung $u$. Die Legendre-Transformation ist eine sogenannte Berührungstransformation.
  • Welche wichtigen Thermodynamische Funktionen gibt es?

    Lösung

    Durch verschiedene geeignete Legendre-Transformationen haben wir die folgenden thermodynamischen Funktionen bekommen: die innere Energie $U(S, V)$, die freie Energie $F(T, V) = U(S, V)-TS$, die Enthalpie $H(S, P) = U(S, V)+PV$, die freie Enthalpie $G(T, P) = F(T, V)+PV = U(S, V)-TS+PV$. Ihre vollständigen Differenziale waren: \begin{align} \mathrm{d} U(S, V) &= T\mathrm{d} S-P\mathrm{d} V\nonumber\\ \mathrm{d} F(T, V) &= -S\mathrm{d} T-P\mathrm{d} V\nonumber\\ \mathrm{d} H(S, P) &= T\mathrm{d} S+V\mathrm{d} P\nonumber\\ \mathrm{d} G(T, P) &= -S\mathrm{d} T+V\mathrm{d} P \label{eq:td03-44} \end{align}
  • Wie lauten die Maxwell-Relationen?

    Lösung

    \begin{align} \left(\frac{\partial T}{\partial V}\right)_{S} &= -\left(\frac{\partial P}{\partial S}\right)_{V} \\ \left(\frac{\partial S}{\partial V}\right)_{T} &= \left(\frac{\partial P}{\partial T}\right)_{V} \\ \left(\frac{\partial T}{\partial P}\right)_{S} &= \left(\frac{\partial V}{\partial S}\right)_{P} \\ \left(\frac{\partial S}{\partial P}\right)_{T} &= -\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_{P} \end{align}
  • Was zeichnet die Wahrscheinlichkeit des Gleichgewichtszustandes aus?

    Lösung

    Im Gleichgewicht bei vorgegebenen äußeren Parametern $a$ wird sich ein isoliertes System so einstellen, dass die Wahrscheinlichkeit seines Zustands und damit auch die Entropie maximal wird. Dann muss $$ \mathrm{d} S = 0 \quad\hbox{und}\quad \frac{\partial^2S}{\partial a^2}\le 0 \label{eq:td03-74} $$ für alle äußeren Parameter gelten, die mit dem Symbol $a$ bezeichnet werden.
  • Was unterscheidet mechanisches und thermisches Gleichgewicht?

    Lösung

    Im thermischen Gleichgewicht zwischen zwei Systemen sind die Temperaturen gleich. Besteht zusätzlich mechanisches Gleichgewicht, so sind auch die Drücke in beiden Systemen gleich.
  • Welche Bedingung gilt für die Stabilität von Gleichgewichtszuständen?

    Lösung

    Gleichgewichtszustände eines abgeschlossenen Systems sind dann und nur dann gegenüber kleinen Störungen stabil, wenn die Wärmekapazitäten bei konstantem Volumen und bei konstantem Druck positiv sind, ebenso wie die isotherme und die adiabatische Kompressibilität: $$ C_P-C_V > 0\,,\quad C_V > 0\,,\quad \kappa_T > 0\,,\quad \kappa_S > 0\,. \label{eq:td03-85} $$
  • Wie kann ein ideales Gases charakterisiert werden?

    Lösung

    Die Zustandsgleichung des idealen Gases folgt aus den Annahmen, dass die Teilchen eines solchen Gases nur ein vernachlässigbares Eigenvolumen haben und nur durch direkte Stöße miteinander wechselwirken, aber keine potenzielle Energie relativ zueinander haben.
  • Wie groß ist die innere Energie eines idealen Gases?

    Lösung

    Die innere Energie eines idealen Gases lautet $$ U = \frac{f}{2}Nk_\mathrm{B}T. \label{eq:td03-102} $$ Wir sehen, dass sie zur Anzahl $f$ der Freiheitsgrade eines einzelnen Gasteilchens proportional ist.
  • Wie lauten die molaren Wärmekapazitäten bei konstantem Volumen und bei konstantem Druck?

    Lösung

    Aufgrund des ersten Hauptsatzes ist bei $\mathrm{d} V=0$ $$ c^\mathrm{mol}_V = \frac{1}{n}\left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)_{V} = \frac{f}{2}\frac{Nk_\mathrm{B}}{n} = \frac{fR}{2}\,, \label{eq:td03-103} $$ und damit ergibt sich sofort die molare Wärmekapazität bei konstantem Druck: $$ c^\mathrm{mol}_P = \frac{f+2}{2}R\,. \label{eq:td03-104} $$
  • Wie groß sind die Wärmekapazitäten für ein ultrarelativistisches ideales Gas?

    Lösung

    Die spezifischen Wärmen bei konstantem Volumen bzw. bei konstantem Druck sowie der Adiabatenindex lauten $$ c_V = 3R\,,\quad c_P = 4R\,,\quad\gamma = \frac{4}{3} \label{eq:td03-118} $$ für ein ultrarelativistisches Gas.
  • Wie lautet die Van der Waals'sche Gasgleichung?

    Lösung

    Die Van-der-Waals'sche Gasgleichung, die experimentell gefunden wurde und theoretisch gut begründet werden kann, lautet $$ \left(P+\frac{an^2}{V^2}\right)(V-nb) = nRT\,. \label{eq:td03-138} $$ Darin haben $P$, $V$ und $T$ die übliche Bedeutung, und $n$ bezeichnet die Stoffmenge.
  • Wie groß ist die innere Energie des Van-der-Waals-Gases?

    Lösung

    Wenn die Wärmekapazität $C_V$ bei konstantem Volumen nicht von der Temperatur abhängt, was experimentell zu prüfen wäre, folgt für die innere Energie des Van-der-Waals-Gases: \begin{align} U(T, V) &= U(T_0, V_0) + C_V(T-T_0)+P_0V_0\left(1-\frac{1}{v}\right) \nonumber\\ &= U(T_0, V_0) + T_0\left[C_V(t-1)+nR\left(1-\frac{1}{v}\right)\right]\,. \end{align}
  • Wie groß ist die Entropie eines Van-der-Waals-Gases?

    Lösung

    Wenn $C_V$ wiederum nicht von $T$ abhängt, folgt für die Entropie des Van-der-Waals-Gases: $$ S(T, V) = S(T_0, V_0) + C_V\ln t + nR\ln(v-1)\,. $$
  • Was versteht man unter einem Joule-Thomson-Prozess?

    Lösung

    Bei einem sogenannten Joule-Thomson-Prozess bleibt die Enthalpie des Gases erhalten. Demnach muss gelten: $$ \mathrm{d} H=T\mathrm{d} S+V\mathrm{d} P=0\,. \label{eq:td03-157} $$
  • Was sagt der Joule-Thomson-Koeffizient aus?

    Lösung

    Der Joule-Thomson-Koeffizient $\mu$ entscheidet darüber, ob sich das Gas abkühlt oder erwärmt, denn beides ist bei einem Joule-Thomson-Vorgang möglich! Ist nämlich $\mu>0$, nimmt bei konstanter Enthalpie die Temperatur ab, wenn der Druck abfällt, sodass der Joule-Thomson-Prozess zu einer Abkühlung führt. Ist umgekehrt $\mu
  • Was lässt sich über die Umwandlung von Wärme in Arbeit sagen?

    Lösung

    Der zweite Hauptsatz bestätigt sofort, dass die vollständige Umwandlung von Wärme in mechanische Arbeit ausgeschlossen ist.
  • Gibt es einen größten möglichen Wirkungsgrad?

    Lösung

    Der maximale Wirkungsgrad nicht nur einer bestimmten, sondern jeder beliebigen Wärmekraftmaschine, die zwischen zwei Wärmereservoiren mit den Temperaturen $T_1$ und $T_2$ kleiner $T_1$ arbeitet, ist bestimmt durch $$ \eta = \frac{W}{|Q_1|}=1-\frac{T_2}{T_1}\,.$$
  • Was versteht man in der Thermodynamik unter einer Phase?

    Lösung

    Als Phase wird ein chemisch und physikalisch homogener Bereich bezeichnet, also beispielsweise ein Eiswürfel im Wasserglas: Wasser und Eis sind zwar chemisch homogen, physikalisch homogen sind aber nur der Eiswürfel und das flüssige Wasser für sich genommen.
  • Was ist ein Phasengleichgewicht?

    Lösung

    Gleichgewicht zwischen zwei Phasen in einem abgeschlossenen System herrscht dann, wenn die chemischen Potenziale der beteiligten Phasen gleich sind.
  • Wie lautet die Gibbs-Duhem-Beziehung?

    Lösung

    Die mächtige Gibbs-Duhem-Beziehung lautet: $$ TS-PV+\sum_i\mu^{(i)}N^{(i)} = U\quad\hbox{oder}\quad G = \sum_i\mu^{(i)}N^{(i)}\,, \label{eq:td03-204} $$ wenn die freie Enthalpie durch $G = U+PV-TS$ eingeführt wird. Diese Beziehung ist nach dem US-amerikanischen Physiker Josiah Willard Gibbs (1839--1903) und dem französischen Physiker Pierre Maurice Marie Duhem (1861--1916) benannt. Besteht das System aus nur einer Komponente, ist $$ G = \mu N\quad\hbox{oder}\quad\mu=\frac{G}{N}\,. \label{eq:td03-205} $$
  • Wie sind die Übliche Ensembles der Thermodynamik definiert?

    Lösung

    Je nach den makroskopischen Zustandsgrößen, die jeweils vorgeschrieben werden, werden üblicherweise drei Arten von Ensembles in der Thermodynamik bzw. in der statistischen Physik unterschieden: Das mikrokanonische Ensemble besteht aus abgeschlossenen Systemen, denen also sowohl die Gesamtenergie $E$ als auch die Teilchenzahl $N$ fest vorgegeben wird. Die Systeme eines mikrokanonischen Ensembles sind also sowohl thermisch als auch bezüglich jedes Materieaustauschs gegenüber ihrer Umwelt isoliert. Das kanonische Ensemble besteht aus Systemen, die keine Materie mit ihrer Umgebung austauschen können, die aber nicht mehr thermisch isoliert sind, sondern durch ein Wärmebad auf einer vorgegebenen Temperatur gehalten werden. Wie wir feststellen werden, ist dann nicht mehr ihre Gesamtenergie konstant, sondern nur noch ihre mittlere Gesamtenergie, die wir als innere Energie $U$ bezeichnen. Das großkanonische Ensemble schließlich besteht aus Systemen, deren Temperatur durch Kopplung an ein Wärmebad vorgegeben wird und die zudem Teilchen mit ihrer Umgebung austauschen können. Damit handelt es sich um offene Systeme, denen durch ihre Umgebung neben einer mittleren inneren Energie auch eine mittlere Teilchenzahl vorgegeben wird.
  • Wie ist die Boltzmann-Verteilung definiert?

    Lösung

    Die Boltzmann-Verteilung ist gegeben durch $$ p_i = Z_\mathrm{c}^{-1}\,\mathrm{e}^{-E_i/k_\mathrm{B}T}\,,\quad Z_\mathrm{c} := \sum_i\mathrm{e}^{-E_i/k_\mathrm{B}T}\,. $$
  • Wie errechnet sich die Kanonische Zustandssumme?

    Lösung

    Da der Ausdruck $$ Z_\mathrm{c} = \sum_i\mathrm{e}^{-E_i/k_\mathrm{B}T} \label{eq:td04-14} $$ durch Summation über die Boltzmann-Faktoren aller möglichen, zugänglichen Mikrozustände gewonnen wird, wird er als Zustandssumme des kanonischen Systems oder als kanonische Zustandssumme bezeichnet. Alle thermodynamischen Gleichgewichtseigenschaften eines Systems könen aus seiner Zustandssumme bestimmt werden. Die Zustandssumme kann daher als fundamentale Größe beim Aufbau der Thermodynamik verstanden werden.
  • Wie hängen kanonische Zustandssumme und freie Energie zusammen?

    Lösung

    Der Logarithmus der kanonischen Zustandssumme erweist sich als proportional zur Helmholtz'schen freien Energie: $$ F = -k_B T\ln Z_\mathrm{c}\,. \label{eq:td04-32} $$ Dies ist völlig analog zu dem Zusammenhang $$ S = k_B\ln\Omega\,, \label{eq:td04-33} $$ den Boltzmann zwischen der Entropie und dem Phasenraumvolumen hergestellt hatte. Das Phasenraumvolumen $\Omega$ wird analog zur kanonischen Zustandssumme $Z_\mathrm{c}$ auch als mikrokanonische Zustandssumme bezeichnet.
  • Wie lautet der Gleichverteilungssatz?

    Lösung

    Unter den sehr allgemeinen beiden Annahmen, dass die kinetische Energie jedes Freiheitsgrades aus der Hamilton-Funktion abgespalten werden kann und quadratisch im jeweiligen Impuls ist, haben wir daher das einfache und weitreichende Ergebnis erhalten, dass die mittlere kinetische Energie des beliebig herausgegriffenen Freiheitsgrades $i$, und damit jedes Freiheitsgrades, einfach durch $$ \langle\epsilon_i\rangle = \frac{1}{2\beta} = \frac{k_\mathrm{B}T}{2} \label{eq:td04-80} $$ gegeben ist. Dies ist der Gleichverteilungssatz.
  • Wie lauten die großkanonische Zustandssumme und das großkanonisches Potenzial?

    Lösung

    Die großkanonische Verteilung ist durch $$ p_i = \frac{1}{Z_\mathrm{gc}}\mathrm{e}^{\beta\mu N}\mathrm{e}^{-\beta E_i(N)} \label{eq:td04-102} $$ gegeben, worin das chemische Potenzial $\mu$ auftritt. Die großkanonische Zustandssumme $$ Z_\mathrm{gc} = \sum_N\mathrm{e}^{\beta\mu N}\sum_i\mathrm{e}^{-\beta E_i(N)} \label{eq:td04-103} $$ ist durch $$ J = -PV = -k_\mathrm{B}T\ln Z_\mathrm{gc} \label{eq:td04-104} $$ mit dem großkanonischen Potenzial $J$ verbunden. Die mittlere Teilchenzahl ergibt sich durch die Ableitung $$ N = \frac{1}{\beta}\frac{\partial\ln Z_\mathrm{gc}}{\partial\mu} \label{eq:td04-105} $$ aus dem Logarithmus der großkanonischen Zustandssumme.
  • Wie hängen die kanonische Zustandssumme und die freie Energie eines Gemischs idealer Gase zusammen?

    Lösung

    Man erhält für die kanonische Zustandssumme eines Gemischs aus $r$ verschiedenen idealen Gasen mit jeweils $N_j$ Molekülen $$ Z_\mathrm{c} = \prod_{j=1}^r\frac{\zeta_j^{N_j}}{N_j!}\,. \label{eq:td04-129} $$ Die freie Energie wird damit zu einer Summe über die freien Energien der einzelnen Molekülsorten: $$ F = \sum_{j=1}^rF_j = -k_\mathrm{B}T\sum_{j=1}^r\left(N_j\ln\zeta_j-\ln N_j!\right)\,. \label{eq:td04-130} $$
  • Was ist die Thermische Wellenlänge?

    Lösung

    Es liegt nahe, analog zur De-Broglie-Wellenlänge $h/p$ der Quantenmechanik die thermische Wellenlänge $$ \lambda_\mathrm{T} = \frac{h}{\sqrt{2 mk_\mathrm{B}T}} = \sqrt{\frac{3}{2}}\frac{h}{p_\mathrm{th}} \label{eq:td04-153} $$ einzuführen.
  • Wie ist der Dichteoperator definiert?

    Lösung

    Ausgehend von einer vollständigen Orthonormalbasis $\left\vert{k}\right\rangle$ eines selbstadjungierten Operators kann durch $$ \hat\rho = \sum_kp_k\left\vert{k}\right\rangle\langle k\vert \label{eq:td05-6} $$ ein Dichteoperator konstruiert werden, in dem die $p_k$ die Wahrscheinlichkeit angeben, den Zustand $\left\vert{k}\right\rangle$ besetzt zu finden.
  • Wie ermittelt man den Ensemblemittelwerte in der Quantenstatistik?

    Lösung

    In der Quantenmechanik steht uns kein Phasenraumintegral mehr zur Verfügung. Es wird durch die Spurbildung ersetzt: Der Mittelwert eines Operators $\hat A$ wird bestimmt durch $$ \langle A\rangle = \mathrm{Sp}(\hat\rho\hat A)\,. \label{eq:td05-8} $$
  • Wie ist die mittlere Besetzungszahl für Fermionen und Bosonen bei einer Temperatur T?

    Lösung

    Die mittlere Besetzungszahl des $k$-ten Zustands ist daher gleich $$ \langle n_k\rangle = \frac{\partial J}{\partial\epsilon_k} = \frac{1}{\mathrm{e}^{\beta(\epsilon_k-\mu)}\mp1}\,, \label{eq:td05-49} $$ wobei wiederum das obere Vorzeichen für Bose-Einstein-Gase, das untere für Fermi-Dirac-Gase gilt..
  • Was geschieht bei der Bose-Einstein-Kondensation?

    Lösung

    Bei fallender Temperatur ist der Anteil der Teilchen im Grundzustand zunächst beliebig klein, bis die Übergangstemperatur $T_\mathrm{c}$ erreicht und unterschritten wird. Nimmt die Temperatur weiter ab, steigt der Anteil der Teilchen im Grundzustand steil an und geht für $T\to0$ gegen eins. Alle Teilchen halten sich dann im Grundzustand auf..
  • Fertig!

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