Tutorium Mathematische Methoden der Elektrodynamik

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Tutorium Mathematische Methoden der Elektrodynamik

Tutorium Mathematische Methoden der Elektrodynamik

ISBN: 
978-3-662-58339-5

Mit dem Buch Tutorium Mathematische Methoden der Elektrodynamik seid ihr als Physikstudierende für die Vorlesung zur Elektrodynamik bestens gewappnet:  Wie berechne ich ein Linienintegral? Was ist ein Nabla-Operator? Was sagen die Green’schen Sätze? Der Autor legt großen Wert auf die physikalische Motivation und eine ausführliche Darstellung der mathematischen Methoden. Zum Rekapitulieren des Stoffes und schnellen Nachschlagen enthält jedes Kapitel Zusammenfassungen der wichtigsten Aussagen und Formeln. Über 100 ausführlich erklärte Aufgaben und Beispiele helfen dabei, die Rechenmethoden nachzuvollziehen und selbstständig anwenden zu können.

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Aus dem Inhalt:

  • Differenzialoperatoren
  • Integration
  • Integralsätze 
  • Fourier-Analyse
  • Vollständige Funktionensysteme
  • Funktionentheorie
  • Im Anhang: Mathematische Grundlagen 

Das Buch ergänzt die zwei Bände zur Elektrodynamik von Björn Feuerbacher und hilft als Begleitung zur Vorlesung, zur Vorbereitung oder zum Nachschlagen und Einüben von Rechenmethoden eine der ersten großen Hürden in der theoretischen Physik zu überwinden!

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BegriffErklärung
Ableitung, partielle
Als partielle Ableitung $\partial_i f \equiv \frac{\partial f}{\partial x_i}$ einer Funktion $f= f\left(x_1,\dots,x_n\right)$ mit $(i\leq i \leq n)$, versteht man den Grenzwert $$\lim_{\Delta x_i \rightarrow 0} \frac{f\left(x_1,\dots, x_i+\Delta x_i, \dots, x_n \right)-f\left(x_1,\dots, x_i, \dots, x_n \right)}{\Delta x_i}$$
Ableitung, total
Als totale Ableitung eines Feldes $\phi$, welche implizit und oder auch explizit von einer Variablen $t$ abhängt, den folgenden Ausdruck $$\frac{\text{d} \phi}{\text{d}t} := \lim_{\Delta t \rightarrow 0} \frac{ \phi\left(\boldsymbol{r}(t+\Delta t), t+\Delta t\right) - \phi\left(\boldsymbol{r}, t\right)}{\Delta t} \equiv \frac{\text{d} \boldsymbol{r}}{\text{d}t} \circ \boldsymbol{\nabla}\phi \,+\, \frac{\partial \phi}{\partial t}$$
Cauchy Integral
Für Funktionen, die in einem einfach zusammenhängenden Gebiet von $\mathbb{C}$ holomorph sind, gilt der Cauchy'sche Integralsatz $$\oint f(z) \text{d}z = 0$$ Somit sind diese komplexen Integrale wegunabhängig.
Differenzialoperator, selbstadjungiert
Ein Differentialoperator $\mathcal{D}$ heißt bezüglich eines Skalarprodukts selbstadjungiert, wenn gilt $$\left\langle \mathcal{D} g\,,\,h\right\rangle = \left\langle g\,,\, \mathcal{D} h\right\rangle$$
Divergenz
Die Divergenz eines Vektorfeldes $\boldsymbol{j}$ ist ein Maß für seine Quellen/Senken. Sie ist definiert als $$\text{div} \boldsymbol{j} := \boldsymbol{\nabla}\circ \boldsymbol{j}$$
Weitere Begriffe
  • Kapitel 1: Vektor-Differenzialoperatoren (17)
  • Kapitel 2: Integrale in Ebene und Raum (10)
  • Kapitel 3: Integralsaetze und Potenziale (14)
  • Kapitel 4: Fourier-Reihen und -Integrale (10)
  • Kapitel 5: Vollstaendige Funktionensysteme (15)
  • Kapitel 6: Komplexe Funktionentheorie (15)
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Frage 1 von 81
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  • Wann nennt man eine Funktion $f$ von $n$ Variablen $x_1, \ldots, x_n$ partiell differenzierbar bezüglich der Variable $x_j$?

    Lösung

    Wenn der Grenzwert $\lim_{\Delta x_j \to 0} \frac{f(x_1, \ldots, x_j + \Delta x_j, \ldots x_n) - f(x_1, \ldots, x_j, \ldots x_n)}{\Delta x_j}$ existiert.
  • Was versteht man unter der Richtungsableitung eines skalaren Feldes $f$ in Richtung des Einheitsvektors $\boldsymbol{e}$?

    Lösung

    Den Grenzwert $\lim_{h \to 0} \frac{f(\boldsymbol{r} + h \boldsymbol{e}) - f(\boldsymbol{r})}{h}$.
  • Was ist der Gradient eines skalaren Feldes $f$?

    Lösung

    Das Vektorfeld mit den Komponenten $\partial_j f(\boldsymbol{r})$.
  • Wie hängt die Richtungsableitung mit dem Gradienten zusammen?

    Lösung

    $\partial_{\boldsymbol{e}} f(\boldsymbol{r}) = \boldsymbol{e} \circ \mathbf{grad} f(\boldsymbol{r})$
  • In welche Richtung zeigt der Gradient eines skalaren Feldes?

    Lösung

    Der Gradient steht immer senkrecht zu den Äquipotenzialflächen und zeigt in Richtung der stärksten Zunahme.
  • Was versteht man unter dem Nabla-Operator?

    Lösung

    Den Vektor-Differenzialoperator $\boldsymbol{\nabla} = \boldsymbol{e}_x \partial_x + \boldsymbol{e}_y \partial_y + \boldsymbol{e}_z \partial_z$.
  • Was ist die Jacobi-Matrix zu einem Vektorfeld $\boldsymbol{K}$?

    Lösung

    Die Matrix der ersten Ableitungen der Komponenten, $\boldsymbol{J}_{\boldsymbol{K}} = \left(\begin{array}{ccc} \frac{\partial K_x}{\partial x} & \frac{\partial K_x}{\partial y} & \frac{\partial K_x}{\partial z} \\ \frac{\partial K_y}{\partial x} & \frac{\partial K_y}{\partial y} & \frac{\partial K_y}{\partial z} \\ \frac{\partial K_z}{\partial x} & \frac{\partial K_z}{\partial y} & \frac{\partial K_z}{\partial z} \\ \end{array} \right)$.
  • Was versteht man in der Physik unter der totalen Ableitung eines skalaren Feldes, bei dem der Ortsvektor von einem Parameter $\lambda$ abhängt?

    Lösung

    $\frac{\mathrm{d} f(\boldsymbol{r}(\lambda))}{\mathrm{d} \lambda} = \mathbf{grad} f(\boldsymbol{r}) \circ \frac{\mathrm{d} \boldsymbol{r}(\lambda)}{\mathrm{d} \lambda}$
  • Wie ist die Divergenz eines Vektorfeldes $\boldsymbol{j}$ definiert, und was beschreibt diese physikalisch?

    Lösung

    $\mathrm{div} \, \boldsymbol{j} = \partial_x j_x + \partial_y j_y + \partial_z j_z = \boldsymbol{\nabla} \circ \boldsymbol{j}$; dies beschreibt die Quellen des Vektorfeldes.
  • Wie ist die Rotation eines Vektorfeldes $\boldsymbol{j}$ definiert, und was beschreibt diese physikalisch?

    Lösung

    $\mathbf{rot} \, \boldsymbol{j} = \boldsymbol{\nabla} \times \boldsymbol{j}$; dies beschreibt die Wirbel des Vektorfeldes.
  • Was ist die Hesse-Matrix eines skalaren Feldes $f$?

    Lösung

    Die Matrix der zweiten Ableitungen, $\boldsymbol{H}_{f} = \left(\begin{array}{ccc} \partial_x (\partial_x f) & \partial_x (\partial_y f) & \partial_x (\partial_z f) \\ \partial_y (\partial_x f) & \partial_y (\partial_y f) & \partial_y (\partial_z f) \\ \partial_z (\partial_x f) & \partial_z (\partial_y f) & \partial_z (\partial_z f) \\ \end{array} \right)$.
  • Was besagt der Satz von Schwarz, und was folgt daraus für die Hesse-Matrix?

    Lösung

    Ist ein skalares Feld zweimal stetig partiell differenzierbar, dann kann die Reihenfolge der Ableitungen vertauscht werden. Die Hesse-Matrix ist dann symmetrisch.
  • Was ist der Laplace-Operator?

    Lösung

    Der Differenzialoperator $\varDelta = \mathrm{div} \, \mathbf{grad}$.
  • Wie kann man den Ausdruck $\mathbf{rot} \, \mathbf{rot}$ noch anders schreiben?

    Lösung

    $\mathbf{rot} \, \mathbf{rot} = \mathbf{grad} \, \mathrm{div} - \varDelta$
  • Was ergibt sich für $\mathrm{div} \, \mathbf{rot}$ und $\mathbf{rot} \, \mathbf{grad}$, angewendet auf beliebige Vektorfelder?

    Lösung

    Beides ergibt null.
  • Wie lautet die Taylor-Entwicklung eines skalaren Feldes bis zur zweiten Ordnung?

    Lösung

    $f(\boldsymbol{r}_0 + \Delta \boldsymbol{r}) \approx f(\boldsymbol{r}_0) + \Delta \boldsymbol{r} \circ \mathbf{grad} f(\boldsymbol{r}_0) + \frac{1}{2} \Delta \boldsymbol{r}^{\top} \boldsymbol{H}_f (\boldsymbol{r}_0) \Delta \boldsymbol{r}$
  • Wie findet man die Punkte, an denen ein skalares Feld $f$ minimale Werte annimmt?

    Lösung

    An diesen Punkten muss der Gradient verschwinden, und die Hesse-Matrix darf nur positive Eigenwerte haben (muss positiv definit sein).
  • Was versteht man unter dem Integral eines Vektorfeldes $\boldsymbol{K}(\boldsymbol{r})$ entlang eines Weges?

    Lösung

    Man nähert den Weg durch stückweise gerade Wege an und berechnet auf jedem dieser Wegstücke $\Delta \boldsymbol{r}_j$ jeweils das Skalarprodukt aus dem Wert des Vektorfeldes irgendwo auf diesem Wegstück und dessen Vektor. Das Wegintegral ergibt sich als Grenzwert, wenn die Anzahl der Wegstücke gegen unendlich und ihre Länge gegen null geht.
  • Was versteht man unter der Zirkulation eines Vektorfeldes?

    Lösung

    Das Wegintegral entlang eines geschlossenen Weges.
  • Wie berechnet man ein Wegintegral mithilfe der Bahngeschwindigkeit?

    Lösung

    $\int \boldsymbol{K}(\boldsymbol{r}) \circ \boldsymbol{\mathrm{d}r} = \int \boldsymbol{K}(\boldsymbol{r}(t)) \circ \boldsymbol{v}(t) \mathrm{d} t$
  • Was versteht man unter dem Integral eines skalaren Feldes $f(\boldsymbol{r})$ über eine ebene Fläche?

    Lösung

    Man nähert die Fläche durch Vielecke an und berechnet für jedes Vieleck das Produkt aus dem Wert des Skalarfeldes irgendwo in diesem Vieleck und dessen Flächeninhalt. Das Flächenintegral ergibt sich als Grenzwert, wenn die Anzahl der Vielecke gegen unendlich geht und alle ihre Abmessungen gegen null.
  • Was versteht man unter dem Integral eines skalaren Feldes $f(\boldsymbol{r})$ über einen Körper?

    Lösung

    Man nähert den Körper durch Polyeder an und berechnet für jeden Polyeder das Produkt aus dem Wert des Skalarfeldes irgendwo in diesem Polyeder und dessen Volumen. Das Volumenintegral ergibt sich als Grenzwert, wenn die Anzahl der Polyeder gegen unendlich geht und alle ihre Abmessungen gegen null.
  • Wie vereinfachen sich Volumen- und ebene Flächenintegrale, wenn der Integrand ein Produkt von Funktionen ist, die jeweils nur von einer Variable abhängen, und die Grenzen unabhängig voneinander sind?

    Lösung

    Das Integral ist dann das Produkt von Integralen über jeweils nur eine Variable.
  • Wie rechnet man die Integrationsmaße bei Volumen- und ebenen Flächenintegralen von einem Koordinatensystem in ein anderes um, beispielsweise von $x$ und $y$ auf $\varrho$ und $\varphi$?

    Lösung

    Man verwendet die Determinante der Jacobi-Matrix: $\mathrm{d} x \, \mathrm{d} y = \det \left(\begin{array}{cc} \frac{\partial x}{\partial \varrho} & \frac{\partial x}{\partial \varphi} \\ \frac{\partial y}{\partial \varrho} & \frac{\partial y}{\partial \varphi} \\ \end{array} \right) \mathrm{d} \varrho \, \mathrm{d} \varphi = \varrho \, \mathrm{d} \varrho \, \mathrm{d} \varphi$.
  • Was versteht man unter dem Fluss eine Vektorfeldes durch eine gekrümmte (glatte und orientierbare) Fläche im Raum?

    Lösung

    Man nähert die Fläche durch lokal ebene Vielecke an und berechnet für jedes Vieleck das Skalarprodukt aus dem Wert des Vektorfeldes irgendwo in diesem Vieleck und dessen Flächennormalenvektor. Der Fluss ergibt sich als Grenzwert, wenn die Anzahl der Vielecke gegen unendlich geht und alle ihre Abmessungen gegen null.
  • Was bedeuten ,,glatt'' und ,,orientierbar'' hier?

    Lösung

    Eine gekrümmte Fläche im Raum heißt glatt, wenn man sie beliebig genau durch lokal ebene Vielecke annähern kann. Sie heißt orientierbar, wenn sie zwei unterschiedliche Seiten hat.
  • Wie berechnet den lokalen infinitesimalen Flächeneinheitsvektor einer gekrümmten Fläche im Raum, die durch zwei Variablen $\lambda$, $\mu$ parametrisiert ist?

    Lösung

    $\mathbf{\mathrm{d}F} = \left(\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial \lambda} \times \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial \mu} \right) \mathrm{d} \lambda \, \mathrm{d} \mu$
  • Wie sieht die Integraldarstellung der Divergenz eines Vektorfeldes $\boldsymbol{j}$ aus?

    Lösung

    $\mathrm{div} \, \boldsymbol{j} = \lim_{\Delta V \to 0} \frac{1}{\Delta V} \oint_{\partial V} \boldsymbol{j} \circ \mathbf{d} \boldsymbol{F}$
  • Wie sieht die Integraldarstellung der Rotation eines Vektorfeldes $\boldsymbol{A}$ aus?

    Lösung

    $\mathbf{n} \circ \mathbf{rot} \, \mathbf{A} = \lim_{\Delta F \to 0} \frac{1}{\Delta F} \oint_{\partial F} \boldsymbol{A} \circ \mathbf{d} \boldsymbol{r}$, wobei $\boldsymbol{n}$ ein Normaleneinheitsvektor der Fläche ist und dieser vom Weg in mathematisch positiver Richtung umlaufen wird.
  • Wofür kann man diese Integraldarstellungen verwenden?

    Lösung

    Man erhält damit Ausdrücke für die Divergenz, die Rotation und den Laplace-Operator in krummlinigen Koordinatensystemen. Außerdem dienen sie als Ausgangspunkt für die Herleitung der Integralsätze von Gauß und Stokes.
  • Wie lautet der Integralsatz von Gauß?

    Lösung

    $\int_V \mathrm{div} \, \boldsymbol{j} \, \mathrm{d} V = \oint_{\partial V} \boldsymbol{j} \circ \mathbf{d} \boldsymbol{F}$
  • Wie lautet der Integralsatz von Stokes?

    Lösung

    $\int_F \mathbf{rot} \, \boldsymbol{A} \circ \mathbf{d} \boldsymbol{F} = \oint_{\partial F} \boldsymbol{A} \circ \mathbf{d} \boldsymbol{r}$
  • Wie erhält man die Integralformeln von Green, und wofür sind sie in der Elektrodynamik wichtig?

    Lösung

    Man verwendet den Integralsatz von Gauß, um $\mathrm{div} \left(\phi \, \mathbf{grad} \, \psi\right)$ partiell zu integrieren. In der Elektrodynamik ist er vor allem bei Randwertproblemen wichtig.
  • Was versteht man unter einem skalaren Potenzial eines Vektorfeldes $\boldsymbol{K}$?

    Lösung

    Ein skalares Feld $\phi$, sodass $\boldsymbol{K} = \mathbf{grad} \, \phi$ ist.
  • Welcher Zusammenhang besteht zwischen der Rotation eines Vektorfeldes und der Existenz eines skalaren Potenzials dafür?

    Lösung

    Wenn die Rotation des Vektorfeldes in einem einfach zusammenhängenden Gebiet verschwindet, existiert dort ein skalares Potenzial. Wenn umgekehrt in einem beliebigen Gebiet (nicht notwendig einfach zusammenhängend) ein skalares Potenzial existiert, dann verschwindet dort die Rotation des Vektorfeldes.
  • Welcher Zusammenhang besteht zwischen der Existenz eines skalaren Potenzials für ein Vektorfeld und dem Wert von Wegintegralen über dieses Vektorfeld?

    Lösung

    Wenn ein skalares Potenzial existiert, so ist der Wert von Wegintegralen vom Weg unabhängig; insbesondere geschlossene Wegintegrale ergeben immer null. Wenn umgekehrt der Wert von Wegintegralen über ein Vektorfeld vom Weg unabhängig ist, dann existiert ein skalares Potenzial dafür.
  • Wie nennt man ein Vektorfeld, bei dem der Wert von Wegintegralen vom Weg unabhängig ist?

    Lösung

    Konservativ.
  • Was versteht man unter einem Vektorpotenzial für ein gegebenes Vektorfeld $\boldsymbol{K}$?

    Lösung

    Ein Vektorfeld $\boldsymbol{A}$, sodass $\boldsymbol{K} = \mathbf{rot} \, \boldsymbol{A}$ ist.
  • Was muss man für ein im ganzen Raum definiertes Vektorfeld voraussetzen, damit dafür ein Vektorpotenzial existiert?

    Lösung

    Die Divergenz des Vektorfeldes muss überall verschwinden.
  • Wie kann man ein Vektorpotenzial abändern, sodass sich daraus immer noch dasselbe Vektorfeld ergibt, und warum?

    Lösung

    Man kann den Gradienten eines beliebigen skalaren Feldes addieren, weil $\mathbf{rot} \, \mathbf{grad} = \boldsymbol{0}$ ist.
  • Was besagt das Helmholtz-Theorem für ein stetig differenzierbares Vektorfeld in einem einfach zusammenhängenden Gebiet, das für $r \to \infty$ schnell genug verschwindet?

    Lösung

    Man kann das Vektorfeld als eine Summe aus einem quellenfreien und einem wirbelfreien Vektorfeld schreiben und damit als eine Summe aus dem Gradienten eines skalaren Potenzials und der Rotation eines Vektorpotenzials.
  • Was ist der Zweck von Fourier-Reihen?

    Lösung

    Periodische Funktionen sollen als eine Summe von trigonometrischen Funktionen dargestellt werden, da letztere mathematisch relativ einfach handhabbar sind. (z. B. bei elektrischen Schaltkreisen oder dem Lösen von linearen Differenzialgleichungen.)
  • Wie sieht die Fourier-Reihe für eine Funktion $f(t)$ mit Kreisfrequenz $\omega$ aus?

    Lösung

    $f(t) = \sum_{j=0}^{\infty} a_j g_j(t) + \sum_{j=1}^{\infty} b_j h_j(t)$ mit $g_0 = \frac{1}{\sqrt{2}}$, $g_j(t) = \cos(j \omega t)$, $h_j(t) = \sin(j \omega t)$
  • Wie berechnet man die Koeffizienten in der Fourier-Reihe?

    Lösung

    $a_j = \frac{2}{T} \int_{c}^{c + T} f(t) \, g_j(t) \, \mathrm{d} t$ für $j \in \mathbb{N}$, $b_j = \frac{2}{T} \int_{c}^{c + T} f(t) \, h_j(t) \, \mathrm{d} t$ für $j \in \mathbb{N}^∗$; oft wird $c = -T/2$ gewählt.
  • Was bedeutet es, dass eine Funktion quadratintegrabel ist?

    Lösung

    Das Integral des (Betrags-)Quadrats der Funktion über ihre Periode (bzw. über ihre gesamte Definitionsmenge, wenn sie nicht periodisch ist) ist endlich.
  • Was ist das Gibbs'sches Phänomen?

    Lösung

    An Unstetigkeitsstellen der Funktion $f$ konvergiert die Fourier-Reihe nicht gegen die Funktion, sondern es treten Über- und Unterschwinger auf: Die Fourier-Reihe nimmt deutlich zu große oder zu kleine Werte an.
  • Was versteht man unter Konvergenz der Fourier-Reihe im quadratischen Mittel?

    Lösung

    $\lim_{n \to \infty} \int_{c}^{c + T} |f(t) - f_n(t)|^2 \mathrm{d} t \to 0$, wobei $f_n(t)$ die $n$te Partialsumme der Fourier-Reihe ist.
  • Wie lautet die Exponentialdarstellung von Fourier-Reihen und wie berechnet man dabei die Koeffizienten?

    Lösung

    $f(t) = \sum_{j=-\infty}^{\infty} c_j \mathrm{e}^{\mathrm{i} j \omega t}$ mit $c_j = \frac{1}{T} \int_{c}^{c + T} f(t) \, \mathrm{e}^{-\mathrm{i} j \omega t} \mathrm{d} t$ für $j \in \mathbb{Z}$
  • Was ist die Motivation hinter Fourier-Integralen?

    Lösung

    Man will auch nicht-periodische Funktionen (also z. B. unendlich lange Signale) als eine (überabzählbare unendliche) Linearkombination von trigonometrischen bzw. komplexen Exponentialfunktionen darstellen, aus denselben Gründen wie bei Fourier-Reihen.
  • Wie sehen die Formeln für die Fourier-Transformation einer Funktion $f(t)$ aus?

    Lösung

    $f(t) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{\infty} \tilde{f}(\omega) \mathrm{e}^{-\mathrm{i} \omega t} \mathrm{d} \omega$ mit $\tilde{f}(\omega) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{\infty} f(t) \mathrm{e}^{\mathrm{i} \omega t} \mathrm{d} t$
  • Wie sehen die Formeln für die Fourier-Transformation eines skalaren Feldes $f(\boldsymbol{r})$ aus?

    Lösung

    $f(\boldsymbol{r}) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}^3} \int \tilde{f}(\boldsymbol{k}) \mathrm{e}^{\mathrm{i} \boldsymbol{k} \circ \boldsymbol{r}} \mathrm{d}^3 k$ mit $\tilde{f}(\boldsymbol{k}) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}^3} \int f(\boldsymbol{r}) \mathrm{e}^{-\mathrm{i} \boldsymbol{k} \circ \boldsymbol{r}} \mathrm{d}^3 r$
  • Was versteht man unter einem vollständigen Funktionensystem auf einem Intervall $[a;b]$?

    Lösung

    Eine Menge von Funktion $f_k(x)$, $k \in \mathbb{N}$, sodass es für jede quadratintegrable Funktion $f$, die auf dem Intervall definiert ist, eine Reihe $f(x) = \sum_k a_k f_k(x)$ gibt, deren Partialsummen im quadratischen Mittel gegen $f$ konvergieren.
  • Wann nennt man ein Funktionensystem $f_k$ auf dem Intervall $[a;b]$ orthonormal?

    Lösung

    Wenn $\int_a^b f^∗_j(x) f_k(x) \, \mathrm{d} x = \delta_{jk}$ gilt.
  • Wie berechnet man die Koeffizienten $a_k$ der Entwicklung einer Funktion nach einem vollständigen orthonormalen Funktionensystem?

    Lösung

    $a_k = \int_a^b f^∗(x) f_k(x) \, \mathrm{d} x$
  • Wie definiert man ein Skalarprodukt für quadratintegrable Funktionen auf einem Intervall $[a;b]$?

    Lösung

    $\langle g, h \rangle = \int_a^b g^∗(x) \, h(x) \, \mathrm{d} x$ (man kann auch noch eine Gewichtsfunktion $\rho(x)$ mit einfügen)
  • Wie sehen die Formeln für die Reihenentwicklung einer Funktion $f$ nach einem vollständigen orthonomalen Funktionensystem und für die Orthonormalität unter Verwendung eines solchen Skalarprodukts aus?

    Lösung

    $f(x) = \sum_k \langle f_k, f \rangle f_k(x)$ und $\langle f_j, f_k \rangle = \delta_{jk}$
  • Wie funktioniert die Gram-Schmidt-Orthogonalisierung für ein Funktionensystem qualitativ?

    Lösung

    Man beginnt mit einer unendlichen Menge von linear unabhängigen Funktionen. Die erste Funktion wählt man als $f_0(x)$. Bei allen weiteren Funktionen muss man dann jeweils die Anteile subtrahieren, die parallel (im Sinne des Skalarprodukts zwischen Funktionen) zu den vorherigen Funktionen sind.
  • Was sind die Legendre-Polynome?

    Lösung

    Ein vollständiges orthogonales System von Polynomen auf dem Intervall $[-1;1]$, das durch die Gram-Schmidt-Orthogonalisierung der Funktionen $x^k$, $k \in \mathbb{N}$ entsteht. Die Normierung ist $P_k(1) = 1$.
  • Wann heißt ein Differenzialoperator $D$ selbstadjungiert?

    Lösung

    Wenn für alle quadratintegrablen Funktionen $g$, $h$ jeweils $\langle D g, h \rangle = \langle g, D h \rangle$ gilt.
  • Welche wichtige Eigenschaft haben die Eigenfunktionen zu einem solchen Differenzialoperator?

    Lösung

    Sie bilden ein vollständiges Funktionensystem. Eigenfunktionen zu unterschiedlichen Eigenwerte sind orthogonal; Eigenfunktionen zum selben Eigenwert können auch orthogonal gewählt werden. Man erhält also ein vollständiges Orthonormalsystem.
  • Was ist ein Separationsansatz, und wie hilft dieser beim Lösen einer linearen partiellen Differenzialgleichung?

    Lösung

    Man setzt die Lösung der Differenzialgleichung als ein Produkt aus Funktionen an, die jeweils nur von einer Variable abhängen. Setzt man diesen Ansatz in die Differenzialgleichung ein, so gelangt man in vielen Fällen zu der Bedingung, dass jeweils Kombinationen der einzelnen Funktionen und ihren Ableitungen gleich sein müssen; also müssen sie alle gleich derselben Konstante sein. Damit zerfällt die partielle Differenzialgleichung in lauter gewöhnliche (Eigenwert-)Differenzialgleichungen für die einzelnen Faktoren.
  • Was versteht man unter den Kugelflächenfunktionen, und für welche Funktionen bilden sie ein vollständiges Orthonormalsystem?

    Lösung

    Die Kugelflächenfunktionen sind die Eigenfunktionen zum Winkelanteil des Laplace-Operators in Kugelkoordinaten (und damit auch zum Drehimpulsoperator in der Quantenmechanik). Sie bilden ein vollständiges Orthonormalsystem für alle quadratintegrablen Funktionen, die vom Polar- und Azimutalwinkel abhängen.
  • Wie sieht die funktionale Abhängigkeit der Kugelflächenfunktionen vom Azimutalwinkel $\varphi$ aus?

    Lösung

    $\mathrm{e}^{\mathrm{i} m \varphi}$ mit $m \in \mathbb{Z}$
  • Welche Arten von Funktionen treten bei der funktionalen Abhängigkeit der Kugelflächenfunktionen vom Polarwinkel $\vartheta$ auf?

    Lösung

    Sinus- und Kosinusfunktionen (genauer: Es handelt sich um zugeordnete Legendre-Funktionen von $\cos\vartheta$.)
  • Was versteht man unter den Bessel-Funktionen?

    Lösung

    Dies sind die Lösungen der Bessel'schen Differenzialgleichung.
  • Wie verhalten sich die verschiedenen Arten von zylindrischen Bessel-Funktionen jeweils qualitativ für $x \to 0$ und $x \to \infty$?

    Lösung

    Die Bessel-Funktionen $J_m$ und die modifizierten Bessel-Funktionen $I_m$ erster Art sind für $x \to 0$ endlich, die jeweiligen Funktionen zweiter Art $Y_m$ und $K_m$ divergieren. Die Bessel-Funktionen erster und zweiter Art gehen für $x \to \infty$ oszillierend gegen null, die modifizierten Bessel-Funktionen erster Art divergieren exponentiell, diejenigen zweiter Art gehen exponentiell gegen null.
  • Wann heißt eine komplexe Funktion $f$ holomorph an einer Stelle $z_0$?

    Lösung

    Wenn der Grenzwert $\lim_{z \to z_0} \frac{f(z) - f(z_0)}{z - z_0}$ existiert, also insbesondere für jeden Weg von $z$ zu $z_0$ gleich ist.
  • Wann heißt eine komplexe Funktion ganz?

    Lösung

    Wenn sie für alle komplexen Zahlen $z_0$ holomorph ist.
  • Wie lauten die Cauchy-Riemann'schen-Differenzialgleichungen, und welchen Zweck haben sie?

    Lösung

    Gelten für eine komplexe Funktion $f(z) = u(x + \mathrm{i} y) + \mathrm{i} \, v(x + \mathrm{i} y)$ an einer Stelle $z_0$ die Differenzialgleichungen $\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}$ und $\frac{\partial v}{\partial x} = -\frac{\partial u}{\partial y}$, so ist sie dort holomorph.
  • Wie lautet der Integralsatz von Cauchy?

    Lösung

    Ist eine Funktion $f$ in einem einfach zusammenhängenden Gebiet holomorph, so gilt für jeden geschlossenen Weg in diesem Gebiet $\oint f(z) \, \mathrm{d} z = 0$.
  • Wann heißt eine Definitionslücke einer komplexen Funktion isoliert, und welche Arten davon gibt es?

    Lösung

    Sie heißt isoliert, wenn es eine Umgebung dazu gibt, in der $f$ holomorph ist. Isolierte Definitionslücken können hebbar sein (der Grenzwert von $f(z)$ dort existiert) oder Polstellen ($|f(z)|$ geht dort gegen unendlich) oder wesentlich.
  • Wann heißt eine komplexe Funktion meromorph?

    Lösung

    Wenn sie höchstens isolierte Definitionslücken hat, die alle entweder hebbar oder Polstellen sind, und ansonsten holomorph ist.
  • Was besagt die Cauchy'sche Integralformel?

    Lösung

    Ist eine Funktion $f$ in einem einfach zusammenhängenden Gebiet holomorph, so gilt für jeden geschlossenen Weg in diesem Gebiet $f(z_0) = \frac{1}{2 \pi \mathrm{i}} \oint \frac{f(z)}{z - z_0} \mathrm{d} z$.
  • Welche wichtige Eigenschaft holomorpher Funktionen folgt daraus?

    Lösung

    Sie sind unendlich oft differenzierbar und analytisch (lokal durch eine Potenzreihe darstellbar).
  • Was versteht man unter dem Residuum einer meromorphen Funktion $f$ bei einer Polstelle $z_0$?

    Lösung

    $\mbox{Res}_{z_0} f(z) = \frac{1}{2 \pi \mathrm{i}} \oint_{\gamma} f(z) \, \mathrm{d} z$, wobei $\gamma$ ein Weg ist, der die Polstelle in mathematisch positivem Sinn einmal umläuft. Anschaulich gibt es so etwas wie die Stärke eines Pols erster Ordnung an.
  • Was besagt der Residuensatz?

    Lösung

    $\oint_{\gamma} f(z) \, \mathrm{d} z = 2 \pi \mathrm{i} \sum_{z_0} \mbox{ind}_{\gamma}(z_0) \mbox{Res}_{z_0} f(z)$, wobei die Summe über alle Pole erster Ordnung läuft, die vom Weg $\gamma$ eingeschlossen werden. $\mbox{ind}_{\gamma}(z_0)$ gibt jeweils an, wie oft und in welchem mathematischen Sinne der Weg die jeweilige Polstelle umläuft.
  • Was versteht man unter einer Laurent-Reihe?

    Lösung

    Dies ist eine verallgemeinerte Taylor-Reihe, auch mit negativen Exponenten: Hat eine meromorphe Funktion $f$ die Polstelle $z_0$ der Ordnung $n$, so kann man sie lokal in eine Reihe der Form $f(z) = \sum_{j=-n}^{\infty} a_j (z - z_0)^j$ entwickeln.
  • Wie berechnet man das Residuum einer meromorphen Funktion $f$ bei einer Polstelle $z_0$ erster Ordnung?

    Lösung

    $\mbox{Res}_{z_0} f(z) = \lim_{z \to z_0} (z - z_0) f(z)$
  • Wie macht man aus einer Integration entlang der reellen Achse ein geschlossenes Wegintegral, und was muss man dafür voraussetzen?

    Lösung

    Man schließt den Integrationsweg durch einen Halbkreis ,,im Unendlichen'', wahlweise in der oberen oder unteren komplexen Halbeebene. Das funktioniert nur, wenn die Funktion auf diesem Halbkreis verschwindet.
  • Was versteht man unter einem komplexen Potenzial?

    Lösung

    Eine komplexe Funktion $\Phi$, deren Realteil ein elektrostatisches Potenzial in der Ebene bei Abwesenheit von Ladungen beschreibt, also die Laplace-Gleichung löst.
  • Was versteht man unter einer konformen Abbildung?

    Lösung

    Eine Abbildung (hier: der komplexen Ebene auf sich selbst), die lokal winkelerhaltend ist.
  • Fertig!

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Gut zu wissen

Das Buch ergänzt die zwei Bände zur Elektrodynamik von Björn Feuerbacher und hilft als Begleitung zur Vorlesung, zur Vorbereitung oder zum Nachschlagen und Einüben von Rechenmethoden eine der ersten großen Hürden in der theoretischen Physik zu überwinden!

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