Inhalt
- Kapitel 1: Grundzutaten und Basisrezepte
- Kapitel 2: Newtonsche Mechanik
- Kapitel 3: Lagrange-Formalismus
- Kapitel 4: Integration und Erhaltungsgrößen
- Kapitel 5: Kleine Schwingungen
- Kapitel 6: Starrer Körper
- Kapitel 7: Hamilton-Formalismus
- Kapitel 8: Relativistische Mechanik
Kapitel 1: Grundzutaten und Basisrezepte
Zusammenfassung
Es gibt einige Zutaten, die wir in unseren späteren Kochrezepten immer wieder benötigen werden. Dabei handelt es sich zum Teil um physikalische Begriffe, viel mehr aber noch um mathematische Konzepte und Techniken. Natürlich kann und will diese knappe Einführung weder eine Physik-Grundlagen-Vorlesung noch eine fundierte Mathematik-Ausbildung ersetzen.
Kapitel 2: Newtonsche Mechanik
Zusammenfassung
Die klassische Mechanik in der newtonschen Formulierung mit Beschleunigung, Masse und Kraft bildet die Grundlage für alle weitergehenden Überlegungen, die zum Lagrange- und Hamilton-Formalismus sowie zur Relativitätstheorie und zur Quantenmechanik führen.
Kapitel 3: Lagrange-Formalismus
Zusammenfassung
Wäre es nicht schön, wenn wir uns über Richtungen und Zerlegungen von Kräften keine Gedanken machen müssten und uns in nichtkartesischen Koordinaten das mühselige Umrechnen vektorieller Größen ersparen könnten? Genau das leistet der Lagrange-Formalismus, der landläufig unter seinen zwei Varianten „1. Art“ und „2. Art“ bekannt ist. Dabei ist eine Grundidee die Analogie zum Lichtstrahl, der immer die kürzestmögliche Zeit brauchen will und daher in Materialien mit unterschiedlichen Brechungsindizes jeweils den optimalen Anteil seines Weges verbringt. Mathematisch handelt es sich hierbei um ein Variationsproblem, vergleichbar mit einem Extremwertproblem, um aus allen möglichen Kurven, die von A nach B führen, die „beste“ zu finden.
Kapitel 4: Integration und Erhaltungsgrößen
Zusammenfassung
Wie der Name dieses Kapitels bereits erwarten lässt, hat es mit Integralen zu tun. Genauer gesagt wollen wir die Zeit t, die seit einem bestimmten Bewegungszustand vergangen ist, als Integral über eine Koordinate x schreiben (auch Integration oder Quadratur genannt, selbst wenn das Integral nicht explizit ausgewertet wird). Wenn das möglich ist, nennen wir ein System integrabel und die Lösung x(t) ist implizit als Umkehrfunktion des berechneten t(x) gegeben.
Kapitel 5: Kleine Schwingungen
Zusammenfassung
Schwingungen und deren räumliche Ausbreitung, die Wellen, können ein sehr kompliziertes Verhalten zeigen. Das ist dann der Fall, wenn nichtlineare Effekte wichtig werden. Beschränkt man sich jedoch auf kleine Auslenkungen, so hat man meist in guter Näherung lineares Verhalten vorliegen, und die mathematische Struktur wird vergleichsweise einfach.
Kapitel 6: Starrer Körper
Zusammenfassung
Ein starrer Körper ist eine Idealisierung für ausgedehnte Körper, wenn ihre Kompression und Biegung für die Bewegung vernachlässigt werden kann. Man setzt sie entweder als mit gedachten masselosen Stangen verbundene Punktmassen oder als kontinuierliche starr verbundene Massenverteilung an (vgl. Betonklotz). Die Mechanik des starren Körpers weist klare Analogien zur Mechanik der Massenpunkte auf, die in Tab. 6.1 zusammengefasst sind. Dennoch gilt die Starrkörpermechanik – wohl nicht ganz zu unrecht – als „viel schwieriger“ als die Punktmechanik.
Kapitel 7: Hamilton-Formalismus
Zusammenfassung
Wie so oft im Leben und in der Physik führt nicht nur ein Weg zum Ziel. Nachdem wir in Kapitel 3 Rezepte zum Lagrange-Formalismus kennengelernt haben, versuchen wir uns nun am Hamilton-Formalismus. Beide liefern für ein gegebenes mechanisches Problem am Ende dieselbe Lösung (wäre auch ziemlich blöd, wenn nicht).
Kapitel 8: Relativistische Mechanik
Zusammenfassung
Während in der klassischen Mechanik die Zeit t als Kurvenparameter Teil der Lösung ist, wird sie in der relativistischen Mechanik gewissermaßen Teil des Problems. Neu dabei ist, dass nicht mehr in allen Bezugssystemen derselbe Parameter t universell verwendet werden kann und er deshalb in den Rang einer vollwertigen und transformierbaren Koordinate in der 4-dimensionalen Raumzeit erhoben wird. Sieht man von der intuitiven, aber ungenauen Interpretation der „gleichmäßig dahinfließenden Zeit“ einmal ab, ist das nicht so ungewöhnlich. So macht es schon in der klassischen Mechanik keinen Sinn, von einem „universellen Ort“ zu sprechen aus folgendem Grund: Die newtonschen Gesetze sind in zueinander gleichförmig geradlinig bewegten Bezugssystemen gleich.