Inhalt
Das vorliegende Buch bietet Ihnen eine Einführung in die wichtigsten mathematischen Methoden, wie Sie sie in den ersten drei Semestern Ihres Physikstudiums typischerweise benötigen. Da die Betonung auf der Verwendung der Methoden liegt, ist der Stil eher pragmatisch. So werden oft Beispiele genutzt, um die verschiedenen Techniken zu motivieren, und Analogieargumente an die Stelle detaillierter Herleitungen gesetzt. Entsprechend anwendungsorientiert ist auch der Gradmesser für Ihren Lernerfolg: er ist dann (und nur dann) erreicht, wenn Sie alle Übungsaufgaben am Ende der Kapitel richtig gelöst haben.
Gliederung
Teil 1: Unendlich kleine Größen
Teil 2: Lineare Räume
- Kapitel 4: Dreidimensionale Vektoren
- Kapitel 5: Allgemeine Vektorräume
- Kapitel 6: Lineare Abbildungen
Teil 3: Mehrdimensionale Differentiation und Integration
- Kapitel 7: Mehrdimensionale Differentiation
- Kapitel 8: Mehrdimensionale Integration
- Kapitel 9: Krummlinige Koordinatensysteme
Teil 4: Gewöhnliche Differentialgleichungen
- Kapitel 10: Gewöhnliche Differentialgleichungen
- Kapitel 11: Newton'sche Mechanik
- Kapitel 12: Extrema
Teil 5: Partielle Differentialgleichungen
- Kapitel 13: Wichtige Beispiele
- Kapitel 14: Separationsansätze
- Kapitel 15: Die Green'sche Funktion
- Kapitel 16: Die Fourier-Transformation
Teil 1: Unendlich kleine Größen
Viele Konzepte und Methoden der angewandten Analysis lassen sich mithilfe von unendlich kleinen Größen veranschaulichen. Aus diesem Blickwinkel werden im vorliegenden Teil einige grundlegende Begriffe und Rechenregeln der Differential- und Integralrechnung von Funktionen einer reellen Veränderlichen rekapituliert. Darüber hinaus erweisen sich unendlich kleine Größen als nützliche Instrumente in der physikalischen Modellbildung, die in der Regel die Suche nach einer geeigneten Funktion ist. Statt diese Funktion direkt zu bestimmen, ist es im Allgemeinen einfacher, eine Gleichung für ihre Ableitung zu finden. Die verbleibende Aufgabe, aus dieser Gleichung die komplette Funktion zu rekonstruieren, ist eines der zentralen Themen dieses Buches.
Kapitel 1: Differentiation
Engel, Andreas
- 1.1 Größenordnungssymbole
- 1.2 Ableitungen und Differentiale
- 1.3 Taylorreihen
- Worksheet 1: Funktionen, Ableitungen und Taylor-Reihen
- + Aufgaben & Lösungen
Zusammenfassung
Unendlich kleine Größen ermöglichen ein intuitives Verständnis von Ableitungen und Differentialen. Dabei ist entscheidend, dass es verschiedene Arten von „unendlich klein“ gibt: Eine unendlich kleine Größe x kann durchaus viel größer sein als eine andere unendlich kleine Größe y. Die mathematisch exakte Beschreibung dieses Umstands geschieht mithilfe des Grenzwertbegriffs. In konkreten Rechnungen bieten die Landau’schen Größenordnungssymbole O und o nützliche Orientierungen. Sie präzisieren die Bedeutung und Gültigkeit der notwendigen, anfangs aber mitunter verwirrenden Näherungen in der differentiellen Modellbildung.
Kapitel 2: Integration
Engel, Andreas
- 2.1 Volumenberechnung
- 2.2 Der Hauptsatz der Infinitesimalrechnung
- 2.3 Methoden zur Integralberechnung
- Worksheet 2: Integration
- + Aufgaben & Lösungen
Zusammenfassung
Unendlich kleine Größen erlauben ein anschauliches Verständnis des Integralbegriffs und der grundlegenden Integrationsregeln. Im vorliegenden Kapitel werden einige dieser Regeln für Funktionen einer Veränderlichen unter diesem Blickwinkel zusammengestellt. Auch der Hauptsatz der Infinitesimalrechnung, der den engen Zusammenhang zwischen Differential- und Integralrechnung dokumentiert, findet eine intuitive Begründung.
Kapitel 3: Differentielle Modellbildung
Engel, Andreas
- 3.1 Rekursionen
- 3.2 Differentialgleichungen
- + Aufgaben & Lösungen
Zusammenfassung
Bei der Analyse experimenteller Situationen ist es oft einfacher, die Änderung einer gesuchten Funktion bei Änderungen ihrer Ar gumente zu charakterisieren, als diese Funktion selbst direkt zu bestimmen. Für ganzzahlige Veränderliche führt dieses Vorgehen auf Rekursionsbeziehungen, die in vielen Fällen durch Iteration gelöst werden können. Bei Funktionen kontinuierlicher Veränderlicher kann die Differenz zwischen den beiden Argumentwerten beliebig klein werden. Kleine Größen höherer Ordnung lassen sich dann in konsistenter Weise vernachlässigen, was das Verfahren sehr leistungsfähig macht. Viele Grundgleichungen der Physik können auf diese Weise hergeleitet werden. Ergibt sich dabei ein expliziter Ausdruck für die Ableitung der gesuchten Funktion, so kann diese durch direkte Integration berechnet werden. Das ist jedoch nur selten der Fall. Typischerweise wird der gewonnene Ausdruck für die Ableitung auch die gesuchte Funktion selbst enthalten. Die differentielle Modellbildung führt dann auf eine Differentialgleichung - eine Beziehung zwischen der gesuchten Funktion und ihrer Ableitung. Im zweiten Schritt des Verfahrens muss diese Gleichung gelöst werden. Die dafür benötigten Methoden gehen über eine einfache Integration hinaus und bilden den Gegenstand der Teile IV und V dieses Buches.
Teil 2: Lineare Räume
Lineare Räume sind äußerst nützliche Strukturen bei der Lösung angewandter mathematischer Probleme. Die Menge der Vektoren im dreidimensionalen Raum bildet ein einfaches, aber wichtiges Beispiel, für das sich alle Grundkonzepte direkt und anschaulich formulieren lassen. Die generelle Struktur von linearen Räumen ist aber allgemeiner und über die Analyse von niedrigdimensionalen Vektorräumen hinaus tragfähig. Lineare Räume mit mehr als drei, aber endlich vielen Dimensionen sind weniger anschaulich, in ihren Eigenschaften aber weitgehend analog zum Raum der dreidimensionalen Vektoren. Funktionenräume bilden unendlichdimensionale lineare Räume, ein Umstand, der in der Fourier-Analyse periodischer Funktionen genutzt wird. Schließlich spielen lineare Abbildungen in diesen Räumen eine große Rolle. Einige ihrer Eigenschaften, insbesondere die Existenz von Eigenwerten und Eigenvektoren, sind für die effektive Durchführung vieler Rechnungen von großem Wert.
Kapitel 4: Dreidimensionale Vektoren
Engel, Andreas
- 4.1 Vektoralgebra
- 4.2 Koordinatendarstellungen von Vektoren
- 4.3 Vektorprodukte
- + Aufgaben & Lösungen
Zusammenfassung
Physikalische Größen wie Kräfte und Geschwindigkeiten sind erst nach Angabe ihrer Richtung eindeutig festgelegt. Wird für die Geschwindigkeit eines Körpers zum Beispiel 10 m/s gemessen, so sagt dies zunächst nur etwas über ihren Betrag aus, die Richtung, in die sich der Körper bewegt, bleibt noch vollkommen unbestimmt. Viele solcher Größen lassen sich auf Verschiebungen im Raum zurückführen, für die Geschwindigkeit ist das offensichtlich. Richtungsabhängige Größen dieser Art werden (dreidimensionale) Vektoren genannt, wir werden sie hier mit fettgedruckten Buchstaben a; v oder F bezeichnen. Es ist oft hilfreich, sich einen Vektor durch einen Pfeil zu veranschaulichen, der die zugehörige Verschiebung angibt. Dem Betrag des Vektors entspricht dann die Länge des zugehörigen Pfeils. Er ist eine reelle Zahl und wird im Allgemeinen mit dem gleichen Buchstaben wie der Vektor bezeichnet, jedoch nicht fett gedruckt. Wenn wir uns auf einen bestimmten Punkt im Raum als Ursprung einigen, kann jeder andere Punkt durch die Verschiebung charakterisiert werden, die den Ursprung in diesen Punkt überführt. Den dazugehörigen Vektor nennt man den Ortsvektor des Punktes, er wird oft mit r bezeichnet. Größen, die nicht richtungsabhängig sind, wie etwa die Temperatur oder der Druck, nennt man zur Unterscheidung von Vektoren Skalare.
Kapitel 5: Allgemeine Vektorräume
Engel, Andreas
- 5.1 Endlichdimensionale Vektorräume
- 5.2 Funktionenräume
- 5.3 Fourier-Reihen
- + Aufgaben & Lösungen
Zusammenfassung
Lineare Räume sind über die Beschreibung von verschiebungsbasierten Vektoren in zwei oder drei Dimensionen hinaus bedeutsam und stellen ihre Nützlichkeit in vielen verschiedenen Zusammenhängen unter Beweis. Das vorliegende Kapitel ist daher verallgemeinerten Vektorräumen gewidmet. Der Inhalt mag beim ersten Lesen formal und trocken wirken, es lohnt sich aber, ihn zu verinnerlichen. Das wird Ihnen leichter gelingen, wenn Sie vorher Kap. 4 gelesen haben, weil Sie sich dann die allgemeinen Strukturen und Konzepte anhand von Vektoren im R3 veranschaulichen können.
Kapitel 6: Lineare Abbildungen
Engel, Andreas
- 6.1 Lineare Abbildungen zwischen Vektoren
- 6.2 Lineare Gleichungssysteme
- 6.3 Eigenwerte und Eigenvektoren linearer Abbildungen
- Worksheet 3: Lineare Räume
- + Aufgaben & Lösungen
Zusammenfassung
Zwischen den Elementen eines Vektorraums kann es verschiedene Beziehungen geben. So ist die Beschleunigung a:= dv/dt eines Körpers der wirkenden Kraft F proportional, die elektrischen und magnetischen Felder einer elektromagnetischen Welle müssen in einer bestimmten Beziehung zueinander stehen, und die Ableitung einer konvergenten Potenzreihe ist eine andere konvergente Potenzreihe. Oft können solche Zusammenhänge durch Abbildungen des Vektorraums auf sich selbst beschrieben werden. Eine Abbildung A ordnet einem Element a eines Vektorraums V in eindeutiger Weise ein Element ã = A a desselben Vektorraums zu. Solche Abbildungen werden oft auch Operatoren genannt.
Teil 3: Mehrdimensionale Differentiation und Integration
Ableitungen und Integrale haben intuitive Verallgemeinerungen auf höherdimensionale Situationen. Das betrifft sowohl vektorwertige Funktionen als auch Funktionen mehrerer Veränderlicher. Die meisten neuen Gesichtspunkte treten bereits im zweidimensionalen Fall auf, für den sie noch recht anschaulich sind. Höherdimensionale Probleme mit Symmetrien vereinfachen sich oft bei Benutzung krummliniger Koordinatensysteme. Die Bildung von Ableitungen und Integralen ist in verallgemeinerten Koordinaten zwar aufwendiger als in kartesischen, die zusätzlichen Komplikationen werden aber durch die resultierenden Vereinfachungen mehr als aufgewogen. Für die wichtigsten Kombinationen höherdimensionaler Ableitungen und Integrale stellen viele Computeralgebrasysteme Pakete mit speziellen Befehlen zur Verfügung. Deren Syntax ist jedoch oft etwas sperrig, so dass sich ihre Nutzung erst bei relativ komplexen konkreten Rechnungen lohnt. Aus diesem Grund steht der Einsatz von MAPLE in diesem Teil nicht im Vordergrund; einige Befehle werden aber im geeigneten Zusammenhang erwähnt und in Worksheet 4 am Ende von Kapitel 9 zusammengestellt.
Kapitel 7: Mehrdimensionale Differentiation
Engel, Andreas
- 7.1 Differentiation vektorwertiger Funktionen
- 7.2 Partielle Ableitungen
- 7.3 Implizite Funktionen
- 7.4 Vektoranalysis
- + Aufgaben & Lösungen
Zusammenfassung
Der Begriff der Ableitung einer Funktion hat verschiedene Verallgemeinerungen auf mehrdimensionale Situationen. Die einfachste betrifft die Differentiation vektorwertiger Funktionen einer Variable. Der komplementäre Fall einer skalaren Funktion mehrerer Veränderlicher führt auf den Begriff der partiellen Ableitung. Für die Ableitung vektorwertiger Funktionen mehrerer Veränderlicher gibt es verschiedene Kombinationen, deren Behandlung Gegenstand der Vektoranalysis sind. Sicherer Umgang mit dem Nabla-Operator, der Summenkonvention und dem Levi-Civita-Symbol ebnet den Weg für die Berechnung mehrfacher oder zusammengesetzter Ableitungen. Die meisten neu auftretenden Konzepte werden an zwei- oder dreidimensionalen Beispielen erläutert. Am Ende des Kapitels wird kurz die Verallgemeinerung auf N-dimensionale Räume besprochen.
Kapitel 8: Mehrdimensionale Integration
Engel, Andreas
- 8.1 Integration vektorwertiger Funktionen
- 8.2 Die Länge einer Kurve
- 8.3 Kurvenintegrale
- 8.4 Linienintegrale
- 8.5 Flüsse
- 8.6 Mehrfachintegrale
- 8.7 Oberflächenintegrale
- + Aufgaben & Lösungen
Zusammenfassung
Ähnlich wie im Fall der Ableitung kann auch der Integralbegriff aus Kap. 2 in verschiedener Weise auf mehrdimensionale Situationen verallgemeinert werden. Es gibt Integrale vektorwertiger Funktionen, Integrale über Funktionen mehrerer Veränderlicher, Flüsse, Oberflächen- und Linienintegrale. Allen ist gemeinsam, dass sie sich als unendliche Summen infinitesimaler Beiträge verstehen lassen - die verschiedenen Typen von Integralen unterscheiden sich nur durch die Art und Weise, wie diese Beiträge aus den Vektorkomponenten der zu integrierenden Funktionen und den Differentialen der Integrationsvariablen zusammengesetzt werden. Dadurch lassen sich alle mehrdimensionalen Integrale letztendlich auf Integrale von skalaren Funktionen einer Veränderlichen zurückführen. Das gelingt oft am besten unter Benutzung krummliniger Koordinaten, sodass einige Eigenschaften mehrdimensionaler Integrale erst in Kap. 9 besprochen werden.
Kapitel 9: Krummlinige Koordinatensysteme
Engel, Andreas
- 9.1 Allgemeine Koordinaten
- 9.2 Integration in krummlinigen Koordinaten
- 9.3 Die Integralsätze der Vektoranalysis
- 9.4 Vektoranalysis in krummlinigen Koordinaten
- + Aufgaben & Lösungen
- Worksheet 4: Mehrdimensionale Differentiation und Integration
Zusammenfassung
Kartesische Koordinatensysteme haben viele Vorteile und werden zu Recht sehr häufig verwendet. Trotzdem sind sie nicht immer die optimale Wahl. Viele Probleme weisen Symmetrien auf, die den Gebrauch anderer Koordinatensysteme nahelegen. So empfehlen sich Kugelkoordinaten für Systeme mit Rotationssymmetrie: Das Potential eines Zentralfeldes hängt nicht von jeder der kartesischen Koordinaten einzeln ab, sondern nur vom Betrag des Ortsvektors - statt einer Funktion von drei Variablen ist also nur eine von einer Variablen zu analysieren. Weniger Variablen bedeuten weniger Ableitungen und weniger Integrale, also weniger Arbeit und weniger Fehlerquellen. Aus diesem Grund ist die Wahl eines geeigneten Koordinatensystems der erste und oft entscheidende Schritt bei der Lösung eines konkreten Problems. Der Preis für diese Vereinfachungen sind kompliziertere Ausdrücke für Ableitungen und Integrale in allgemeinen Koordinatensystemen. Ihre Herkunft und genaue Gestalt wird in diesem Kapitel besprochen. Wie zuvor starten wir wieder mit zweidimensionalen Situationen, da diese bereits die wesentlichen Komplikationen zeigen, dabei aber anschaulich und übersichtlich bleiben. Nach einer kurzen Betrachtung des allgemeines Falles krummliniger Koordinaten werden wir uns auf lokal orthogonale Koordinatensysteme beschränken. Spezielle Aufmerksamkeit verdienen Zylinder- und Kugelkoordinaten in drei Dimensionen, da sie sehr häufig in Anwendungen vorkommen.
Teil 4: Gewöhnliche Differentialgleichungen
Im Kern geht es bei der differentiellen Modellbildung darum, die Variation einer Größe unter kleinen Änderungen ihrer Variablen zu charakterisieren. Typischerweise ergeben sich dabei Differentialgleichungen, denn die Änderung der gesuchten Funktion an einem bestimmten Punkt hängt in der Regel vom Wert der Funktion selbst an diesem Punkt ab. Die Lösung der gefundenen Differentialgleichung ist der abschließende Schritt der Methode. Auch wenn das Auffinden einer solchen Lösung mitunter sehr kompliziert sein kann, bleibt die Effizienz des gesamten Verfahrens unschlagbar: Wie in Teil I ausführlich besprochen, ist es wegen der möglichen Vernachlässigung von Termen höherer Ordnung ungleich einfacher, Zusammenhänge zwischen der gesuchten Funktion und ihren Ableitungen zu finden, als diese Funktion selbst direkt aus dem Problem zu extrahieren. Im vorliegenden Teil werden wichtige Lösungsstrategien für gewöhnliche Differentialgleichungen dargestellt und ihre Anwendung diskutiert. Einfache Problemstellungen aus der Newton’schen Mechanik bieten sich als interessante und anschauliche Illustrationen an. Am Schluss wird die Beziehung zwischen Differentialgleichungen und Extremalprinzipien besprochen. Die Grundlagen der Variationsrechnung ergeben sich dabei als sinnfällige Verallgemeinerung der Extremwertbestimmung von Funktionen mehrerer Veränderlicher.
Kapitel 10: Gewöhnliche Differentialgleichungen
Engel, Andreas
- 10.1 Grundlagen
- 10.2 Tipps und Tricks
- 10.3 Lineare Differentialgleichungen
- 10.4 Der Einsatz der Computeralgebra
- Worksheet 5: Lösung gewöhnlicher Differentialgleichungen
- + Aufgaben & Lösungen
Zusammenfassung
Die Lösung von gewöhnlichen Differentialgleichungen ist eine der häufigsten Aufgaben in der angewandten Analysis. Wegen der Fülle möglicher Differentialgleichungen umfasst das Repertoire von Lösungsstrategien eine unüberschaubare Vielfalt von Konzepten und Methoden. Im vorliegenden Kapitel werden einfache und grundlegende Methoden zusammengestellt, mit deren Hilfe insbesondere einige in der Physik auftretende gewöhnliche Differentialgleichungen analysiert und gelöst werden können. Ähnlich wie die Integration ist das Lösen von Differentialgleichungen keine „Geradeaus“-Rechnung, sondern erfordert neben der Methodenkenntnis auch Originalität und Findigkeit. Dem sinnvollen Einsatz einer Computeralgebra kommt eine wichtige Rolle zu.
Kapitel 11: Newton'sche Mechanik
Engel, Andreas
- 11.1 Die Newton'sche Bewegungsgleichung
- 11.2 Erhaltungsgrößen
- 11.3 Schwingungen
- 11.4 Der harmonische Oszillator
- 11.5 Resonanz
- 11.6 Gekoppelte harmonische Schwingungen
- + Aufgaben & Lösungen
Zusammenfassung
Analytische Mechanik und Infinitesimalrechnung wurden etwa zur gleichen Zeit und zum Teil in Personalunion entwickelt. Schon aus diesem Grunde gibt es viele wichtige Verbindungen zwischen beiden Gebieten. Die Grundgleichung der klassischen Mechanik ist eine Differentialgleichung zweiter Ordnung; ihre Lösung beschreibt die Bahnkurve eines Massenpunkts in einem gegebenen Kraftfeld. Im vorliegenden Kapitel werden ausgewählte Aspekte und einfache Beispiele aus der klassischen Mechanik besprochen, um die im vorigen Kapitel eingeführten Lösungsstrategien für gewöhnliche Differentialgleichungen zu illustrieren.
Kapitel 12: Extrema
Engel, Andreas
- 12.1 Extremwerte in einer Variablen
- 12.2 Extremwerte in mehreren Variablen
- 12.3 Extremwerte mit Nebenbedingungen
- 12.4 Variationsrechnung
- 12.5 Das Hamilton'sche Prinzip
- + Aufgaben & Lösungen
Zusammenfassung
Am schnellsten, am besten, am schönsten, am günstigsten - die Suche nach optimalen Lösungen ist in unserer Zeit allgegenwärtig. Auch in der angewandten Mathematik spielen Extremwerte eine wichtige Rolle. In diesem Kapitel wird die Bestimmung von Extrema in verschiedenen Situationen ansteigender Schwierigkeit unter einem gemeinsamen Gesichtspunkt besprochen. Während hinreichende Kriterien für Minima und Maxima mit wachsender Komplexität des Problems immer aufwendiger werden, ist das zentrale notwendige Kriterium immer das gleiche: Eine Größe kann für bestimmte Werte ihrer Argumente nur dann extremal sein, wenn sie sich bei einer kleinen Modifikation dieser Argumente in linearer Ordnung nicht ändert.
Teil 5: Partielle Differentialgleichungen
Methoden der differentiellen Modellbildung sind auch bei der Charakterisierung von Funktionen mehrerer Variablen sehr effektiv. Erwartungsgemäß treten dann Ableitungen nach allen Veränderlichen der gesuchten Funktionen auf, so dass sich im Ergebnis partielle Differentialgleichungen ergeben. Die Lösungstheorie partieller Differentialgleichungen ist komplizierter, umfangreicher und vielfältiger als die gewöhnlicher Differentialgleichungen. Aus diesem Grunde werden in diesem Buch nur einige grundlegende Methoden zur Lösung ausgewählter linearer partieller Differentialgleichungen diskutiert. Für lineare Gleichungen ist das Superpositionsprinzip Dreh- und Angelpunkt aller Lösungsverfahren. Es ist eng mit der Methode der Green’schen Funktionen verbunden. In konkreten Rechnungen erlauben Separationsansätze oft die Reduktion einer partiellen Differentialgleichung auf mehrere gewöhnliche. In diesem Teil werden einige allgemeine Lösungsmethoden am Beispiel der wichtigsten linearen partiellen Differentialgleichungen der Physik illustriert.
Kapitel 13: Wichtige Beispiele
Engel, Andreas
- 13.1 Mechanische Wellen
- 13.2 Elektrodynamik im Vakuum
- 13.3 Diffusion und Wärmeleitung
- 13.4 Anfangs- und Randwerprobleme
- + Aufgaben & Lösungen
Zusammenfassung
Elektrodynamik, Kontinuumsmechanik und Hydrodynamik sind Beispiele für klassische Feldtheorien, in denen die zentralen Größen Funktionen von Ort und Zeit sind. Bei der theoretischen Analyse experimenteller Situationen ist es durch Betrachtung infinitesimaler Raum- und Zeitintervalle im Allgemeinen wieder deutlich einfacher, Relationen für die Ableitungen dieser Funktionen zu finden, als die Funktionen direkt zu bestimmen. Dabei ergeben sich in der Regel Beziehungen zwischen den gesuchten Funktionen und ihren Ableitungen nach den verschiedenen Variablen, also partielle Differentialgleichungen.
Kapitel 14: Separationsansätze
Engel, Andreas
- 14.1 Eindimensionale Systeme
- 14.2 Zweidimesionale Systeme
- 14.3 Symmetrien
- 14.4 Inhomogene Randbedingungen
- + Aufgaben & Lösungen
Zusammenfassung
Eine effektive Methode zur Lösung einer linearen partiellen Differentialgleichung nutzt ihre Reduktion auf mehrere gewöhnliche Differentialgleichungen mithilfe von Separationsansätzen. Dabei wird die gesuchte Funktion als Produkt von Funktionen disjunkter Untergruppen von Variablen angesetzt. Im einfachsten Fall ist das ein Produkt aus Funktionen von jeweils nur einer Variablen. Auf den ersten Blick scheint das eine sehr spezielle Form von Lösungen zu sein, so dass dieser Ansatz nur selten Erfolg haben sollte. Wie sich jedoch herausstellt, führt er in Kombination mit dem Superpositionsprinzip in sehr vielen Fällen zum Ziel.
Kapitel 15: Die Green'sche Funktion
Engel, Andreas
- 15.1 Spezielle Lösungen der Poisson-Gleichung
- 15.2 Die Delta-Funktion
- 15.3 Die allgemeine Lösung der Poisson-Gleichung
- 15.4 Elektro- und Magnetostatik
- 15.5 Der allgemeine Fall
- + Aufgaben & Lösungen
Zusammenfassung
Auch bei der Lösung inhomogener linearer partieller Differentialgleichungen kommt dem Superpositionsprinzip eine Schlüsselrolle zu. Im Folgenden wird das generelle Vorgehen zunächst qualitativ am Beispiel der Berechnung des elektrostatischen Potentials einer Ladungsverteilung durch Lösen der Poisson-Gleichung erläutert. Danach kann das Verfahren mit wenigen Modifikationen auf andere lineare Differentialgleichungen verallgemeinert werden.
Kapitel 16: Die Fourier-Transformation
Engel, Andreas
- 16.1 Komplexe Fourier-Reihen
- 16.2 Fourier-Integrale
- + Aufgaben & Lösungen
Zusammenfassung
Lineare partielle Differentialgleichungen lassen sich mithilfe von Integraltransformationen umformen, was ihre Lösung oft erleichtert. Von den verschiedenen nützlichen Transformationen dieser Art erwähnen wir hier nur die Fourier-Transformation, die sehr häufig verwendet wird. Sie kann als Verallgemeinerung der Fourier-Reihe auf nichtperiodische Funktionen verstanden werden.