Zusammenfassung

kurz&knapp - Quantenmechanik

Inhalt

 

Kapitel 1: Postulate der Quantenmechanik

Christoph Hanhart

  • 1.1 Die Planck'sche Relation
  • 1.2 Wahrscheinlichkeitsinterpretation
  • 1.3 Messgrößen
  • 1.4 Die Schröderinger-Gleichung
  • 1.5 Alternative Herleitung der Schrödinger-Gleichung

 

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In diesem Kapitel wird knapp ein möglicher Satz an Postulaten vorgestellt, aus denen die Quantenmechanik abgeleitet werden kann. Das vorliegende Kapitel gibt die Antworten auf folgende Fragen:

  • Auf welchen Postulaten fußt die Quantenmechanik?
  • Wie berechnet sich bei gegebener Wellenfunktion die Wahrscheinlichkeit, ein Teilchen in einem Volumenelement zu finden?
  • Wie berechnet man Erwartungswerte von Messgrößen?
  • Unter welcher Voraussetzung sind zwei Messgrößen gleichzeitig messbar und wann nicht?
  • Was passiert bei der Messung einer Observablen mit der Wellenfunktion?
  • Wie berechnet man die räumliche und zeitliche Ausbreitung einer Wellenfunktion?
  • Was sind stationäre Zustände?

Die Geschichte der Entstehung der Quantenmechanik liest sich wie ein spannen der Roman und ist gleichzeitig auch ein Lehrstück für den wissenschaftlichen Erkenntnisprozess. Getreu der Idee dieses Buches soll hier jedoch auf deren Darstellung verzichtet werden. Stattdessen soll in diesem Kapitel heuristisch mit Hilfe weniger Postulate die Grundlage für die folgenden Kapitel gelegt werden. Nicht jeder Autor oder Dozent wählt die gleichen Postulate aus – natürlich ist die resultierende Quantenmechanik jeweils dieselbe.

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Kapitel 2: Grundlagen

Christoph Hanhart

  • 2.1 Eigenschaften der Wellenfunktion
  • 2.2 Wahrscheinlichkeitsstrom
  • 2.3 Verbindung zu klassischen Observablen: Das Ehrenfest'sche Theorem
  • 2.4 Energie-Zeit-Unschärfe
  • 2.5 Vollständige Sätze kommutierender Operatoren
  • 2.6 Anmerkungen zum Messprozess
  • 2.7 Das ERP-Paradoxon und die Bell'sche Ungleichung
  • 2.8 Zur zeitlichen Entwicklung quantenmechanischer Systeme
  • 2.9 Eine Anmerkung zu den Einheiten

 

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In diesem Kapitel werden einige fundamentale Eigenschaften quantenmechanischer Systeme aus den zuvor gelisteten Postulaten abgeleitet, die die Leser kennen sollten, um die Quantenmechanik zu benutzen. Weitere formale Aspekte sind in Kap. 5 zu finden. Das vorliegende Kapitel gibt die Antworten auf folgende Fragen:

  • Wie ist die Kontinuitätsgleichung zu interpretieren?
  • Wie ist der Zusammenhang zwischen den klassischen Trajektorien und den zugehörigen, quantenmechanischen Größen?
  • Wie berechnet man die Wahrscheinlichkeit, bei einer Messung der zum Operator $\hat{A}$ gehörenden Observablen an einem durch die Wellenfunktion $\Psi(x)$ beschriebenen System, den Eigenwert $a_n$ zu erhalten?
  • Woher weiß man, dass die Wahrscheinlichkeiten der Quantenmechanik nicht lediglich unser Unwissen über die detaillierten Abläufe auf mikroskopischer Ebene parametrisieren, ähnlich wie es in der statistischen Physik der Fall ist?

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Kapitel 3: Eindimensionale Probleme

Christoph Hanhart

  • 3.1 Potentialtopf
  • 3.2 Potentialbarriere
  • 3.3 Harmonischer Oszillator
  • 3.4 Kohärente Zustände

 

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In diesem Kapitel werden wir an Beispielen in einer räumlichen Dimension (Potentialtopf, Potentialbarriere, harmonischer Oszillator) den Umgang mit der Schrödinger-Gleichung demonstrieren. Dieses Kapitel gibt Antworten auf folgende Fragen:

  • Welche Eigenschaften muss eine Lösung der Schrödinger-Gleichung haben?
  • Wodurch wird das Verhalten der Wellenfunktion von Bindungszuständen bei großen Abständen bestimmt?
  • Wodurch kommt die Quantisierung der Energie von Bindungszuständen zustande?
  • Was bezeichnet man als Tunneleffekt?
  • Welche Lösungsstrategien gibt es für den harmonischen Oszillator?
  • Warum muss der Potenzreihenansatz für die Lösung der Schrödinger-Gleichung für Bindungszustände, die auch im Bereich großer Abstände gelten soll, nach Abseparation der asymptotischen Ausdrücke nach endlich vielen Termen abbrechen?
  • Was bedeutet die Nullpunktenergie des harmonischen Oszillators?
  • Was versteht man unter kohärenten Zuständen?

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Kapitel 4: Dreidimensionale Probleme

Christoph Hanhart

  • 4.1 Anmerkungen zur Parität
  • 4.2 Der quantenmechanische Bahndrehimpuls
  • 4.3 Zweiteilchensysteme
  • 4.4 Rotationssymmetrische Probleme
  • 4.5 Potentiale endlicher Reichweite
  • 4.6 Potentiale unendlicher Reichweite

 

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In diesem Kapitel wird an Beispielen in drei Raumdimensionen (tiefer sphärischer Topf, Wasserstoffatom, harmonischer Oszillator) der Umgang mit der Schrödinger-Gleichung demonstriert. Dieses Kapitel gibt Antworten auf folgende Fragen:

  • Wie ist die Parität definiert?
  • Welcher Operator erfasst die Winkelabhängigkeit der kinetischen Energie bei dreidimensionalen Problemen, und wie heißen die zugehörigen Eigenfunktionen und Eigenwerte?
  • Wie lauten die Kommutatorrelationen der Komponenten des Drehimpulsvektors untereinander und mit $\hat{\boldsymbol{L}}^2?
  • Was ist die Bedeutung der zweiten Quantenzahl der Kugelflächenfunktionen?
  • Aus der Kommutatorrelation der Drehimpulse folgt, dass diese entweder halbzahlig oder ganzzahlig sein dürfen. Gilt das auch für den Bahndrehimpuls?
  • Für $l > 0$ gilt, dass die Länge des Drehimpulsvektors immer größer ist als seine Projektion auf die z-Achse. Warum muss das so sein?
  • Hängt der Hamilton-Operator eines Zweiteilchensystems lediglich von Relativkoordinaten ab, dann lässt er sich als Summe zweier effektiver Einteilchen-Hamilton-Operatoren schreiben – einen für die Relativbewegung und einen für die Schwerpunktbewegung. Welche Massen tauchen in diesen effektiven Operatoren auf?
  • In welchen Schritten ist die radiale Differentialgleichung für gebundene Systeme zu lösen?
  • Woher kommt die Quantisierung von Bindungsenergien?
  • Was kann man aus dem Entartungsmuster des Energiespektrums eines Systems ablesen?

Bevor wir uns der Lösung der Schrödinger-Gleichung in drei Dimensionen zuwenden, werden wir noch einige einführende Überlegungen anstellen, die sich im Folgenden als nützlich erweisen werden.

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Kapitel 5: Formale Betrachtungen

Christoph Hanhart

  • 5.1 Der Hilbertraum
  • 5.2 Eigenschaften hermitescher Operatoren
  • 5.3 Diskrete Zustände vs. Kontinuum
  • 5.4 Die Bra-Ket Notation
  • 5.5 Matrixdarstellung

 

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In diesem Kapitel werden die allgemeinen Überlegungen aus Kap. 2 durch formalere Betrachtungen ergänzt, und mit der Bra-Ket-Notation wird ein wichtiges Werkzeug eingeführt. Insbesondere werden der Vektorraum der Wellenfunktionen, der Hilbertraum, und das zugehörige Skalarprodukt eingeführt. Ergänzt werden die Ausführungen durch eine kurze Diskussion der Zustände im Kontinuum. Dieses Kapitel gibt die Antworten auf folgende Fragen:

  • Was ist der Hilbertraum, $\mathcal{H}$ ? Welche Dimension hat er im Allgemeinen?
  • Wie ist ein Skalarprodukt auf dem Hilbertraum zu definieren, und wann bezeichnet man zwei Wellenfunktionen als orthonormal?
  • Was muss das Funktionensystem $u_k$ , $k = 1,\dots , N_max$ erfüllen, damit es eine Basis von $\mathcal{H}$ bildet?
  • Was versteht man unter einem Bra- und was unter einem Ket-Vektor?
  • Was versteht man unter einer Vollständigkeitsrelation?
  • Wie bekommt man die Matrixdarstellung eines Operators?

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Kapitel 6: Drehimpulse

Christoph Hanhart

  • 6.1 Spin
  • 6.2 Kopplung von Drehimpulsen

 

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In diesem Abschnitt wird das Konzept des Drehimpulses auf halbzahlige Drehimpulse, die Spins, ausgedehnt. Verschiedene Drehimpulse (sowohl Spins als auch Bahndrehimpulse) werden mit Hilfe der Vektoradditions- oder Clebsch-Gordan-Koeffizienten addiert. Dieses Kapitel gibt Antworten auf folgende Fragen:

  • Gibt es zum Spin ein klassisches Analogon?
  • Worin unterscheidet sich der Spin vom Bahndrehimpuls?
  • Was sind die Pauli-Matrizen?
  • Welchen Wertebereich kann der durch $j_1 + j_2$ gebildete Gesamtdrehimpuls annehmen?
  • Welche Symmetrie haben die so entstehenden Multipletts unter Vertauschung der beiden Zustände?

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Kapitel 7: Ankopplung an ein elektromagnetisches Feld

Christoph Hanhart

  • 7.1 Lokale Eichinvarianz
  • 7.2 Der Aharonov-Bohm-Effekt
  • 7.3 Quantisierung des elektromagnetischen Feldes

 

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In diesem Kapitel wird die Ankopplung des elektromagnetischen Feldes an ein Teilchen mit Hilfe des lokalen Eichprinzips motiviert. Dies führt auf die Einführung der Vektorfeldes $\boldsymbol{A}$ und des skalaren Feldes $\phi$, die jeweils eine Eichfreiheit haben. Der Aharonov-Bohm-Effekt zeigt, dass $\boldsymbol{A}$ in der Tat eine fundamentale Größe ist, die direkt zu observablen Effekten führen kann. Das Kapitel schließt mit einer Diskussion der Quantisierung des elektromagnetischen Feldes. Dieses Kapitel gibt Antworten auf folgende Fragen:

  • Was versteht man unter lokaler Eichinvarianz?
  • Wie kann man zeigen, dass auch dem Vektorpotential $\boldsymbol{A}$ fundamentale Bedeutung zukommt?
  • Warum gilt für Photonen selbst in der nichtrelativistischen Quantenmechanik nicht das Prinzip der Teilchenzahlerhaltung?

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Kapitel 8: Symmetrien

Christoph Hanhart

  • 8.1 Einleitende Überlegungen
  • 8.2 Generatoren kontinuierlicher Symmetrietransformationen
  • 8.3 Sphärische Tensoren und das Wigner-Eckert-Theorem
  • 8.4 Auswahlregeln
  • 8.5 Diskrete Symmetrien

 

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In diesem Kapitel wird die Rolle von Symmetrien in der Quantenmechanik diskutiert. Abgedeckt werden kontinuierliche sowie diskrete Symmetrien. Dieses Kapitel gibt Antworten auf folgende Fragen:

  • Was versteht man unter einer Symmetrie, und welche Konsequenz hat diese im Allgemeinen auf das Spektrum eines Systems?
  • Was ist der Generator eine kontinuierlichen Symmetriegruppe und was die zugehörige Algebra?
  • Was besagt das Wigner-Eckert-Theorem?
  • Was kann man daraus ableiten, wenn in einem System Zustände unterschiedlicher Parität (nahezu) entartet sind?

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Kapitel 9: Mehrteilchensysteme

Christoph Hanhart

  • 9.1 Allgemeine Überlegungen
  • 9.2 Identische Teilchen: Bosonen und Fermionen
  • 9.3 Zweite Quantisierung
  • 9.4 Dynamische oder spontane Symmetriebrechung

 

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Dieses Kapitel gibt Antworten auf folgende Fragen:

  • Wie ist in Abwesenheit einer Wechselwirkung der Teilchen untereinander aus $N$ Einteilchenwellenfunktionen eine $N$-Teilchenwellenfunktion zu bilden?
  • Was bedeutet das Prinzip der Ununterscheidbarkeit, und was ist seine Ursache?
  • Was sind Bosonen, was sind Fermionen, und was lässt sich über die Symmetrie derer Wellenfunktionen sagen?
  • Welche beobachtbaren Effekte hat diese Symmetrie?
  • Was versteht man unter zweiter Quantisierung, und worin besteht ihr Nutzen?
  • Was versteht man unter spontaner Symmetriebrechung?

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Kapitel 10: Störungstheorie

Christoph Hanhart

  • 10.1 Zeitunabhängige Störungstheorie
  • 10.2 Zur Rolle des Kontinuums
  • 10.3 Die Born-Oppenheimer-Näherung
  • 10.4 Variationsmethoden
  • 10.5 Zeitabhängige Störungstheorie

 

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Thema dieses Kapitel sind Näherungsmethoden, die es erlauben, zusätzliche Einflüsse auf lösbare Systeme quantitativ zu berücksichtigen. Ein Beispiel hierfür sind Korrekturen zur Wechselwirkung von Elektronen mit dem Atomkern in wasserstoffähnlichen Atomen. Neben der für dieses Beispiel notwendigen zeitunabhängigen Störungstheorie werden die Variationsmethode, die Born-Oppenheimer-Näherung und die zeitabhängige Störungstheorie vorgestellt und anhand von verschiedenen Beispielen illustriert. Dieses Kapitel gibt Antworten auf folgende Fragen:

  • Worauf ist bei der Identifikation eines Entwicklungsparameters für die störungstheoretische Betrachtung eines Systems zu achten?
  • Welcher Parameter kontrolliert den durch einen Störoperator induzierten Einfluss anderer Zustände auf den betrachteten?
  • Was ist im Falle eines entarteten Unterraumes zu tun?
  • Wie kann man in der Störungstheorie Übergänge berücksichtigen?
  • Warum hat die Spinwellenfunktion auf das Spektrum von Atomen großen Einfluss, selbst wenn die spinabhängigen Wechselwirkungen vernachlässigt werden?
  • Was ist der Zeeman-Effekt und was der Paschen-Beck-Effekt?
  • Unter welcher Voraussetzung kann es bei schwachen Feldern einen linearen Stark-Effekt geben?
  • Wann kann die Born-Oppenheimer-Näherung verwendet werden?
  • Was versteht man unter induzierter Emission/Absorption?
  • Welchen Effekt hat eine instantan einsetzende Störung auf ein quantenmechanisches System?

Nur wenige Probleme sind exakt lösbar. In der Regel ist es notwendig, geeignete Näherungen an die vollständige Lösung zu finden – das macht aber nichts, da es für den Physiker gar nicht notwendig ist, Rechnungen exakt durchzuführen. Es reicht durchaus, etwas genauer zu sein als das entsprechende Experiment. Allerdings ist es immer notwendig, die Genauigkeit des Ergebnisses zuverlässig abzuschätzen. Dies leistet die Störungstheorie. In diesem Kapitel wird lediglich eine Auswahl an Näherungsmethoden vorgestellt. Aber natürlich gibt es viele weitere. Als Beispiel sei die WKB-Methode genannt, die es erlaubt, Teilchen hoher Energie zu untersuchen. Diese wird z. B.in [Weinberg, S. (2012). Lectures on quantum mechanics. New York: Cambridge University Press.] beschrieben.

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