Inhaltsübersicht
1. Mathematik - Wissenschaft und Werkzeug
2. Logik, Mengen, Abbildungen - Die Sprache der Mathematik
3. Rechentechniken - die Werkzeuge der Mathematik
4. Elementare Funktionen - Bausteine der Analysis
5. Komplexe Zahlen - Rechnen mit imaginären Größen
6. Folgen - der Weg ins Unendliche
7. Stetige Funktionen - kleine Ursachen haben kleine Wirkungen
8. Reihen - Summieren bis zum Letzten
9. Potenzreihen - Alleskönner unter den Funktionen
10. Differenzialrechnung - Veränderungen kalkulieren
11. Integrale - vom Sammeln und Bilanzieren
12. Integrationstechniken - Tipps, Tricks und Näherungsverfahren
13. Differenzialgleichungen - Zusammenspiel von Funktionen und ihren Ableitungen
14. Lineare Gleichungssysteme - Grundlage der linearen Algebra
15. Vektorräume - Schauplätze der linearen Algebra
16. Matrizen und Determinanten - Zahlen in Reihen und Spalten
Einführung und Grundlagen
Kapitel 1: Mathematik - Wissenschaft und Werkzeug
Das vorliegende Werk versteht sich als ein Lehrbuch, das angehende Ingenieure, Naturwissenschaftler und Mathematiker im Studium, aber auch noch im späteren Berufsleben begleiten soll. Das Buch zeigt einen Weg in die Gedankenwelt der Mathematik, der Sie, die Leserinnen und Leser, befähigen soll, Mathematik zu verstehen und anzuwenden, also auftretende Probleme analysieren, mathematisch fassen und nach Möglichkeit auch lösen zu können.
Es ist uns, den Autoren, sehr wohl bewusst, dass dieser Weg für Sie mit Mühen und sehr viel Arbeit verbunden ist. Aber es war unser besonderes Anliegen, es Ihnen so anregend, motivierend und verständlich wie möglich zu machen. Der vorgeschlagene Weg ist nicht steil, er umgeht verschiedene Hindernisse, vermeidet so manchen steilen Gipfel und führt doch ein gutes Stück hinauf. Auch versäumen wir es nicht, immer wieder innezuhalten für einen Rückblick auf das schon Erreichte, für eine Vorausschau und vor allem auch für einen Rundblick, um zu demonstrieren, was von der errungenen Position aus schon alles in benachbarten Gebieten erkennbar ist.
Kapitel 2: Logik, Mengen, Abbildungen - Die Sprache der Mathematik
Wer eine neue Sprache lernen will, benötigt ein gewisses Grundvokabular, um sich einigermaßen zurechtzufinden und seine Kenntnisse auf dieser Basis weiter auszubauen. In einer Fremdsprache sind das viele hundert, ja eher mehrere tausend Vokabeln. In der Mathematik kommt man für den Anfang mit sehr viel weniger Wörtern aus.
Viel ist dabei schon gewonnen, wenn man lernt, gewohnte Begriffe exakt zu verwenden und präzise Formulierungen lesen und verstehen zu können. Das mag simpel klingen, macht aber am Anfang oft Schwierigkeiten. Die saubere Handhabung der Sprache führt über Abstraktion zur Aussagenlogik, und diese wiederum ist die Grundlage der gesamten Digitalelektronik und damit der Grundstein der heutigen Informationsgesellschaft.
Natürlich ist präzises Formulieren alleine zu wenig, man muss auch wissen, worüber man überhaupt sprechen soll. Viele Begriffsbildungen in der Mathematik beruhen auf Mengen und Abbildungen, und diesen werden wir gebührenden Raum widmen.
Äußerst bekannte Mengen sind solche von Zahlen. Sicher spielen Zahlen in der Mathematik eine wichtige Rolle, die Bedeutung des bloßen Zahlenrechnens wird von Außenstehenden allerdings meist überschätzt. Es ist demnach auch weniger das konkrete Rechnen, das uns hier bei der Betrachtung der Zahlen interessiert. Es sind vielmehr die inneren Strukturen und allgemeinen Eigenschaften, die sie haben – der Beginn eines Analyseprozesses, der uns im Laufe dieses Buches bis zu den Hilberträumen der Funktionalanalysis und darüber hinaus führen wird.
Kapitel 3: Rechentechniken - die Werkzeuge der Mathematik
Wenn man seine ersten Kontakte mit der Mathematik macht, geht es einem darum, Dinge auszurechnen. Je weiter man sich mit dem Gebiet beschäftigt, desto stärker rückt der Aspekt des konkreten Rechnens in den Hintergrund und desto mehr geht es um Ansätze und allgemeine Strukturen. Der naive Glaube, mit einem Taschenrechner oder zumindest Computeralgebrasystem könne man alle mathematischen Probleme lösen, erweist sich als gravierender Irrtum.
Doch so fortgeschritten die Techniken auch sein mögen, die man im Lauf der Zeit erlernt, sie müssen doch auf einem soliden Fundament stehen. Nur dann kann man sie wirklich einsetzen. Dabei geht es vielleicht nicht so sehr um die Grundrechenarten und ihre Anwendung auf natürliche oder reelle Zahlen – das nimmt einem wirklich meist der Taschenrechner ab.
Solide Kenntnisse des Bruchrechnens, der Wurzeln und Potenzen, des Lösens von Gleichungen und Ungleichungen sind hingegen unabdingbar als Grundlage für fast alles, was später kommt. Noch so ausgefeilte Computeralgebrasysteme können das Beherrschen grundlegender Rechenfertigkeiten nicht ersetzen.
Derartige Dinge werden wir in diesem Kapitel ausführlich wiederholen, dabei aber auch gleich einige Bezeichnungsweisen einführen, die uns den Rest dieses Buches begleiten werden. Wenn das alles zur Verfügung steht, werden wir als Krönung dieses Kapitels eine Beweistechnik kennenlernen, die viele als die mächtigste der gesamten Mathematik ansehen – die vollständige Induktion.
Kapitel 4: Elementare Funktionen - Bausteine der Analysis
Die Mathematik findet ihre Anwendung, wenn natürliche Phänomene theoretisch erfasst und ergründet werden sollen. Wir bilden abstrakte Modelle von Teilaspekten der Wirklichkeit, letztendlich um natürliche oder technische Gegebenheiten besser zu verstehen oder am Rechner zu simulieren. Dabei werden die Abhängigkeiten von verschiedenen Größen durch Abbildungen bzw. Funktionen beschrieben. Neben den Zahlen sind somit die Funktionen zentrale Objekte, mit denen sich Mathematik beschäftigt.
Eine bestimmte Klasse von Funktionen steht dabei am Anfang, nämlich die aus der Schule geläufigen Abbildungen von reellen Zahlen auf reelle Zahlen. Genauer sprechen wir von reellwertigen Funktionen einer Veränderlichen. Bevor wir uns aber einen analytischen Zugang zu diesen Objekten im zweiten Teil verschaffen, ist es sinnvoll einige Archetypen von Funktionen vorab herauszugreifen, die uns später ständig begegnen werden. Eine solide Routine im Umgang mit Polynomen, Exponentialfunktion und trigonometrischen Funktionen ist unerlässlich für die weitere Entdeckungsreise in die Mathematik.
Kapitel 5: Komplexe Zahlen - Rechnen mit imaginären Größen
Der Schritt hin zu den komplexen Zahlen wird oft als schwer greifbarer Einstieg in die „Höhere Mathematik“ empfunden. Dabei handelt es sich nur um eine konsequente Erweiterung in der Ausgestaltung unseres Zahlenbereichs, so wie man von den natürlichen zu den ganzen Zahlen, zu den rationalen Zahlen und schließlich zu den reellen Zahlen gelangt. Frühzeitig werden diese Zahlen hier vorgestellt und weitere Beispiele finden sich in den folgenden Kapiteln, sodass man sich an den Umgang auch mit diesen Zahlen gewöhnen kann.
Die faszinierenden Möglichkeiten, die sich durch dieses Zahlensystem ergeben, werden sich im Laufe der weiteren Kapitel erschließen. So werden wir im Komplexen auf einen der Höhepunkte der Analysis stoßen, eine enge Beziehung zwischen der Exponentialfunktion und den trigonometrischen Funktionen. Dies ist ein Zusammenhang, der in vielen Situationen die Darstellung von Schwingungsphänomenen erheblich erleichtert. Es ist der Grund dafür, dass in der Physik, der Elektrotechnik und vielen weiteren Anwendungen imaginäre Zahlen heute zur selbstverständlichen Routine gehören.
Analysis einer reellen Variablen
Kapitel 6: Folgen - der Weg ins Unendliche
Eine der wichtigsten Errungenschaften der Mathematik ist die konkrete Beschreibung vom Unendlichen. Dadurch wurde das Unendliche greifbar und mathematischen Aussagen zugänglich. Die Geschichte der Naturwissenschaften und Technik ist voll von Irrtümern, die man bei dem Versuch begann, Unendlichkeit zu fassen. Sie zeigen, wie komplex eigentlich unser heutiger Begriff des „Grenzwerts“ ist.
Folgen spielen bei der Beschreibung des Unendlichen eine entscheidende Rolle und sind daher eines der wichtigsten Handwerkszeuge in der Analysis. Zahlreiche neue, nützliche Begriffe lassen sich mit ihrer Hilfe definieren und erklären. Andererseits sind Folgen Grundlage für ganz alltägliche Dinge geworden: Ständig werden in Taschenrechnern, MP3-Playern oder für Wettervorhersagen Folgenglieder berechnet. Hierbei geht es um die Gewinnung von Näherungslösungen von Gleichungen. Wir werden in diesem Kapitel exemplarisch auf eine solche Anwendung eingehen.
Die Grundlage für einen fehlerfreien Einsatz von Folgen ist eine genaue Begriffsbildung. Die Erfahrung zeigt aber, dass sich viele damit zunächst schwertun. Doch mit ein wenig Routine und vielen Beispielen werden die Sachverhalte schnell überschaubar. Damit wir die späteren Anwendungen verstehen, müssen wir uns auf das abstrakte Konzept von Folgen und Grenzwerten einlassen. Dabei werden die Konvergenz von Zahlenfolgen, also die Existenz eines Grenzwerts, und gegebenenfalls die analytische Berechnung solcher Werte im Vordergrund stehen.
Kapitel 7: Stetige Funktionen - kleine Ursachen haben kleine Wirkungen
Im Kap. 2 haben wir bereits den Begriff der Abbildung kennengelernt, eines der ganz wesentlichen Konzepte der abstrakten Mathematik. Hier wollen wir uns mit ganz speziellen Abbildungen, den Funktionen, beschäftigen, bei denen Zahlen wieder Zahlen zugeordnet werden. Solche Abbildungen waren schon das Thema des Kap. 4.
In den Anwendungen, etwa aus Naturwissenschaft und Technik, erhält man durch den Prozess der Modellbildung eine Beschreibung eines Phänomens, in der Zusammenhänge zwischen den auftretenden Größen durch Funktionen dargestellt werden. In diesem Zusammenhang hat man meist mit einer der folgenden zwei Fragestellungen zu tun:Auf diese beiden Fragen werden wir im Verlauf dieses Kapitels immer wieder eingehen und sie zumindest teilweise beantworten.
Der zentrale Begriff hierbei wird die Stetigkeit sein. Anschaulich gesprochen bedeutet dies, dass ein funktionaler Zusammenhang stabil ist: Kleine Änderungen im Argument bewirken auch nur kleine Änderungen im Funktionswert. Für eine wasserdichte mathematische Definition werden wir aber den Begriff des Grenzwerts aus dem vorherigen Kapitel bemühen.
Stetige Funktionen haben deswegen eine solch herausragende Bedeutung, weil man für sie unter geeigneten Voraussetzungen die beiden Fragen oben bejahen kann. Sie bilden damit das Fundament für alle weiteren Überlegungen in der Analysis.
Kapitel 8: Reihen - Summieren bis zum Letzten
In diesem Kapitel kehren wir wieder zu den Folgen zurück. Allerdings werden wir uns nun mit einer sehr speziellen Klasse von Folgen beschäftigen, bei denen die Folgenglieder Summen sind. Solche Objekte nennt man Reihen.
Man stößt bei mathematischen Betrachtungen, aber auch in Anwendungen, auf ganz natürliche Art und Weise auf Reihen: Die Dezimaldarstellung der reellen Zahlen kann man als eine Reihe auffassen. Ein Anwendungsbeispiel wird die korrekte Austarierung eines Mobiles betreffen. Und schließlich werden wir es in vielen der folgenden Kapitel zur Analysis mit Reihen zu tun bekommen, sei es bei der Darstellung von Standardfunktionen wie sin, cos und exp, bei der Definition von Integralen oder bei der Lösung von Differenzialgleichungen.
Im Gegensatz zu den meisten Beispielen, die wir im Kapitel über Folgen kennengelernt haben, ist es bei Reihen oft sehr schwierig, den Grenzwert tatsächlich zu bestimmen. Aber es gibt ausgefeilte Werkzeuge, sogenannte Konvergenzkriterien, um festzustellen, ob eine Reihe konvergiert oder divergiert.
Kapitel 9: Potenzreihen - Alleskönner unter den Funktionen
Ein Taschenrechner bietet neben den Grundrechenarten üblicherweise weitere Funktionen an, zum Beispiel die Berechnung des Kosinus oder des Sinus. Anders als die Grundrechenarten wird die Bestimmung solcher Funktionswerte nicht exakt durch elektronische Schaltungen, sondern durch Näherungen auf genügend viele Dezimalstellen durchgeführt. Das funktioniert, wie wir es schon beim Wurzelziehen gesehen haben, durch eine Formulierung als Grenzwert.
Zu diesem Zweck werden Darstellungen von Funktionswerten als Grenzwerte benötigt. Genauer gesagt handelt es sich bei diesen Grenzwerten um Werte von speziellen Reihen, den Potenzreihen. Der Name kommt daher, dass Potenzen des Arguments der Funktion in den Reihengliedern auftauchen.
Neben der Definition solcher Reihen und dem Studium ihres Konvergenzverhaltens wird es in diesem Kapitel vor allem darum gehen, wie man Funktionen mit ihrer Hilfe darstellt und welche Funktionen so dargestellt werden können. Dabei stoßen wir wieder auf alte Bekannte, wie die Exponentialfunktion und die trigonometrischen Funktionen.
Kapitel 10: Differenzialrechnung - Veränderungen kalkulieren
Die Differenzialrechnung ist mit Sicherheit das zentrale Kalkül der Mathematik in den technischen und naturwissenschaftlichen Anwendungen. Den meisten Lesern werden deswegen die Begriffe Ableitung und Differenzial schon in verschiedenen Facetten begegnet sein. Häufig überlagern aber die mathematisch-technischen Aspekte den wesentlichen Charakter des Differenzierens, nämlich Veränderungen berechenbar zu machen. Das Konzept der Linearisierung eines funktionalen Zusammenhangs ist der entscheidende Hintergrund für die herausragende Bedeutung von Ableitungen.
Der Weg zur Differenzialrechnung wurde durch Sir Isaac Newton (1643–1727) und Gottfried Wilhelm von Leibniz (1646–1716) geebnet. Beiden stand ein genauer Grenzwertbegriff noch nicht zur Verfügung und die damaligen Argumente von unendlich kleinen Größen wirken heute sehr vage. Mit dem Begriff des Grenzwerts, wie wir ihn in Kap. 6 kennengelernt haben, gibt es diese philosophischen Probleme beim Umgang mit Ableitungen nicht mehr. Somit liegt heute eine mathematisch exakte Definition vor, die wir in diesem Kapitel untersuchen. Die weitreichende Leistungsfähigkeit des Differenzierens lässt sich aber sicherlich erst abschätzen, wenn man etwa mathematische Modelle basierend auf Differenzialgleichungen in verschiedenen Anwendungen gesehen und genutzt hat (siehe u. a. Kap. 13).
Kapitel 11: Integrale - vom Sammeln und Bilanzieren
Die Rekonstruktion der Größe einer Population aus der Geburten- und Sterberate, der Flächeninhalt krumm begrenzter Flächen, das Volumen von beliebig geformten Körpern, die Länge von Kurven, die bei Bewegung in einem Kraftfeld geleistete Arbeit, der Fluss einer Strömung durch ein Flächenstück – all diese Dinge lassen sich mit einem Konzept beschreiben und berechnen: dem Integral.
Neben der Differenzialrechnung ist die Integralrechnung die zweite tragende Säule der Analysis. Während sich die Differenzialrechnung in erster Linie mit dem lokalen Änderungsverhalten von Funktionen, also dem Verhalten im Kleinen befasst, macht die Integralrechnung globale Aussagen, behandelt also Aspekte im Großen. Es ist das Werkzeug, um zu bilanzieren, also aus Veränderungen, die im Lauf der Zeit passieren, einen Gesamtstand zu ermitteln. Entscheidend ist der enge Zusammenhang zwischen beiden Konzepten. Das Integrieren lässt sich als Umkehrung des Differenzierens auffassen.
Der Ansatzpunkt für den Integralbegriff ist das Problem der Fläche unter einem Graphen. Dabei gibt es verschiedene Möglichkeiten, sinnvoll zu einem Integralbegriff zu gelangen, wobei verschiedene Definitionen durchaus subtile Unterschiede aufweisen können. Diese Unterschiede sollen uns aber weniger kümmern. Deshalb wird ein Integralbegriff vorgestellt, der nach dem französischen Mathematiker Henri Leon Lebesgue (1875–1941) benannt ist. Dieser liefert relativ anschaulich die passende theoretische Grundlage für die vielfältigen Anwendungen der Integralrechnung.
Kapitel 12: Integrationstechniken - Tipps, Tricks und Näherungsverfahren
Wir haben bisher gesehen, was die prinzipiellen Ideen sind, die zum Integralbegriff geführt haben. Auch Anwendungen in den unterschiedlichsten Gebieten wurden schon angerissen. Nun müssen wir uns aber mit einem eher technischen Thema auseinandersetzen, nämlich der Frage, ob und wie man für allgemeine, beliebig zusammengesetzte Funktionen jeweils Stammfunktion angeben, sie also integrieren kann.
Die Antwort ist ebenso kurz wie erst einmal enttäuschend: Eine allgemeine Methode, Stammfunktionen zu finden, quasi eine unmittelbare Entsprechung zu den universellen Ableitungsregeln gibt es nicht. Tatsächlich kennt man genug Funktionen, deren Stammfunktionen sich bewiesenermaßen nicht mehr mittels elementarer Funktionen ausdrücken lassen. Nichtsdestotrotz werden wir in diesem Kapitel eine Sammlung von Techniken und Tricks kennenlernen, mit denen sich doch viele Integrale in den Griff bekommen lassen. Dies sind quasi die Haken und Seile unserer Integrations-Klettertouren.
So automatisiert wie beim Differenzieren geht es bei der Integration aber trotzdem selten zu – ein Indiz dafür ist, dass Computeralgebrasysteme keine Probleme haben, auch komplizierteste Ausdrücke in Sekundenbruchteilen zu differenzieren, an Integralen hingegen immer noch oft scheitern oder zumindest unnötig komplizierte und unübersichtliche Ausdrücke produzieren. Intuition und Übung spielen bei Integrationsaufgaben eine entscheidende Rolle.
Kapitel 13: Differenzialgleichungen - Zusammenspiel von Funktionen und ihren Ableitungen
Lineare Algebra
Kapitel 14: Lineare Gleichungssysteme - Grundlage der linearen Algebra
In fast allen Bereichen der linearen Algebra stößt man auf Aufgaben, die zu linearen Gleichungssystemen führen. Bereits einfache Fragestellungen nach Schnittpunkten von Geraden im Anschauungsraum liefern solche Systeme. Kompliziertere Aufgabenstellungen, wie etwa bei der Eigenwertproblematik oder der linearen Optimierung, können in zahlreichen riesigen Gleichungssystemen ausufern.
Aber solche Systeme spielen auch in vielen anderen Gebieten der Mathematik und auch in anderen Wissenschaften eine Rolle. Wir führen Beispiele aus der numerischen Mathematik, Physik, Statik, Politik und Elektrotechnik vor.
Weil es für die meisten Themenkreise der linearen Algebra unumgänglich ist, das Lösen von linearen Gleichungssystemen zu beherrschen, behandeln wir diese im vorliegenden ersten Kapitel zur linearen Algebra ausführlich. Wir entwickeln ein systematisches Verfahren zur Lösung solcher Systeme, das auch den meisten Computeralgebrasystemen zugrunde liegt. Bei diesem Verfahren, das nach Gauß und Jordan benannt ist, wird in einer ersten Phase geklärt, ob ein gegebenes lineares Gleichungssystem überhaupt lösbar ist. Im Fall der Lösbarkeit wird dann in einer weiteren Phase die Lösungsmenge auf eine effiziente Art und Weise bestimmt.
Kapitel 15: Vektorräume - Schauplätze der linearen Algebra
Die lineare Algebra kann auch als Theorie der Vektorräume bezeichnet werden. Diese Theorie entstand durch Verallgemeinerung der Rechenregeln von klassischen Vektoren im Sinne von Pfeilen in der Anschauungsebene. Der wesentliche Nutzen liegt darin, dass unzählige, in fast allen Gebieten der Mathematik und auch in zahlreichen Naturwissenschaften auftauchenden Mengen eben diese gleichen Rechengesetze erfüllen. So war es naheliegend jede Menge, in der jene Rechengesetze gelten, allgemein als Vektorraum zu bezeichnen. Eine systematische Behandlung eines allgemeinen Vektorraums, d. h. eine Entwicklung einer Theorie der Vektorräume, löst somit zahlreiche Probleme in den verschiedensten Gebieten der Mathematik und den Naturwissenschaften.
Wir werden den Begriff eines Vektorraums sehr allgemein definieren, um die verschiedensten Arten von Vektoren beschreiben zu können. Mithilfe von Vektoren lassen sich physikalische und statische Problemstellungen formulieren und lösen. Es lassen sich physikalische Prinzipien und Gesetze ausdrücken. Solche Beispiele werden wir in den Anwendungen demonstrieren.