Zusammenfassung: Einführung in den Lagrange- und Hamilton- Formalismus

Wir stellen uns in diesem Kapitel die Frage, ob sich allgemeine physikalische Problemstellungen durch die Bestimmung eines stationären Punktes eines geeigneten Funktionals beschreiben lassen. Die Bejahung dieser Frage ist die Essenz des Hamilton’schen Prinzips, auf dessen Grundlage der sogenannte Lagrange-Formalismus beruht. Im Rahmen des Hamilton’schen Prinzips wird jedem physikalischen System eine sogenannte Lagrange-Funktion zugeordnet und, mithilfe der Lagrange-Funktion, eine als Wirkung bekannte Größe. Das Hamilton’sche Prinzip besagt, dass das zeitliche Verhalten des jeweils betrachteten physikalischen Systems durch einen stationären Punkt der Wirkung gegeben ist. Die dazugehörige Euler-Lagrange-Gleichung ergibt die Bewegungsgleichung des physikalischen Systems. Im Lagrange-Formalismus lassen sich in eleganter Weise Zwangsbedingungen erfassen. Auch ist es im Lagrange-Formalismus ein Leichtes, eine Bewegungsgleichung herzuleiten, wenn ein Wechsel der verwendeten Koordinaten vorgenommen wird.

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In diesem Kapitel sehen Sie die auf dem Hamilton’schen Prinzip beruhenden Konzepte in Aktion. Die Herleitung von Bewegungsgleichungen in krummlinigen Koordinaten erfolgt, indem in der Lagrange-Funktion die Ausgangskoordinaten durch die neuen Koordinaten ausgedrückt werden. Einsetzen von der entsprechend umgeschriebenen Lagrange-Funktion in die Euler-Lagrange-Gleichung ergibt dann die gesuchte Bewegungsgleichung. Bei der Berücksichtigung von Zwangsbedingungen und der Verwendung von generalisierten Koordinaten wird zur Bestimmung von entsprechenden Bewegungsgleichungen eine analoge Strategie zum Einsatz gebracht. Sie lernen zudem, wie im Rahmen des Lagrange-Formalismus das Auftreten von Scheinkräften in beschleunigten Bezugssystemen erfasst werden kann. Von großer Bedeutung für die moderne Physik ist die Herleitung der Lagrange-Funktion für ein elektrisch geladenes Teilchen im elektromagnetischen Feld. Der Fokus bei der Bestimmung der Lagrange-Funktion liegt dabei auf der Verwendung der elektromagnetischen Potentiale.

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Ein wichtiger Begriff im kanonischen Formalismus ist der des kanonischen Impulses. Wenn die Lagrange-Funktion eines betrachteten Systems von einer seiner generalisierten Koordinaten nicht abhängt, dann ist der zu dieser generalisierten Koordinate gehörige kanonische Impuls erhalten. Das Auffinden von Erhaltungsgrößen ist ein essentieller Schritt bei der Bestimmung und Charakterisierung der Lösungen von physikalischen Bewegungsgleichungen. Das sogenannte Noether-Theorem zeigt, wie Erhaltungsgrößen – über die genannte Erhaltung von kanonischen Impulsen hinaus – aus den Symmetrieeigenschaften der jeweils betrachteten Lagrange-Funktion hergeleitet werden können. Wie Sie in diesem Kapitel lernen, werden dabei konkret Änderungen der Lagrange-Funktion unter kontinuierlichen Koordinatentransformationen untersucht. Ist die Lagrange-Funktion unter einer solchen Koordinatentransformation invariant, dann lässt sich aus dieser Koordinatentransformation und den kanonischen Impulsen direkt eine Erhaltungsgröße konstruieren. Dies ist auch dann möglich, wenn keiner der kanonischen Impulse selbst erhalten ist.

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Eine aus der Newton’schen Mechanik bekannte Größe ist uns im Rahmen des Lagrange-Formalismus bisher nicht begegnet: die Gesamtenergie. Ein geeigneter Rahmen, auf dem wir Untersuchungen des Konzepts der Gesamtenergie aufbauen können, ist der Hamilton-Formalismus. Anders als im Lagrange-Formalismus sind im Hamilton-Formalismus die generalisierten Koordinaten und die kanonischen Impulse gleichberechtigte und gleichermaßen erforderliche Variablen zur Beschreibung eines physikalischen Zustands. Aus der Lagrange-Funktion lässt sich die sogenannte Hamilton-Funktion, ausgedrückt durch diese Zustandsvariablen, systematisch konstruieren. Die Hamilton-Funktion definiert die Gesamtenergie. Darüber hinaus bestimmt sie die Hamilton’schen Bewegungsgleichungen. Dabei handelt es sich um Differenzialgleichungen erster Ordnung für die Zeitentwicklung der generalisierten Koordinaten und der kanonischen Impulse.

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Die Hamilton’sche Mechanik mit ihrem Schwerpunkt auf der Hamilton-Funktion ist der konzeptionelle Ausgangspunkt für die Standardformulierung der Quantenmechanik. Dies wird insbesondere dann deutlich, wenn man die Hamilton’sche Mechanik mithilfe der sogenannten Poisson-Klammer umformuliert. Auf diese Weise erhalten die Bewegungsgleichungen in der Hamilton’schen Mechanik eine kompakte Form, die historisch als struktureller Ausgangspunkt für die Entdeckung der Heisenberg’schen Bewegungsgleichungen in der Quantenmechanik diente. Um in der Hamilton’schen Mechanik von Symmetrien auf Erhaltungssätze schließen zu können, benötigt man den Begriff der kanonischen Transformationen. Diese lassen sich elegant mithilfe der Poisson-Klammer schreiben. Eine wichtige Schlussfolgerung davon ist ein grundlegender Zusammenhang zwischen der Poisson-Klammer und Erhaltungssätzen, der sich in strukturell analoger Form in der Quantenmechanik wiederfindet.

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Liegen mehrere Freiheitsgrade vor, die miteinander wechselwirken, dann bilden die dazugehörigen Bewegungsgleichungen ein System von miteinander gekoppelten Differenzialgleichungen. Es stellt sich die Frage, ob es möglich ist, durch geschickte Einführung neuer Koordinaten dazugehörige Bewegungsgleichungen zu erhalten, die nicht miteinander gekoppelt sind. Wenn dies gelingt, dann bewegen sich die neuen Freiheitsgrade unabhängig voneinander und die Bestimmung der Zeitentwicklung des betrachteten Systems ist deutlich erleichtert. Bei kleinen Auslenkungen von einem stabilen Gleichgewicht lässt sich die Bewegung konkret als Superposition von sogenannten Normalschwingungen darstellen. Die Normalschwingungen sind voneinander entkoppelt, aber im Allgemeinen sind an jeder Normalschwingung alle Ausgangsfreiheitsgrade beteiligt. Aufgrund der Voraussetzung, dass die Anfangsauslenkung in einem gewissen Sinn klein sein muss, spricht man auch von kleinen Schwingungen. Dieses Thema dient der Vorbereitung eines Zugangs zu Feldern vom Standpunkt der Mechanik.

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Ein grundlegendes physikalisches Modell für die Untersuchung von kollektiver Bewegung ist die lineare Kette. Im Rahmen dieses Modells betrachten wir eine abzählbar unendliche Anzahl von Punktteilchen, die sich im Gleichgewicht in gleichmäßigen Abständen voneinander entlang der x-Achse befinden. Die Lineare Kette wird in der Festkörperphysik als einfachstes Modell für die Beschreibung von atomaren Gitterschwingungen in Kristallen herangezogen. Wir verwenden die Lineare Kette hier vor allem, um uns von der kanonischen Mechanik der Punktteilchen an die kanonische Struktur klassischer Feldtheorien heranzutasten. Dazu bestimmen wir die kollektive Teilchenbewegung in der Linearen Kette auf zwei Weisen. Zuerst betrachten wir die exakte Lösung, aufbauend auf der Theorie der kleinen Schwingungen. Danach verwenden wir eine feldtheoretische Beschreibung, indem wir die Lineare Kette als ein Kontinuum auffassen, also den Gleichgewichtsabstand der Teilchen in einem gewissen Sinn als klein ansehen.

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Bei Feldtheorien liegt der Fokus fast ausschließlich auf lokalen Wechselwirkungen, so dass sich die Lagrange-Funktion mithilfe einer Lagrange-Dichte ausdrücken lässt. Daher wird die Möglichkeit genutzt, eine dedizierte Euler-Lagrange-Gleichung für die Lagrange-Dichte herzuleiten und auf dieser den kanonischen Formalismus für Felder aufzubauen. Auf dieser Grundlage untersuchen wir in diesem Kapitel die allgemeine Lagrange-Dichte für ein reelles Feld und berücksichtigen dabei Terme bis zur zweiten Ordnung in dem Feld und seinen räumlichen und zeitlichen Ableitungen erster Ordnung. Sie lernen dabei, dass in der betrachteten Lagrange-Dichte grundsätzlich 21 freie Parameter erscheinen. Nach Einsetzen in die Euler-Lagrange-Gleichung für das betrachtete Feld erweisen sich jedoch neun von diesen Parametern als redundant, was bereits zu einer merklichen Vereinfachung der erforderlichen Lagrange-Dichte führt. In Kap. wird es sich dann zeigen, dass eine Reduktion auf schließlich nur einen einzigen freien Parameter begründet werden kann. Damit erhalten Sie einen ersten Einblick darin, wie sich die Suche nach physikalisch plausiblen Gesetzmäßigkeiten zu einem gewissen Grad systematisieren lässt.

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Das elektromagnetische Feld wird in professionellen Kreisen heutzutage auch das Maxwell-Feld genannt. Unser Ziel in diesem Kapitel ist es, das in Kap. 9 Gelernte anzuwenden und das Maxwell-Feld unter Verwendung des kanonischen Formalismus für Felder zu beschreiben. Dazu führen wir die inhomogenen Maxwell-Gleichungen in Bewegungsgleichungen für die elektromagnetischen Potentiale über. Auf dieser Grundlage bestimmen wir aus den Euler-Lagrange-Gleichungen für die elektromagnetischen Potentiale die Lagrange-Dichte für das Maxwell-Feld. Dabei lassen wir uns von der Lagrange-Dichte für die Lineare Kette leiten. Insgesamt gelingt es uns, die Physik geladener Teilchen und die Physik des Maxwell-Feldes in einer einzigen Lagrange-Funktion zu vereinen.

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Aus der Speziellen Relativitätstheorie kennen Sie das Galilei’sche Relativitätsprinzip: Beobachtende in verschiedenen Inertialsystemen ziehen über physikalische Prozesse die gleichen physikalischen Schlussfolgerungen. Die Bewegungsgleichungen, die ein betrachtetes physikalisches System beschreiben, müssen in den verschiedenen Bezugssystemen die gleiche Form haben, ausgedrückt in den jeweils verwendeten Koordinaten. Es stellt sich somit die Frage, welche mathematische Struktur die Bewegungsgleichungen aufweisen müssen, damit sich ihre Form bei einem Wechsel des Bezugssystems nicht ändert. Diese Frage führt zum Begriff der Tensoren. Dies sind mathematische Objekte, die bei einer bestimmten Klasse von Koordinatentransformationen ein spezifisches Transformationsverhalten aufweisen. Die Überlegungen zur tensoriellen Struktur von physikalischen Bewegungsgleichungen, die wir in den folgenden Kapiteln anstellen, machen es möglich, die Menge der erlaubten Lagrange-Funktionen bzw. -Dichten einzugrenzen. Insofern handelt es sich beim Konzept der Tensoren um ein zentrales Werkzeug bei der Formulierung physikalischer Gesetzmäßigkeiten.

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Die Tensorkonzepte für Koordinatentransformationen im dreidimensionalen Raum werden im Rahmen der Speziellen Relativitätstheorie auf Koordinatentransformationen in der vierdimensionalen Raumzeit erweitert. Die Vorgehensweise dabei ist ähnlich wie in Kap. 11. Zuerst muss festgelegt werden, welche Abstandseigenschaft zwischen zwei Raumzeitpunkten beim Wechsel von einem erlaubten Raumzeitkoordinatensystem zu einem anderen erlaubten Raumzeitkoordinatensystem, d. h. beim Wechsel von einem Inertialsystem zu einem anderen, unverändert bleiben soll. Dabei wird für die Raumzeit sowohl eine Metrik festgelegt als auch eine Bedingung, die Koordinatentransformationen erfüllen müssen. Auf dieser Grundlage werden dann Tensoren definiert. Wie Sie in den verbleibenden Kapiteln sehen können, hat die resultierende tensorielle Klassifikation physikalischer Größen eine erhebliche Bedeutung für die Formulierung von physikalischen Theorien.

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Die Form einer physikalischen Bewegungsgleichung ist dann beim Raumzeitkoordinatenwechsel von einem Inertialsystem zu einem anderen Inertialsystem invariant, wenn die Bewegungsgleichung Tensoren des jeweils gleichen Rangs zueinander gleichsetzt. Beispielsweise kann durch eine relativistisch erlaubte Bewegungsgleichung ein Skalar einem anderen Skalar gleichgesetzt werden. Wie Sie in diesem Kapitel lernen, führt die Forderung nach Kovarianz im Rahmen des kanonischen Formalismus zu dem Grundpostulat, dass die Wirkung eines physikalischen Systems ein Skalar sein muss. Daraus folgt speziell für Felder, dass auch die Lagrange-Dichte ein Skalar sein muss. Diese Erkenntnis ist ein wichtiges Kriterium bei der Formulierung von physikalischen Modellen, die mit der Speziellen Relativitätstheorie vereinbar sein sollen. Ist die Lagrange-Dichte eines Feldes ein Skalar, ergibt die dazugehörige Euler-Lagrange-Gleichung automatisch eine kovariante Bewegungsgleichung. Wir nutzen diese und weitere Überlegungen zu einer Herleitung der sogenannten Klein-Gordon-Gleichung.

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Das zentrale Postulat der Speziellen Relativitätstheorie ist – neben dem Relativitätsprinzip – die Universalität der Lichtgeschwindigkeit. Es ist daher zu erwarten, dass die Maxwell-Gleichungen, die die Existenz von elektromagnetischen Wellen mit universeller Vakuumgeschwindigkeit c implizieren, sich ohne Aufwand in eine manifest kovariante Form überführen lassen. Dieser kovarianten Formulierung der Maxwell-Theorie wenden wir uns in diesem Kapitel zu. Sie lernen dabei, wie sich sowohl das skalare Potenzial und das Vektorpotenzial als auch die Ladungsdichte und die Ladungsstromdichte in natürlicher Weise jeweils zu einem Vierervektor zusammenfügen lassen, nämlich dem Viererpotenzial und der Viererladungsstromdichte. Das elektrische Feld und das magnetische Feld erscheinen in diesem Rahmen als die Komponenten eines relativistischen Tensors vom Rang 2, der als elektromagnetischer Feldstärketensor bezeichnet wird. Mithilfe dieser tensoriellen Größen lassen sich zwei Skalare bilden, aus denen sich die Lorentz-invariante Lagrange-Dichte des Maxwell-Feldes zusammensetzt.

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Bei der kovarianten Formulierung der Maxwell-Theorie profitierten wir von der Tatsache, dass die Bewegungsgleichungen des elektromagnetischen Feldes grundsätzlich mit der Speziellen Relativitätstheorie kompatibel sind. Wir mussten die Maxwell-Gleichungen (bzw. die Bewegungsgleichungen für die elektromagnetischen Potenzale) lediglich so umschreiben, dass deren tensorielle Struktur zum Ausdruck kommt. Aber der physikalische Gehalt der Maxwell-Gleichungen blieb unangetastet. Die Newton’schen Bewegungsgleichungen für geladene Teilchen im elektromagnetischen Feld sind jedoch lediglich im nichtrelativistischen Grenzfall anwendbar. Ein einfaches Umschreiben in eine manifest kovariante Form ist daher keine Option. In diesem Kapitel lernen Sie eine Strategie kennen, um diese und weitere Schwierigkeiten zu überwinden. Wir verwenden dazu das Konzept der Kovarianz, um für die Dynamik eines geladenen Teilchens im elektromagnetischen Feld eine relativistisch konsistente Bewegungsgleichung zu bestimmen.

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