Zusammenfassung: Einführung in die Theoretische Physik - Klassische Mechanik mit mathematischen Methoden

Dieses Lehrbuch führt Sie in die Theoretische Physik anhand der Klassischen Mechanik ein. In diesem einleitenden Kapitel beschäftigen wir uns mit dem Begriff Theoretische Physik, und Sie lernen die Grundziele und Grundannahmen der Klassischen Mechanik kennen. Anhand eines abstrakten, aber einfachen Modells erarbeiten wir uns, welche prinzipiellen mathematischen Strukturen aus den Grundzielen und Grundannahmen der Klassischen Mechanik folgen. In diesem Zusammenhang nutzen wir insbesondere den Begriff des Zustands eines physikalischen Systems und untersuchen dynamische Gesetze, die die zeitliche Entwicklung des Zustands beschreiben.

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Wir wollen uns nun dem Begriff des Zustands für ein zentrales Modellsystem der Klassischen Mechanik nähern: dem Punktteilchen. Das Konzept eines Punktteilchens ist eine für die Theoretische Physik nützliche Idealisierung. In vielen Situationen kann man die räumliche Ausdehnung von Objekten ignorieren und sie als Punkte behandeln.

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Nachdem wir uns in Kap. 2 das mathematische Werkzeug angeeignet haben, um die Bewegung von Punktteilchen beschreiben zu können, kommen wir nun zu dynamischen Gesetzen, die die zeitliche Entwicklung des Zustands eines Punktteilchens bestimmen. Dabei legt das jeweils betrachtete dynamische Gesetz fest, mit welchen mathematischen Objekten gearbeitet werden muss, um den Zustandsbegriff zu präzisieren. Wir werden dies sowohl anhand der sogenannten Aristoteles’schen Bewegungsgleichung als auch anhand der Newton’schen Bewegungsgleichung illustrieren.

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Eine Gleichung, in der Ableitungen der zu bestimmenden Funktion auftreten, heißt Differentialgleichung. Liegt bei der Gleichung nur eine unabhängige Variable vor (z. B. die Zeit t), dann handelt es sich um eine gewöhnliche Differentialgleichung. Auf diese wollen wir uns hier konzentrieren, da die dynamischen Gesetze für Punktteilchen von diesem Typ sind.

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In Kap. 1 hatten wir herausgearbeitet, dass eine Grundeigenschaft der Klassischen Physik der Determinismus ist: Die Grundgleichungen der Klassischen Physik erlauben es einem, unter vollständiger Angabe der Anfangsbedingungen, das Verhalten eines Systems zu allen Zeiten vorherzusagen. Im Laufe der vergangenen 100 Jahre hat sich herauskristallisiert, dass diese Sichtweise zwar im Prinzip (im Rahmen der Klassischen Physik) korrekt ist, Determinismus im Allgemeinen aber nicht unbedingt Regularität und tatsächliche Vorhersagbarkeit der Zukunft impliziert. In sogenannten nichtlinearen Systemen kann extrem irreguläres Verhalten auftreten, das als Chaos bezeichnet wird.

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Bisher haben wir die Newton’sche Bewegungsgleichung nur für Situationen betrachtet, bei denen auf ein einzelnes Teilchen eine Kraft wirkte und wir die resultierende Bewegung des Teilchens bestimmten. Mit diesem Kapitel beginnend erweitern wir unsere Untersuchungen auf Systeme, bei denen wir explizit mehr als ein Teilchen berücksichtigen. Dabei wird es sich als sinnvoll erweisen, zur Charakterisierung des Zustands des Systems nicht die Geschwindigkeitsvektoren, sondern die sogenannten Impulsvektoren der Teilchen heranzuziehen (zusätzlich zu den Ortsvektoren).

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Außer dem Impulserhaltungssatz werden wir uns noch mit dem Energieerhaltungssatz und dem Drehimpulserhaltungssatz für abgeschlossene N-Teilchensysteme auseinandersetzen. Zur Vorbereitung auf den Energieerhaltungssatz beschäftigen wir uns in diesem Kapitel mit dem Thema der partiellen Ableitungen, durch die der Begriff der Ableitung für Funktionen mit mehreren Variablen verallgemeinert wird. Die Kenntnisse, die Sie sich dabei aneignen werden, sind nicht nur für die Klassische Mechanik von großer Bedeutung, sondern spielen auch in der Elektrodynamik, in der Thermodynamik (=Wärmelehre) und in der Quantenmechanik eine wichtige Rolle.

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In diesem Kapitel postulieren wir für abgeschlossene N-Teilchensysteme die Existenz eines sogenannten Potentials. Auf dieser Grundlage werden wir den Energieerhaltungssatz beweisen. Wir werden uns die Frage stellen, ob der Energieerhaltungssatz auch gilt, wenn sich ein Teilchen unter der Wirkung von einer äußeren Kraft bewegt.

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Das Problem eines abgeschlossenen Zweiteilchensystems, in dem die beiden Teilchen miteinander über die Gravitation wechselwirken, lässt sich analytisch lösen. Es handelt sich hierbei um ein grundlegendes Modell für die Bewegung eines Planeten um einen Stern, z. B. die Sonne. Wie Ihnen aus der Experimentalphysik vertraut ist, wird diese Bewegung empirisch durch die Kepler’schen Gesetze beschrieben.

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In diesem Kapitel untersuchen wir systematisch den Drehimpulsbegriff für abgeschlossene N-Teilchensysteme. Auf dieser Grundlage entwickeln wir die Theorie der Drehbewegungen von sogenannten starren Körpern. Bei starren Körpern wird es uns gelingen, das N-Teilchenproblem im 6N-dimensionalen Phasenraum auf die Bestimmung der zeitlichen Entwicklung einer Matrix mit lediglich neun Komponenten zu reduzieren. Die Theorie der Drehbewegungen stellt insofern ein natürliches Umfeld dar, um einen ersten Einblick in die Verwendung von Matrizen in der Theoretischen Physik zu gewinnen. Eine zentrale Größe, die bei der Beschreibung der Drehbewegung eines starren Körpers auftritt, ist der sogenannte Trägheitstensor. Wir werden dessen Verhalten unter Drehungen untersuchen. Dabei werden Sie lernen, dass ein wichtiger mathematischer Sachverhalt (die Diagonalisierbarkeit reeller, symmetrischer Matrizen) die theoretische Beschreibung von Drehbewegungen erleichtert. Insbesondere gelingt uns auf diese Weise eine natürliche Klassifizierung unterschiedlicher Typen von sich drehenden Körpern.

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Kapitel 12: Spezielle Relativitätstheorie

Gemäß der Speziellen Relativitätstheorie sind zwei Ereignisse, die in einem Inertialsystem gleichzeitig stattfinden, in einem anderen Inertialsystem, das sich relativ zum ersten Inertialsystem gleichförmig und geradlinig bewegt, im Allgemeinen nicht gleichzeitig. 

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In diesem Anhang sind für Sie die wichtigsten mathematischen Sachverhalte zusammengestellt, die Sie für einen reibungslosen Einstieg in die Theoretische Physik benötigen.

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