Glossar: Experimentalphysik 3 - Atome, Moleküle und Festkörper

Die Avogadro-Konstante $N_{\mathsf{A}} = 6.022\times 10^{23}\,/\,\mathrm{mol}$ gibt die Zahl der Atome bzw. Moleküle pro Mol an.

Die Bindungsenergie eines Festkörpers hängt ab von der Anordnung der Atome im Gitter und von der Elektronenhülle der Atome. Man unterscheidet \textbf{1)} van der Waals-Bindung, \textbf{2)} metallische Bindung, \textbf{3)} Ionenbindung, \textbf{4)} kovalente Bindung, \textbf{5)} Wasserstoffbrückenbindung.

Bei einem schwingenden und rotierenden Molekül ist die kinetische Energie der Kernbewegung im Allgemeinen klein gegen die elektronische Energie. Dies erlaubt eine Separation der Gesamtwellenfunkion $\Psi(\mathbf{r},\,R)$ in ein Produkt $\chi_{\mathrm{N}}(R) \cdot \phi_{\mathrm{el}}(\mathbf{r},\,R)$ aus der Kernwellenfunktion $\chi_{\mathrm{N}}$, welche die Bewegung der Kerne beschreibt und einen elektronischen Anteil, der den Kernabstand nur noch als Parameter enthält. Die Gesamtenergie \begin{equation} E = E_{\mathrm{el}} + E_{\mathrm{vib}} + E_{\mathrm{rot}} \end{equation} eines Molekülzustandes ist in dieser Näherung die Summe aus elektronischer, Schwingungs- und Rotationsenergie.

Die komplexe dielektrische Funktion $\epsilon(\omega) = \epsilon' + \mathrm{i}\,\epsilon''$ gibt den Frequenzverlauf von Brechungsindex und Absportionsindex an. Es gilt: \begin{eqnarray} \epsilon' &=^{2} - \kappa^{2} \\ \epsilon'' &=& -2\,n'\,\kappa \end{eqnarray} wobei $n'$ der Realteil des Brechungsindex $n$ und $\kappa = \frac{\lambda}{4\,\pi}\,\alpha$ proportional zum Absorbtionskoeffizienten ist.

Die Phononenfrequenz $\Omega_K$ ist im Allgemeinen nicht linear vom Wellenvektor $\mathbf{K}$ abhängig. Die Abhängigkeit $\Omega(\mathbf{K})$ heißt Dispersionsrelation. Sie hängt von den Rückstellkonstanten $C_n$ der Kristallatome ab.

Die erlaubten Energien für Atome bzw. Ionen mit nur einem Elektron sind \begin{equation}E_n = -Ry^{∗} \cdot \frac{Z^{2}}{n^{2}} \qquad \left(n=1,2,3,\dots\right) \end{equation} wobei $Ry^{∗}=\mu\cdot e^{4}\,/\,\left(8\,\epsilon_0^{2}\,\mathrm{h}\right)$ die Rydbergkonstante für das System Elektron–Kern mit der reduzierten Masse $\mu$ ist. Alle energetisch angeregten Atomzustände $E_k$ sind instabil. Sie zerfallen durch Emission von Photonen mit $h\,\nu = E_k-E_i$ in tiefere Zustände $E_i$. Die Quantisierung der atomaren Energieniveaus wird experimentell bestätigt durch den Franck-Hertz-Versuch und durch Linienspektren bei der Absorption und Emission von elektromagnetischer Strahlung durch Atome. Eine äquivalente Formulierung der Bohr’schen Quantenbedingung ist die Forderung der Quantisierung des Elektronenbahndrehimpulses $l$: \begin{equation} \left\vert \mathbf{l} \right\vert = n \cdot \hslash \qquad \left(n=1,2,3,\dots\right) \end{equation} Das Bohr’sche Atommodell wird durch die Quantentheorie in einigen Punkten korrigiert.

Die Feinstrukturaufspaltung kann gedeutet werden als Zeeman-Aufspaltung, die durch die Wechselwirkung des magnetischen Spinmomentes $\mathbf{\mu}_s$ mit dem durch die Bahnbewegung des Elektrons erzeugten Magnetfeldes bewirkt wird. Die Energien der Feinstrukturterme sind \begin{equation} E_{n,\,l,\,j} = E_n + \frac{a}{2}\,\left[\quad j\,(j+1) - l\,(l+1) - s\,(s+1) \quad\right] \end{equation}

Auf Grund des Pauliprinzips besetzen die Elektronen in einem Metall auch bei der Temperatur $T=0\,\mathrm{K}$ alle erlaubten Zustände bis zur Fermi-Energie $E_{\mathrm{F}}$, die je nach Metall Werte zwischen $1$ und $10\,\mathrm{eV}$ hat. Dies entspricht thermischen Energien bei $10^4 – 10^5 \,\mathrm{K}$.

Reale Kristalle weisen Gitterfehler auf. Diese können sein: \textbf{1)} Leerstellen (Schottky-Defekte), \textbf{2)} Atome auf Zwischengitterplätzen (Frenkel-Defekte), \textbf{3)} Fremdatome auf Gitterplätzen, \textbf{4)} Netzebenenverschiebungen, \textbf{5)} Stufen-Versetzungen. Im thermischen Gleichgewicht stellt sich eine Fehlstellenkonzentration ein, die von der Temperatur, der Energie zur Erzeugung der Fehlstellen und der Entropie abhängt.

Fünfwertige Atome im vierwertigen Halbleiter sind Elektronenspender (Donatoren), dreiwertige sind Elektronenfallen (Akzeptoren). Die Energieniveaus der Donatoren liegen in der Bandlücke des Halbleiters, dicht unter dem Leitungsband, die Niveaus der Akzeptoren dicht oberhalb des Valenzbandes. Halbleiter mit Donatoren heißen n-Halbleiter, solche mit Akzeptoren p-Halbleiter.

Wenn der Atomkern einen Kernspin $\mathbf{I}$ und ein (kleines) magnetisches Moment $\mathbf{\mu}$ hat, gibt es eine kleine zusätzliche Aufspaltung $\Delta E = -\mathbf{\mu}_K \cdot \mathbf{B}_{\text{int}}$ der Atomterme (Hyperfeinstruktur), die auf der Wechselwirkung des magnetischen Kernmomentes mit dem von den Elektronen am Kernort bewirkten Magnetfeld beruht.

Eine Kristallstruktur entsteht, wenn jedem Gitterpunkt des Translationsgitter eine Atombasis zugeordnet wird. Besteht diese nur aus einem Atom, dann heißt das Gitter primitiv. Bei nichtprimitiven Gittern besteht sie aus mehreren gleichen oder unterschiedlichen Atomen. Alle Kristallgitter können gemäß ihrer Symmetrieeigenschaften (Drehungen um Symmetrieachsen, Spiegelungen an Ebenen) in 14 verschiedene Symmetrietypen, die 14 Bravaisgitter, eingeteilt werden.

Das Ladungs-Masse-Verhältnis $e/m$ von Ionen kann mithilfe von Massenspektrometern bestimmt werden, die entweder auf der Ablenkung der Ionen in elektrischen und/oder magnetischen Feldern basieren oder auf der Flugzeit der durch eine Spannung $U$ beschleunigten Ionen.

Das Kunstwort Laser steht für Light Amplification by Stimulated Emission of Radiation. Ein Laser besteht im Wesentlichen aus drei Komponenten: \textbf{1)} Der Energiepumpe, die durch selektive Energiezufuhr in einem Medium eine Besetzungsinversion erzeugt; \textbf{2)} dem aktiven Medium, in dem bei einer Besetzungsinversion eine elektromagnetische Welle verstärkt wird; \textbf{3)} einem optischen Resonator, welcher die vom aktiven Medium emittierte Strahlungsleistung nur in wenigen Moden speichert. In diesen Moden muss die Strahlungsdichte so groß sein, dass die Wahrscheinlichkeit für induzierte Emission groß wird gegen die Wahrscheinlichkeit für spontane Emission.

Für ein starres Molekül lassen sich die elektronischen Wellenfunktionen $\Psi(\mathbf{r},\,R)$ und die Eigenwerte $E(R)$ als Funktion des Kernabstandes $R$ näherungsweise durch Linearkombinationen atomarer Wellenfunktionen bestimmen.

Die Linienbreiten $\delta\nu$von Spektrallinien mit den Mittenfrequenzen $\nu_{ik}$ sind verursacht: \textbf{1)} durch die natürliche Linienbreite $\delta\nu_n = \frac{1}{2\,\pi}\,\left( \frac{1}{\tau_i}+\frac{1}{\tau_k} \right)$; \textbf{2)} durch die (im Allgemeinen sehr viel größere) Doppler-breite $\delta \nu_D = 7,16\times 10^{-7}\,\nu_{ik}\,\sqrt{T\,/\,M}$, wobei $M$ die Molmasse ist; \textbf{3)} durch Stöße des strahlenden (bzw. absorbierenden) Atoms mit anderen Atomen oder Molekülen (Druckverbreiterung).

In einem Kristall mit einer Basis von verschiedenen Atomen gibt es akustische und optische Schwingungsmoden. Die optischen Moden können durch Absorption elektromagnetischer Strahlung angeregt werden, die akustischen Moden durch mechanische Schwingungen, die zu Schallwellen im Kristall führen.

Die Rotationsenergie eines zweiatomigen Moleküls mit der reduzierten Masse $M$ kann näherungsweise durch das Trägheitsmoment $I = M \cdot R^{2}$ und die Rotationsquantenzahl $J$ als \begin{equation} E_{\mathrm{rot}} = \frac{J\,(J+1)\,\hslash^{2}}{2\,I} \end{equation} dargestellt werden. Durch die Zentrifugalaufweitung des Kernabstandes nimmt $I$ zu und deshalb $E_{\mathrm{rot}}$ ab. Die Größe der Abnahme hängt ab von der Steigung der Potentialkurve $E_{\mathrm{pot}}$.

Die Gesamtwellenfunktion muss antisymmetrisch gegen Vertauschung zweier Elektronen sein (Pauli-Prinzip). Eine äquivalente Formulierung lautet: Ein atomarer Zustand $(n,\,l,\,m_l,\,m_s)$, der durch die vier Quantenzahlen $n$ (Hauptquantenzahl), $l$ (Bahndrehimpulsquantenzahl), $m_l$(Bahndrehimpulsprojektionsquantenzahl) und $m_s$ (Spinprojektionsquantenzahl) charakterisiert wird, kann höchstens von einem Elektron besetzt sein.

Wird der p-n-Übergang mit Licht $h\,\nu>E_{g}$ bestrahlt, so werden Elektronen aus dem Valenzband ins Leitungsband angeregt. Die Diffusionsspannung wird verringert, und zwischen den Enden der p-n-Diode entsteht eine Spannung (Photospannung). Diese Photodioden können als Lichtdetektoren, aber auch zur Umwandlung von Lichtenergie in elektrische Energie verwendet werden (Solarzellen).

Bringt man einen n- und einen p-dotierten Halbleiter in Kontakt, so entsteht ein p-n-Übergang. Durch die Diffusion von Elektronen vom n- in den p-Teil und von Löchern vom p-in den n-Teil entsteht eine Kontaktspannung, die sich so einstellt, dass die Fermi-Energie in beiden Teilen gleich wird. Auf beiden Seiten der Kontaktebene entsteht eine Verarmungszone an beweglichen Ladungsträgern. Ein p-n-Übergang wirkt als elektrische Diode. Legt man eine positive äußere Spannung an den p-Teil, so wird die Diffusionsspannung verkleinert, es fließt ein Strom. Durch eine negative Spannung wird der Spannungssprung am p-n-Kontakt vergrößert. Die Diode sperrt den Strom.

Zu jedem räumlichen Gitter lässt sich ein reziprokes Gitter angeben. Sein Translationsvektor $\mathbf{G} = h\cdot \mathbf{a}^{∗} + k\cdot \mathbf{b}^{∗} + l\cdot \mathbf{c}^{∗}$ hat die Dimension einer reziproken Länge $\mathrm{m}^{-1}$. Seine Basisvektoren $\mathbf{a}^{∗},\,\mathbf{b}^{∗},\,\mathbf{c}^{∗}$ sind mit den Basisvektoren des räumlichen Gitters verknüpft via \begin{eqnarray} \mathbf{a}^{∗} &=& \frac{2\pi}{V_{\mathrm{E}}}\cdot \left(\mathbf{b}\times \mathbf{c}\right)\\ \mathbf{b}^{∗} &=& \frac{2\pi}{V_{\mathrm{E}}}\cdot \left(\mathbf{c}\times \mathbf{a}\right)\\ \mathbf{c}^{∗} &=& \frac{2\pi}{V_{\mathrm{E}}}\cdot \left(\mathbf{a}\times \mathbf{b}\right) \end{eqnarray}

Für stationäre Probleme kann die zeitunabhängige Schrödingergleichung \begin{equation}-\frac{\hslash^{2}}{2\,m}\,\nabla\,\Psi(\mathbf{r}) + E_{\text{pot}}(\mathbf{r})\,\Psi(\mathbf{r})= E\cdot\Psi(\mathbf{r})\end{equation} verwendet werden. Die Lösungsfunktionen $\Psi(\mathbf{r})$ hängen nur vom Ort $\mathbf{r}$, nicht von der Zeit $t$ ab. Sie können komplex sein. Ihr reelles Absolutquadrat $\left\vert\Psi(\mathbf{r})\right\vert^{2}$ gibt die Wahrscheinlichkeit an, das Teilchen im Volumen $\mathsf{d}\tau$ um den Ort $\mathbf{r}$ zu finden.

Die spektrale Auflösung der klassischen Absorptions- bzw. Emissionsspektroskopie ist durch die verwendeten Spektralapparate begrenzt. Laserspektroskopische Verfahren erlauben die Auflösung der wirklichen Linienbreiten der atomaren bzw. molekularen Übergänge. Mit Methoden der nichtlinearen Laserspektroskopie oder bei Verwendung kollimierter Molekularstrahlen lässt sich eine dopplerfreie spektrale Auflösung erreichen. Mit kurzen Laserpulsen lassen sich zeitaufgelöste Messungen schneller dynamischer Prozesse verfolgen. Die Grenze der Zeitauflösung liegt zur Zeit bei wenigen Femtosekunden.

Molekülschwingungen werden hauptsächlich mit Infrarot- und Raman-Spektroskopie aufgeklärt, wobei sich beide Methoden ergänzen. Übergänge, bei denen sich das elektrische Dipolmoment ändert, sind infrarot-aktiv, solche, bei denen sich die Polarisierbarkeit ändert, sind Raman-aktiv.

Ein Translationsgitter ist ein räumlich periodisches Punktgitter, bei dem jeder Gitterpunkt durch einen Translationsvektor \begin{equation} \mathbf{T} = m_{1}\,\mathbf{a} + m_{2}\,\mathbf{b} + m_{3}\,\mathbf{c}\qquad\mathrm{mit}\quad m_{j}\in\mathbb{N} \end{equation} beschrieben werden kann. Die Basisvektoren $\mathbf{a},\,\mathbf{b},\,\mathbf{c}$ spannen die Elementarzelle des Gitters auf. Deren Volumen ist $V_{\mathrm{E}} = \mathbf{a}\cdot \left(\mathbf{b}\times\mathbf{c}\right)$.

Ort und Impuls eines Teilchens können nicht gleichzeitig beliebig genau gemessen werden. Die Heisenberg’sche Unbestimmtheitsrelation $\Delta x \cdot \Delta p_x >\hslash$ gibt eine untere Schranke für die prinzipiellen Unschärfen $\Delta x$ des Ortes und $\Delta p$ des Impulses bei gleichzeitiger Messung beider Größen an. In Analogie zur klassischen Optik kann die Ortsunschärfe $\Delta x$ bei der Ortsmessung eines Teilchens nicht kleiner als die Wellenlänge $\lambda=h\,/\,p$ seiner Materiewelle werden. Die Unschärferelation macht die Stabilität des tiefsten Atomzustandes verständlich.

Viele experimentelle Befunde deuten auf den Teilchencharakter elektromagnetischer Wellen hin. Beispiele sind die spektrale Verteilung der Strahlung Schwarzer Körper, der Photoeffekt, der Comptoneffekt oder die Messung der Photonenstruktur im emittierten Licht einer schwachen Lichtquelle.

Die Zustandsdichte $D(E)$ gibt die Zahl aller erlaubten Energiezustände pro Einheitsenergieintervall an. Im eindimensionalen Potentialkasten ist $D(E) \propto E^{-1/2}$ und die mittlere kinetische Energie der Elektronen $E_{\mathrm{kin}} = \frac{1}{3}\, E_{\mathrm{F}}$. Im dreidimensionalen Potentialkasten gilt $D(E) \propto E^{+1/2}$ und $E_{\mathrm{kin}} = \frac{3}{5}\,E_{\mathrm{F}} $