Glossar: Taylorentwicklung, Jacobi-Matrix, ∇, δ(x) und Co.

Man nennt eine Abbildung $A$ über einem $N$-dimensionalen Vektorraum $V$ linear, wenn sie additiv und homogen ist, das heißt, wenn für $\boldsymbol{a},\,\boldsymbol{b}$ aus $V$ und eine reelle Zahl $\lambda$ sowohl $ A(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})~=~A\boldsymbol{a}+A\boldsymbol{b} \qquad\text{als auch}\quad A(\lambda\,\boldsymbol{a})~=~\lambda\,(A\boldsymbol{a}) $ Die Koordinatendarstellungen von linearen Abbildungen sind Matrizen.

Eine Funktion $f$ kann in der Nähe eines Punktes $x_0$ durch eine lineare Funktion approximiert werden $ f_l(x)~=~f'(x_0)\,(x-x_0)+f(x_0) $

Die Bogenlänge $l$, Länge des Kurvenstücks einer Kurve zwischen $\boldsymbol{r}_1=\boldsymbol{r}(s_1)$ und $\boldsymbol{r}_2=\boldsymbol{r}(s_2)$, wird berechnet mit $ l~=~\int_{s_1}^{s_2}\,ds~\sqrt{\left(\frac{dx}{ds}\right)^2+\left(\frac{dy}{ds}\right)^2} $. Ist die Kurve durch den expliziten Ausdruck $y=f(x)$ gegeben, kann sie also durch $x$ selbst parametrisiert werden, so nimmt dieses Resultat die Form $ l~=~\int_{x_1}^{x_2}\,dx~\sqrt{1+f'(x)^2} $

Für einen Vektoren $\boldsymbol{a}$ bedeutet Definitheit $ \boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{a} ~>~ 0 \qquad \forall \boldsymbol{a}\neq\boldsymbol{o} $

Das totale Differential einer Funktion gibt die kleine Änderung ihres Funktionswertes bei kleinen Änderungen aller ihrer Argumente an.

Mithilfe der Fourier-Transformation lässt sich eine lineare Differentialgleichung für eine Funktion $f$ in eine algebraische Gleichung für ihre Fouriertransformierte $\tilde{f}$ überführen.

Lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten werden mit einem Exponentialansatz gelöst.

Eine inhomogene lineare partielle Differentialgleichung ist bis auf Quadratur gelöst, wenn ihre Green’sche Funktion bekannt ist.

Die Divergenz eines Vektors $\boldsymbol{a}$ ist durch den Nabla-Operator ($\nabla$) definiert als $\text{div}(\boldsymbol{a})~=~\nabla \cdot \boldsymbol{a}$. Die Divergenz einer Rotation ist immer identisch null.

Ist die Funktion $f$ in einer Umgebung des Punktes $(x_0,y_0)$ stetig und samt ihrer partiellen Ableitung nach $y$ beschränkt, so gibt es in dieser Umgebung genau eine Lösung $f$ der Differentialgleichung $y'(x)~=~f\left(x,\,y(x)\right) $ mit der Anfangsbedingung $ y(x_0)=y_0 $.

Nach dem Fermat’schen Prinzip erfolgt die Lichtausbreitung im Rahmen der Strahlenoptik entlang des Weges, für den die benötigte Zeit minimal ist.

Das Linienintegral eines Vektorfeldes längs einer geschlossenen Kurve ist gleich dem Fluss seiner Rotation durch eine von der Kurve berandete Fläche.

Der Fluss eines Vektorfeldes durch eine geschlossene Fläche ist gleich dem Integral seiner Divergenz über das eingeschlossene Volumen. Diese Möglichkeit, Oberflächen- und Volumenintegrale ineinander umzuwandeln, macht den Gauß’schen Satz zu einem unentbehrlichen Hilfsmittel in der Behandlung von Vektorfeldern.

Lösbarkeit Ein lineares Gleichungssystem ist genau dann eindeutig lösbar, wenn die Determinante der Koeffizientenmatrix von null verschieden ist.

Die Korrespondenz $ \frac{F(x)}{dx}~=~f(x) \qquad\leftrightarrow\qquad F(x)~=~\int\,dx~f(x) $ wird als Hauptsatz der Infinitesimalrechnung, Differentiation und Integration sind Umkehroperationen voneinander.

Das Produkt aus Masse $m$ und Geschwindigkeit $\boldsymbol{v}=\dot{\boldsymbol{r}}$ wird als Impuls bezeichnet: $\boldsymbol{p} ~:=~m\,\boldsymbol{v} $

Integral der Funktion $f$ über ihr Argument $x$ liefert eine Stammfunktion $F$ $ \int\,dx~f(x) ~=~ F(x) $

$ \int_{x_1}^{x_2}\,dx~f(x) ~=~ \int_{s_1}^{s_2}\,ds~g'(s)\,f\left(g(s)\right) $

Seien $x^{(i)}$ für $i=1,2,\dots,N$ linear unabhängige Vektoren. Für zwei Vektoren $\boldsymbol{a} = \sum_i \lambda_i\,\boldsymbol{x}^{(i)}$ und $\boldsymbol{b}=\sum_i \mu_i\,\boldsymbol{x}^{(i)}$ folgt aus der Gleichheit $\boldsymbol{a}=\boldsymbol{b}$ auch, dass $\lambda_i = \mu_i$ für alle $i=1,2,\dots,N$.

Statt durch seine kartesischen Komponenten $x$ und $y$ beschreiben ebene Polarkoordinaten einen Orstvektor $\boldsymbol{r}$, durch Angabe seines Betrages $r$ und des Winkels $\varphi$, den er mit der x-Achse einschließt. $ x = r\cos\varphi\,,\quad y =r\sin\varphi$ und $ r = \sqrt{x^2+y^2}\,,\quad \varphi = \arctan\frac{y}{x} $.

Ein Kraftfeld $\boldsymbol{F}(\boldsymbol{r})$, dass sich als Gradient eines skalaren Feldes $V(\boldsymbol{r}$ schreiben lässt, nennt man konservativ. $\boldsymbol{F}(\boldsymbol{r})~=~-\nabla\,V(\boldsymbol{r}) $

Das Kronecker-Symbol ist ein Kürzel für die Zuordnung $ \delta_{ij} ~:=~\begin{cases} 1 &\quad i=j\\ 0 &\quad \text{sonst} \end{cases} $

Extremwertprobleme mit Nebenbedingungen werden mit der Lagrange’schen Multiplikatorenmethode gelöst.

Die Poisson-Gleichung $ -\Delta\,\Phi(\boldsymbol{r})~=~\frac{1}{\epsilon_0}\rho_e(\boldsymbol{r}) $ ist die zentrale Gleichung der Elektro- und Magnetostatik. Ihre homogene Form ($\rho_e = 0$) wird als Laplace-Gleichung bezeichnet.

Das Levi-Civita-Symbol $\epsilon_{ijk}$ ist durch $\epsilon_{123}:=1$ und die Vorschrift, dass es bei jeder Vertauschung zweier Indizes das Vorzeichen wechselt, definiert $\epsilon_{ijk}=-\epsilon{jik}=-\epsilon{kji}=\-epsilon{ikj}$

Das Linienintegral über ein Vektorfeld entlang eines beliebigen Weges hängt genau dann nur vom Anfangs- und Endpunkt dieses Weges ab, wenn die Rotation des Vektorfeldes identisch verschwindet.

Symmetrische Matrizen haben reelle Eigenwerte. Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten stehen senkrecht aufeinander.

Es gilt für das elektrische und die magnetische Feldstärke $\boldsymbol{E}$ und $\boldsymbol{B}$, den Strom $\boldsymbol{j}_e$ und die Ladungsdichte $\rho_e$: \begin{align} \nabla \cdot \boldsymbol{E} &~=~ \frac{\rho_e}{\epsilon_0} \nonumber\\ \nabla\cdot\boldsymbol{B} &~=~ 0 \nonumber\\ \nabla \times \boldsymbol{E} &~=~ -\,\frac{\partial \boldsymbol{B}}{\partial t} \nonumber\\ \nabla \times \boldsymbol{B} &~=~ \mu_0\,\boldsymbol{j}_e+ \epsilon_0\,\mu_0\,\frac{\partial\boldsymbol{E}}{\partial t} \end{align}

Eine Funktion $f$ hat im Punkt $\bar{x}$ ein lokales Minimum, falls $f'(\bar{x})=0$ und $ f''(\bar{x})> 0 $ ist, sie besitzt in diesem Punkt ein lokales Maximum, falls $ f'(\bar{x})=0 $ und $ f''(\bar{x}) < 0 $ gilt.

Befindet sich ein Massenpunkt der Masse $m$ zu einem Zeitpunkt $t$ am Ort $\boldsymbol{r}(t)$ unter dem Einfluss einer Kraft $F$, so ändert sich seine Geschwindigkeit $\dot{\boldsymbol{r}}(t)$, und zwar im Rahmen der Newton’schen Mechanik nach der Vorschrift $ \frac{d}{dt}\left(m\,\frac{d\boldsymbol{r}(t)}{dt}\right) ~=~ \boldsymbol{F}\left( \boldsymbol{r}(t),\, \dot{\boldsymbol{r}}(t),\,t\right) $ oder ausgedrückt durch den Impuls $\boldsymbol{p}$ des Massepunktes $ \dot{\boldsymbol{p}}~=~\boldsymbol{F}\left( \boldsymbol{r}(t),\, \dot{\boldsymbol{r}}(t),\,t\right)

Jede Bewegung der gekoppelten Massenpunktes in zwei Dimensionen ist damit eine Superposition aus den beiden Normalmoden $ X^{(1)}(t)~=~\begin{pmatrix}1 \\ -1\end{pmatrix}\exp(i\omega^{(1)}t) $ und $ X^{(2)}(t)~=~\begin{pmatrix}1 \\ +1\end{pmatrix}\exp(i\omega^{(2)}t) $ zu den Frequenzen $\omega^{(1)}$ und $\omega^{(2)}$.

Es seien $\boldsymbol{e}^{(i)}$ für $i=1,\dots,N$ paarweise orthogonale Einheitsvektorenals Basissystem mit $ \boldsymbol{e}^{(i)}\cdot\boldsymbol{e}^{(j)}~=~\delta_{ij}\qquad\text{für}\quad i,\,j=1\,\dots,N $

Die Poisson-Gleichung $ -\Delta\,\Phi(\boldsymbol{r})~=~\frac{1}{\epsilon_0}\rho_e(\boldsymbol{r}) $ ist die zentrale Gleichung der Elektro- und Magnetostatik. Ihre homogene Form ($\rho_e = 0$) wird als Laplace-Gleichung bezeichnet.

Die Rotation eines Vektors $\boldsymbol{a}$ ist durch den Nabla-Operator ($\nabla$) definiert als $\text{rot}(\boldsymbol{a})~=~\nabla \times \boldsymbol{a}$. Die Rotation einer Divergenz ist immer identisch null.

Eindimensionale Größen werden als Skalare beschrieben, bspw. Temperatur, Dichte oder Druck.

Eine Funktion $F$ zu $f$ heißt Stammfunktion, wenn für alle $x$ gilt, dass $ F'(x) = f(x)$

Man nennt die rechte Seite von $ f(x_0+\delta x) ~=~ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}\,\delta x^n $ die Taylor-Reihe der Funktion $f$ um den Punkt $x_0$. Die Kenntnis aller Ableitungen von $f$ im Punkt $x_0$ ist somit gleichwertig zur Kenntnis aller Funktionswerte von $f$ in jeder Umgebung von $x_0$, in der diese Reihe konvergiert.

Vektoren $\boldsymbol{a}^{(i)}$ heißen linear unabhängig, wenn die Gleichung $ \lambda_1\boldsymbol{a}^{(1)}+ \lambda_2\boldsymbol{a}^{(2)}+ \dots + \lambda_N\boldsymbol{a}^{(N)}~=~\boldsymbol{o}$ nur durch die Wahl $ \lambda_1= \lambda_2 = \dots = \lambda_N = 0$ gelöst wird.

Es gilt $ \Vert \boldsymbol{a}+\boldsymbol{b} \Vert ~\leq~ \Vert\boldsymbol{a}\Vert + \Vert\boldsymbol{b}\Vert $

Die Möglichkeit, alle Vektoren des Raumes als Linearkombination von sogenannten Basisvektoren $\boldsymbol{e}^{(i)}$ zu schreiben, hat viele Vorteile.

Die Norm $\Vert \boldsymbol{a} \Vert$ eines Vektors $\boldsymbol{a}$ ist definiert durch $ \Vert\boldsymbol{a}\Vert ~:=~\sqrt{\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{a}} $

Die Darstellung eines Vektors als Zahlentupel in Form einer Spalte wird als Spaltenvektor bezeichnet, $\boldsymbol{a}~=~\begin{pmatrix}a_1 \\ a_2 \\ a_3\end{pmatrix} $ Die Koordinatendarstellungen von Vektoren sind Spaltenvektoren.

Eine Vektorgleichung in einem $N$-dimensionalen Vektorraum enthält ebenso viel Information, wie $N$ skalare Gleichungen.

Ein Kraftfeld $\boldsymbol{F}(\boldsymbol{r}$ wird durch ein Potential $V(\boldsymbol{r}$ definiert mit $\boldsymbol{F}(\boldsymbol{r})~=~-\nabla V(\boldsymbol{r}$ hängt dieses Potential nur vom Betrag $r=\vert\boldsymbol{r}\vert$ ab, so nennt man $\boldsymbol{F}$ ein Zentralfeld. Die Kräfte wirken parallen (oder antiparallel) zum Ortsvektor $\boldsymbol{r}$.