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Begriff Erklärung

Nabla Operator

Der Nabla Operator ist ein Vektor, dessen Komponenten die Ableitungsoperatoren bezüglich der Koordinatenbasis sind. Es ist für dreidimensionale kartesische Koordinaten $$\boldsymbol{\nabla} := \begin{pmatrix} \frac{\partial f}{\partial x} \\ \frac{\partial f}{\partial y} \\ \frac{\partial f}{\partial z} \end{pmatrix}$$

Nabla-Operator

Der Vektor-Differentialoperator $\nabla\equiv\left(\frac{\partial{}}{\partial x_{1}},\,\frac{\partial{}}{\partial x_{2}},\,\frac{\partial{}}{\partial x_{3}}\right)=\boldsymbol{e}_{1}\frac{\partial{}}{\partial x_{1}}+\boldsymbol{e}_{2}\frac{\partial{}}{\partial x_{2}}+\boldsymbol{e}_{3}\frac{\partial{}}{\partial x_{3}}$ heißt Nabla-Operator.

Navier-Stokes-Gleichung

Die vollständige Bewegungsgleichung für ein strömendes Medium ist die Navier-Stokes-Gleichung $\varrho\left(\frac{\partial}{\partial t}+\boldsymbol{u}\cdot\nabla\right)\boldsymbol{u}=-\mathop{\mathbf{grad}}p+\varrho\cdot\boldsymbol{g}+\eta\Delta\boldsymbol{u}$, die für ideale Flüssigkeiten ($\eta=0$) in die Euler-Gleichung übergeht. Sie beschreibt auch turbulente Flüssigkeiten und ist im allgemeinen Fall nur numerisch lösbar.

Navier-Stokes-Gleichung für inkompressible Flüssigkeit

Für eine inkompressible Flüssigkeit ($\rho = \mathrm{const}$) lautet die Impulsgleichung \begin{equation} \rho \frac{\mathbf{d} \boldsymbol{u}}{\mathrm{d} t} = - \mathbf{grad\,} P + \eta \varDelta \boldsymbol{u} + \boldsymbol{f}. \end{equation} Sie wird auch inkompressible Navier-Stokes-Gleichung genannt.

Neumann-Randbedingungen

$$\begin{aligned} \frac{\partial\varphi}{\partial n}=-\boldsymbol{n}\mathbin{\boldsymbol{\cdot}}\boldsymbol{E}{\text{ auf $\partial V$ gegeben!}}\end{aligned}$$

Neumannfunktionen

Die Neumannfunktionen \begin{eqnarray} N_\lambda (z) &:=& \frac{\cos(\lambda\pi) J_\lambda (z) - J_{-\lambda}(z)}{\sin(\lambda \pi)} \qquad \text{ für } \lambda \notin \mathbb{Z}\\ N_n(z) &:=& \lim_{\lambda\rightarrow n} N_\lambda (z) \qquad \text{ für } n\in\mathbb{N}\end{eqnarray} mit den Besselfunktionen $J_\lambda$, sind jeweils linear unabhängig von $J_\lambda$. Daher ist $\left\lbrace J_n, N_n\right\rbrace$ ein Fundamentalsystem der Bessel'schen Differenzialgleichung für $\lambda = n$.

Neutronensterne

Neutronensterne sind das Endstadium von Sternen mit einer Masse $1{,}4 M_\odot

Newton'sche Bewegungsgleichung

Befindet sich ein Massenpunkt der Masse $m$ zu einem Zeitpunkt $t$ am Ort $\boldsymbol{r}(t)$ unter dem Einfluss einer Kraft $F$, so ändert sich seine Geschwindigkeit $\dot{\boldsymbol{r}}(t)$, und zwar im Rahmen der Newton’schen Mechanik nach der Vorschrift $ \frac{d}{dt}\left(m\,\frac{d\boldsymbol{r}(t)}{dt}\right) ~=~ \boldsymbol{F}\left( \boldsymbol{r}(t),\, \dot{\boldsymbol{r}}(t),\,t\right) $ oder ausgedrückt durch den Impuls $\boldsymbol{p}$ des Massepunktes $ \dot{\boldsymbol{p}}~=~\boldsymbol{F}\left( \boldsymbol{r}(t),\, \dot{\boldsymbol{r}}(t),\,t\right)

Newton'sche Gravitationspotential

Bezeichnen wir mit $G$ die Netwon'sche Gravitationskonstante, so ergibt sich das Gravitationspotential $\phi_G (\boldsymbol{r})$ als Lösung der Poisson-Gleichung, mit der

Newton'schen Axiome, Kovarianz unter Galilei-Transformationen

Das erste Newton'sche Axiom ändert seine Form unter Galilei-Transformationen nicht. Dies ist äquivalent zu einem Übergang von einem zu einem anderen Inertialsystem. Sind zwei Koordinatensysteme gegeneinander beschleunigt, treten Zusatzterme auf, und das erste Newton'sche Axiom ist nicht mehr kovariant. Das zweite Newton'sche Axiom ist unter Galilei-Transformationen kovariant. Die Newton'schen Bewegungsgleichungen ändern ihre Form beim Übergang zwischen Inertialsystemen nicht.

Newton'sches Axiom, 1.

Erstes Newton'sches Axiom: Jeder Körper beharrt in seinem Zustand der Ruhe oder gleichförmigen geradlinigen Bewegung, wenn er nicht durch einwirkende Kräfte gezwungen wird, seinen Zustand zu ändern.

Newton'sches Axiom, 2.

Zweites Newton'sches Axiom: Die Änderung der Bewegung ist der Einwirkung der bewegenden Kraft proportional und geschieht nach der Richtung derjenigen geraden Linie, nach welcher jene Kraft wirkt.

Newton'sches Axiom, 2. für Drehbewegungen

\begin{equation} M_{\mathrm{ext}} = \sum M_{\mathrm{ext},i} = I\,\alpha \end{equation}

Newton'sches Axiom, 3.

Drittes Newton'sches Axiom: Die Kraft ist stets der Gegenkraft gleich, d.h. die Kräfte zweier Körper aufeinander sind stets betragsgleich, aber von entgegengesetzter Richtung.

Newton'sches Axiom, 4.

Viertes Newton'sches Axiom: Wirken auf einen Punkt mehrere Kräfte, so addieren sich diese vektoriell zu einer resultierenden Kraft auf.

Newton'sches Axiom, Drittes

Das dritte Newton'sche Axiom ist auch als Reaktionsprinzip oder actio $=$ reactio bekannt: $\begin{aligned} \boldsymbol{F}_{12} : \text{Kraft des K\"orpers 2 auf Körper 1}\;,\\ \boldsymbol{F}_{21} : \text{Kraft des Körpers 1 auf Körper 2}\;.\end{aligned}$ Dann gilt: $\boldsymbol{F}_{12}=-\boldsymbol{F}_{21}\;.$

Newton'sches Axiom, Erstes

Das erste Newton'sche Axiom wird auch als Galilei'sches Trägheitsgesetz bezeichnet: Es gibt Koordinatensysteme, in denen ein kräftefreier Körper (Massenpunkt) im Zustand der Ruhe oder der geradlinig gleichförmigen Bewegung verharrt. Solche Systeme sollen Inertialsysteme heiüen.

Newton'sches Axiom, Viertes

Das vierte Newton'sche Axiom wird auch Superpositionsprinzip genannt: Wirken auf einen Massenpunkt mehrere Kräfte $\boldsymbol{F}_{1},\boldsymbol{F}_{2},{\ldots},\boldsymbol{F}_{n}$, so addieren sich diese wie Vektoren zu einer Resultanten $\boldsymbol{F}=\sum\limits_{i\,=\,1}^{n}\boldsymbol{F}_{i}\;.$

Newton'sches Axiom, Zweites

Das zweite Newton'sche Axiom wird auch Bewegungsgesetz genannt: Die Änderung des Impulses ist der Einwirkung der bewegenden Kraft proportional und geschieht in Richtung der Kraft $\boldsymbol{F}=\dot{\boldsymbol{p}}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(m_{\text{t}}\boldsymbol{v}\right)\;.$

Newton'sches Axiom, zweites für Drehbewegungen

Das Drehmoment, das von außen auf ein System wirkt, ist gleich der zeitlichen Änderung des Drehimpulses des Systems:\begin{equation} \vec{M}_\mathrm{ext} =\frac{\mathrm{d} \vec{L}}{\mathrm{d} t} \end{equation}

Newtons drittes Axiom (lex tertia), Reaktionsprinzip

Kräfte treten immer paarweise auf. Übt ein Körper A auf einen anderen Körper B eine Kraft aus (actio), so wirkt eine gleich große, aber entgegen gerichtete Kraft von Körper B auf Körper A (reactio).

Newtons erstes Axiom (lex prima), Trägheitsgesetz

Ein Körper verharrt im Zustand der Ruhe oder der gleichförmigen Bewegung, sofern er nicht durch einwirkende Kräfte zur Änderung seines Zustands gezwungen wird.

Newtons zweites Axiom (lex secunda), Aktionsprinzip

Die Änderung der Bewegung einer Masse ist der Einwirkung der bewegenden Kraft proportional und geschieht nach der Richtung derjenigen geraden Linie, nach welcher jene Kraft wirkt.

Nichtholonome Zwangsbedingungen

Alle Zwangsbedingungen, die sich nicht in der Form \begin{equation} f_a(t, \boldsymbol{x}_1, \ldots, \boldsymbol{x}_N) = 0 \quad (1 \leq a \leq r) \end{equation} schreiben lassen, heißen nichtholonom. Dazu gehören insbesondere (aber nicht ausschließlich) Zwangsbedingungen, die sich nur als Ungleichung formulieren lassen. Man unterscheidet außerdem zeitabhängige bzw. rheonome und zeitunabhängige bzw. skleronome Zwangsbedingungen. Diese Begriffe stammen aus dem Griechischen (rheos: fließend, skleros: starr).

Noether-Theorem

Sind die Bewegungsgleichungen unter der infinitesimalen Koordinatentransformation $q_i \to q'_i = q_i + \epsilon \tilde q_i(t, q, \dot q), \quad t \to t' = t + \epsilon \tilde t(t, q, \dot q)$ invariant, d.h. gilt $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\epsilon} \left.\left[L\left(t', q', \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}q'}{t'}\right) \dot t'\right] \right\rvert_{\epsilon = 0} = \frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}t}$, so ist die Größe \begin{equation} I(t, q, \dot q) = \sum_i \frac{\partial L}{\partial \dot q_i} \tilde q_i + \left(L - \sum_i \frac{\partial L}{\partial \dot q_i} \dot q_i\right) \tilde t - f \end{equation} eine Erhaltungsgröße. Dies bedeutet: Zu jeder infinitesimalen Transformation, welche die Wirkung höchstens um eine Konstante ändert, gibt es eine Erhaltungsgröße.

Norm

Die Norm eines Zustands ist die Wurzel des Skalarprodukts des Zustands mit sich selbst.

Norm eines Vektors

Ist $\boldsymbol{v}$ ein Element eines euklidischen bzw. unitären Vektorraums $V$ mit Skalarprodukt $\cdot$, so nennt man die positive reelle Zahl $$\Vert \boldsymbol{v} \Vert := \sqrt{\boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{v}}$$ die Norm bzw. Länge des Vektors.

Normaleneinheitsvektor

Der Normaleneinheitsvektor ist definiert als $ \hat{\boldsymbol{n}}=\frac{ {\frac{\mathrm{d}\hat{\boldsymbol{t}}(s)}{\mathrm{d}s}}}{{ \left|\frac{\mathrm{d}\hat{\boldsymbol{t}}(s)}{\mathrm{d}s}\right|}}={ \frac{1}{\kappa}}{ \frac{\mathrm{d}\hat{\boldsymbol{t}}(s)}{\mathrm{d}s}}=\hat{\boldsymbol{n}}(s)\;.$

Normalmode

Jede Bewegung der gekoppelten Massenpunktes in zwei Dimensionen ist damit eine Superposition aus den beiden Normalmoden $ X^{(1)}(t)~=~\begin{pmatrix}1 \\ -1\end{pmatrix}\exp(i\omega^{(1)}t) $ und $ X^{(2)}(t)~=~\begin{pmatrix}1 \\ +1\end{pmatrix}\exp(i\omega^{(2)}t) $ zu den Frequenzen $\omega^{(1)}$ und $\omega^{(2)}$.

Nullter Hauptsatz der Thermodynamik

Makroskopischen physikalischen Systemen wird eine Temperatur zugeordnet. Als thermisches Gleichgewicht zwischen zwei Systemen wird der Zustand der beiden Systeme bezeichnet, in dem sich ihre Temperaturen aneinander angeglichen haben.

Nutation und Präzession

Bei beliebiger Richtung von $\boldsymbol{\omega}$ nutiert die momentane Drehachse (= Rotationsachse $\boldsymbol{\omega}$) um die (ohne äußeres Drehmoment) raumfeste Drehimpulsachse. Unter der Wirkung eines äußeren Drehmomentes präzediert die Drehimpulsachse und zusätzlich nutiert die momentane Drehachse um die Drehimpulsachse. Es gilt: $\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{L}}{\mathrm{d}t}=\boldsymbol{D}$.