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Begriff Erklärung

Babinetsches Prinzip

Das Interferenzbild zweier komplementären optischen Strukturen ist identisch. So führt zum Beispiel die Beleuchtung eines Haars mit einem Laser zu demselben Beugungsbild, wie ein Einzelspalt mit selber Breite.

Bahnkurve im Gravitationspotenzial

Die Bahnkurve im Gravitationspotenzial lautet allgemein \begin{equation} r( \varphi) = \frac{p}{1 + \varepsilon\, \mathrm{cos\:} ( \varphi - \varphi_\mathrm{p})}, \end{equation} wobei $p$ der Bahnparameter, $ \varepsilon$ die Exzentrizität und $ \varphi_\mathrm{p}$ eine weitere Integrationskonstante ist.

Bahnkurve im Zentralkraftfeld

Ist das effektive Potenzial $U(r)$ bekannt, so lautet die Bahnkurve allgemein in impliziter Form\begin{equation} \varphi - \varphi_0 = L \int_{r_0}^r \frac{ \mathrm{d} r'}{r'^2 \sqrt{2 \mu \left(E - U(r')\right)}}.\end{equation} Die erhaltene Energie $E$ und der konstante Drehimpuls $ \boldsymbol{L}$ sowie die Anfangsbedingungen $r_0$ und $\varphi_0$ bilden die sechs Integrationskonstanten und legen die Form und Orientierung der Bahnkurve fest.

Banachraum

Ein normierter Raum in dem jede Cauchy-Folge einen Grenzwert besitzt, heißt vollständig. Einen vollständigen normerten Raum man auch Banachraum.

Bändermodell

Es gibt für Elektronen im periodischen Potential quasikontinuierliche erlaubte Energiebereiche (Energiebänder), die durch verbotene Zonen voneinander getrennt sind. Die Breite $\Delta E_g$ der verbotenen Zonen (band-gap) hängt von der Periodenlänge des Kristallgitters und von den Bindungskräften ab. Elektronen in voll besetzten Bändern können nicht zur elektrischen Leitfähigkeit beitragen. Liegt die Fermigrenze in der verbotenen Zone, so ist der Festkörper ein Nichtleiter; liegt sie innerhalb eines Bandes, so ist dieses nicht voll besetzt, und der Festkörper ist ein Leiter. Manche Metalle mit gerader Elektronenzahl pro Atom haben überlappende Energiebänder. Sie können dann trotz der geraden Elektronenzahl Leiter sein, wenn die überlappenden Bänder noch freie, unbesetzte Zustände haben.

Barometrische Höhenformel

Der Luftdruck $p$ in einer Höhe $h$ über der Erdoberfläche lässt sich näherungsweise beschreiben durch $ p(h)~=~p_0\,\exp(-C\,g\,h) $ mit den konstante Größen: Luftdruck an der Erdoberfläche $p_0$, der Erdbeschleunigung $g$ und einer Konstanten $C$.

Basis eines Vektorraumes

In einem $d$-dimensionalen Vektorraum bildet jede Menge von $d$ linear unabhängigen Vektoren eine Basis, d. h. jeder beliebige Vektor dieses Raumes lässt sich als Linearkombination dieser $d$ Vektoren beschreiben.

Beer´sches Absorptionsgesetz

Die Intensität einer in z-Richtung durch ein absorbierendes Medium laufenden Welle nimmt ab nach dem Beer´schen Absorptionsgesetz $I=I_{0}\cdot{{\text{e}}}^{-\alpha z}$ mit $\alpha=\frac{4\pi}{\lambda_{0}}\,\kappa$. Dies gilt für nicht zu große Intensitäten, bei denen Sättigungseffekte vernachlässigbar sind.

Bernoulli-Gleichung

$$p_{\text{stat}}+\frac{1}{2}\rho v^{2}=p_{\text{tot}}=\text{konst.}$$

Beschleunigung

Die Beschleunigung ist die zeitliche Ableitung der Geschwindigkeit, $$ a = \dot v = \ddot s\,.$$

Beschleunigung, mittlere eindimensional

Ist die Beschleunigung nicht konstant über die Zeit, kann man eine mittlere Beschleunigung definieren, indem man die Geschwindigkeiten für den Start- und den Endpunkt des betrachteten Zeitintervalls ermittelt: \begin{equation} \langle a_x \rangle = \frac{\Delta v_x}{\Delta t} = \frac{v_2 - v_1}{t_2 - t_1} \end{equation}

Beschleunigung, mittlere mehrdimensional

Der Vektor der mittleren Beschleunigung ist der Quotient der Änderung des Vektors der Momentangeschwindigkeit $\Delta\vec{v}$ und des verstrichenen Zeitintervalls $\Delta t$:\begin{equation} \langle \vec{a} \rangle = \frac{\Delta\vec{v}}{\Delta t} \end{equation}

Beschleunigung, momentan mehrdimensional

Der Vektor der Momentanbeschleunigung ist der Grenzwert des Quotienten $\frac{\Delta\vec{v}}{\Delta t}$ für $\Delta t$ gegen null, d.h. die Ableitung des Geschwindigkeitsvektors nach der Zeit:\begin{equation} \vec{a}(t) = \lim_{\Delta t\rightarrow 0} \frac{\Delta\vec{v}}{\Delta t} = \frac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d} t} \end{equation}

Beschleunigung, momentane eindimensional

In einem Geschwindigkeit-Zeit-Diagramm ist die Momentanbeschleunigung zum Zeitpunkt $t$ gleich dem Anstieg der Tangente an die Kurve zu diesem Zeitpunkt: \begin{align} a_{x}(t) &= \lim_{\Delta t \rightarrow 0} \frac{\Delta v_x}{\Delta t} = \frac{\mathrm{d} v_x}{\mathrm{d} t}\\ \nonumber &= \text{Anstieg der Tangente an die Funktion $v_{x}(t)$} \end{align}

Besselfunktionen

Für die Besselfunktionen $J_\lambda$ erhalten wir die Reihendarstellung $$J_\lambda (z) = \left(\frac{z}{2}\right)^\lambda \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{k! \Gamma(1+k+\lambda)} \left(\frac{z}{2}\right)^{2k}$$ für $z\in\mathbb{C}$ und $\lambda \in \mathbb{C}\setminus\mathbb{Z}_{

Betazerfall

Beim $\beta$-Zerfall beobachtet man eine kontinuierliche Energieverteilung der Elektronen. Energie-Impuls- und Drehimpulserhaltung fordern einen Drei-Körper-Zerfall:
$\displaystyle\mathrm{{}_{Z}^{A}X}\displaystyle\overset{\beta^{-}}{\rightarrow}\mathrm{{}_{Z+1}^{A}Y}+\mathrm{e}+\bar{\nu}$ bzw. $\displaystyle\mathrm{{}_{Z^{\prime}}^{A^{\prime}}X^{\prime}}\displaystyle\overset{\beta^{+}}{\rightarrow}\mathrm{{}_{Z^{\prime}-1}^{A^{\prime}}Y^{\prime}}+\mathrm{e}^{+}+\nu$ und damit die Existenz eines bis dahin nicht beobachteten Teilchens, des Neutrinos. Die Neutrinos sind Leptonen. Sie haben eine Ruhemasse $m_{\nu}

Beugung

Trifft Licht auf eine Öffnung, die sehr viel breiter als die Lichtwellenlänge ist, tritt es ohne besondere Vorkommnisse hindurch. Reduziert man diesen Spalt nun aber auf eine Breite in der Größenordnung der Wellenlänge oder kleiner, so kommt es zum Auftreten von Beugungseffekten. Es wird in alle Richtungen gleichermaßen abgestrahlt.

Beugung am Spalt

Die durch Beugung einer Welle an einem Spalt der Breite $b$ bewirkte Intensitätsverteilung ist $$I(\theta)=I_{0}\,\frac{\sin^{2}[\pi(b/\lambda)\,\sin\theta]}{[\pi(b/\lambda)\,\sin\theta]^{2}}\,,$$ wobei $\theta$ der Winkel gegen die Ausbreitungsrichtung der einfallenden Welle ist.

Beugung an kreisförmiger Blende

Die Intensitätsverteilung bei der Beugung an einer kreisförmigen Blende mit Radius $R$ ist $$I(\theta)=I_{0}\,\frac{J_{1}^{2}[2\pi(R/\lambda)\sin\theta]}{[2\pi(R/\lambda)\sin\theta]^{2}}\,,$$ wobei $J_1$ die Besselfunktion erster Ordnung ist.

Beugungslimit

Das Beugungslimit gibt die maximal erreichbare Winkelauflösung eines optischen Geräts an: $\alpha_\mathrm{min} = \arcsin \left(1,22\frac{\lambda}{D}\right)$. Je größer die lichtdurchlassende Fläche, die sogenannte Apertur, ist, desto höher ist die erreichbare Auflösung des optischen Geräts.

Bewegung - Geschwindigkeit, gleichförmig beschleunigt

\begin{equation} \langle v_x \rangle = \textstyle \frac{1}{2}\,(v_{1,x} +v_{2,x}) \end{equation}

Bewegung - Ort, gleichförmig beschleunigt

\begin{equation} x-x_0 = v_{0,x}\,t+\textstyle\frac{1}{2}a_xt^2 \end{equation} Dabei sind $x_0$ und $v_{0,x}$ der Ort und die Geschwindigkeit zur Zeit $t=0$.

Bewegung auf einer Koordinatenebene

Wird die Bewegung des gesamten Systems auf eine Koordinatenebene beschränkt, so lässt sich das System direkt im zweidimensionalen Raum formulieren. Dies reduziert die Anzahl der Zwangsbedingungen und Lagrange-Multiplikatoren. Dies gilt entsprechend auch, wenn die Bewegung entlang nur einer Koordinatenachse eingeschränkt wird.

Bewegung eines freien starren Körpers

Die Bewegung eines freien starren Körpers lässt sich immer zusammensetzen aus der Translation seines Schwerpunktes mit der Geschwindigkeit $\boldsymbol{v}_{\text{S}}$ und der Rotation des Körpers um diesen Schwerpunkt mit der Winkelgeschwindigkeit $\boldsymbol{\omega}$. Der Körper hat daher sechs Freiheitsgrade der Bewegung.

Bewegungsgleichung des elastischen Mediums

Ein elastisches Medium erfüllt die Bewegungsgleichungen $$\rho \ddot q_i = \partial_j \sigma_{ij} + f_i,$$ bzw. in Vektornotation formuliert: $$\rho \boldsymbol{\ddot q} = \mathbf{div\,} \boldsymbol{\sigma} + \boldsymbol{f}$$ Hier ist $\boldsymbol{\sigma}$ der Spannungstensor und $\mathbf{div\,} \boldsymbol{\sigma} = (\partial_j \sigma_{ij})$ seine Divergenz, die in diesem Fall vektorwertig ist.

Bewegungsgleichung, kräftefreie des elastischen Bandes

Die Bewegungsgleichung des Bandes (d.h. der kontinuierlichen Kette) lautet in Abwesenheit von äußeren Kräften \begin{equation} \rho \frac{\partial^2 q(t, x)}{\partial t^2} - Y \frac{\partial^2 q(t, x)}{\partial x^2} = 0. \end{equation} Es handelt sich hierbei um eine lineare partielle Differenzialgleichung zweiter Ordnung für die Funktion $q(t, x)$, die auf dem Intervall $[0, \ell]$ definiert ist.

Bewegungsgleichung, Kräftefreie kontinuierliche schwingenden Saite

Die Bewegungsgleichungen der kontinuierlichen, kräftefrei schwingenden Saite lauten \begin{eqnarray} \rho \frac{\partial^2 q_\|(t, x)}{\partial t^2} - Y \frac{\partial^2 q_\|(t, x)}{\partial x^2} &=& 0, \nonumber \\ \rho \frac{\partial^2 \boldsymbol{q}_\perp(t, x)}{\partial t^2} - F \frac{\partial^2 \boldsymbol{q}_\perp(t, x)}{\partial x^2} &=& 0. \end{eqnarray} Sie ist auf dem Intervall $(0, \ell')$ definiert.

Bewegungsgleichung, Punktmasse

Für die vollständige Lösung der Bewegungsgleichungen einer Punktmasse entlang einer Achse benötigt man zwei Integrationskonstanten. Dies können beispielsweise die Anfangsbedingungen für Ort und Geschwindigkeit sein.

Bewegungsgleichung, Separation mit Impulserhaltung

Aus der Gesamtimpulserhaltung des Zweikörperproblems folgt direkt die Separation der Schwerpunkts- und der Relativbewegung. Es müssen nur noch drei anstatt sechs Differenzialgleichungen zweiter Ordnung gelöst werden.

Bewegungsgleichungen und Erhaltungsgrößen

Das Ausnutzen von Erhaltungsgrößen vereinfacht in der Regel das Lösen der Bewegungsgleichungen. Der erste Schritt bei der Analyse eines physikalischen Problems sollte daher das Identifizieren von Symmetrien und Erhaltungsgrößen sein.

Bijektivität

Eine Abbildung $f: A\rightarrow B\,, a\mapsto f(a)$ heißt bijektiv, wenn sie sowohl injektiv als auch surjektiv ist.

Bild

Eine Abbildung $f$ aus einer Menge $A$ in eine Menge $B$ ist eine Vorschrift, die jedem Element $a$ aus $A$ genau ein Element $b = f (a)$ aus $f (A) \subseteq B$ zuordnet. Dabei nennt man $A = D(f)$ die Definitionsmenge, $f (A)$ ist das Bild, und $B = W(f)$ heißt die Wertemenge.

Bild einer linearen Abbildung

Ist $\varphi$ eine lineare Abbildung von einem $\mathbb{K}$-Vektorraum $V$ einen $\mathbb{K}$-Vektorraum $W$, so ist das Bild von $\varphi$ definiert als $$\varphi\left(V \right) := \left\lbrace \varphi(\boldsymbol{v}) \vert \boldsymbol{v}\in V \right\rbrace \subseteq W$$

Bildweite

Die Bildweite $b$, also der Abstand vom erzeugten Bild mit Bildhöhe $B$ zur Linse, kann beide Vorzeichen haben. Ist sie größer null, so befindet sich das Bild vor der Linse, steht auf dem Kopf und ist reell. Ist sie kleiner null, so steht das Bild nicht auf dem Kopf, ist virtuell und befindet sich hinter der Linse, also auf der gleichen Seite wie der Gegenstand.

Bindungsenergie

Die Bindungsenergie eines Festkörpers hängt ab von der Anordnung der Atome im Gitter und von der Elektronenhülle der Atome. Man unterscheidet \textbf{1)} van der Waals-Bindung, \textbf{2)} metallische Bindung, \textbf{3)} Ionenbindung, \textbf{4)} kovalente Bindung, \textbf{5)} Wasserstoffbrückenbindung.

Bindungsenergie eines Kerns

Die Bindungsenergie eines Kerns ist die Summe aus der negativen potentiellen Energie und der positiven kinetischen Energie der Nukleonen im Kern, die sie aufgrund der Unschärferelation und des Pauli-Prinzips haben.

Binomialkoeffizient

Der Binomialkoeffizient \begin{equation} \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} = \frac{n ! }{k! \left(n-k\right)!} \end{equation} gesprochen "n über k" gibt die Anzahl der Möglichkeiten an, aus einer Menge von $n$ Objekten genau $k$ auszuwählen.

Binomische Formel

Für die Potenzen eines Binoms $(a+b)$ gilt: \begin{equation} (a+b)^n = \sum_{k=0}^n \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} a^{n-k} b^k \end{equation}

Binormalenvektor

Als Kreuzprodukt: $ \hat{\boldsymbol{b}}(s)=\hat{\boldsymbol{t}}(s)\times\hat{\boldsymbol{n}}(s)\;.$

Biot-Savart-Gesetz

$$\begin{aligned} \boldsymbol{B}(\boldsymbol{r})=\frac{\mu _{0}}{4\pi}\int\mathrm{d}^{3}r^{{\prime}}\,\boldsymbol{j}(\boldsymbol{r}^{{\prime}})\times\frac{\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}^{{\prime}}}{|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}^{{\prime}}|^{3}}\;.\end{aligned}$$

Bloch-Wellen

Im periodischen Potential können die Leitungselektronen durch Blochwellen \begin{equation} \Psi(\mathbf{r},\,\mathbf{k}) = u(\mathbf{r})\cdot\exp(i\,\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}) \end{equation} beschrieben werden, deren Amplitude $u(\mathbf{r})$ die Periodizität des Kristallgitters hat.

Bogenlänge ebener Kurve

Für die Bogenlänge einer stetig differenzierbaren Kurve $\gamma$ mit $\boldsymbol{x} = \boldsymbol{\gamma}(t)$ und $\dot{\boldsymbol{\gamma}}(t) \neq 0$ für alle $t\in I$, erhalten wir im Intervall $\left[t_0, t_1\right]\subseteq I$: $$s\left(t_0, t_1\right) = \int_{t_0}^{t_1} \Vert \dot{\boldsymbol{x}}(t) \Vert \mathrm{d}t = \int_{t_0}^{t_1} \sqrt{\dot{x}^2 + \dot{y}^2} \mathrm{d}t$$

Bogenlänge einer Kurve

Die Bogenlänge $l$, Länge des Kurvenstücks einer Kurve zwischen $\boldsymbol{r}_1=\boldsymbol{r}(s_1)$ und $\boldsymbol{r}_2=\boldsymbol{r}(s_2)$, wird berechnet mit $ l~=~\int_{s_1}^{s_2}\,ds~\sqrt{\left(\frac{dx}{ds}\right)^2+\left(\frac{dy}{ds}\right)^2} $. Ist die Kurve durch den expliziten Ausdruck $y=f(x)$ gegeben, kann sie also durch $x$ selbst parametrisiert werden, so nimmt dieses Resultat die Form $ l~=~\int_{x_1}^{x_2}\,dx~\sqrt{1+f'(x)^2} $

Bohr'sches Atommodell

Das Bohr'sche Atommodell beschreibt die Zustände der Elektronen im Atom halbklassisch durch quantisierte Bahnen mit Radien $$r_n=\frac{n^2h^2\epsilon_0}{Z\pi me^2}=\frac{n^2}{Z}a_0\,.$$ Hierbei stellt $a_0$ den Bohr'schen Atomradius dar. Die Energie der Elektronenschalen beträgt $$E_n=-\frac{m e^4 Z^2}{8\epsilon_0^2h^2n^2}=-R_y\frac{Z^2}{n^2}$$ mit der Rydberg-Energie $R_y=13,6\,\mathrm{eV}$.

Boltzmann-Konstante

$$ k_\text{B} = 1.38\cdot10^{-23}{J/K}$$

Boltzmann-Verteilung

Die Boltzmann-Verteilung ist gegeben durch $$ p_i = Z_\mathrm{c}^{-1}\,\mathrm{e}^{-E_i/k_\mathrm{B}T}\,,\quad Z_\mathrm{c} := \sum_i\mathrm{e}^{-E_i/k_\mathrm{B}T}\,. \label{eq:td04-11} $$

Born-Oppenheimer-Näherung

Bei einem schwingenden und rotierenden Molekül ist die kinetische Energie der Kernbewegung im Allgemeinen klein gegen die elektronische Energie. Dies erlaubt eine Separation der Gesamtwellenfunkion $\Psi(\mathbf{r},\,R)$ in ein Produkt $\chi_{\mathrm{N}}(R) \cdot \phi_{\mathrm{el}}(\mathbf{r},\,R)$ aus der Kernwellenfunktion $\chi_{\mathrm{N}}$, welche die Bewegung der Kerne beschreibt und einen elektronischen Anteil, der den Kernabstand nur noch als Parameter enthält. Die Gesamtenergie \begin{equation} E = E_{\mathrm{el}} + E_{\mathrm{vib}} + E_{\mathrm{rot}} \end{equation} eines Molekülzustandes ist in dieser Näherung die Summe aus elektronischer, Schwingungs- und Rotationsenergie.

Bose-Einstein-Kondensation

Bei fallender Temperatur ist der Anteil der Teilchen im Grundzustand zunächst beliebig klein, bis die Übergangstemperatur $T_\mathrm{c}$ erreicht und unterschritten wird. Nimmt die Temperatur weiter ab, steigt der Anteil der Teilchen im Grundzustand steil an und geht für $T\to0$ gegen eins. Alle Teilchen halten sich dann im Grundzustand auf.

Boson

Teilchen oder Bindungszustand mit ganzzahligem Spin; bosonische
Mehrteilchenzust\"ande gen\"ugen der Bose-Einstein-Statistik.

Boyle-Mariotte'sches Gesetz

Zwischen Dichte $\rho$ und Druck $p$ für verdünnte Gase gilt der proportionale Zusammenhang $ \rho~=~C(T)\,p $mit einer temperaturabhängigen Konstanten $C$.

Bragg-Reflexion

Durch sogenannte Bragg-Reflexion wird einfallende (Röntgen-)Strahlung an verschiedenen Stellen des Kristallgitters mit unterschiedlichen Gangunterschieden reflektiert, die resultierenden Interferenzmuster lassen Rückschlüsse auf den Gitterabstand zu.

Brechkraft

Die Stärke von Linsen wird üblicherweise durch ihre Brechkraft $D$ angegeben, und es gilt $D = \frac{1}{f}$. Dabei ist die Einheit $1\mathrm{dpt} = 1\frac{1}{\mathrm{m}}$. Eine Brille mit 2 dpt besitzt also eine Brennweite von $f = 50$ cm.

Brechung und Absorption an Grenzflächen

An der Grenzfläche zwischen zwei Medien mit unterschiedlichen Brechzahlen $n_1$ und $n_2$ treten Brechung und Reflexion auf. Amplituden und Polarisation von reflektierter und gebrochener Welle hängen vom Einfallswinkel ab und können aus den Fresnel-Formeln bestimmt werden.

Brechungsindex

$$\begin{aligned} n=\sqrt{\varepsilon _{{\text{r}}}\mu _{{\text{r}}}}\end{aligned}$$

Brennpunkt

Im Brennpunkt werden alle Lichtstrahlen gebündelt.

Brennweite

Als Brennweite bezeichnet man den Abstand des Brennpunkts zur Grenzfläche.

Brewster-Winkel

Für in der Einfallsebene parallel polarisiertes Licht gibt es einen Winkel, den Brewster-Winkel $\theta_\mathrm{B}$, für den das Licht vollständig transmittiert und nichts davon reflektiert wird. Berechnen lässt sich der Brewster-Winkel über $\theta_\mathrm{B} = \arctan \frac{n_\mathrm{T}}{n_\mathrm{E}}$. Der Grund für die verschwindende Reflexion ist, dass die direkt an der Grenzfläche auftretende Schwingung des Feldvektors genau in Ausbreitungsrichtung des eventuellen reflektierten Strahls liegt, sie besitzt keinerlei Anteil senkrecht dazu. Dadurch kann sich in Reflexion keine Welle ausbilden, der reflektierte Strahl tritt nicht auf.

Übliche Ensembles

Je nach den makroskopischen Zustandsgrößen, die jeweils vorgeschrieben werden, werden üblicherweise drei Arten von Ensembles in der Thermodynamik bzw. in der statistischen Physik unterschieden: Das mikrokanonische Ensemble besteht aus abgeschlossenen Systemen, denen also sowohl die Gesamtenergie $E$ als auch die Teilchenzahl $N$ fest vorgegeben wird. Die Systeme eines mikrokanonischen Ensembles sind also sowohl thermisch als auch bezüglich jedes Materieaustauschs gegenüber ihrer Umwelt isoliert. Das kanonische Ensemble besteht aus Systemen, die keine Materie mit ihrer Umgebung austauschen können, die aber nicht mehr thermisch isoliert sind, sondern durch ein Wärmebad auf einer vorgegebenen Temperatur gehalten werden. Wie wir feststellen werden, ist dann nicht mehr ihre Gesamtenergie konstant, sondern nur noch ihre mittlere Gesamtenergie, die wir als innere Energie $U$ bezeichnen. Das großkanonische Ensemble schließlich besteht aus Systemen, deren Temperatur durch Kopplung an ein Wärmebad vorgegeben wird und die zudem Teilchen mit ihrer Umgebung austauschen können. Damit handelt es sich um offene Systeme, denen durch ihre Umgebung neben einer mittleren inneren Energie auch eine mittlere Teilchenzahl vorgegeben wird.