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Begriff Erklärung

Tangenteneinheitsvektor

Der Tangenteneinheitsvektor ergibt sich als $\hat{\boldsymbol{t}}=\frac{ {\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{r}}{\mathrm{d}t}}}{{ \left|\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{r}}{\mathrm{d}t}\right|}}=\frac{ {\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{r}}{\mathrm{d}t}}}{{ \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}}}\;.$

Tangentialbeschleunigung

\begin{equation} \vec{a}_{\text{n}} = \frac{v^2}{r}\,\hat{e}_n \quad \quad \vec{a}_{\text{t}} = \frac{\mathrm{d} v}{\mathrm{d} t}\,\hat{e}_t \end{equation}Dabei ist $\hat{e}_n$ der Einheitsvektor zum Krümmungsmittelpunkt und $\hat{e}_t$ der Einheitsvektor in Tangenti alrichtung der Bewegung.

Tangentialgeschwindigkeit, Betrag

\begin{equation}\vert\vec{v}_{\mathrm{t}}\vert = \vert\vec{r}\vert \cdot \vert\vec{\omega}\vert \cdot \sin \varphi \end{equation}

Tangentialgeschwindigkeit, Vektor

\begin{equation} \vec{v}_{\mathrm{t}} = \vec{\omega} \times\vec{r} \end{equation}

Taylor für Funktionen

Für eine Funktion $f: G \rightarrow \mathbb{R}$ mit $G \subset \mathbb{R}^n$ offen, $f\in C^{n+1}(G)$, einen Vektor $\tilde{\boldsymbol{x}}\in G$ und eine Vektor $\boldsymbol{h} = \left( h_1, \dots, h_n\right)^\top$ gilt: $$ $$ Liegen die Punkte $\tilde{\boldsymbol{x}} + t\boldsymbol{h}$ für $t\in[0,1]$ alle in $G$, dann gibt es ein $\vartheta \in (0,1)$, sodass \begin{eqnarray} f(\tilde{\boldsymbol{x}} + \boldsymbol{h}) &=& \sum_{\nu= 0}^m \left. \frac{1}{\nu!} \left( \boldsymbol{h} \cdot \nabla\right)^\nu f \right\vert_{\tilde{\boldsymbol{x}}} \\ && + \left. \frac{1}{(m+1)!} \left( \boldsymbol{h} \cdot \nabla \right)^{m+1} f \right\vert_{\tilde{\boldsymbol{x}}+\vartheta\boldsymbol{h}}\end{eqnarray} hierbei nennen wir dabei $\tilde{\boldsymbol{x}}$ die Entwicklungsstelle.

Taylor-Entwicklung

$$\begin{aligned} f(x) =f(x_{0})+\frac{f^{\prime}(x_{0})}{1!}(x-x_{0})+\frac{f^{\prime\prime}(x_{0})}{2!}\left(x-x_{0}\right)^{2}+\ldots\\ =\sum_{n=0}^{\infty}\,\frac{f^{(n)}(x_{0})}{n!}\left(x-x_{0}\right)^{n}\end{aligned}$$

Taylor-Reihe

Für ein skalares Feld $\phi$ ist die Taylor-Reihe bis zur zweiten Ordnung (quadratische Näherung) über die Hesse-Matrix $\boldsymbol{H}_\phi$ definiert als $$\phi\left(\boldsymbol{r}_0 + \Delta \boldsymbol{r}\right) \simeq \phi\left(\boldsymbol{r}_0\right) + \Delta\boldsymbol{r} \circ \textbf{grad} \phi\left(\boldsymbol{r}_0\right) + \frac{1}{2} \Delta \boldsymbol{r}^\top \boldsymbol{H}_\phi \left(\boldsymbol{r}_0\right) \Delta \boldsymbol{r}$$

Technische Stromrichtung - Physikalische Stromrichtung

Die technische Stromrichtung zeigt von Plus nach Minus, während die physikalische Stromrichtung von Minus nach Plus zeigt, also den Elektronen folgt. In Wirklichkeit bewegen sich die Elektronen, und zwar von Minus nach Plus. Wenn wir die Stromrichtung anzeigen, benutzen wir dennoch aus historischen Gründen meist die Bewegungsrichtung von Plus nach Minus einer hypothetischen positiven Ladung.

Teilchen

Ein Objekt ohne räumliche Ausdehnung, das Masse und Ladung an einem Punkt konzentriert.

Tensor 1.Stufe

Ein Tensor 1.Stufe ist eine Größe, deren Komponenten $x^i$ oder $x_i$ sich bei einem Wechsel von der Basis $B$ zu $\overline{B}$ kontravariant oder kovariant verhalten, also $$\overline{x}^i = \overline{a}^i_j x^j \,,\quad x^i = \underline{a}^i_j \overline{x}^j \qquad\qquad \overline{x}_j = \underline{a}^i_j x_i \,,\quad x_j = \overline{a}^i_j \overline{x}_i$$

Tensor allgemein

Ein $r$-fach kontravariant und $s$-fach kovarianter Tensor $t_{j_1\dots j_r}^{i_1\dots i_r}$ ist eine Größe, deren Komponenten sich bei Basiswechsel wie folgt verhalten: \begin{eqnarray} \overline{t}_{j_1\dots j_r}^{i_1\dots i_r} &=& \overline{a}_{k_1}^{i_1} \cdots \overline{a}_{k_r}^{i_r} \underline{a}_{j_1}^{l_1} \cdots \underline{a}_{j_s}^{l_s} ~ t_{l_1\dots l_r}^{k_1\dots k_r} \\ t_{j_1\dots j_r}^{i_1\dots i_r} &=& \underline{a}_{k_1}^{i_1} \cdots \underline{a}_{k_r}^{i_r} \overline{a}_{j_1}^{l_1} \cdots \overline{a}_{j_s}^{l_s} ~ \overline{t}_{l_1\dots l_r}^{k_1\dots k_r} \end{eqnarray}

Tensor, Darstellung als Matrizen

Wir halten fest, dass man wegen $T_{ij} = T(\boldsymbol{\hat e}_i \,,\, \boldsymbol{\hat e}_j)$ und $T_{ij} = \frac{T(\boldsymbol{a}\,,\, \boldsymbol{b})}{a_i b_j}$ Tensoren zweiter Stufe als Matrizen darstellen kann. Analog können Tensoren erster Stufe als Vektoren dargestellt werden.

Tensor, Trägheits-

Die Größe $ \boldsymbol{\Theta}'$ mit den neun Komponenten \begin{eqnarray} \Theta'_{ij} &:=& \sum_{a} m_{a} \left(\delta_{ij} \boldsymbol{x}'^2_{a} - x'_{{a}, i} x'_{{a}, j}\right) \\ &=& \sum_{a} m_{a} \begin{pmatrix} x_{{a},2}^2 + x_{{a},3}^2 & -x_{{a},1} x_{{a},2} & -x_{{a},1} x_{{a},3} \\ - x_{{a},1} x_{{a},2} & x_{{a},1}^2 + x_{{a},3}^2 & - x_{{a},2} x_{{a},3} \\ -x_{{a},1} x_{{a},3} & - x_{{a},2} x_{{a},3} & x_{{a},1}^2 + x_{{a},2}^2\end{pmatrix} \end{eqnarray} ist der Trägheitstensor eines starren Körpers in seinem Schwerpunktsystem. Mit seiner Hilfe lässt sich die kinetische Energie (Rotationsenergie) des starren Körpers berechnen, wenn die Winkelgeschwindigkeit $\boldsymbol{\omega}'$ im Schwerpunktsystem bekannt ist: \begin{equation} T'_\mathrm{R} = \frac{1}{2} \omega'_i \Theta'_{ij} \omega'_j = \frac{1}{2} \boldsymbol{\omega}'^\top \boldsymbol{\Theta}' \boldsymbol{\omega}'. \end{equation}

Theorem, Euler'sches

Wird ein starrer Körper in einem Punkt festgehalten, so ist die allgemeine Bewegung eine Drehung um eine Achse, die durch diesen Punkt läuft.

Thermische Wellenlänge

Es liegt nahe, analog zur De-Broglie-Wellenlänge $h/p$ der Quantenmechanik die thermische Wellenlänge $$ \lambda_\mathrm{T} = \frac{h}{\sqrt{2 mk_\mathrm{B}T}} = \sqrt{\frac{3}{2}}\frac{h}{p_\mathrm{th}} \label{eq:td04-153} $$ einzuführen.

Thermodynamische Funktionen

Durch verschiedene geeignete Legendre-Transformationen haben wir die folgenden thermodynamischen Funktionen bekommen: die innere Energie $U(S, V)$, die freie Energie $F(T, V) = U(S, V)-TS$, die Enthalpie $H(S, P) = U(S, V)+PV$, die freie Enthalpie $G(T, P) = F(T, V)+PV = U(S, V)-TS+PV$. Ihre vollständigen Differenziale waren: \begin{align*} \mathrm{d} U(S, V) &= T\mathrm{d} S-P\mathrm{d} V\nonumber\\ \mathrm{d} F(T, V) &= -S\mathrm{d} T-P\mathrm{d} V\nonumber\\ \mathrm{d} H(S, P) &= T\mathrm{d} S+V\mathrm{d} P\nonumber\\ \mathrm{d} G(T, P) &= -S\mathrm{d} T+V\mathrm{d} P \label{eq:td03-44} \end{align*}

Totalreflexion

Ab einem bestimmten Auftreffwinkel, dem sogenannten kritischen Winkel $\theta_\mathrm{k}$, wird sämtliches einfallendes Licht vollständig an der Grenzfläche reflektiert. Der Winkel berechnet sich allgemein über $\theta_\mathrm{k}=\arcsin\left(\frac{n_\mathrm{T}}{n_\mathrm{E}}\right)$. Ab diesem Einfallswinkel auf die Grenzfläche kann keinerlei Licht mehr das Medium verlassen, es ist darin gefangen. Eine praktische Anwendung dieses Effekts sind Glasfaserkabel.

Trägheitskräfte

Bei der Beschreibung von Bewegungen in beschleunigten Bezugssystemen müssen zusätzliche Beschleunigungen eingeführt werden, die formal durch sogenannte Trägheitskräfte (Scheinkräfte) berücksichtigt werden. In einem mit konstanter Winkelgeschwindigkeit $\boldsymbol{\omega}$ rotierenden System sind dies: Die Corioliskraft $F_{\text{c}}=2m(\boldsymbol{v}^{\prime}\times\boldsymbol{\omega})$, die von der Geschwindigkeit $\boldsymbol{v}^{\prime}$ des Körpers der Masse $m$ relativ zum beschleunigten Koordinatensystem abhängt, und die Zentrifugalkraft $F_{\text{Zf}}=m\cdot\boldsymbol{\omega}\times(\boldsymbol{r}\times\boldsymbol{\omega})$, die unabhängig von $\boldsymbol{v}^{\prime}$ ist.

Trägheitsmoment

Für die Drehung um eine feste Achse $ \boldsymbol{\hat n}$ reicht es, das Trägheitsmoment \begin{equation} \Theta_n = \sum_{a} m_{a} \left[ \boldsymbol{x}_{a}^2 - ( \boldsymbol{x}_{a} \cdot \boldsymbol{\hat n})^2\right] = \sum_{a} m_{a} l_{a}^2 \end{equation} zu kennen, wobei $l_{a}$ der Abstand von $m_{a}$ zur Drehachse ist. Ist die Drehachse bezüglich des starren Körpers eine Funktion der Zeit, kann das Trägheitsmoment ebenfalls zeitabhängig sein.

Trägheitstensor

Die Größe $ \boldsymbol{\Theta}'$ mit den neun Komponenten \begin{eqnarray} \Theta'_{ij} &:=& \sum_{a} m_{a} \left(\delta_{ij} \boldsymbol{x}'^2_{a} - x'_{{a}, i} x'_{{a}, j}\right) \\ &=& \sum_{a} m_{a} \begin{pmatrix} x_{{a},2}^2 + x_{{a},3}^2 & -x_{{a},1} x_{{a},2} & -x_{{a},1} x_{{a},3} \\ - x_{{a},1} x_{{a},2} & x_{{a},1}^2 + x_{{a},3}^2 & - x_{{a},2} x_{{a},3} \\ -x_{{a},1} x_{{a},3} & - x_{{a},2} x_{{a},3} & x_{{a},1}^2 + x_{{a},2}^2\end{pmatrix} \end{eqnarray} ist der Trägheitstensor eines starren Körpers in seinem Schwerpunktsystem. Mit seiner Hilfe lässt sich die kinetische Energie (Rotationsenergie) des starren Körpers berechnen, wenn die Winkelgeschwindigkeit $\boldsymbol{\omega}'$ im Schwerpunktsystem bekannt ist: \begin{equation} T'_\mathrm{R} = \frac{1}{2} \omega'_i \Theta'_{ij} \omega'_j = \frac{1}{2} \boldsymbol{\omega}'^\top \boldsymbol{\Theta}' \boldsymbol{\omega}'. \end{equation}

Trägheitstensor (Massendichte)

$\Theta_{kl}=\int_{\Omega}d V\,\varrho_{m}(\boldsymbol{r})(\boldsymbol{r^{2}}\delta_{kl}-x_{k}x_{l})$

Trägheitstensor (Punktmassen)

$\Theta_{kl}=\sum_{n=1}^{N}m_{n}(\boldsymbol{r}_{n}^{\,2}\delta_{kl}-x_{k}^{n}x_{l}^{n})$

Trägheitstensor, Diagonalisierung

1. Berechnen Sie den Trägheitstensor mit $T'_\mathrm{R} = \frac{1}{2} \omega'_i \Theta'_{ij} \omega'_j = \frac{1}{2} \boldsymbol{\omega}'^\top \boldsymbol{\Theta}' \boldsymbol{\omega}'.$ 2. Stellen Sie die Eigenwertgleichung $\det \left(\lambda \boldsymbol{I} - \boldsymbol{A} \right) = 0$ auf und lösen Sie diese. 3. Falls benötigt oder erwünscht, können die Hauptachsen bestimmt werden. Sind Eigenwerte entartet, müssen die entsprechenden Eigenvektoren so gewählt werden, dass alle drei paarweise orthogonal sind.

Trägheitstensor, kontinuierliche Massenverteilung

Die Komponenten des Trägheitstensors für eine kontinuierliche Massenverteilung $\mu( \boldsymbol{x})$ lauten \begin{equation} \Theta_{ij} = \int \mathrm{d} V\, \mu( \boldsymbol{x}) \left( \boldsymbol{x}^2 \delta_{ij} - x_i x_j\right). \end{equation}

Trägheitstensors, Diagonalform

Da der Trägheitstensor als reellwertige, symmetrische Matrix zweiter Ordnung dargestellt werden kann, hat der Trägheitstensor stets drei reelle Eigenwerte, die Hauptträgheitsmomente. Es gibt ein Koordinatensystem, in dem der Trägheitstensor diagonal ist. Man nennt diejenige Transformation, die auf das Diagonalsystem führt Hauptachsentransformation.

Trajektorie

Ist eine Kurve im Phasenraum, der eine Bahn im Konfigurationsraum $\mathbb{R}^f$ zuzuordnen ist.

Transformation der Winkelgeschwindigkeit

Die Winkelgeschwindigkeit $\boldsymbol{\omega}$ ist wie der Drehimpuls $ \boldsymbol{L}$ ein axialer Vektor und transformiert unter orthogonalen Transformationen $ \boldsymbol{R}$ wie \begin{equation} \boldsymbol{\omega}' = \det ( \boldsymbol{R}) \boldsymbol{R} \boldsymbol{\omega}. \end{equation}

Transformation, Lorentz- in $x$-Richtung

In Matrixform geschrieben lautet die Lorentz-Transformation von einem Inertialsystem $\mathcal S$ auf ein Inertialsystem $\mathcal S'$, das sich gegenüber $\mathcal S$ mit Geschwindigkeit $v=\beta\, c$in positiver $x$-Richtung bewegt: \begin{equation} \left( \begin{array}{c} c t^\prime \\ x^\prime \\ y^\prime \\ z^\prime \end{array} \right) = \underbrace{\left( \begin{array}{cccc} \gamma & - \beta\gamma & 0 & 0 \\ - \beta\gamma & \gamma & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right)}_{\boldsymbol{\Lambda}(v)} \; \left( \begin{array}{c} c t \\ x \\ y \\ z\end{array} \right), \end{equation} mit den gebräuchlichen Abkürzungen $\beta:=\frac{v}{c},\qquad \gamma:=\frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}$.

Transformation, Ortsvektor unter passiven Drehungen

Der Koordinatenvektor des Ortes transformiert unter passiven Drehungen vermittelt durch die Matrix $ \boldsymbol{R}$ wie \begin{equation} \boldsymbol{x}' = \boldsymbol{R} \boldsymbol{x}. \end{equation}

Transformation, Ortsvektor unter passiven Rotationen und Translationen

Der Ortsvektor ist ein an den Ursprung gebundener Vektor. Nur Differenzen von Ortsvektoren, $\boldsymbol{d} = \boldsymbol{x} - \boldsymbol{b}$, transformieren sich wie \begin{equation} \boldsymbol{d}' = \boldsymbol{R} \boldsymbol{d}. \end{equation} Solche Größen nennt man im physikalischen Sinne Vektoren.

Transformation, Poincare-

Für einen physikalischen Viererortsvektor $\mathfrak{x}$ mit Koordinaten $x^\mu$, $\mu=0,\ldots 3$ ist die Poincare-Transformation \begin{equation}x'^\mu=\Lambda^\mu{}_\nu\,(x^\nu-b^\nu), \end{equation} wobei $b^\mu$ die Verschiebung des Zeitnullpunktes und die Verschiebung des räumlichen Koordinatenursprungs zusammenfasst.

Transformationen, kanonische

Unter kanonischen Transformationen versteht man Transformationen $Q$ und $P$, welche die Form der kanonischen Gleichungen invariant lassen und somit \begin{equation} \dot Q_j = \frac{\partial H'}{\partial P_j} \,,\quad \dot P_j = - \frac{\partial H'}{\partial Q_j} \end{equation} erfüllen, wobei $H'(t, Q, P)$ eine geeignete Funktion ist.

Transformationsverhalten eines polaren Vektors und seiner Zeitableitungen

Transformiert man einen polaren Vektor $\boldsymbol{d}'$ mittels einer orthogonalen Transformation $ \boldsymbol{R}$ von einem rotierenden System zurück in ein Inertialsystem, so lauten die Transformationsgleichungen für $\boldsymbol{d}$ und seine ersten beiden Zeitableitungen \begin{eqnarray} \boldsymbol{d} &=& \boldsymbol{R}^\top \boldsymbol{d}',\\ \dot{\boldsymbol{d}} &=& \boldsymbol{R}^\top \left(\dot{\boldsymbol{d}}' + \boldsymbol{\omega}' \times \boldsymbol{d}'\right), \\ \ddot{\boldsymbol{d}} &=& \boldsymbol{R}^\top \left(\ddot{\boldsymbol{d}}' + \dot{\boldsymbol{\omega}}' \times \boldsymbol{d}' + \boldsymbol{\omega}' \times \dot{\boldsymbol{d}}' + \boldsymbol{\omega}' \times (\dot{\boldsymbol{d}}' + \boldsymbol{\omega}' \times \boldsymbol{d}')\right). \end{eqnarray}

Transformationsverhalten eines Vierervektors

Es ist $\mathfrak{a}=a^\mu\mathfrak{e}_\mu$ ein Vierervektor mit kontravarianten Komponenten $a^\mu$, wenn letztere bei einer gemäß \begin{equation} a'^\mu=\Lambda^\mu{}_\nu\,a^\nu\end{equation} transformieren.

Transformatoren

Transformatoren sind durch einen Eisenkern miteinander induktiv gekoppelte Spulen. Sie formen eine Eingangswechselspannung um. Bei vollständiger Kopplung ist das Spannungsverhältnis ${U}_{\text{a}}/{U}_{\text{e}}$ dem Windungsverhältnis von Sekundär- zu Primärspule proportional.

Transistor

Aus einer Kombination von pnp- oder npn-Halbleitern entsteht ein Transistor. Er kann je nach Beschaltung als Spannungs- oder Stromverstärker verwendet werden. Feldeffekt-Transistoren verwenden die Steuerung des elek trischen Widerstandes zwischen Quelle (Source) und Senke (Drain) durch ein elektrisches Feld, das durch eine Steuerspannung an der dritten Elektrode (Gate) erzeugt wird. Dieses Feld bewirkt eine Ladungsträger-Verarmungszone, deren Ausdehnung durch die Gate-Spannung gesteuert wird.

Translationsgitter

Ein Translationsgitter ist ein räumlich periodisches Punktgitter, bei dem jeder Gitterpunkt durch einen Translationsvektor \begin{equation} \mathbf{T} = m_{1}\,\mathbf{a} + m_{2}\,\mathbf{b} + m_{3}\,\mathbf{c}\qquad\mathrm{mit}\quad m_{j}\in\mathbb{N} \end{equation} beschrieben werden kann. Die Basisvektoren $\mathbf{a},\,\mathbf{b},\,\mathbf{c}$ spannen die Elementarzelle des Gitters auf. Deren Volumen ist $V_{\mathrm{E}} = \mathbf{a}\cdot \left(\mathbf{b}\times\mathbf{c}\right)$.

Translationsoperator

Ein Operator, der die Wellenfunktion räumlich verschiebt.

Transmissionsgitter

Ein Transmissionsgitter ist die Erweiterung eines Doppelspalts auf $N$ Spalte, die im Abstand $d$, der sogenannten Gitterkonstanten, angeordnet sind. Die grundsätzliche Funktionsweise entspricht genau dem Doppelspalt, so erhalten wir auch beim Gitter den Winkel $\alpha$, unter dem die (Haupt-)Maxima auftreten, über $\alpha_\mathrm{Max,Git,n} = \alpha_\mathrm{Max,DS,n} = \pm \arcsin \left(n\frac{\lambda}{d}\right)$.

Trennung der Veränderlichen

Differentialgleichungen der Form $ y'(x) + \frac{h(x)}{g(y)} ~=~ 0 $ lassen sich durch $y'(x) = dy/dx$ umschreiben in $ g(y)\,dy~=~-h(x)\,dx .$ Die linke Seite dieser Gleichung hängt nur von y, die rechte nur von x ab - Integration möglich. Dieses Verfahren heißt Trennung der Veränderlichen.

Tunneleffekt

Ein Teilchen der Energie $E$ kann einen Potentialwall der Höhe $E_0$ durchdringen, auch wenn $E

Typ-Ia-Supernovae

In Supernovae dieses Typs wird das Material mindestens eines weißen Zwergsterns unter entarteten Bedingungen explosionsartig gezündet. Da dabei eine aus der Chandrasekhar-Masse ungefähr bekannte Menge bekannten Kernmaterials zu bekannten Endprodukten fusioniert, liegt es nahe, dass auch die Menge der dabei freigesetzten Energie ungefähr bekannt ist. Typ-Ia-Supernovae sind daher eigentlich keine Standardkerzen, können aber mithilfe der empirisch kalibrierten und theoretisch verstandenen Philipps-Relation standardisiert werden.