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Begriff Erklärung

Ideale Gasgleichung

$$ pV = N k_\text{B} T = n R T$$

Imaginäre Zahlen

$\mathrm{i}^{2}=-1\Leftrightarrow\mathrm{i}=\sqrt{-1}\;.$ Jede imaginäre Zahl lässt sich als $\mathrm{i}\cdot y$ mit reellem $y$ schreiben.

Komplexe Zahlen

Impuls

Das Produkt aus träger Masse und Geschwindigkeit eines Teilchens heißt ${{\textit{Impuls: }}} \boldsymbol{p}=m_{\text{t}}\boldsymbol{v}\;.$

Impuls des elektromagnetischen Feldes

$$\begin{aligned} \boldsymbol{p}_{V}^{{{\text{(Feld)}}}}=\int\limits _{V}\mathrm{d}^{3}r\,(\boldsymbol{D}\times\boldsymbol{B})\;.\end{aligned}$$

Impuls, kanonisch konjugiert

Man bezeichnet \begin{equation} p_j := \frac{\partial L}{\partial \dot q_j} \end{equation} als den generalisierten Impuls zur Koordinate $q_j$ oder auch den kanonisch konjugierten Impuls. Dieser erlaubt oft eine rasche Identifizierung von Erhaltungsgrößen des betrachteten Systems: Eine Koordinate $q_j$ heißt zyklisch, wenn die Lagrange-Funktion nicht von ihr abhängt. In diesem Fall lautet die entsprechende Bewegungsgleichung einfach \begin{equation} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{t}} \frac{\partial L}{\partial \dot q_j} = \dot p_j = 0. \end{equation} Dies bedeutet, dass der kanonische Impuls $p_j$ eine Erhaltungsgröße ist.

Impuls, Vierer-

Der Viererimpuls eines Punktteilchens mit Ruhemasse $m$ ist definiert durch \begin{equation} p^\mu:=m\, u^\mu. \end{equation} In einem gegebenen Inertialsystem, in dem das Punktteilchen die Dreiergeschwindigkeit $\boldsymbol{v}(t)$ hat, ist \begin{equation} p^\mu=\begin{pmatrix}p^0 \\ \boldsymbol{p}\end{pmatrix} =m\,\gamma(v)\begin{pmatrix}c \\ \boldsymbol{v}\end{pmatrix}.\end{equation} Der Dreierimpuls ist damit durch \begin{equation}\boldsymbol{p}=m\,\gamma(v)\,\boldsymbol{v} \end{equation} gegeben. Dies stimmt mit der nichtrelativistischen Definition eines Impulses überein, wenn man eine geschwindigkeitsabhängige Masse $m(v)=\gamma(v)\,m$ einführt (in der älteren Literatur auch relativistische Masse genannt). In Übereinstimmung mit den heutigen Gepflogenheiten wird mit $m$ jedoch immer die Ruhemasse $m=m(0)$ bezeichnen.

Impuls-Energie-Beziehung, relativistisch

Die Relation \begin{equation} (p^0)^2-\boldsymbol{p}^2\equiv \frac{E^2}{c^2}-\boldsymbol{p}^2=m^2 c^2\end{equation} behält ihre Gültigkeit auch für masselose Teilchen, wobei die Identifikationvon $\boldsymbol{p}=\gamma m\boldsymbol{v}$ fallen gelassen wird. Masselose Teilchen haben $|\boldsymbol{v}|=c$ und $|\boldsymbol{p}|=E/c$; sie werden durch einen lichtartigen Vierervektor ($p^\mu p_\mu=0$) charakterisiert.

Impulsdichte

Die Impulsdichte von Fluiden lässt sich durch die lokale Bilanzgleichung \begin{equation} \frac{\partial \rho}{\partial t} = - \mathrm{div\,} \boldsymbol{j} \quad \mathrm{bzw.} \quad \frac{\partial \rho}{\partial t} = - \mathrm{div\,} (\rho \boldsymbol{u}) \end{equation} ausdrücken, die an jedem Ort $\boldsymbol{r}$ und zu jeder Zeit $t$ gilt. Es handelt sich also um eine in $\rho$ und $\boldsymbol{u}$ lineare partielle Differenzialgleichung erster Ordnung. Sie ist identisch mit der Massenstromdichte.

Impulserhaltung

Der Gesamtimpuls in einem geschlossenen System ist immer erhalten.

Impulserhaltung eines Systems von Punktmassen

Der Impulssatz eines Systems von Punktmassen lautet \begin{equation} \dot{\boldsymbol{P}} = \sum_i \boldsymbol{F}^{(\mathrm{a})}_i = \boldsymbol{F}^{(\mathrm{a})} \end{equation} Die Bewegung des Schwerpunktes wird nur durch äußere, nicht jedoch durch innere Kräfte beeinflusst. Verschwindet die Summe aller äußeren Kräfte, so ist der Gesamtimpuls erhalten, d.h. der Schwerpunkt bewegt sich geradlinig-gleichförmig.

Impulserhaltungssatz

$ \boldsymbol{F}^{({\text{ex}})}\equiv 0\Leftrightarrow\boldsymbol{P}=\mathrm{const}\;.$ Bei verschwindender äußerer Gesamtkraft bleibt der Gesamtimpuls nach Richtung und Betrag konstant.

Impulsraum

Ein Raum, in dem die Wellenfunktion durch den Impuls parametrisiert ist.

Impulssatz

In einem System, in dem nur innere Kräfte wirken, ist der Gesamtimpuls erhalten.

Inelastischer Stoß

Bei inelastischen Stößen wird ein Teil der kinetischen Energie in innere Energie (z. B. potentielle Energie) der Stoßpartner umgewandelt. Der Gesamtimpuls bleibt jedoch auch hier erhalten.

Inertialsystem

Zur Beschreibung von Bewegungen braucht man ein Koordinatensystem. Koordinatensysteme, in denen die drei Newtonschen Axiome gelten, heißen Inertialsysteme. Jedes Koordinatensystem, das sich mit konstanter Geschwindigkeit $\boldsymbol{v}$ gegen ein Inertialsystem bewegt, ist ebenfalls ein Inertialsystem.

Inertialsysteme

Inertialsysteme sind Bezugssysteme, in denen sich ein kräftefreier Körper geradlinig-gleichförmig bewegt.
Masse, schwere und träge

Injektivität

Eine Abbildung $f: A\rightarrow B\,, a\mapsto f(a)$ heißt injektiv, wenn aus $a_1 = a_2$ auch immer $f(a_1)=f(a_2)$ folgt.

Innere Energie eines idealen Gases

Die innere Energie eines idealen Gases lautet $$ U = \frac{f}{2}Nk_\mathrm{B}T. \label{eq:td03-102} $$ Wir sehen, dass sie zur Anzahl $f$ der Freiheitsgrade eines einzelnen Gasteilchens proportional ist.

Innere und äußere Planeten

Die inneren (erdähnlichen) Planeten Merkur, Venus, Erde, Mars haben mittlere Dichten von $\rho = 4–5\,\mathrm{kg}/\mathrm{dm}^3$ und bestehen überwiegend aus fester Kruste und flüssigem Magma im Inneren. Die äußeren (jupiterähnlichen) Planeten Jupiter, Saturn, Uranus, Neptun haben keine feste Kruste sondern eine Gashülle und im Innern feste und flüssige Materie. Ihre mittlere Dichte ist mit $\rho = 0{,}7–1{,}6\,\mathrm{kg}/\mathrm{dm}^3$ sonnenähnlich. Ihre Masse ist wesentlich größer als die der inneren Planeten. Merkur hat keine Atmosphäre, Venus eine sehr dichte (fast 100 bar), Mars eine sehr dünne (9 mbar). Die Erde steht mit $p = 1$ bar in der Mitte. Die Riesenplaneten Jupiter, Saturn, Uranus, Neptun haben ein Ringsystem, das aus Staubpartikeln und Gesteinsbrocken besteht. Es ist am stärksten ausgeprägt beim Saturn. Es liegt in der äquatorebene des Planeten, seine Dicke ist nur $0{,}2$ km, seine radiale Ausdehnung jedoch $410.000$ km. Die Ringstruktur kann erklärt werden durch Resonanzen zwischen Umlaufzeiten der Ringpartikel und den Monden des Planeten.

Integral, bestimmtes

Integral der Funktion $f$ über ihr Argument $x$ zwischen den Grenzen $x_l$ und $x_u$ $ \int_{x_l}^{x_u}\,dx~f(x) ~=~ \lim_{N\rightarrow\infty} \sum_{i=0}^{N-1}\,\delta x\, f(x_i) $

Integral, unbestimmtes

Integral der Funktion $f$ über ihr Argument $x$ liefert eine Stammfunktion $F$ $ \int\,dx~f(x) ~=~ F(x) $

Integration, Flächen

Zur Integration eines skalaren Feldes $\phi(x,y)$ über eine Fläche in der $xy$-Ebene beschrieben durch infinitesimal kleine Vielecke, stellt man diese mittels der Jacobi-Determinanten $$\text{d}u \text{d}v = \left\vert \dfrac{\partial(u,v)}{\partial(x,y)}\right\vert \text{d}x \text{d}y$$ in geschickten Koordinaten dar. Das doppelte Integral bestimmt man dann schrittweise aus $$\int\left(\int f(x,y) \text{d}y\right) \text{d}x$$

Integration, logarithmisch

$\int\frac{f'(x)}{f(x)}\,d x=\ln\left|f(x)\right|+C,\qquad\text{wenn}\;f(x)\ne0
$

Integration, partiell

$\int u(x)\,v'(x)\,d x=u(x)\,v(x)-\int u'(x)\,v(x)\,d x

$

Integration, partielle

$\int_{x_1}^{x_2}\,dx~f'(x)\,g(x)~=~\left( f(x_2)\,g(x_2)-f(x_1)g(x_1) \right) ~-~ \int_{x_1}^{x_2}\,dx~f(x)\,g'(x) $

Integration, Substitutionsregel

$ \int_{x_1}^{x_2}\,dx~f(x) ~=~ \int_{s_1}^{s_2}\,ds~g'(s)\,f\left(g(s)\right) $

Integration, Volumen

Zur Integration eines skalaren Feldes $\phi(x,y,z)$ über einen Körper beschrieben durch infinitesimal kleine Polyeder führt man die Berechnung für jede Koordinate schrittweise aus. $$\int_V \phi(x,y,z) \text{d} V$$ Für kartesische Koordinaten gilt $\text{d} V = \text{d}x \text{d}y \text{d}z$, für polare Koordinaten $\text{d} V = \rho \text{d}\rho \text{d}\varphi \text{d}z$ und für sphärische Koordinaten $\text{d}V = r^2 \text{d}\cos\vartheta \text{d}\varphi = r^2 \text{d}r \text{d}\Omega$.

Integration, Weg

Zur Integration eines vektoriellen Feldes $\boldsymbol{K}$ entlang eines Weges beschrieben durch infinitesimale Teilstücke $\textbf{d}\boldsymbol{r}$ stellt man diese durch einen Parameter $\lambda$ dar als $\boldsymbol{r} = \boldsymbol{r}(\lambda)$. Es gilt $$\int_{\boldsymbol{r}_1}^{\boldsymbol{r}_2} \boldsymbol{K} \circ \textbf{d}\boldsymbol{r} = \int_{\lambda_1}^{\lambda_2}\boldsymbol{K} \circ \frac{\text{d}\boldsymbol{r}}{\text{d}\lambda} \text{d}\lambda$$ Für geschlossene Wege schreibt man $\oint \boldsymbol{K}\circ \textbf{d}\boldsymbol{r}$

Intensität

Die Intensität $I$ einer monochromatischen, elektromagnetischen Lichtwelle ist proportional zum Quadrat der Amplitude $E_0$ des elektrischen Feldvektors: $I = n\frac{c_0\epsilon_0}{2}E_0^2$.

Interferenz

Als Interferenz bezeichnet man die Überlagerung von Wellen. Je nach Phasenverschiebung (Gangunterschied) kann es zu einer Addition (konstruktive Interferenz) oder Auslöschung (destruktiv) von Maxima und Minima kommen.

Interferenzerscheinungen

Interferenzerscheinungen können beobachtet werden, wenn zwei oder mehr kohärente Teilwellen mit ortsabhängigen Phasendifferenzen in einem Raumgebiet überlagert werden. Das maximale Volumen, in dem kohärente überlagerung möglich ist, heißt Kohärenzvolumen. Die kohärenten Teilwellen können realisiert werden entweder durch phasenstarre Kopplung mehrerer Sender oder durch Aufspalten einer Welle in Teilwellen, die nach Durchlaufen verschieden langer Wege $s_i$ wieder überlagert werden. Maximale Intensität erhält man für $\Delta s = m\cdot\lambda$.

Invarianz, Form-

Tensor- und Vektorgleichungen sind forminvariant unter orthogonalen Transformationen. Forminvarianz bzw. Kovarianz spielt eine zentrale Rolle in der theoretischen Physik. So gilt beispielsweise die Form von \begin{equation} T'_\mathrm{R} = \frac{1}{2} \omega'_i \Theta'_{ij} \omega'_j = \frac{1}{2} \boldsymbol{\omega}'^\top \boldsymbol{\Theta}' \boldsymbol{\omega}'. \end{equation} in allen Inertialsystemen.

Invarianzbedingung

Die Bewegungsgleichungen sind dann unter einer infinitesimalen Transformation invariant, wenn \begin{equation} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\epsilon} \left.\left[L\left(t', q', \frac{\mathrm{d}q'}{\mathrm{d}t'}\right) \dot t'\right] \right\rvert_{\epsilon = 0} = \frac{\mathrm{d} f}{\mathrm{d}t} \end{equation} für eine beliebige Funktion $f$ gilt.

Inverse Matrix

$A=(a_{ij})$ sei eine $(n\times n)$-Matrix. Dann bezeichnet man als inverse Matrix $A^{-1}=\left(\left(a^{-1}\right)_{ij}\right)$ diejenige $(n\times n)$-Matrix, für die gilt: $A^{-1}A=A\,A^{-1}={\text{E}}\;.$ $A^{-1}$ existiert genau dann, wenn ${\det A}\neq 0$ ist.

Invertierbarkeit von Matrizen

Für eine Matrix $\boldsymbol{A} \in \mathbb{K}^{n\times n}$ sind die folgenden Aussagen gleichwertig: \begin{eqnarray} &\bullet& \text{Die Matrix } \boldsymbol{A} \text{ ist invertierbar.} \\ &\bullet& \text{Es gilt } \det\boldsymbol{A} \neq 0 \end{eqnarray}

Ionisation

Neutrale Atome können ionisiert werden durch Elektronenstoß, Photonenabsorption, durch Stöße mit schnellen Ionen, durch Ladungsaustausch und u. U. auch durch Stoß von Elek tronen oder Ionen mit Oberflächen fester Stoffe. Ein Atom, das $n$ Elektronen verloren hat, heißt $n$-fach ionisiert.

Ionisierende Strahlung, Gefährdung

Die Strahlungsgefährdung durch ionisierende Strahlung wird über die Energiedosis $D$ mit der Einheit Gray oder die Äquivalentdosis $H$ mit der Einheit Sievert gemessen. Die Energiedosis lautet $D=\frac{\mathrm{d}E}{\mathrm{d}m}\,,$ während die Äquivalentdosis die relative biologische Wirksamkeit der Strahlungsbelastung durch unterschiedliche Strahlungsarten mithilfe eines Gewichtungsfaktors $w$ einbezieht: $H=w\cdot D\,.$

Isospin

Mit Hilfe des Isospin-Formalismus können Proton und Neutron als zwei Isospin-Komponenten eines Nukleons aufgefasst werden. Der Isospin $\boldsymbol{T}$ ist ein Vektor mit drei Komponenten in einem abstrakten Raum. Die drei Komponenten $\tau_k$ werden durch zweireihige quadratische Matrizen dargestellt. Der Isospin $\boldsymbol{T} = \sum_{k}\boldsymbol{\tau}_{k}$ eines Kerns ist gleich der Vektorsumme der Isospins der Nukleonen. Der Betrag der dritten Komponente des Isospins ist für einen Kern mit $Z$ Protonen und $N$ Neutronen $T_{3}=\frac{1}{2}(Z-N)$.

Isotropie und Homogenität des Raumes, Homogenität der Zeit, Relativitätsprinzip

Für abgeschlossene physikalische Systeme mit einer Lagrange-Funktion der Form \begin{equation} L(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{\dot{x}}) = \frac{1}{2} \sum_i m_i \boldsymbol{\dot{x}}_i^2 - \frac{1}{2} \sum_{j \not= i} V_{ij}(\lvert \boldsymbol{x}_i - \boldsymbol{x}_j \rvert).\end{equation} gelten die folgenden vier wichtigen Prinzipien, die man umgekehrt benutzen kann, um die erhaltenen Größen zu definieren: 1.) Homogenität der Zeit: Die Bewegungsgleichungen sind invariant unter einer willkürlichen Verschiebung des Zeitnullpunktes. Man definiert allgemein die Energie als diejenige erhaltene Größe, die sich aus der Homogenität der Zeit ergibt. 2.) Homogenität des Raumes: Eine willkürliche Verschiebung aller Punktmassen hat keinen Einfluss auf die Bewegungsgleichungen. Man definiert allgemein den Gesamtimpuls als diejenige erhaltene Größe, die sich aus der Homogenität des Raumes ergibt. 3.) Isotropie des Raumes: Auch unter willkürlichen Drehungen des Systems bleiben die Bewegungsgleichungen invariant. Es ist keine Richtung ausgezeichnet. Allgemein wird der Gesamtdrehimpuls als diejenige Erhaltungsgröße definiert, die sich aus der Isotropie des Raumes ergibt. 4.) Relativitätsprinzip: Die Bewegungsgleichungen sind invariant unter Transformationen, bei denen der Schwerpunkt mit einer konstanten Geschwindigkeit $\boldsymbol{\dot b}$ bewegt wird.